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福建省厦门外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

时间:2016-07-26


福建省厦门外国语学校 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 a=3, b=4, C=120°, 则△ ABC 的面积是() A.3 B. C. 6 D. 2. (5 分)若 a、b、c∈R,且 a>b,则下列不等式一定成立的是() A.ac>bc B. >0 C.(a﹣b)c ≥0
2

D. <

3. (5 分)不等式﹣x ﹣5x+6≥0 的解集为() A.{x|x≥6 或 x≤﹣1} B.{x|﹣1≤x≤6} C.{x|﹣6≤x≤1}

2

D.{x|x≤﹣6 或 x≥1}

4. (5 分)a>0,b>0,A 是 a,b 的等差中项,G 是 a,b 的正的等比中项,A,G 大小关系 是() A.A≥G B. A≤G C. A=G D.A,G 大小不能确定 5. (5 分)在△ ABC 中,a=3,A=30°,B=15°,则 c=() A.1 B. C.

D.

6. (5 分)已知等差数列{an}中,a6=5,则数列{an}的前 11 项和 S11 等于() A.22 B.33 C.44 D.55 7. (5 分)原点和点(1,1)在直线 x+y﹣a=0 两侧,则 a 的取值范围是() A.0≤a≤2 B.0<a<2 C.a=0 或 a=2 D.a<0 或 a>2 8. (5 分)已知等比数列{an}中,a1+a2+a3=40,a4+a5+a6=20,则前 9 项之和等于() A.50 B.70 C.80 D.90 9. (5 分)已知△ ABC 满足 c=2acosB,则△ ABC 的形状是() A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 10. (5 分)下列命题正确的是() A. 3 2 B. 对任意的实数 x,都有 x ≥x ﹣x+1 恒成立.

C.

的最小值为 2

D.y=2x(2﹣x) , (x≥2)的最大值为 2

11. (5 分)若 A 为不等式组

表示的平面区域,则当 a 从 1 连续变化到 2,动直

线 x+y=a 扫过 A 中那部分区域的面积为() A.2 B. 1 C. D.

12. (5 分)将正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵.根据这个排列规则,数阵 中第 20 行从左至右的第 4 个数是()

A.580

B.577

C.576

D.574

二、填空题:本大题 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置. 13. (4 分)记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比 q=2,则 =.

14. (4 分)函数 y=x+

(x>1)的最小值是.

15. (4 分)数列{an}的通项公式 an=ncos

+1,前 n 项和为 Sn,则 S2014=.

16. (4 分)某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第一名得全部奖金的一半多一万元, 第二名得余下的一半多一万元,以名次类推都得到余下的一半多一万元,到第十名恰好分完, 则此单位共拿出万元资金进行奖励.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知等比数列{an}的公比为正数,且 a1=2,a3=a2+4. (1)求{an}的通项公式; (2)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an?bn}的前 n 项和 Sn.

18. (12 分)已知△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2. (1)若 b=2 ,角 A=30°,求角 B 的值; (2)若△ ABC 的面积 S△ ABC=3, ,求 b,c 的值.

19. (12 分)某小型餐馆一天中要购买 A,B 两种蔬菜,A,B 蔬菜每公斤的单价分别为 2 元 和 3 元.根据需要,A 蔬菜至少要买 6 公斤,B 蔬菜至少要买 4 公斤,而且一天中购买这两 种蔬菜的总费用不能超过 60 元. (1) 写出一天中 A 蔬菜购买的公斤数 x 和 B 蔬菜购买的公斤数 y 之间的满足的不等式组; 并 在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域(用阴影表示) , (2)如果这两种蔬菜加工后全部卖出,A,B 两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为 2 元和 1 元,餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大,利润最大为多少元?

20. (12 分)已知关于 x 的不等式 ax ﹣(a+1)x+b<0 (1)若不等式的解集是{x|1<x<5},求 a+b 的值; (2)若 a≠0,b=1,求此不等式的解集. 21. (12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=9n﹣n . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= (n∈N ) ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若对任意的 n∈N ,均有 Tn
+ + 2

2



,求 m 的取值范围.

