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全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编4 平面向量 理

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2013 届全国各地高考押题数学(理科)精选试题分类汇编 4:平 面向量
一、选择题 1 . (2013 新课标高考压轴卷(一)理科数学)已知 a ? (1, 2), 2a ? b ? (3,1) ,则 a ? b ? A. 2 【 答 案 】 D B. 3 C. 4 D. 5 ? ? ? a ? (1, 2), 2a ? b ? (3,1)

?

? ?

? ?





【 解 析 】 因 为

,



以 D.

? ? ? ? b ? 2a ? (3,1) ? 2(1, 2)? (3,1) ? ? ( 1, 3) ,所以 a ? b ? (1, 2) ? (?1,3) ? ?1 ? 2 ? 3 ? 5 ,选
2 . (2013届湖南省高考压轴卷数学(理)试题)已知两个非零向量 a 与 b ,定义

a ? b ? a b sin ? ,其中 ? 为 a 与 b 的夹角.
若 a = ? ?3, 4 ? , b = ? 0, 2 ? ,则 a ? b 的值为 A. ?8 B. ?6 C.8 D.6 【答案】D 3 . ( 2013 届 重 庆 省 高 考 压 轴 卷 数 学 理 试 题 ) 如 题 (8) 图 , 在 四 边 形 ABCD 中 , AB ? BD ? DC ? 4 , AB ?BD ? BD ?DC ? 4 , AB?BD ? BD?DC ? 0 , 则 ( )

??? ?

??? ?

????

??? ? ??? ?

??? ? ????

??? ? ??? ?

??? ? ????

??? ? ???? ???? ( AB ? DC )?AC 的值为
D C

A

B 题(8)图 B. 2 2 C. 4 D. 4 2





A. 2 【答案】C

4 . (2013 届陕西省高考压轴卷数学(理)试题)已知向量 a , b 满足 | a |? 1,b ? (1, ? 3) , 且 a ? a ? b ,则 a 与 b 的夹角为

?

?

? ?

A . 60 ?

B . 90 ?

C . 120 ?
?

D . 150?

【答案】C【解析】由 a ? a ? b 得 a ? a ? b ? 0 , 1 ? 1? 2 cos ? ? 0, 所以 ? ? 120?. 5 . (2013 届山东省高考压轴卷理科数学)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任
1

?

? ?

?

?2

? ?

意的 a=(m,n),b=(p,q),令 a⊙b= mq -np,下面说法错误的是 ( A.若 a 与 b 共线,则 a⊙b =0 B.a⊙b =b⊙a 2 2 C.对任意的 ? ? R,有( ? a)⊙b = ? (a⊙b) D . (a⊙b) +(a·b) = 2 2 |a| |b| 【答案】 【解析】 B 由定义知:a⊙b= mq-np:所以选项 A 正确;又 b⊙a=pn-mq≠a⊙b= mq-np, 所以选项 B 错误;( ? a)⊙b= ? mq ? ? np , ? (a⊙b)= 对 任 意 的 ? ? R, 有 ( ? a)⊙b 2 2 2 2 确;(a⊙b) +(a·b) =( mq-np) +( mp+nq) = =



? ( mq-np)= ? mq ? ? np ,所以

?

(a⊙b), 选 项

C



m2 q 2 ? n2 p 2 ? m2 p 2 ? n2 q 2

,|a| |b| =

2

2

?m

2

? n 2 ?? p 2 ? q 2 ? ? m 2 q 2 ? n 2 p 2 ? m 2 p 2 ? n 2 q 2 ,
2 2 2 2

所以(a⊙b) +(a·b) = |a| |b| ,因此 D 正确. 6 . (2013 届江西省高考压轴卷数学理试题)定义平面向量之间的一种运算“ ? ”如下,对 任意的 a=(m,n) , b ? (p,q) ,令

?

?

? ? a ? b=mq-np ,下面说法错误的是
A.若 a 与 b 共线,则 a ? b=0 C . 对 任 意 的

( B. a ? b=b ? a



?

?

?

?

?

? ?

?
? ? (? a) ? b=? ( ? ? ? ? a ? b)

? ?R
?

,



D. (a ? b) 2 +(ab) 2 =|a|2 |b|2 【答案】B 【解析】若 a 与 b 共线,则有 a ? b=mq-np=0 ,故 A 正确;因为 b ? a ? pn-qm ,而

?

??

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? a ? b=mq-np ,所以有 a ? b ? b ? a ,故选项 B 错误,故选

B.

7. (2013 届新课标高考压轴卷(二)理科数学)已知向量 a ? (1, 2), b ? (1, 0), c ? (3, 4) .若

? 为实数, (b ? ? a ) ? c ,
则? ? A. ? ( B. ? )

3 11

11 3

C.

1 2
? ? ? ?

D.

3 5
? ?

【答案】A 8 . (2013 届广东省高考压轴卷数学理试题)称 d (a, b) ?| a ? b | 为两个向量 a, b 间的距离. 若 a、 b 满足:① |b|=1; ② a ? b ; ③对任意的 t ? R, 恒有 d (a, tb) ? d (a, b) ,则

? ?

?

?

?

? ?

? ?





2

A. (a ? b) ? (a ? b)

?

