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2015年高考不等式专题精讲精析 教师

时间:2014-07-18


不等式
E1 不等式的概念与性质 1.[2014· 山东卷] 已知实数 x,y 满足 ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( D A. 1 1 > B. ln(x2+1)>ln(y2+1) C. sin x>sin y D. x3>y3 x2+1 y2+1 a b a b a b a b )A. > B. < C. > D. < c d c d d c d c ) )

2.[2014· 四川卷] 若 a>b>0,c<d<0,则一定有( D

E2 绝对值不等式的解法 3、[2014· 安徽卷] 若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,则实数 a 的值为( A.5 或 8 B.-1 或 5 C.-1 或-4 D.-4 或 8 9.D [解析] 当 a≥2 时,

? ?x+a-1?-a≤x≤-1?, ? 2 ? f(x)=? a? ? ?-3x-a-1? ?x<-2?.
a? a a 由图可知,当 x=- 时,fmin(x)=f? ?-2?=2-1=3,可得 a=8. 2 x>- ?, 3x+a+1? ? 2? ? ? a? 当 a<2 时,f(x)? -x-a+1? ?-1≤x≤-2?, ? ?-3x-a-1(x<-1). a? a a 由图可知,当 x=- 时,fmin(x)=f? ?-2?=-2+1=3,可得 a=-4.综上可知,a 的值为-4 或 8. 2 E3 一元二次不等式的解法 4、[2014· 全国卷] 设集合 M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则 M∩N=(B A.(0,4] B.[0,4) C.[-1,0) D.(-1,0] E4 简单的一元高次不等式的解法 E5 简单的线性规划问题 ?x+y-2≤0, ) a

3x+a+1(x>-1),

5.[2014· 安徽卷] x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0,若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一 , ...

?

? ?2x-y+2≥0.

则实数 a 的值为( D

1 1 )A. 或-1 B.2 或 C.2 或 1 D.2 或-1 2 2

x+y-2≥0, ? ? 6. [2014· 北京卷] 若 x, y 满足?kx-y+2≥0,且 z=y-x 的最小值为-4, 则 k 的值为(D ? ?y≥0, 1 A.2 B.-2 C. 2 1 D.- 2

)

y≤x, ? ? 7.[2014· 广东卷] 若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1,且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m ? ?y≥-1, 和 n,则 m-n=(.B )A.5 B.6 C.7 D.8

y≤x, ? ? 8.[2014· 湖南卷] 若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤4,且 z=2x+y 的最小值为-6,则 k= ? ?y≥k, ________.14.-2

9、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组? p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2, p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3, 其中的真命题是( B )A.p2,p3

? ?x+y≥1, ?x-2y≤4 ?

的解集记为 D,有下面四个命题:

p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2, p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1. B.p1,p2 C.p1,p4 D.p1,p3

?x-y-1≤0, ? 10.[2014· 山东卷] 已知 x,y 满足约束条件? 当目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)在 ? ?2x-y-3≥0,

该约束条件下取到最小值 2

5时,a2+b2 的最小值为( B

)A. 5 B. 4 C.

5 D. 2

11. , [2014· 陕西卷] 在直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(1, 1), B(2, 3), C(3, 2), 点 P(x, y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上. → → → → (1)若PA+PB+PC=0,求|OP|; → → → (2)设OP=mAB+nAC(m,n∈R),用 x,y 表示 m-n,并求 m-n 的最大值. → → → 18.解:(1)方法一:∵PA+PB+PC=0, → → → 又PA+PB+PC=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),
?6-3x=0, ?x=2, ? ? ∴? 解得? ?6-3y=0, ?y=2, ? ?

→ → 即OP=(2,2),故|OP|=2 2. → → → 方法二:∵PA+PB+PC=0, → → → → → → 则(OA-OP)+(OB-OP)+(OC-OP)=0, → 1 → → → ∴OP= (OA+OB+OC)=(2,2), 3 → ∴|OP|=2 2. → → → (2)∵OP=mAB+nAC, ∴(x,y)=(m+2n,2m+n),
? ?x=m+2n, ∴? ?y=2m+n, ?

两式相减得,m-n=y-x, 令 y-x=t,由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时,t 取得最大值 1,故 m-n 的最大值为 1.

x+2y-4≤0, ? ? 12. [2014· 浙江卷] 当实数 x,y 满足?x-y-1≤0, 时,1≤ax+y≤4 恒成立,则实数 a 的取 ? ?x≥1 3 ? 值范围是________..? ?1,2?

