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2012年高考试题分项解析数学(理科)专题08 立体几何(教师版)

时间:2014-05-17


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2012 年高考试题分项解析数学(理科) 专题 08 立体几何(教师版)
一、选择题: 1.(2012 年高考广东卷理科 6)某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为( )

2. (2012 年高考北京卷理科 7)某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是(



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3. (2012 年高考福建卷理科 4)一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几 何体不可以是( A.球 ) B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱

4.(2012 年高考浙江卷理科 10)已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 角线 BD 所在的直线进行翻着,在翻着过程中,( A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 )

2

.将 ? ABD 沿矩形的对

D.对任意位置,三直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直 【答案】B 【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可知选 项 C 是正确的 .

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6. (2012 年高考湖北卷理科 10)我国古代数 学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺 数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径,“开立圆术 ”相当于给出了已知 球的体积 V,求其直径 d 的一个近似公式 d ?
3

16 9

V

.人们还用过一些类似的近似公式。根据 )
3

x=3.14159…..判断,下列近似公式中最精确的一个是( A. d ?
3

16 9

V

B. d

?

3

2V

C. d ?

300 157

V

D. d ?

3

21 11

V

7. (2012 年高考湖南卷理科 3)某几何体的正视图 和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯 视图不可能是( )

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8.(2012 年高考新课标全国卷理科 7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某 几何体的三视图,则此几何体的体积为(
( A) 6 (B) 9 ( C ) ??


( D ) ??

9.(2012 年高考新课标全国卷理科 11)已知三棱锥 S ? A B C 的所有顶点都在球 O 的求面上,
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? A B C 是边长为 1 的正三角形, S C 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为(
2 6 3 6 2 3 2 2



( A)

(B)

(C )

(D )

10.(2 012 年高考江西卷理科 10)如右图,已知正四棱锥 S ? A B C D 所有棱长都为 1,点 E 是侧棱 SC 上一动点,过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分,记
SE ? x (0 ? x ? 1), 截面下面部分的体积为 V ( x ), 则函数 y ? V ( x ) 的图像大致为(



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11.(2012 年高考安徽卷理科 6)设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 a 在平面 ? 内,直线
b 在平 面 ? 内,且 b ? m ,则“ ? ? ? ”是“ a ? b ”的(
( A ) 充 分不必要条件 ( C ) 充要条件



( B ) 必要不充分条件 ( D ) 即不充分不必要条件

【答案】 A 【解析】 ? ? ? , b ? m ? b ? ? ? b ? a ① ②如果 a / / m ; a ? b 与 b ? m 条件相同. 则

12. (20 12 年高考陕西卷理科 5)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 ,
C A ? C C 1 ? 2 C B ,则直线 B C 1 与直线 A B1 夹角的余弦值为(
5 5 5 3 2 5 5
3 5



(A)

(B)

(C)

(D)

13. (2012 年高考四川卷理科 6) 下列命题正确的是(



A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
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B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

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15 . (2012 年 高 考 全 国 卷 理 科 4) 已 知 正 四 棱 柱 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中 ,
A B? 2 , C 1 C ? 2 2 为 C C 1 的中点,则直线 A C 1 与平面 B E D 的距离为( ,E



A.2

B.

3

C. 2

D.1

16.(2012 年高考重庆卷理科 9)设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长 为 a 的棱与长为 2 的棱异面,则 a 的取值范围是( (A) (0, 2 ) 【答案】A 【解析】取长 2 的棱的中点与长为 a 的端点 B , C ;则 A B ? A C ?
2 2 ? a ? BC ?

) (D) (1, 3 )
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(B) (0, 3 )

(C) (1, 2 )

2.

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二、填空题: 1. (2012 年高考辽宁卷理科 13)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ______________。

2.(2012 年高考辽宁卷理科 16)已知正三棱锥 P ? ABC, P, B, 都在半径为 3 点 A, C 的求面上,若 PA,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为_______.

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3. (2012 年高考江苏卷 7) 如图, 在长方体 ABCD ? A 1 C 1 1 中,A B ? A D ? 3cm ,A A1 ? 2cm , B1 D 则四棱锥 A ? BB 1 D 1 D 的体积为 cm3.

4.(2012 年高考天津卷理科 10)―个几何体的三视图如图所示(单位: m ),则该几何体的体 积为
m .
3

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6.(2012 年高考山东卷理科 14)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点,则三棱锥 D1-EDF 的体积为____________。

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7.(2012 年高考安徽卷理科 12)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是 _____

8.(2012 年高考上海卷理科 8)若一个圆锥的侧面展开图是面积 为 2 ? 的半圆面,则该圆锥的体积为 .

9.(2012 年高考上海卷理科 14)如图, AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱,
BC ? 2 , AD ? 2 c , AB ? BD ? AC ? CD ? 2 a , c 若 且 其中 a 、 为常数, 则四面体 ABCD

的体积的最大值是

.

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11.(2012 年高考全国卷理科 16)三菱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等, BAA1=CAA1=60°则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________.

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三、解答题: 1. (2012 年高考江苏卷 16) (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中, A1 B1 ? A1C 1 , D ,E 分别是棱
B C ,C C 1 上的点(点 D 不同于点 C),且 A D ? D E ,F 为 B1 C 1 的中

点.

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求证:(1)平面 A D E ? 平面 B C C 1 B1 ; (2)直线 A1 F / / 平面 ADE.

