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高中数学一轮复习微专题第⑦季三角函数的图像与模型的应用:第8节 角的配凑技巧

时间:2017-10-11


第 8 节 角的配凑技巧 【基础知识】 常见角的凑配技巧(原则上用题目中的已知角来表示所需要求的未知角)有:

? ? 2?
?(

?
2

? (? ? ? ) ? ?

?
2

? ?)?(

?
2

? ?) ?

? ??
2

?

? ??
2

? ? ? ( ? ? ? ) , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

?
4

?? ?

?

? ( ? ? ) 等. 2 4

?

【规律技巧】 当已知角有两个时,一般把所求角表示为两个已知角的和或差的形式;当已知角有一个时, 此时应着眼于所求角与已知角的和或差的形式, 然后应用诱导公式把所求角变成已知角, 常 见的互余关系有

?
3

?? 与

?
6

?? ;

?
4

?? 与

?
4

? ? ,常见的互补关系有

?
3

?? 与

?
4

?? 与

3? ?? . 4

2? ?? , 3

【典例讲解】 【例 1】设 α 、β 都是锐角,且 cos α = ,sin(α +β )=

8 2- 3 15 8 2 - 3 8 2 +3 C. 或 15 15 【答案】A 【解析】
A. 试题分析:由

1 3 8 2 +3 B. 15

4 ,则 cos β 等于( 5



D.以上都不对

? 是 锐 角 及 cos ? ?

2 2 1 ? 知 sin ? ? 且?? ,又 ? 是锐角及 3 3 3

sin(? ? ? ) ?

4 3 3 , 可 得 cos(? ? ? ) ? ? , 若 cos(? ? ? ) ? , 则 ? ? ? 为 锐 角 , 又 5 5 5

sin(? ? ? ) ?

4 3 ? ? ? ? 知 ? ? ? ? ,又 ? ? ,所以 ? ? ? ? ,与 ? ? ? ? 矛盾, ? 5 2 3 3 3 3

3 cos(? ? ? ) ? ? ,可得 cos ? ? cos ? (? ? ? ) ? ? ? 5

3 1 4 2 2 8 2 ?3 ,故选 A. ? ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? ) sin ? ? ? ? ? ? 5 3 5 3 15
考点:1、两角和与差的正弦、余弦函数;2、角的变换. 【易错点晴】 本题主要考查两角和与差的正弦、 余弦函数及角的变换技巧, 属于中等难度题,

在由 sin(? ? ? ) ?

4 3 ,得出 cos(? ? ? ) ? ? 时,要注意进行讨论,特别对角的范围要进行 5 5
? (? ? ? ) ? ?

限制,否则容易出错,常见角的凑配技巧(原则上用题目中的已知角来表示所需要求的未知 角)有: ? ? 2 ?

?
2

?(

?
2

? ?)?(

?
2

? ?) ?

? ??
2

?

? ??
2

? ? ? ( ? ? ? ) , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

?
4

?? ?

?

? ( ? ? ) 等. 2 4

?

【例二】若 0 ?? ?

?
2

,?

?

3 ?? 1 ?? ? ? ? ,则 ? ? ? 0 , cos ? ? ? ? ? , sin ? ? ? ? 2 4? 3 ?4 2? 3 ?

?? ? cos ? ? ? ? ? ( 2? ?
A.



3 3

B. ?

3 3

C.

6 3

D. ?

6 9

【答案】C 【解析】 试题分析:? 0 ? ? ?

?
2

,?

?
4

?? ?

?
4

?

3? ?? 1 ? ,且 cos ? ? ? ? ? 4 4? 3 ?

? ? 1 2 2 ? sin(? ? ) ? 1 ? cos 2 (? ? ) ? 1 ? ? , 4 4 9 3
又? ?

?
2

? ? ? 0,?

?
4

?

?
4

?

?
2

?

?
2

,且 sin ?

3 ?? ? ? ? ?? ?4 2? 3

1 6 ?? ? ? ?? ? ? ? cos ? ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? ? 1 ? ? 3 3 ?4 2? ?4 2?
从而

cos(? ?