E6 基本不等式 ab ?

a?b 2

3 4 13. [2014· 辽宁卷] 对于 c>0, 当非零实数 a, b 满足 4a2-2ab+4b2-c=0 且使|2a+b|最大时, - + a b 5 的最小值为________.16.-2 c

b ? 4a 2 - 2ab+ 4b 2 - c = (2a - ) 2 + ( 2 3 2 b ∴ c ? [12 + ( ) ] =( [ 2a - ) 2 + ( 2 15 ?c ? [12 + ( | 2a +

15b 2 ) -c= 0 2 15b 2 3 2 b 15b 3 2 ) ] ? [12 + ( ) ]≥ ( [ 2a - ) ? 1+ ? ] 2 2 2 15 15

3 2 b b 15b 3 ) ]≥ (2a + ) 2 ∴当(2a - ) : 1 = : , 即2a = 3b,c = 10b 2时, 2 2 2 15 15

b 8c 3 4 5 6 4 5 1 1 | 取最大值 .这时, - + = - + = ( - 4) ≥-2. 2 2 5 a b c 3b b 10b 2b b 3 4 5 所以, - + 的最小值为- 2 a b c

b 6 ax2+ ? 的展开式中 x3 项的系数为 20,则 a2+b2 的最小值为________.14.2 14. [2014· 山东卷] 若? x? ? → → 15. , [2014· 四川卷] 已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点, 点 A, B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, OA· OB =2(其中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( 17 2 A.2 B.3 C. 8 D. 10 10.B )

16.[2014· 四川卷] 设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m+3=0 交于点 P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________.14.5 E7 不等式的证明方法 17.[2014· 北京卷] 对于数对序列 P:(a1,b1),(a2,b2),…,(an,bn),记 T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}(2≤k≤n), 其中 max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}表示 Tk-1(P)和 a1+a2+…+ak 两个数中最大的数. (1)对于数对序列 P:(2,5),(4,1),求 T1(P),T2(P)的值; (2)记 m 为 a,b,c,d 四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列 P: (a,b),(c,d)和 P′:(c,d),(a,b),试分别对 m=a 和 m=d 两种情况比较 T2(P)和 T2(P′)的大小; (3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一 个数对序列 P 使 T5(P)最小,并写出 T5(P)的值.(只需写出结论) 20.解:(1)T1(P)=2+5=7, T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8. (2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d}, T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}. 当 m=a 时,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b. 因为 a+b+d≤c+b+d,且 a+c+d≤c+b+d,所以 T2(P)≤T2(P′). 当 m=d 时,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b. 因为 a+b+d≤c+a+b,且 a+c+d≤c+a+b,所以 T2(P)≤T2(P′). 所以无论 m=a 还是 m=d,T2(P)≤T2(P′)都成立. (3)数对序列 P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的 T5(P)值最小, T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52. 18、 、[2014· 天津卷] 已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数.设集合 M={0,1,2,…,q-1},

集合 A={x|x=x1+x2q+…+xnqn 1,xi∈M,i=1,2,…,n}. (1)当 q=2,n=3 时,用列举法表示集合 A. - - (2)设 s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn 1,t=b1+b2q+…+bnqn 1,其中 ai,bi∈M,i=1,2,…, n.证明:若 an<bn,则 s<t. 19.解:(1)当 q=2,n=3 时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3}, 可得 A={0,1,2,3,4,5,6,7}. - - (2)证明:由 s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn 1,t=b1+b2q+…+bnqn 1,ai,bi∈M,i=1,2,…, n 及 an<bn,可得 - - s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)qn 2+(an-bn)qn 1 - - ≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)qn 2-qn 1


(q-1)(1-qn 1) n-1 = -q 1-q


=-1<0, 所以 s<t. E8 不等式的综合应用 19. 、[2014· 安徽卷] 若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,则实数 a 的值为(D A.5 或 8 B.-1 或 5 C.-1 或-4 D.-4 或 8

)

20.[2014· 福建卷] 要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是 每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元, 则该容器的最低总造价是________(单位:元).13.160 3 4 21、 [2014· 辽宁卷] 对于 c>0, 当非零实数 a, b 满足 4a2-2ab+4b2-c=0 且使|2a+b|最大时, - + a b 5 的最小值为________.16.-2 c 22、[2014· 辽宁卷] 已知定义在[0,1]上的函数 f(x)满足: 1 ①f(0)=f(1)=0;②对所有 x,y∈[0,1],且 x≠y,有|f(x)-f(y)|< |x-y|. 2 若对所有 x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k 恒成立,则 k 的最小值为( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 12.B 2 4 8 2π 23. 、 、 、[2014· 江苏卷] 已知函数 f(x)=ex+e x,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明:f(x)是 R 上的偶函数. - (2)若关于 x 的不等式 mf(x)≤e x +m-1 在(0,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围. - - 19.解: (1)证明:因为对任意 x∈R,都有 f(-x)=e x+e -(-x)=e x+ex=f(x), 所以 f(x)是 R 上的偶函数. - - (2)由条件知 m(ex+e x-1)≤e x-1 在(0,+∞)上恒成立.


t-1 令 t=ex(x>0),则 t>1,所以 m≤- 2 = t -t+1



1 对任意 t>1 成立. 1 t-1+ + 1 t-1 1 1 1 (t-1)· +1=3, 所以 - ≥- , 1 3 t - 1 t-1+ + 1 t-1

1 因为 t-1+ + 1≥2 t-1

1? 当且仅当 t=2, 即 x = ln 2 时等号成立.因此实数 m 的取值范围是? ?-∞,-3?. 1.【2014·全国卷Ⅰ(文 17) 】已知 ?an ? 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的根。
2

(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?
2

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?

