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2013届高考数学一轮复习 第35讲 曲线方程及圆锥曲线的综合问题精品学案

时间:2012-09-05

2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案 第 35 讲
一.课标要求: 1.由方程研究曲线,特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决,要加强等价转 化思想的训练; 2.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想; 3.了解圆锥曲线的简单应用。 二.命题走向 近年来圆锥曲线在高考中比较稳定, 解答题往往以中档题或以押轴题形式出现, 主要考 察学生逻辑推理能力、运算能力,考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线 在新课标中化归到选学内容,要求有所降低,估计 2007 年高考对本讲的考察,仍将以以下 三类题型为主。 1.求曲线(或轨迹)的方程,对于这类问题,高考常常不给出图形或不给出坐标系, 以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力; 2.与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题,这类问题的综合型较大,解题中需要 根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确的构造不等 式或方程,体现了解析几何与其他数学知识的联系。 预测 2013 年高考: 1.出现 1 道复合其它知识的圆锥曲线综合题; 2.可能出现 1 道考查求轨迹的选择题或填空题,也可能出现在解答题中间的小问。 三.要点精讲 1. 曲 线 方 程 (1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下: 步 骤 含 义 说 明

曲线方程及圆锥曲线的综合问题

1、“建”:建立坐 标系;“设”:设动 点坐标。

建立适当的直角坐标 系, 用(x,y)表示曲线上 任意一点 M 的坐标。

(1) 所研究的问题已给出坐标系, 即可直接 设点。 (2) 没有给出坐标系, 首先要选取适当的坐 标系。

2、现(限):由限制

写出适合条件 P 的点 M

这是求曲线方程的重要一步,应仔细分析
1

条件,列出几何等 式。 3、“代”:代换

的集合 P={M|P(M)}

题意,使写出的条件简明正确。

用坐标法表示条件 P(M) , 列 出 方 程 f(x,y)=0

常常用到一些公式。

4、“化”:化简

化方程 f(x,y)=0 为最简 形式。

要注意同解变形。

5、证明

证明化简以后的方程的 解为坐标的点都是曲线 上的点。

化简的过程若是方程的同解变形,可以不 要证明,变形过程中产生不增根或失根, 应在所得方程中删去或补上(即要注意方 程变量的取值范围)。

这 五 个 步 骤 (不 包 括 证 明 )可 浓 缩 为 五 字 “ 口 诀 ” : 建 设 现 (限 )代 化 ” (2)求曲线方程的常见方法: 直接法:也叫“五步法”,即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基 本方法。 转移代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点,另 一动点依赖于它,那么可寻求它们坐标之间的关系,然后代入定曲线的方程进行求解。 几何法:就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。 参 数 法 :根 据 题 中 给 定 的 轨 迹 条 件 ,用 一 个 参 数 来 分 别 动 点 的 坐 标 ,间 接 地 把 坐 标 x , y 联 系 起 来 ,得 到 用 参 数 表 示 的 方 程 。如 果 消 去 参 数 ,就 可 以 得 到轨迹的普通方程。 2. 圆 锥 曲 线 综 合 问 题 ( 1) 圆 锥 曲 线 中 的 最 值 问 题 、 范 围 问 题 通 常 有 两 类 :一 类 是 有 关 长 度 和 面 积 的 最 值 问 题 ;一 类 是 圆 锥 曲 线 中 有 关 的 几 何 元 素 的 最 值 问 题 。这 些 问 题 往 往 通 过 定 义 ,结 合 几 何 知 识 ,建 立 目 标 函 数 ,利 用 函 数 的 性 质 或 不 等 式 知 识 ,以 及 观 形 、设 参 、转 化 、替 换 等 途 径 来 解 决 。解 题 时 要 注 意 函 数 思 想 的 运 用 ,要 注 意 观 察 、分 析 图 形 的 特 征 ,将 形和数结合起来。

圆锥曲线的弦长求法:
2

设圆锥曲线 C∶f(x,y)=0 与直线 l∶y=kx+b 相交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则弦 长|AB|为:

若 弦 AB 过 圆 锥 曲 线 的 焦 点 F , 则 可 用 焦 半 径 求 弦 长 , | A B | = | AF | + | BF | . 在 解 析 几 何 中 求 最 值 ,关 键 是 建 立 所 求 量 关 于 自 变 量 的 函 数 关 系 ,再 利 用 代 数 方 法 求 出 相 应 的 最 值 . 意 点 是 要 考 虑 曲 线 上 点 坐 标 (x, )的 取 值 范 围 。 注 y

