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2011年深圳市高级中学4月高考模拟理科数学试卷含答案

时间:2011-04-14


2011 年深圳市高级中学 4 月高考模拟 数学试卷(理科) 数学试卷(理科) 试卷 2011.4

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.设集合 A = {x | x ? 1 > 0}, B = {x | log 2 x > 0} ,则 A∩B 等于(
2



A. {x | x > 1}

B. {x | x > 0}

C. {x | x < ?1}

D. {x | x > 1或x < ?1} )

2.若命题甲: x ≠ 2或y ≠ 3 ;命题乙: x + y ≠ 5 ,则(

A.甲是乙的充分非必要条件 B.甲是乙的必要非充分条 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 3. 某篮球运动员在一个赛季的 40 场比赛中的得分的茎叶图如右图所示, 则中位数与众数分 别为( ) A.23,21 B.23,23 C.23,25 D.25,25

4.已知向量 a = (?2, ?1) , a ? b = 10 , | a ? b |= 5 ,则 | b |= (
A. 2 5



B. 2 10

C. 20

D. 40

5.某程序框图如右图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( A. f ( x ) = x C. f ( x ) = e
2



B. f ( x ) =

1 x

x

D. f ( x ) = sin x
x

6 .已知函数 f ( x ) = 2 + x, g ( x ) = x + log 2 x, h( x ) = x + x 的零点
3

依次为 a, b, c ,则 a, b, c 的大小顺序正确的是(
A. b > c > a C. a > b > c
2



B. b > a > c D. c > b > a

7. 已知 x ? mx + n = 0 的两根为 α , β , 1 < α < 2 < 且

β , m2 + n2 则
D. (13, +∞ )

的取值范围是(
A. [12, +∞)

) B. (12, +∞ ) C. [13, +∞ )

8.对于集合 M、N,定义 M ? N = {x | x ∈ M 且x ? N } ,
M ⊕ N = ( M ? N ) ∪ ( N ? M ) , 设A = { y | y = 3x x ∈ R} , B = { y | y = ? ( x ? 1) + 2; x ∈ R},
2

则A ⊕ B = (
A. [0, 2)

) B. (0, 2] C. (?∞, 0] ∪ ( 2, ∞ ) D. ( ?∞, 0 ) ∪ [2, +∞)

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每题 5 分,共 30 分) 必做题( (一)必做题(9~13 题) 9.已知 | z |= 3 ? i + z ,则复数 z = . .

10.一个几何体的三视图如图所示,那该几何体的体积为

11.已知曲线 C : x 2 + y 2 = m 恰有三个点到直线 12 x + 5 y + 26 = 0 距离为 1,则 m = .

12.如图,?OAB中 | OA |= 3,| OB |= 2 ,点 P 在线段 AB 的垂直平分 线 上 , 记 向 量 OA = a, OB = b, OP = c, 则c ? a ? b 为 .

uuu r

r uuu r

r uuu r

r

r

(

r

r

)

的值

13.若自然数 n 使得作加法 n + ( n + 1) + ( n + 2) 运算均不产生进位现象,则 称 n 为“给力数” ,例如:32 是“给力数” ,因 32+33+34 不产生进位现 象;23 不是“给力数” ,因 23+24+25 产生进位现象,设小于 1000 的所 有“给力数”的各个数位上的数字组成集合 A,则用集合 A 中的数字 可组成无重复数字的三位偶数的个数为 。 选做题(14、 考生只能从中选做一题) (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选做题)如图所示,圆的内接三角形 ABC 的角平分 线 BD 与 AC 交于点 D,与圆交于点 E,连结 AE,已知 ED=3, BD=6 ,则线段 AE 的长= .