【解析】 : (I) 方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根为 2,3,由题意得 a2 ? 2 , 设数列 ?an ? 的公差为 d,, a4 ? 3 , 则 a4 ? a2 ? 2d ,故 d=

3 1 1 a1 ? ,从而 2 ,所以 ?an ? 的通项公式为: an ? n ? 1 2 2

(Ⅱ)设求数列 ? 则: S n ?

a n?2 ? an ? ? n ?1 , 的前 n 项和为Sn,由(Ⅰ)知 n n n ? 2 2 ?2 ?

3 4 5 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 3 4 5 n ?1 n ? 2 Sn ? 3 ? 4 ? 5 ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2

两式相减得

1 3 ?1 1 Sn ? ? ? 3 ? 4 ? 2 4 ?2 2

?

n?4 1 ? n?2 3 1? 1 ? n?2 ? n? 2 ? ? ?1 ? n?1 ? ? n?2 所以 S n ? 2 ? n ?1 n ?1 ? 2 2 ? 2 4 4? 2 ? 2

2. 【2014· 全国大纲卷 (理 18) 】 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? 10 ,a2 为整数, 且 Sn ? S4 . (I)求 {an } 的通项公式; (II)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an?1

【解析】 (I) 由 a1 ? 10 , 等差数列 {an } 的公差 d 为整数. 又 Sn ? S4 , 故 a4 ? 0 , a5 ? 0 , a2 为整数知,

d ? 0 , 10 ? d 4? 于 是 10 ? 3
an = 13 - 3n

0 ,解得 )

10 #d 3

-

5 , 因 此 d = - 3 , 故 数 列 {an } 的 通 项 公 式 为 2

. (

II

bn ?

1? 1 1 ? ? ? ? ?13 ? 3n ??10 ? 3n ? 3 ? 10 ? 3n 13 ? 3n ? ? 1







Tn ? b1 ? b2 ?

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? bn ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?? 7 10 ? ? 4 7 ?

1 ?? 1 ? 1 1? n ? 1 ?? ? ? ?? ?? ? ? ? 10 ? 3n 13 ? 3n ?? 3 ? 10 ? 3n 10 ? 10 ?10 ? 3n ?
*

3.【2014·安徽卷(文 18) 】数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, nan?1 ? (n ? 1)an ? n(n ? 1), n ? N .

an ? n (Ⅰ)证明:数列 ? ? ? 是等差数列;(Ⅱ)设 bn ? 3 ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . ?n?

【解析】 (Ⅰ )证:由已知可得 所以 {

an ?1 an a a ? ? 1 ,即 n ?1 ? n ? 1 n ?1 n n ?1 n

an a } 是以 1 ? 1 为首项,1 为公差的等差数列。 1 n a (Ⅱ )解:由(Ⅰ )得 n ? 1 ? ( n ? 1) ?1 ? n ,所以 an ? n2 ,从而 bn ? n ? 3n n
1 2 Sn ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? ? 3 3 ? 3

? n?

n

3 ②



3Sn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3? 34 ?
① -② 得:

? (n-1 ) ? 3n ? n ? 3n+1
? 3n ? n ? 3n +1

?2Sn ? 31 ? 32 ? 33 ? ?

所以 Sn ?

3 ? (1 ? 3n ) ? n ? 3n +1 1? 3 (1 ? 2n) ? 3n +1 ? 3 ? 2 (2n ? 1) ? 3n +1 ? 3
4

4【2014·山东卷(理 19) 】已知等差数列 {an } 的公差为 2,前 n 项和为 S n ,且 S 1 , S2 , S4 成等比 数列。 (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)令 bn = (?1) n ?1

4n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 an an ?1

【解析】 (I) d ? 2, S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ? d , S4 ? 4a1 ? 6d ,
2 ? S1, S2 , S4成等比? S2 ? S1S4 解得 a ? 1,? a ? 2n ?1 1 n

(II) bn ? (?1) n ?1

4n 1 1 ? (?1) n?1 ( ? ) an an?1 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为偶数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ?Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为奇数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ? 2 ? Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1

? 2n , n为偶数 ? ? 2n ? 1 ? Tn ? ? ? 2n ? 2 , n为奇数 ? ? 2n ? 1


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