?

? ?? ? ? ) ? cos[(? ? ) ? ? ? ?] 2 4 ?4 2?
? ? ? ? ? ?

? cos(? ? ) cos( ? ) ? sin(? ? ) sin( ? ) 4 4 2 4 4 2

1 6 2 2 3 6 ? ? ? ? ? 3 3 3 3 3
故选 C. 考点:1.同角三角函数的关系;2.两角和与差的三角函数. 【易错点晴】 本题重点考查了三角函数的两角和与差的三角公式, 同角三角函数的基本关系

式,属于基础题.已知角的三角函数值,求另外角的三角函数值,属于给值求值;这类题型 关键在于:用已知角和特殊角将未知角表示出来,本题中,其关键就在于将角 ? ? 成了 (? ?

?
2

表示

?

?? ? ? 在求角的过程中一 ) ? ? ? ? 然后利用已知条件及余弦的差角公式即可求解, 4 ?4 2?

定要注意角的取值范围,利用平方关系时,一定要注意符号的判断,这是本题的易错点. 【针对训练】 1、设 cos(? ? 求 cos

?

? ??
2

1 ? 2 ? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? , 且 ? ? ? ? ,0 ? ? ? , 2 9 2 3 2 2

的值.

【答案】 【解析】

7 5 。 27

试题分析:因为

? ??
2

? (? ?

?
2

)?(

?
2

? ? ) ,所以 cos

? ??
2

? cos[( ? ?

?
2

)?(

?
2

? ? )] ,

再由已知条件结合同角三角函数基本关系式求出 ? ?

?
2

的正弦值、

?
2

? ? 的余弦值,代入

上式结合两角和的余弦公式可得 cos 试题解析:?

? ??
2
.?

?

7 5 。 27

?
2

? ? ? ? ,0 ? ? ?

?
2

?
4

?

?
2

?

?
2

,0 ?

?
2

?

?
4

?

?
4

?? ?

?
2
2

? ? ,?

?
4

?

?
2

?? ?

?
2

? sin(? ?

?

)?

4 5 ? 5 , cos( ? ? ) ? 9 2 3

cos

? ??
2

? cos[( ? ?
) sin(

?
2

)?(

?
2

? ? )] = cos(? ?

?
2

) cos(

?
2

? ?)

+ sin(? ?

?
2

?

1 5 2 4 5 7 5 ? ? ? ? ?)=? ? 9 3 3 9 27 2

考点: (1)同角三角函数基本关系式; (2)两角和的余弦公式。 2、已知 cos ? ?

(Ⅰ)求 tan 2? 的值. (Ⅱ)求 ? .

? 1 13 , cos(? ? ?) ? , 且0 < ? < ? < , 2 7 14

【答案】 (Ⅰ) ?

8 3 ? (Ⅱ) 47 3

【解析】 试题分析: (Ⅰ)由 cos ? 可求得 sin ? ,进而得到 tan ? ,代入二倍角公式可知 tan 2? 的值 (Ⅱ)求角的大小,一般先求角的某一三角函数值,并将所求角用已知两角的和差来表示, 即转化为两角和差的三角公式求解 试题解析: (Ⅰ)由 cos ? ?
2 1 ? 1? 4 3 , 0 ? ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? ? ? ? 7 2 7 ?7?

2分

∴ tan ? ? sin ? ? 4 3 ? 7 ? 4 3 , cos ? 7 1

4分 6分

于是 tan 2? ? 2 tan ? ? 2 ? 4 3 ? ? 8 3 1 ? tan 2 ? 1 ? 4 3 2 47

?

?

(Ⅱ)由 0 ? ? ? ? ?

?
2

,得 0 ? ? ? ? ?

?
2
2

13 ? 3 3 13 又∵ cos ?? ? ? ? ? ,∴ sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 14 14 ? 14 ?
由 ? ? ? ? ?? ? ? ? 得: cos ? ? cos ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?