22. (14 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, . (1)确定角 B 的大小; (2)若∠ABC 的角平分线 BD 交线段 AC 于 D,且 BD=1,设 BC=x,BA=y. (ⅰ)试确定 x 与 y 的关系式; (ⅱ)记△ BCD 和△ ABD 的面积分别为 S1、S2,问当 x 取何 值时, + 的值最小,最小值是多少?

福建省厦门外国语学校 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 a=3, b=4, C=120°, 则△ ABC 的面积是() A.3 B. C. 6 D. 考点: 专题: 分析: 解答: 正弦定理. 解三角形. 由 a,b 及 sinC 的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 解:∵a=3,b=4,C=120°, =3 .

∴S△ ABC= absinC= ×3×4×

故选 B 点评: 此题考查了三角形的面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握面积公式是解 本题的关键. 2. (5 分)若 a、b、c∈R,且 a>b,则下列不等式一定成立的是() A.ac>bc B. >0 C.(a﹣b)c ≥0
2

D. <

考点: 专题: 分析: 解答:

不等式的基本性质. 不等式的解法及应用. 利用不等式的基本性质判断每个答案中不等式是否成立,即可得到答案. 解:A.当 c=0 时,ac>bc 不成立; =0,故
2

B.当 c=0 时,

>0 不成立;
2

C.∵a>b,∴a﹣b>0,又 c ≥0,∴(a﹣b)c ≥0,成立. D.当 a,b 异号时,a>b? ? < ? > ,故 D 不成立

综上可知:只有 C 成立. 故选:C. 点评: 本题考查了不等式的基本性质,属于基础题.

3. (5 分)不等式﹣x ﹣5x+6≥0 的解集为() A.{x|x≥6 或 x≤﹣1} B.{x|﹣1≤x≤6} C.{x|﹣6≤x≤1}

2

D.{x|x≤﹣6 或 x≥1}

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 2 2 2 分析: ﹣x ﹣5x+6≥0 可化为 x +5x﹣6≤0,求出方程 x +5x﹣6=0 的两根,借助二次函数的图 象可求得不等式的解集. 解答: 解:﹣x ﹣5x+6≥0 即 x +5x﹣6≤0, 2 方程 x +5x﹣6=0 的两根为 1,﹣6, 2 又 y=x +5x﹣6 的图象开口向上, 2 ∴x +5x﹣6≤0 的解集为{x|﹣6≤x≤1}, 故选 C. 点评: 本题考查一元二次不等式的解法,属基础题,深刻理解“三个二次”间的关系是解决问 题的关键. 4. (5 分)a>0,b>0,A 是 a,b 的等差中项,G 是 a,b 的正的等比中项,A,G 大小关系 是() A.A≥G B. A≤G C. A=G D.A,G 大小不能确定 考点: 基本不等式;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差中项和等比中项的概念把 A 和 G 用含有 a,b 的代数式表示,然后利用基本不 等式比较大小. 解答: 解:∵a>0,b>0,且 A 是 a,b 的等差中项,G 是 a,b 的正的等比中项, ∴ ,G= . .
2 2

由基本不等式可得:

故选:A. 点评: 本题考查了等差数列和等比数列的性质,考查了等差中项和等比中项的概念,训练 了利用基本不等式进行实数的大小比较,是基础题. 5. (5 分)在△ ABC 中,a=3,A=30°,B=15°,则 c=() A.1 B. C. 考点: 专题: 分析: 解答:

D.

正弦定理. 计算题;解三角形. 求出 C 角,利用正弦定理直接求出 c 的值即可. 解:因为在△ ABC 中,a=3,A=30°,B=15°,所以 C=135°,

由正弦定理

,∴c=

=

=



故选 C. 点评: 本题考查三角形的两角和以及正弦定理的应用,考查计算能力. 6. (5 分)已知等差数列{an}中,a6=5,则数列{an}的前 11 项和 S11 等于() A.22 B.33 C.44 D.55 考点: 专题: 分析: 解答: S11= 等差数列的前 n 项和. 等差数列与等比数列. 由等差数列的求和公式和性质可得:S11=11a6,代入已知数据化简可得. 解:由等差数列的求和公式可得: =