B C D A E

? x = 1 ? 2t , 15.(坐标系与参数方程选做题) 已知直线 l1 : ? (t为参数) , ? y = 2 + kt. ? x = s, l2 : ? ( s 为参数) l1 // l2 ,则 k = ,若 ? y = 1 ? 2 s.
;若 l1 ⊥ l2 ,则 k =

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 14 分)如图,A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 B、P 在单位圆上,且

3 4 B (? , ) , ∠AOB = α , ∠AOP = θ (0 < θ < π ) , 5 5 uuur uuu uuu r r OQ = OA + OP ,四边形 OAQP 的面积为 S.
(Ⅰ)求 cos α + sin α ; (Ⅱ)求 OA ? OQ + S 的最大值及此时 θ 的值 θ 0.

uuu uuur r

17.(本小题满分 12 分) 某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况,随即在这 两条流水线上各抽取 40 件产品作为样本称出它们的重量 (单位: , 克) 重量值落在 (495, 510] 的产品为合格品,否则为不合格品.表 1 是甲流水线样本频数分布表,图1是乙流水线样本 的频率分布直方图.
频频/组组

产产重重(克)

频频
0.09

(49 0,495] (49 5,500] (50 0,505] (50 5,510] (510,515]

6 8 14 8 4

0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

490 495 500 505 510

515

(重重/克)

表1: (甲流水线样本频数分布表) 图 1: (乙流水线样本频率分布直方图) (1)根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图; (2)若以频率作为概率,试估计从乙流水线上任取 5 件产品,恰有3件产品为合格品 的概率; (3)由以上统计数据完成下面 2 × 2 列联表,并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与 两条自动包装流水线的选择有关” . 甲流水线 合格品 不合格品 合 计 乙流水线 合计

a= c=

b= d=

n=

附:下面的临界值表供参考:
p( K ≥ k )
2

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

n(ad ? bc) 2 (参考公式: K = ,其中 n = a + b + c + d ) (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )

18.(本题满分 14 分) 如图, 在矩形 ABCD 中,点 E , F 分别在线段 AB, AD 上, AE = EB = AF = 沿直线 EF 将 V AEF 翻折成 V A' EF ,使平面 A EF ⊥ 平面BEF .
'

2 FD = 4 . 3

(Ⅰ)求二面角 A ? FD ? C 的余弦值;
'

(Ⅱ)点 M , N 分别在线段 FD, BC 上,若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折,使 C 与

A' 重合,求线段 FM 的长。

19. (14 分)如图, ?ABC 为一个等腰三角形形状的空地,腰 CA 的长为 3 (百米) ,底 AB 的长为 4 (百米) .现决定在空地内筑一条笔直的小路 EF (宽度不计) ,将该空地分成一个 四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为 S1 和 S2 . ⑴若小路一端 E 为 AC 的中点,求此时小路的长度; ⑵求

S1 的最小值. S2

x2 y2 2 20. (14 分)已知椭圆 E : 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 ,且过点 P (2, 2) ,设 a b 2
直线 l =

a2 与 x 轴的交点为 A ,椭圆的上顶点为 B ,直线 AB 被以原点为圆心的圆 O 所截 c 4 5 . 5

得的弦长为

⑴求椭圆 E 的方程及圆 O 的方程; ⑵若 M 是直线 l 上纵坐标为 t 的点,求证:存在一个异于 M 的点 Q ,对于圆 O 上任意一点

N ,有

MN 为定值;且当 M 在直线 l 上运动时,点 Q 在一个定圆上. NQ

21. (14 分)设函数 f ( x) = x( x ? 1) 2 , x > 0 . ⑴求 f ( x ) 的极值; ⑵设 0 < a ≤ 1 ,记 f ( x ) 在 ( 0, a ] 上的最大值为 F ( a ) ,求函数 G ( a ) =
2

F (a) 的最小值; a

⑶设函数 g ( x ) = ln x ? 2 x + 4 x + t ( t 为常数) 若使 g ( x ) ≤ x + m ≤ f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上恒 , 成立的实数 m 有且只有一个,求实数 m 和 t 的值.

2011 年深圳市高级中学高考模拟试卷 数学试题(理科) 数学试题(理科)参考答案
一.选择题 1 题号 答案 A 二.填空题 9. 2 B 3 B 4 A 5 D 6 A 7 D 8 C

4 +i 3

10.