(2)对称、存在性问题,与圆锥曲线有关的证明问题

它 涉 及 到 线 段 相 等 、角 相 等 、直 线 平 行 、垂 直 的 证 明 方 法 ,以 及 定 点 、定 值问题的判断方法。 (3)实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型, 随着高考改革的深入, 同时课本上也出现了许多与圆 锥曲线相关的实际应用问题,如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测,以及行星、 人造卫星、彗星运行轨道的计算等。 涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系, 合理选择曲线模型, 然后转 化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断,解题的一般思想是:
建立坐标系 转化成数学问题 实际问题 数学模型方程

模型的解

翻译回去

讨论方程的解

( 4) 知 识 交 汇 题 圆 锥 曲 线 经 常 和 数 列 、三 角 、平 面 向 量 、不 等 式 、推 理 知 识 结 合 到 一 块 出 现部分有较强区分度的综合题。 四.典例解析 题型 1:求轨迹方程
3

例 1. (1)一动圆与圆 x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 外切,同时与圆 x ? y ? 6 x ? 91 ? 0 内切,
2 2 2 2

求动圆圆心 M 的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。 ( 2 )双 曲 线
x
2

9

? y ? 1 有 动 点 P , F1 , F2 是 曲 线 的 两 个 焦 点 ,求 ? PF1 F2 的 重
2

心 M 的轨迹方程。 解 析 : 1 ) 法 一 ) 设 动 圆 圆 心 为 M ( x, y ) , 半 径 为 R , 设 已 知 圆 的 圆 心 分 ( ( 别 为 O1 、 O 2 , 将 圆 方 程 分 别 配 方 得 : ( x ? 3) ? y ? 4 , ( x ? 3) ? y ? 100 ,
2 2 2 2



? M



? O1 相 切 时 , 有

y

| O1 M |? R ? 2

① 与 ? O2 相 切 时 , 有 ②
O1 O2
P



? M

| O 2 M |? 10 ? R

x

将 ①② 两 式 的 两 边 分 别 相 加 , 得
| O1 M | ? | O 2 M |? 12 ,



( x ? 3) ? y ?
2 2

( x ? 3) ? y ? 12
2 2



移项再两边分别平方得:
2 ( x ? 3) ? y ? 12 ? x
2 2


2

两 边 再 平 方 得 : 3 x ? 4 y ? 108 ? 0 ,
2

整理得

x

2

36

?

y

2

27

?1,

所以,动圆圆心的轨迹方程是

x

2

36

?

y

2

27
2

?1,轨迹是椭圆。

(法二)由解法一可得方程

( x ? 3) ? y ?
2

( x ? 3) ? y ? 12 ,
2 2

由 以 上 方 程 知 , 动 圆 圆 心 M ( x , y ) 到 点 O1 ( ? 3, 0) 和 O 2 (3, 0) 的 距 离 和 是 常 数
12 , 所 以 点 M 的 轨 迹 是 焦 点 为 O1 ( ? 3, 0) 、 O 2 (3, 0) , 长 轴 长 等 于 12 的 椭 圆 ,
4

并且椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上, ∴ 2 c ? 6 , 2 a ? 12 , ∴ c ? 3 , a ? 6 , ∴ b ? 36 ? 9 ? 27 ,
2

∴圆心轨迹方程为

x

2

36

?

y

2

27

?1。

(2) 如图, P , M 点坐标各为 P ( x1 , y1 ), M ( x , y ) , 设 ∴在已知双曲线方程中 a ? 3, b ? 1 , ∴c ?
9 ? 1 ? 10

∴已知双曲线两焦点为 F1 ( ? 10 , 0), F2 ( 10 , 0) , ∵ ? PF1 F2 存在,∴ y1 ? 0
? x1 ? ( ? 10 ) ? 10 ?x ? ? x1 ? 3 x ? 3 由三角形重心坐标公式有 ? ,即 ? 。 y1 ? 0 ? 0 ? y1 ? 3 y ?y ? ? 3 ?