=11a6=11×5=55 故选 D 点评: 本题考查等差数列的求和公式和性质,属基础题. 7. (5 分)原点和点(1,1)在直线 x+y﹣a=0 两侧,则 a 的取值范围是() A.0≤a≤2 B.0<a<2 C.a=0 或 a=2 D.a<0 或 a>2 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据二元一次不等式表示平面区域, 以及处在区域两侧的点的符号相反求解 a 的取值 范围. 解答: 解:∵原点和点(1,1)在直线 x+y﹣a=0 两侧, ∴(0+0﹣a) (1+1﹣a)<0, 即 a(a﹣2)<0, 解得 0<a<2, 故选:B. 点评: 本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识,比较基础. 8. (5 分)已知等比数列{an}中,a1+a2+a3=40,a4+a5+a6=20,则前 9 项之和等于() A.50 B.70 C.80 D.90 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 2 分析: 设 a7+a8+a9=x,由题意知 20 =40x,解得 x=10,由等比数列的性质,分析可得答案. 解答: 解:设 a7+a8+a9=x, 2 由题意知 20 =40x, 解得 x=10. ∴S9=40+20+10=70. 故选 B. 点评: 本题考查等比数列的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用.

9. (5 分)已知△ ABC 满足 c=2acosB,则△ ABC 的形状是() A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 考点: 三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 分析: 在△ ABC 中,依题意,利用正弦定理可得 sinC=sin(A+B) =sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB,从而可求得 sin(A﹣B)=0,继而可得答案. 解答: 解:在△ ABC 中,∵c=2acosB, ∴由正弦定理 = =2R 得:2RsinC=2?2RsinAcosB,

∴sinC=sin[π﹣(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB, 整理得:sin(A﹣B)=0,又 A、B 分别为△ ABC 的内角, ∴A=B, ∴△ABC 的形状是等腰三角形, 故选:A. 点评: 本题考查三角形的形状判断,着重考查正弦定理的应用,考查诱导公式与两角和的 正弦的应用,属于中档题. 10. (5 分)下列命题正确的是() A. 3 2 B. 对任意的实数 x,都有 x ≥x ﹣x+1 恒成立. C. 的最小值为 2

D.y=2x(2﹣x) , (x≥2)的最大值为 2 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 必须对选项一一加以判断:对 A 运用分析法考虑;对 B 应用作差法考虑;对 C 应用 基本不等式考虑;对 D 应用二次函数的最值求得. 解答: 解:因为 ? ?

? ?70<42,显然不成立,所以 A 错; 3 2 3 2 2 2 因为 x ﹣(x ﹣x+1)=(x ﹣1)﹣(x ﹣x)=(x﹣1) (x +x+1)﹣x(x﹣1)=(x﹣1) (x +1) , 3 2 所以对任意的实数 x,x ﹣(x ﹣x+1)≥0 不恒成立,只有 x≥1,才恒成立,故 B 错; 因为 ≥

当且仅当 x=0 时 y 取最小值 2,所以 C 正确; 2 因为 y=2x(2﹣x)=﹣2(x﹣1) +2,当 x≥2 时,函数为减函数,x=2,y 取最大值 0,所以 D 错. 故选:C

点评: 本题主要考查不等式的性质和应用,运用基本不等式求最值,注意一正二定三等, 同时应掌握不等式证明的分析法和作差法,本题是一道中档题.

11. (5 分)若 A 为不等式组

表示的平面区域,则当 a 从 1 连续变化到 2,动直

线 x+y=a 扫过 A 中那部分区域的面积为() A.2 B. 1 C. D.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数对应的平面区域即可求区域面积. 解答: 解:作出不等式对应的平面区域如图: 当 a 从 1 连续变化到 2,动直线 x+y=a 扫过 A 中那部分区域对应的不等式为 1≤x+y≤2, 对应的平面区域如图阴影部分,



,解得



即 A(

) ,

∵C(0,1) ,B(0,2) , ∴三角形 ABC 的面积为 故选:D. ,

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. 12. (5 分)将正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵.根据这个排列规则,数阵 中第 20 行从左至右的第 4 个数是()