9分

? 1 13 4 3 3 3 1 ? cos ? cos ?? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? 3 7 14 7 14 2
考点:1.同角间的三角函数关系;2.二倍角公式;3.两角和差的正余弦公式 7.如果 tan(? ? ? ) ? 【答案】 【解析】

12 分

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是________. 5 4 4 4

3 22

2 1 ? ? ? ?? ? 5 4 ? 3 试题分析: tan(? ? ) ? tan ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 4 ? ? 1 ? 2 ? 1 22 ? ? 5 4

?

考点:两角和差的正切公式 3.已知

?
6

?? ?

2? ? ? 2? ? , cos(? ? ) ? m(m ? 0) ,则 tan? ? ? ? ? ________. 3 3 ? 3 ?

【答案】 ? 【解析】

1 ? m2 . m

试 题 分 析 : ?

?
6

?? ?

2? ? ? ?? ? , ? ? ? ? ? ? , 由 cos? ? ? ? ? m?m ? 0 ? , 3 2 3 3? ?

?? ?? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? ? 3? 3? ? ?
?? ? sin ? ? ? ? ?? 1 ? m2 3? ? ? , ? tan? ? ? ? ? ?? ?? 3? m ? ? cos? ? ? ? 3? ?

? ? 1 ? m2



? ?? 1 ? m2 ? 2? ? ? 2? ?? ? . ? tan? ? ? ? ? tan ?? ? ? ? ? ?? ? tan? ? ? ? ? ? 3? m ? 3 ? ? 3 ?? ? ?
考点:1、同角三角函数的基本关系;2、三角函数的诱导公式.

【练习巩固】 1.已知 tan(? ? A. 【答案】D 【解析】 试

?

5 5 B. ? 7

) ? 2 , tan( ? ?
C.

4? ) ? ?3 ,则 tan(? ? ? ) ? ( ) 5
D. ?1

5 7









?? ?? ? 4? tan ?? ? ? ? ? ? ? ? 5? ? 5 ??
选D 考点:正切差角公式 2 . 若 0 ?? ? ( A. )

2 ? ? ?3? ?? ? ? ? tan ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? tan ?? ? ? ? ? 1 ? 2 ? ?3 ? ?1 ? ? ??

?
2

,?

?

3 ?? ?? ? ? ?? ? 1 ? . 则 cos ? ? ? ? ? ? ? ? 0.cos ? ? ? ? ? . cos ? ? ? ? 2 2? ?4 2? 3 ?4 ? 3 ?

3 3

B. ?

3 3

C.

5 3 9

D. ?

6 9

【答案】C 【解析】 试 题 分 析 :

Q0 ?? ?

?
2

,?

?
2

? ? ? 0,

?
4

?

?
4

?? ?

3? ? ? ? ? , ? ? ? 4 4 4 2 2



1 2 2 ?? ? ? sin ? ? ? ? ? 1 ? ? , 9 3 ?4 ?

?? ?? ? 6 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ,? cos ? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? 2? ? ? ? 4 2 ?? ?4 2? 3 ?? 4
?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? 5 3 ,故选 C。 ? cos ? ? ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? ? 9 ?4 ? ?4 2? ?4 ? ?4 2?
考点:三角恒等变换及化简求值 3.设 ?、? 都是锐角,且 cos? ?

5 3 , sin(? ? ? )= ,则 cos ? 等于( ) 5 5
C.

A.

2 5 25

B.

2 5 5

2 5 2 5 或 25 5

D.

5 5 或 5 25

【答案】A 【解析】 试题分析:因为 ? 是锐角,所以 sin? ?