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2. (2012 年高考广东卷理科 18)(本小题满分 13 分) 如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE。

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3.(201 2 年高考北京卷理科 16)(本小题共 14 分) 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (I)求证:A1C⊥平面 BCDE;
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(II)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (III)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由

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4 . (2012 年高考湖北卷理科 19)(本小题满分 12 分) 如图 1,∠ACB=45°,BC=3,过动点 A 作 AD⊥BC,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B,连 接 AB,沿 AD 将△ABD 折起,使∠BDC=90°(如图 2 所示), (1)当 BD 的长为多少时,三棱锥 A-BCD 的体积最大; (2)当三棱锥 A-BCD 的体积 最大时,设点 E,M 分别为棱 BC,AC 的中点,试在棱 CD 上确定一点 N,使得 EN⊥BM,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小

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5. (2012 年高考福建卷理科 18)(本小题满分 13 分) 如 图 , 在 长 方 体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中 ,
AA 1 ? AD ? 1 , E 为 CD 中点。

(Ⅰ)求证: B 1 E ? AD 1 ; (Ⅱ)在棱 AA 1 上是否存在一点 P ,使得 DP // 平 面 B 1 AE ?若存在,求 AP 的长;若不存在, 说明理由。 (Ⅲ)若二面角 A ? B 1 E ? A 1 的大小为 30 ,求 AB 的长.
0

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6 6.(2012 年高考上海卷理科 19)(6+6=12 分)如图,在四 棱 锥 P ? A B C D 中 , 底 面 ABCD 是 矩 形 , PA ? 底 面
A B C D , E 是 PC 的中点,已知 AB ? 2 , AD ? 2 2 ,
PA ? 2 ,求:

(1)三角形 PCD 的面积; (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.

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7.(2012 年高考浙江卷理科 20) (本小题满分 15 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面是 边长为 2
3

的菱形,且∠BAD=120° ,且 PA⊥平面 ABCD,PA= 2

6

,M,N 分别为 PB,

PD 的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 ABCD; (Ⅱ) 过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A—MN— Q 的平面角的余弦值.

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8.(2012 年高考山东卷理科 18)(本小题满分 12 分)

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10.(2012 年高考新课标全国卷理科 19)(本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中, A C ? B C ?
D 是棱 AA 1 的中点, DC 1 ? BD

1 2

A A1 ,

(1)证明: DC 1 ? BC

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(2)求二面角 A1 ? BD ? C 1 的大小。

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11.(2012 年高考天津卷理科 17) (本小题满分 13 分) 如图, 在四棱锥 P ? A B C D 中,P A 丄平面 A B C D ,
A C 丄 A D , A B 丄 B C , ? B A C ? 45 , P A = A D = 2 , A C =1 .
?

(Ⅰ)证明: P C 丄 A D ; (Ⅱ)求二面角 A ? P C ? D 的正弦值; (Ⅲ)设 E 为棱 P A 上的点,满足异面直线 B E 与 C D 所 成的角为 3 0 , 求 A E 的长.
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12. (2012 年高考江西卷理科 19)(本题满分 12 分) 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB=AC=AA1= 5 ,BC=4,在 A1 在底面 ABC 的投影是线段 BC 的中点 O。

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(1)证明在侧棱 AA1 上存在一点 E,使得 OE⊥平面 BB1C1C,并求出 AE 的长; (2)求平面 A1 B1C 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值。

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13.(2012 年高考安徽卷理科 18)(本小题满分 12 分) 平 面 图 形 A B B1 A1C 1C 如 图 4 所 示 , 其 中 B B1C 1C 是 矩 形 , B C ? 2, B B1 ? 4 ,
AB ? AC ? 2 ,

A1 B1 ? A1C 1 ?

5 。现将该平面图形分别沿 B C 和 B1 C 1 折叠,使 ? A B C 与 ? A1 B1 C 1 所在平

面都 与平面 B B1C 1C 垂直,再分别连接 A A1 , B A1 , C A1 ,得到如图 2 所示的空间图形,对此空间图 形解答 下列问题。

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(Ⅰ)证明: A A1 ? B C ;

(Ⅱ)求 A A1 的长;

(Ⅲ)求二面角 A ? B C ? A1 的余弦 值。

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14. (2012 年高考四川卷理科 19) (本小题满分 12 分)

15. (2012 年高考湖南卷理科 18)(本小题满分 12 分)

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如图 5,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ ABC=90°,E 是 CD 的中点.
[来源%:*中#国教 ~育 出@版网]

(Ⅰ)证明:CD⊥平面 PAE; (Ⅱ) 若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等, 求四棱锥 P-ABCD 的体积.

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16. (2012 年高考陕西卷理科 18)(本小题满分 12 分) (Ⅰ)如图,证明命题“ a 是平面 ? 内的一条直线,b 是 ? 外的一条直线( b 不垂直于 ? ), c 是 直线 b 在 ? 上的投影, 若 a ? b ,则 a ? c ”为真; (Ⅱ)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需证明)

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17.(2012 年高考全国卷理科 18)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) .........

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18. (2012 年高考重庆卷理科 19)(本小题满分 12 分(Ⅰ)小问 4 分(Ⅱ)小问 8 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C 1 中,AB=4,AC=BC=3,D 为 AB 的中点 (Ⅰ)求点 C 到平面 A1 A B B 1 的距离; (Ⅱ)若 A B1 ? A1C ,求二面角 A1 ? C D ? C 1 的平面角的余弦值。

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