A.580

B.577

C.576

D.574

考点: 归纳推理. 专题: 规律型. 分析: 设各行的首项组成数列{an},根据数列项的特点推导出第 20 行的第一个数,然后加 9 即可得到第 20 行从左至右的第 4 个数. 解答: 解:设各行的首项组成数列{an}, 则 a2﹣a1=3,a3﹣a2=6,…,an﹣an﹣1=3(n﹣1) 叠加可得:an﹣a1=3+6+…+3(n﹣1)= ∴an= ∴a20= +1, =571 ,

∴数阵中第 20 行从左至右的第 4 个数是 571+9=580, 故选:A. 点评: 本题主要考查归纳推理的应用,利用数列项的特点,利用累加法求出每一行第一个 数的规律是解决本题的关键. 二、填空题:本大题 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置. 13. (4 分)记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比 q=2,则 = .

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由比数列的通项公式和求和公式,代入已知数据化简可得.

解答: 解:由题意可得

=

=

=

故答案为: 点评: 本题考查等比数列的通项公式和求和公式,属基础题. 14. (4 分)函数 y=x+ (x>1)的最小值是 5.

考点: 专题: 分析: 解答:

基本不等式. 不等式的解法及应用. 变形利用基本不等式即可得出. 解:∵x>1,∴x﹣1>0.

∴函数 y=x+

=(x﹣1)+

+1

=5,当且仅当 x﹣1=2,即 x=3

时取等号. 故答案为:5. 点评: 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题.

15. (4 分)数列{an}的通项公式 an=ncos

+1,前 n 项和为 Sn,则 S2014=1006.

考点: 数列的求和. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 通过求 cos 的值得到数列{an}的项的规律,发现数列{an}的每四项和为 6,求出前

2012 项的和,减去 2014 得答案. 解答: 解:因为 cos ∴ncos ∴ncos =0,﹣1,0,1,0,﹣1,0,1…;

=0,﹣2,0,4,0,﹣6,0,8…; 的每四项和为 2;

∴数列{an}的每四项和为:2+4=6. 而 2014÷4=503+2. ∴S2014=503×6﹣2014+2=1006. 故答案为:1006. 点评: 本题考查了数列的求和,解答此题的关键在于对数列规律性的发现,是中档题. 16. (4 分)某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第一名得全部奖金的一半多一万元, 第二名得余下的一半多一万元,以名次类推都得到余下的一半多一万元,到第十名恰好分完, 则此单位共拿出 2046 万元资金进行奖励. 考点: 数列的应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: 根据题意设第十名到第一名得到的奖金分别是 a1,a2,…,a10,由科研人员得到的奖 金为余下的一半多一万元,可得 an= Sn+1,再根据 an= 的通项公式,并能求和. 解答: 解:设第十名到第一名得到的奖金分别是 a1,a2,…,a10, 则 an= Sn+1 ∴a1=2,an﹣an﹣1= an ∴an=2an﹣1 则每人所得奖金数组成一个以 2 为首项,公比为 2 的等比数列, ,可求得该数列

所以 S10=

=2046

故答案为 2046. 点评: 此题是个中档题.考查根据实际问题抽象数列模型的能力,并能根据模型的解决, 指导实际生活中的决策问题,考查学生的阅读能力和分析解决问题的能力. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知等比数列{an}的公比为正数,且 a1=2,a3=a2+4. (1)求{an}的通项公式; (2)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an?bn}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等比数列的通项公式即可得出; (2)利用等差数列的通项公式可得 bn,再利用“错位相减法”即可得出. 解答: 解: (1)设数列{an}的公比为 q,且 q>0. 2 2 由 a1=2,a3=a2+4 得 2q =2q+4,化为 q ﹣q﹣2=0, 又 q>0,解得 q=2. ∴数列{an}的通项公式 .

(2)∵{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. ∴bn=1+(n﹣1)×2=2n﹣1. n ∴an?bn=(2n﹣1)×2 . ∴ ∴ 两式相减可得: …+(2n﹣3)×2
n﹣1

+(2n﹣1)×2 ,
n+1

n

+(2n﹣3)×2 +(2n﹣1)×2

n


n+1

﹣(2n﹣1)×2

= ∴ .