2 5 2 ? ? ,即 ? ? ? .又 ? 是锐角,且 ? 5 2 4 2

3 2 ? 4 , 所 以 <? ? ? ? ? , 所 以 cos(? ? ? ) ? ? , 所 以 cos ? = sin(? ? ? )= ? 5 2 2 5 4 5 3 2 5 2 5 , ? ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ) = cos (? ? ? ) cos ? + sin (? ? ? ) sin ? = ? ? 5 5 5 5 25
故选 A. 考点:1、同角三角函数间的基本关系;2、两角和与差的余弦;3、正弦函数的图象与性质. 【易错点睛】本题在判断角 ? 与 ? ? ? 的范围时是一个难点,同时也是一个易错点.如果 只是一直盲目的运算,不根据条件判断出 ? 的范围,再结合 sin(? ? ? )= 范围,那么很容易由 sin(? ? ? ) =

3 判断出 ? ? ? 的 5

3 4 ,直接得出 cos(? ? ? ) ? ? ,从而错误地得到 cos ? 5 5



2 5 2 5 或 ,错选 C. 25 5

4. 若0 ?? ? ( A. )

?
2

,?

?

3 ?? 1 ?? ?? ? ? ? ? , 则 cos ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ,cos ? ? ? ? ? ,sin ? ? ? ? 2 4? 3 2? ?4 2? 3 ? ?

3 3

B. ?

3 3

C.

6 3

D. ?

6 9

【答案】C 【解析】

试题分析:? 0 ? ? ?

?
2

,?

?
4

?? ?

?
4

?

3? ?? 1 ? ,且 cos ? ? ? ? ? 4 4? 3 ?

? ? 1 2 2 ? sin(? ? ) ? 1 ? cos 2 (? ? ) ? 1 ? ? , 4 4 9 3
又? ?

?
2

? ? ? 0,?

?
4

?

?
4

?

?
2

?

?
2

,且 sin ?

3 ?? ? ? ? ?? ?4 2? 3

1 6 ?? ? ? ?? ? ? ? cos ? ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? ? 1 ? ? 3 3 ?4 2? ?4 2?
从而

cos(? ?

?

? ?? ? ? ) ? cos[(? ? ) ? ? ? ?] 2 4 ?4 2?
? ? ? ? ? ?

? cos(? ? ) cos( ? ) ? sin(? ? ) sin( ? ) 4 4 2 4 4 2

1 6 2 2 3 6 ? ? ? ? ? 3 3 3 3 3
故选 C. 考点:1.同角三角函数的关系;2.两角和与差的三角函数. 【易错点晴】 本题重点考查了三角函数的两角和与差的三角公式, 同角三角函数的基本关系 式,属于基础题.已知角的三角函数值,求另外角的三角函数值,属于给值求值;这类题型 关键在于:用已知角和特殊角将未知角表示出来,本题中,其关键就在于将角 ? ? 成了 (? ?

?
2

表示

?

?? ? ? 在求角的过程中一 ) ? ? ? ? 然后利用已知条件及余弦的差角公式即可求解, 4 ?4 2?
1 1 , tan ? ? ? ,则 2? ? ? 的值是( 2 7 3? D. 4

定要注意角的取值范围,利用平方关系时,一定要注意符号的判断,这是本题的易错点. 5.已知 ? , ? ? ? 0, ? ? ,且 tan ?? ? ? ? ? A. ? )

?
4

B. ?

3? 4

C.

?
4

【答案】B 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 tan ? ? ?

1 5? ? , 可 知 ? ?( , ? ) , 所 以 ? ? ? ? (?? , ) , 结 合 7 6 6 1 1 ? 1 1 5 2? 从而求得 ? ? ? ? (? , ? 根据和角公式, 可知 tan ? ? 2 7 ? , tan ?? ? ? ? ? , ), 1 3 2 6 3 1? 14

所以有 ? ? (0,

?
6

) ,从而有 2? ? ? ? (?

5? ? 3? 符合题意,故选 B. , ? ) ,从而得到只有 ? 6 2 4

考点:已知函数值求角. 6.已知 sin ? ? A. 2 【答案】D 【解析】 试 题 分 析 : ? sin ? ?

5 ? , 且 ? ? ( , ? ) ,则 tan 2? ? ( 5 2
B.

) D. ?

4 3

C. ?2

4 3

5 2 5 ? 1 , 所 以 tan ? ? ? , , 且 ? ? ( , ? ) , 所 以 cos ? ? ? 5 5 2 2

tan 2? ?

2 tan ? 4 ?? 2 1 ? tan ? 3

考点:同角三角函数的基本关系


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