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2.1.1合情推理---类比推理 精品教案

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2.1.1 合情推理----类比推理
教学目标: 知识与技能:了解类比推理的含义、特点,能利用类比进行简单的推理. 过程与方法:通过生活和学习中的实例创设情境、进行探究,提高学生观察猜想、抽象概括 的能力,渗透类比的思想方法. 情感、 态度与价值观: 体会类比推理在实际生活和数学发现中的作用, 提高学习数学的兴趣, 增强创新意识. 教学重点和难点: 教学重点:能用类比推理进行简单的推理. 教学难点:能找到事物之间的共同或相似性质,不仅会在形式结构和叙述方式上进行类比, 还需对推理过程或思维策略进行类比. 教学方法:以学生活动为主,自主探究、合作交流,教师启发引导式教学

教学重难点突破策略:
学生在学习本节内容时主要有以下两个困难: 1.用类比进行推理,作出猜想. 这部分中大多数问题是给出具有类似特征的两类对象, 由学生根据一类事物的已知特征推 测另一类对象也具有这些特征.要弄清楚怎样类比首先应该会明确指出这两类对象具有哪些 类似特征.所以在教学过程中对学生举到的类比推理的例子和教师给出的小练习,都应注重 从两个方面先分析: (1)问题中两类对象分别是什么; (2)他们有哪些类似特征.通过寻找 两类对象的相似性, 将两类不同的对象联系起来, 从这种相似性出发, 从概念、 结构、 维度、 方法等角度出发,由一类对象的已知特征推测另一类也具有这样的特征. 本节课主要以平面几何与立体几何的类比为载体,因此也特别注意从它们研究的对象出发, 建立平面内点、直线、平面图形与空间元素的对应关系. 2.确定合适的类比对象 进行类比推理时,合理的确定类比对象是非常重要的,否则会使类比成为“乱比”.这部分 内容对学生要求较高,本节课通过对正方形、长方形等平面图形的特征,尤其是图形蕴含的 位置关系和数量关系的分析,使学生初步感受和体会寻找类比对象的方法. 教学过程:

(一)创设问题情 境

问题 1:大家知道锯子是谁发明的吗?是怎么发明的? 学生活动: 春秋时期的公输班也就是鲁班发明的, 是他受到路边的齿形草能割破行人退的启 发。 问题 2:大家谈谈他受到了什么样的启发?也就是齿形草和锯子之间有什么相似之处? 学生活动:齿形草能割破行人的腿,做一个形状相似的工具就能锯开木头,它们在形状上相 似,功能上也相似。 问题 3:这个推理过程是归纳推理吗?如果不是,那是什么推理方式呢? 教师提出类比思想, 聪明的公输班在这里所使用的方法称为类比, 这种仿照生物机制的类比, 到了近代,便发展成了一门新兴科学,即所谓的近代仿生学,同学们能否举一些仿 照生物机制类比的发明创造呢? 学生活动:飞机与蜻蜓在形状上相似,雷达与蝙蝠,潜水艇仿照鱼类等等。 【设计意图】从学生感兴趣的问题入手,复习归纳推理的基础上提出另一种不同的推理 方法,请同学参与讨论,并感受这种推理方法与归纳推理的区别,辨析概念的同时挖掘 类比推理的含义和特点. 启发调动学生积极思考, 初步理解类比推理的含义.寻找类比推 理在生活和学习中的应用,通过对所举例子的辨析加深学生对概念的理解. (二)新课探究:

德国著名数学家、天文学家开普勒曾经说过:“我珍视类比胜过任何别的东西,它是

我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密”。
约翰尼斯·开普勒(Johannes Kepler,1571 年 12 月 27 日-1630 年 11 月 15 日),生于符腾堡的威尔 德斯达特镇,卒于雷根斯堡 。德国杰出的天文学家、物理学家、数学家。 开普勒就读于图宾根大学,1588 年获得学士学位,三年后获得硕士学位。当时大多数科学家拒不接 受哥白尼的日心说。在图宾根大学学习期间,他听到对日心学说所做的合乎逻辑的阐述,很快就相信了这 一学说。 1630 年 11 月 15 日,约翰尼斯·开普勒在神圣罗马帝国巴伐利亚公国雷根斯堡病故,享年 58 岁 。 开普勒发现了行星运动的三大定律,分别是轨道定律、面积定律和周期定律。这三大定律可分别描 述为:所有行星分别是在大小不同的椭圆轨道上运行;在同样的时间里行星向径在轨道平面上所扫过的面积 相等;行星公转周期的平方与它同太阳距离的立方成正比。 这三大定律最终使他赢得了"天空立法者"的美名。 同时他对光学、数学也做出了重要的贡献,他是现代实验光学的奠基人。