=(3﹣2n)×2

n+1

﹣6,

点评: 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、 “错位相减法”等基础 知识与基本技能方法,属于中档题. 18. (12 分)已知△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2. (1)若 b=2 ,角 A=30°,求角 B 的值; (2)若△ ABC 的面积 S△ ABC=3, ,求 b,c 的值.

考点: 余弦定理的应用;正弦定理.

专题: 解三角形. 分析: (1)利用正弦定理求出 sinB,根据 b>a,可得结论; (2)先计算 sinB,再利用三角形的面积公式求出 c,最后利用余弦定理可求 b 的值. 解答: 解: (1)根据正弦定理得,sinB= ∵b>a, ∴B>A=30°, ∴B=60°或 120°.…(6 分) (2)∵ >0,且 0<B<π, ═ .…(4 分)

∴sinB= …(8 分) ∵S△ ABC= acsinB=3, ∴ ,

∴c=5.…(10 分) ∴由余弦定理 b =a +c ﹣2accosB 得 …(12 分) 点评: 本题考查正弦定理、余弦定理的综合运用,考查学生的计算能力,正确运用正弦定 理、余弦定理是关键. 19. (12 分)某小型餐馆一天中要购买 A,B 两种蔬菜,A,B 蔬菜每公斤的单价分别为 2 元 和 3 元.根据需要,A 蔬菜至少要买 6 公斤,B 蔬菜至少要买 4 公斤,而且一天中购买这两 种蔬菜的总费用不能超过 60 元. (1) 写出一天中 A 蔬菜购买的公斤数 x 和 B 蔬菜购买的公斤数 y 之间的满足的不等式组; 并 在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域(用阴影表示) , (2)如果这两种蔬菜加工后全部卖出,A,B 两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为 2 元和 1 元,餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大,利润最大为多少元?
2 2 2

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;数形结合. 分析: (1)利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域

(2)利用线性规划的内容进行图象平移,然后确定目标函数是最值. 解答: 解: (1)依题意,A 蔬菜购买的公斤数 x 和 B 蔬菜购买的公斤数 y 之间的满足的不 等式组如下: …(3 分)

画出的平面区域如图.…(6 分) (2)设餐馆加工这两种蔬菜利润为 z 元,则目标函数为 z=2x+y…(7 分) ∵y=﹣2x+z∴z 表示过可行域内点斜率为﹣2 的一组平行线在 y 轴上的截距. 联立 解得 即 B(24,4)…(9 分)

∴当直线过点 B(24,4)时,在 y 轴上的截距最大, 即 zmax=2×24+4=52…(11 分) 答:餐馆应购买 A 蔬菜 24 公斤,B 蔬菜 4 公斤,加工后利润最大为 52 元.…(12 分)

点评: 本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识,以及线性规划的基本应用, 利用数形结合是解决此类问题的关键. 20. (12 分)已知关于 x 的不等式 ax ﹣(a+1)x+b<0 (1)若不等式的解集是{x|1<x<5},求 a+b 的值; (2)若 a≠0,b=1,求此不等式的解集. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)根据不等式的解集和对应方程之间的关系建立方程关系即可求解 a,b 的值; (2)根据一元二次不等式的解法解不等式即可. 解答: 解: (1)∵不等式的解集是{x|1<x<5}, 2 ∴a>0,且 1 和 5 是方程 ax ﹣(a+1)x+b=0 的两根, ∴ 解得 ∴ .
2 2

, ,

(2)若 a≠0,b=1,此不等式为 ax ﹣(a+1)x+1<0, ∴(ax﹣1) (x﹣1)<0, ∴ ,

①若 ②若 ③若 ④若

,此不等式解集为 ,此不等式解集为?, ,此不等式解集为 ,此不等式解集为



, .

点评: 本题主要考查一元二次不等式的解法,利用一元二次方程和一元二次不等式之间的 关系是解决本题的关键对应含有参数的不等式要对参数进行讨论. 21. (12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=9n﹣n . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= (n∈N ) ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若对任意的 n∈N ,均有 Tn
+ + 2



,求 m 的取值范围.

