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高中数学常见题型解法归纳

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高中数学常见题型解法归纳 - 直线与圆锥曲线交点个数问题解法 【知识要点】 直线与圆锥曲线的交点的个数问题的处理方法一般有两种: 方法一:判别式法 把直线和圆锥曲线的方程联立,消去 y,得到方程 别式得到参数的取值范围. 方法二:数形结合法 先画出直线和圆锥曲线,再利用数形结合分析解答. 【方法讲评】 方法一 判别式法 (1)把直线和圆锥曲线的方程联立,消去 y,得到方程 否为零分类讨论,利用判别式得到参数的取值范围. 【例 1】已知双曲线 (1)求直线 L 的斜率的取值范围,使 L 与 C 分别有一个交点,两个交点,没有交点. (2)若 Q(1,1),试判断以 Q 为中点的弦是否存在,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由. ; (2)对 是 ,对 a 是否为零分类讨论,利用判 解题步骤 当 由 由 由 时 得 得 得 ,直线与双曲线有两个交点; ,直线与双曲线只有一个交点; 或 ,直线与双曲线没有交点. 综上知 : 时,直线 与曲线 或 切于一点, 时,直线 与曲线 有两个交点, 交于一点. 时,直线 与曲线 直线 与曲线 C 没有公共点. 【点评】 (1)本题就是利用判别式法讨论直线与双曲线的交点个数问题. (2)把直线和圆锥曲线的方 程联立,消去 y,得到方程 时,方程 ,一定要关注 是否为零,不能直接利用判别式讨论. 因为 a=0 不是一元二次方程,没有判别式. 的直线,使它与抛物线 仅有一个交点. 【反馈检测 1】求过点 方法二 解题步骤 数形结合法 先画出直线和圆锥曲线,再利用数形结合分析解答. 【例 2】已知双曲线 ,若过其右焦点 F 作倾斜角为 45°的直线 l 与双曲线右支 有两个不同的交点,则双曲线的离心率的范围是( ) A. B. C.[2,+ ) D. (1,2) 【点评】(1)本题就是利用数形结合分析得到 k<1,从而得到离心率的取值范围. (2)对于直线与双曲线的 交点个数问题,一般利用渐近线作为研究的参照. (3)本题最后不要忽略了离心率 e 的范围 e>1,一定要 把求出的离心率 e 的范围和 e>1 求交集. 【反馈检测 2】若直线 的集合为____. 与曲线 恰有两个不同的交点,则 的取值所构成 参考答案 【反馈检测 1 答案】 【反馈检测 2 答案】 【反馈检测 2 详细解析】曲线 对应的函数图象如图所示. 当直线 |x|>1 时, 与半圆相切时, 满足题意;当直线 过(±1,0)时,k=±2 满足题意; 为双曲线在 x 轴上方的部分,其渐近线为 y=±x.故当直线 y=kx+2 与渐近线平行 ,或 k=± 时,k=±1,∴-1<k<1 时,直线与双曲线有两个不同的交点,∴k∈{k|?1<k<1,或 k=± 2}.故答案为:{k|?1<k<1,或 k=± ,或 k=±2}.

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