那我们今天就用以前学习的知识和方法进入类比的殿堂吧。 首先, 请同学们回忆高中所学 知识,哪些知识可以放在一起进行类比呢? 学生活动:等式与不等式,平面上的圆与空间中的球,等差数列与等比数列,平面几何与立 体几何,椭圆与双曲线,平面向量与空间向量等。大家根据自己的直觉提出了这么多可以进 行类比的知识,那么我们就选几个展开看看,它们为什么可以进行类比,具体怎样类比? (三)应用举例 例 1、利用圆的性质类比得出球的性质 圆的概念和性质 圆的周长 S = 2πR
2 圆的面积 S =πR

球的概念和性质 球的表面积 S = 4πR 球的体积
V= 4 πR 3 3
2

圆心与弦(非直径)中点连线垂直于弦

球心与不过球心的截面(圆面)的圆心的连线 垂直于截面

与圆心距离相等的两弦相等

与球心距离相等的两截面面积相等

与圆心距离不相等的两弦不相等 , 距圆心较 近的弦较长 以点(x0 , y0)为圆心, r 为半径的圆的方程为 (x-x0) +(y-y0) = r
2 2 2

与球心距离不相等的两截面面积不相等 , 距 球心较近的面积较大 以点 (x0,y0,z0) 为球心 , r 为半径球方程为 (x-x0) +(y-y0) +(z-z0) = r
2 2 2 2

例 2、利用平面向量的性质类比空间向量的性质 平面向量 空间向量
b ? (b1 , b2 )

a ? (a1 , a2 )
① ② ③

a ? (a1 , a2 , a3 ) b ? (b1 , b2 , b3 )
① a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ② ③ ④
a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 )

a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 )
a ? b ? (a1 ? b 1 , a2 ? b 2)

? a ? (?a1 , ?a2 )(? ? R)

? a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 )(? ? R)
a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3

1 ? a2b 2 ④ a ? b ? a1b

⑤ ⑥ ⑦

a // b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 (? ? R)
a ? b ? a1b 1 ? a2b 2 ? 0

⑤ a // b ? a1 ? ? b1 , a2 ? ? b2 , a3 ? ? b3 (? ? R) ⑥ ⑦

a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0
| a |?
2 2 2 a1 ? a2 ? a3

| a |?

2 2 a1 ? a2

(四)概念建构: 类比推理的定义: 由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同; 或其中一类对象的某些已知特征, 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 (简 称类比)简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理。 类比推理的步骤: (1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征, (2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想, (3)检验猜想:即“观察,比较” 类比推理的几个特点: (1)类比是从人们已掌握的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧的认识为基础, 类比出新的结果. (2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性. “联想,类推” “猜测新结论”

(3)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却有发现的功能.

练习 1: 如上图类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想(具体推

理过程)

直角三角形

3 个面两两垂直的四面体

∠C=90° 3 个边的长度 a,b,c 2 条直角边 a,b 和 1 条斜边 c

∠PDF=∠PDE=∠EDF=90° 4 个面的面积 S1,S2,S3 和 S 3 个“直角面” S1,S2,S3 和 1 个“斜面” S

练习 2:试找出等差数列与等比数列的类比知识 等差数列 定义 通项公式 等比数列

an ? an?1 ? d(n ? 2)

an : an?1 ? q (n ? 2)

an ? a1 ? (n ? 1)d an ? am ? (n ? m)d
Sn ? n( a1 ? an ) 2 n( n ? 1) ? na1 ? d 2
a?b 2

an ? a1q n?1

an ? am qn?m
(q ? 1) ?na1 ? Sn ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1 ? q (q ? 1) ?
当且仅当 a 、 b 同号时才有等比中 项 ,为

前 n 项和

中项

任意实数 a、b 都有等差中项 ,为

? ab

性质

下标等差,项等差

下标等差,项等比

an ? am ? 2a n? m
2

an ? am ? a n2? m
2

Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m
成等差数列

Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m
成等比数列

【设计意图】等差与等比数列是学生比较熟悉的可以进行类比的知识,所以直接教给学生,

由学生发挥,让他们体会类比推理的过程和获得新知的过程,以最大热情投入到课堂中来。 (五)课堂小结: 类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题。 -----数学

家波利亚 (六)作业布置:课本 P30 练习第 3 题,P35 习题 2.1A 组第 5、6 题 (七)板书设计 (八)课后反思 通过本节课的教学,使学生在达到本节课的教学目标的基础上,能深刻体会到数学是 生动的、有趣的。数学的本质并非仅仅是解决问题,更重要的是发现问题。


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