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)当 n=1 时,可求得 a1=S1=8;当 n≥2 时,可求得 an=Sn﹣Sn﹣1=﹣2n+10,检验后 知 n=1 时适合,从而可得数列{an}的通项公式; (2) 由 an=10﹣2n, 利用裂项法可求得 bn= ( ﹣ ) , 从而 Tn= (1﹣ ) , Tn>

恒成立?(Tn)min> 即可求得 m 的取值范围.

,当 n=1 时, (Tn)min= ,从而通过解不等式 >

解答: 解: (1)当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=9n﹣n ﹣(﹣n +11n﹣10)=﹣2n+10…(5 分) 又 a1=S1=8,适合上式 …(6 分) * 所以 an=10﹣2n(n∈N )…(7 分) (2)因为 bn= = ( ﹣ )…(10 分) )= (1﹣ )…(12 分)

2

2

所以 Tn= (1﹣ + ﹣ +…+ ﹣
*

又因为对任意的 n∈N ,Tn>

恒成立,

所以(Tn)min>

…(13 分)

因为当 n=1 时, (Tn)min= ,所以 >

…(14 分)

解之得 1<m<2 …(16 分) 点评: 本题考查数列的求和,着重考查裂项法求和与函数恒成立问题,考查推理分析与抽 象思维能力,属于难题. 22. (14 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, . (1)确定角 B 的大小; (2)若∠ABC 的角平分线 BD 交线段 AC 于 D,且 BD=1,设 BC=x,BA=y. (ⅰ)试确定 x 与 y 的关系式; (ⅱ)记△ BCD 和△ ABD 的面积分别为 S1、S2,问当 x 取何 值时, + 的值最小,最小值是多少?

考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (1)根据正弦定理得到 bsinA=asinB,与题中的等式加以比较得 sinB=﹣ 可得 (2) (i) 根据 ,结合 0<B<π,可得 ;

cosB,

且 BD 平分角∠ABC, 得到∠ABD=∠CBD=

, 由 S△ ABC=S△ BCD+S△ ABD

利用三角形的面积公式,可得关于 x、y 的等式,化简整理可得 xy=x+y,即为所求 x 与 y 的关 系式; (ii)利用三角形的面积公式算出 S1= x,可得 = ,同理可得 = .由此得

到用 x、y 表示

+

的式子,化简得

+

)=

.再根据

xy=x+y 利用基本不等式算出 xy≥4,代入前面的表达式,即可得到当 x=2 时

+

的值

最小为 . 解答: 解: (1)∵在△ ABC 中,根据正弦定理得 ∴bsinA=asinB. 又∵由已知得 ∴sinB=﹣ cosB,可得 ∵在△ ABC 中,0<B<π, ∴ ; , , ,

(2) (ⅰ)∵BD 为∠ABC 的平分线, ∴∠ABD=∠CBD= .

∵S△ ABC=S△ BCD+S△ ABD,BD=1、BC=x 且 BA=y. ∴ 即 = x?sin + xy?sin ,

,化简得 xy=x+y,即为所求 x 与 y 的关系式;

(ⅱ)由(i)可得:在△ BCD 中,S1= ×1×x× ∴S1 =
2

= =

x, .

x ,可得

2

=

.同理可得



+

=



=

×

=

×

=

×

=



又∵x>0,y>0. ∴ 由此可得 ∴ 因此, ,可得 + = × 当且仅当 x=y 时等号成立. 即 xy≥4. ,整理得 ≥ × .

又∵当 x=y 时,△ ABC 为等腰三角形, ∴此时∠A=∠C= ∴在△ BCD 中,∠BDC= ∴BC=2BD=2,可得 x=2 综上所述,当 x=2 时, + 的值最小为 . ,∠C= ,

点评: 本题给出△ ABC 中满足的边角关系式,求角 B 的大小并依此求关于三角形的面积式 子的最小值.着重考查了正弦定理、同角三角函数的关系、利用基本不等式求最值和解三角形 的应用等知识,属于中档题.


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