∵ y1 ? 0 ,∴ y ? 0 。
(3 x ) 9
2

已知点 P 在双曲线上,将上面结果代入已知曲线方程,有 即所求重心 M 的轨迹方程为: x ? 9 y ? 1( y ? 0) 。
2 2

? (3 y ) ? 1( y ? 0)
2

点 评 :定 义 法 求 轨 迹 方 程 的 一 般 方 法 、步 骤 ;“ 转 移 法 ” 求 轨 迹 方 程 的 方 法。 例 2.设 P 为双曲线 的轨迹方程是

x

2

4

2

? y2=1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 M

解析:(1)答案:x -4y =1 设 P(x0,y0) ∴M(x,y) ∴x ?

2

x0 2

,y?

y0 2
2

∴2x=x0,2y=y0



4x 4

2

-4y =1 ? x -4y =1
2 2

5

点评:利用中间变量法(转移法)是求轨迹问题的重要方法之一。 题型 2:圆锥曲线中最值和范围问题 例 3.(1)设 AB 是过椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 中心的弦,椭圆的左焦点为

F1 ( ? c , 0 ) ,则△F1AB 的面积最大为(

) C. ac D. b
2

A. bc

B. ab
x a
2 2

(2)已知双曲线

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的左右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线

的右支上,且 | PF1 | ? 4 | PF2 | ,则此双曲线的离心率的最大值是( A.
4 3



B.

5 3

C. 2
x
2

D.
y
2

7 2

(3)已知 A(3,2)、B(-4,0),P 是椭圆 最大值为( A. 10 C. 10 ?
5

25

?

9

? 1 上一点,则|PA|+|PB|的

) B. 10 ?
5

D. 10 ? 2 5

解析:(1)如图,由椭圆对称性知道 O 为 AB 的中点,则△F1OB 的面积为△F1AB 面积的 一半。又 | OF1 | ? c ,△F1OB 边 OF1 上的高为 y B ,而 y B 的最大值是 b,所以△F1OB 的面积最 大值为
1 2 cb 。所以△F1AB 的面积最大值为 cb。

点评:抓住△F1AB 中 | OF1 | ? c 为定值,以及椭圆是中心对称图形。 (2)解析:由双曲线的定义, 得: | PF1 |? | PF2 | ? 2 a , 又 | PF1 | ? 4 | PF2 | ,所以 3| PF2 | ? 2 a ,从而 | PF2 | ?
2 3 a

6

由双曲线的第二定义可得

| PF2 | x? a
2

?

c a



c

所以 x ?

5a

2

3c

。又 x ? a , 即

5a

2

3c

? a ,从而 e ?

c a

?

5 3

。故选 B。

点评: “点 P 在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键, 也是不等关系 的条件。利用这个结论得出关于 a、c 的不等式,从而得出 e 的取值范围。

5a

2

3c

? a 成立

(3)解析:易知 A(3,2)在椭圆内,B(-4,0)是椭圆的左焦点(如图),则右焦 点为 F(4,0)。连 PB,PF。由椭圆的定义知:

| PB |? | PF | ? 10 ,

所以 | PB | ? 10 ? | PF | , 所 以 | PA|? | PB | ? | PA|? 10 ? | PF | ? 10 ? (| PA|? | PF |) 。 由平面几何知识,
|| PA|? | PF || ? | AF | ,即 (| PA |? | PB |) min ? 10 ? | AF | ,

而 | AF | ?

( 3 ? 4 ) ? ( 2 ? 0)
2

2

?

5,

所以 (| PA|? | PB |) min ? 10 ?

5。

点评:由△PAF 成立的条件 || PA|? | PF || ? | AF | ,再延伸到特殊情形 P、A、F 共线,从而 得出 || PA|? | PF || ? | AF | 这一关键结论。
x a
2 2

例 4. (1)设 P 是椭圆

? y ? 1 ? a ? 1 ? 短轴的一个端点, Q 为椭圆上的一个动点,
2

求 P Q 的最大值。 (2)已知在平面直角坐标系 xO y 中的一个椭圆,它

7

? 1? 的中心在原点,左焦点为 F ( ? 3, 0) ,右顶点为 D (2, 0) ,设点 A ? 1, ? . ? 2?