16π + 12 3

11. 9

12.

5 2

13. 10

14. 3 3 ;15. 4、-1

三.解答题 16.

17. 解: (1)甲流水线样本的频率分布直方图如下:

---4 分 (2)由图1知,乙样本中合格品数为 (0.06 + 0.09 + 0.03) × 5 × 40 = 36 , 故合格品的频率为

36 = 0.9 ,据此可估计从乙流水线上任取一件产品该产品为合 40 格品的概率 P = 0.9 ,-------------------------------------6 分
(5, 0.9)

设 ξ 为从乙流水线上任取 5 件产品中的合格品数,则 ξ ∴ P (ξ = 3) = C5 (0.9) (0.1) = 0.0729 .
3 3 2

即从乙流水线上任取 5 件产品,恰有3件产品为合格品的概率为 0.0729 .------8 分

(3) 2 × 2 列联表如下: 甲流水线 合格品 不合格品 合 计 -------10 分 ∵K =
2

乙流水线

合计 66 14

a = 30 c = 10
40

b = 36 d =4
40

n = 80

n(ad ? bc) 2 80 × (120 ? 360) 2 ≈ 3.117 > 2.706 = (a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) 66 × 14 × 40 × 40

∴有 90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关.------12 分 18(Ⅰ)解:取线段 EF 的中点 H,连结 A ' H ,因为 A ' E = A ' F 及 H 是 EF 的中点,所以 A H ⊥ EF ,
'

又因为平面 A EF ⊥ 平面 BEF .
'

如图建立空间直角坐标系 A-xyz 则 A ' (2,2, 2 2 ) ,C(10,8,0) ,F(4,0,0) ,D(10,0,0).


故 FA ' =(-2,2,2 2 ) FD =(6,0,0). , 设 n =(x,y,z)为平面 A ' FD 的一个法向量, -2x+2y+2 2 z=0 所以 6x=0.




r r 取 z = 2 , 则 n = (0, ?2, 2) 。 又 平 面 BEF 的 一 个 法 向 量 m = (0, 0,1) , 故

r r nm 3 r r 3 cos? n , m? = r r = 。所以二面角的余弦值为 n m 3 3
(Ⅱ) 设 FM = x, 则 M (4 + x, 0, 0) , 解: 因为翻折后, 与 A 重合, C 所以 CM = A ' M ,

2 2 故, (6 ? x ) 2 + 82 + 02 =( ? 2 ? x) + 22 + 2 2),得 x = (

21 , 4

经检验,此时点 N 在线段 BC 上,所以 FM = 方法二:

21 。 4

( Ⅰ ) 解 : 取 线 段 EF 的 中 点 H , AF 的 中 点 G , 连 结

A ' G, A ' H , GH 。 因为 A ' E = A ' F 及 H 是 EF 的中点,
所以 A ' H ⊥ EF

又因为平面 A ' EF ⊥ 平面 BEF ,所以 A ' H ⊥ 平面 BEF , 又 AF ? 平面 BEF ,故 A ' H ⊥ AF ,又因为 G 、 H 是 AF 、 EF 的中点, 易知 GH ∥ AB ,所以 GH ⊥ AF ,于是 AF ⊥ 面 A ' GH , 所以 ∠A ' GH 为二面角 A '? DH ? C 的平面角, 在 Rt A ' GH 中, A ' H = 2 2 , GH =2, A ' G = 2 3 所以 cos ∠A ' GH =

3 . 3

故二面角 A '? DF ? C 的余弦值为

3 。 3

(Ⅱ)解:设 FM = x , 因为翻折后, C 与 A ' 重合,所以 CM = A ' M , 而 CM 2 = DC 2 + DM 2 = 82 + (6 ? x) 2 ,

A ' M 2 = A ' H 2 + MH 2 = A ' H 2 + MG 2 + GH 2 = (2 2) 2
得x=

21 21 ,经检验,此时点 N 在线段 BC 上,所以 FM = 。 4 4


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