?

? ?

B. b ? ( a ? b )

?

? ?

C. a ? b

?

?

D. a ? (a ? b)

?

? ?

【答案】B 考察向量减法的三角法则,以及向量模的几何意义. 对 任 意 的 t ? R, 恒 有 d ( a, tb) ? d ( a, b) , 表 明 d ( a, b) ?| a ? b | 是 所 有

? ?

? ?

? ?

? ?

? ? ? ? ? ? ? d (a, tb) ?| a ? tb | 中最短的一个,而垂线段最短,故有 b ? (a ? b)
二、填空题 9 . ( 2013 届 江 苏 省 高 考 压 轴 卷 数 学 试 题 ) △ABC 外 接 圆 的 半 径 为 1 , 圆 心 为 O , 且

??? ? ??? ? ???? ? ??? ??? ? ??? ? ? ??? ? 2OA ? AB ? AC ? 0 , | OA |?| AB | ,则 CA ? CB 的值是______.
【答案】 3 10. (2013 届辽宁省高考压轴卷数学理试题) 已知 O 为△ABC 的外心, | AB |? 16, | AC |? 10 2 , 若 AO ? x AB ? y AC ,且 32x+25y=25,则 | OA | ==_____. 【答案】10 11 . ( 2013 届 天 津 市 高 考 压 轴 卷 理 科 数 学 ) 以 下 命 题 :① 若 | a ? b |?| a | ? | b | , 则
?

? ?

?

?

? ? ? ? 1 a ∥ b ;② a =(-1,1)在 b =(3,4)方向上的投影为 ;③若△ABC 中,a=5,b =8,c =7,则 5 ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? BC · CA =20;④若非零向量 a 、 b 满足 | a ? b |?| b | ,则 | 2b |?| a ? 2b | .其中所有真命
题的标号是______________ 【答案】①②④ 【 解 析 】 由 | a ? b |?| a | ? | b | cos ? a, b ? ?| a | ? | b | , 所 以 cos ? a, b ?? ?1 , 即

? ?

?

?

? ?

?

?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? a, b ?? 0 或 ? a, b ?? ? , 所 以 a ∥ b , 所 以 ① 正 确 . a 在 b 方 向 上 的 投 影 为 ? ? ? ? ? 52 ? 82 ? 7 2 1 a? b ?3 ? 4 1 ? ,即 C ? 60? . a cos ? a, b ?? ? ? ? ,所以②正确. cos C ? 2? 5?8 2 5 5 b
? ? 1 2 ?2 ? ? ? ? ?2 ?2 ? 2 ? ? ?2 ? ? ? 得 , a ? 2a ? b ? 0 , 即 2a ? b ? ?a , 若 | 2b |?| a ? 2b | , 则有 4b ? a ? 4a ? b ? 4b , 即
所 以 BC ? CA ? BC ?CA cos120? ? 5 ? 8 ? (? ) ? ?20 , 所 以 ③ 错 误 . 由 | a ? b |?| b |

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

?2 ? ? ?2 ?2 ?2 a ? 4a ? b ? a ? 2a ? ?a ? 0 ,显然成立,所以④正确.综上真命题的标号为①②④.
12. (2013 届浙江省高考压轴卷数学理试题)P 是圆 C: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 上的一个动

OA 的最小值为______ 点,A( 3 ,1),则 OP ?
【答案】2( 3 -1)

??? ? ??? ?

3

【解析】如图:作 PQ?OA 于 Q,CD?OA 于 D,根据向量数量积的几何意义得

??? ? ??? ? OP? OA min=|OA|?|OQ|min=|OA|?|OT|=2 (|OD|-1)=2( 3 -1)
13. (2013 届北京市高考压轴卷理科数学) 已知 a =(3,2), b =(-1,0),向量 ?a + b 与 a -2 b 垂 直,则实数 ? 的值为_________ 【答案】1 【解析】 ? a ? b ? (3? ? 1, 2? ), a ? 2b ? (?1, 2) , 因为向量 ?a + b 与 a -2 b 垂直 , 所以

?

?

?

?

? ? ? ? (? a ? b)?(a ? 2b) ? 0 ,即 ?3? ? 1 ? 2? ? 0 ,解得 ? ? 1 .
14 .( 2013 届 上 海 市 高 考 压 轴 卷 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 在 直 角 三 角 形 ABC 中 , ?ACB ? 90 , AC ? BC ? 2 , 点 P 是 斜 边 AB 上 的 一 个 三 等 分 点 , 则
?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CP ? CB ? CP ? CA ? _______________.
【答案】 4 【解析】由题意知三角形为等腰直角三角形 .因为 P 是斜边 AB 上的一个三等分点,所 以 AP ?

??? ?

? 1 ??? AB , 3

所以 CP ? CA ? AP ? CA ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 1 ??? ? ??? ? 1 8 AB ,所以 CP ? CA ? CA ? AB ? CA ? 4 ? ? 2 2 ? 2cos135? ? , 3 3 3 3
, 所 以

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 4 CP ? CB ? CA ? CB ? AB ? CB ? ? 2 2 ? 2 cos 45? ? 3 3 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 8 4 CP ? CB ? CP ? CA ? ? ? 4 . 3 3

4

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