①求该椭圆的标准方程; ②若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程; ③过原点 O 的直线交椭圆于点 B , C ,求 ? ABC 面积的最大值。 (3)已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的 四边形为正方形,两准线间的距离为 l。 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)直线 l 过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点,当 Δ AOB 面积取得最大值时,求直 线 l 的方程。 解析:(1)依题意可设 P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|= x +(y-1) ,又因为 Q 在椭圆上, 所以,x =a (1-y ), |PQ| = a (1-y )+y -2y+1=(1-a )y -2y+1+a , 1 1 2 2 2 =(1-a )(y- 2 ) - 2+1+a 。 1-a 1-a 1 1 a a -1 因为|y|≤1,a>1, 若 a≥ 2, 则| , 2|≤1, 当 y= 2时, |PQ|取最大值 2 1-a 1-a a -1 若 1<a< 2,则当 y=-1 时, |PQ|取最大值 2。 (2)①由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1,
x
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为

4

? y ? 1。
2

②设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0), x=
x0 ? 1 2

x0= 2x-1 得 y0=

由 y=
y0 ? 2 1 2

2y-

1 2

由,点 P 在椭圆上,得

( 2 x ? 1) 4

2

? (2 y ?

1 2

) ? 1,
2

8

∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 ( x ?

1 2

) ? 4( y ?
2

1 4

) ? 1。
2

③当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积 S△ABC=1。 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,说该直线方程为 y=kx,代入
x
2

4

? y ? 1,
2

解得 B(

2 4k ? 1
2

,

2k 4k ? 1
2

),C(-

2 4k ? 1
2

,-

2k 4k ? 1
2

),

则 BC ? 4

1? k

2

k ?

1 2
2

1 ? 4k

,又点 A 到直线 BC 的距离 d=
2

1? k



∴△ABC 的面积 S△ABC=

1 2

AB ? d ?

2k ? 1 1 ? 4k
4k 4k ? 1
2


2

于是 S△ABC=
4k 4k ? 1
2

4k ? 4k ? 1
2

4k ? 1
2

?

1?


1 2



≥-1,得 S△ABC≤ 2 ,其中,当 k=-

时,等号成立。

∴S△ABC 的最大值是 2 。
x a
2 2

(3)解:设椭圆方程为

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? c )

?b ? c ?a2 ? 2 ? 2 2 ? 2 x ? 2a 2 ? y ? 1。 (Ⅰ)由已知得 ? ?4 ? ? b ? 1 ∴所求椭圆方程为 2 ? 2 ? c 2 2 2 ?c ? 1 ?a ? b ? c ?

(Ⅱ)解法一:由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为
y ? kx ? 2, A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )
? y ? kx ? 2 ? 2 2 由 ? x2 ,消去 y 得关于 x 的方程: (1 ? 2 k ) x ? 8 kx ? 6 ? 0 , 2 ? y ?1 ? ? 2

由直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,?? ? 0 ? 64 k ? 24(1 ? 2 k ) ? 0 ,解得 k ?
2 2

2

3 2



9

8k ? ? x1 ? x 2 ? ? 1 ? 2 k 2 ? 又由韦达定理得 ? , 6 ?x ? x ? ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
?| AB |? 1 ? k | x1 ? x 2 |? 1 ? k
2 2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

1? k 1 ? 2k

2 2

16 k ? 24 。
2

原点 O 到直线 l 的距离 d ?

2 1? k
2
2



? S ? AOB ?

1 2

| AB | ?d ?

16 k ? 24 1 ? 2k
2

?

2 2 2k ? 3
2

1 ? 2k

2

.

解法 1:对 S ?
2 4 2

16 k ? 24
2

1 ? 2k
2

2

两边平方整理得:

4 S k ? 4( S ? 4) k ? S ? 24 ? 0 (*),
2

? ?16( S 2 ? 4) 2 ? 4 ? 4 S 2 ( S 2 ? 24) ? 0, ? 2 1 ?4 ? S 2 ∵S ? 0 ,? ,整理得: S ? 。 ?0 2 2 ? S 2 ? S ? 24 ?0 ? 2 ? 4S

又S ? 0 , ?0 ? S ?

2 2

,从而 S ? A O B 的最大值为 S ?

2 2 14 2



4 2 此时代入方程(*)得 4 k ? 28 k ? 49 ? 0 ,? k ? ?



所以,所求直线方程为: ? 14 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 解法 2:令 m ?
?S ? 2 2m m ?4
2

2 k ? 3 ( m ? 0) ,则 2 k ? m ? 3 。
2
2 2

?

2 2 2 ? 4 2 m? m

当且仅当 m ?

4 m

即 m ? 2 时, S max ?

2 2

,此时 k ? ?

14 2



所以,所求直线方程为 ? 14 ? 2 y ? 4 ? 0
10

解法二:由题意知直线 l 的斜率存在且不为零。 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2, A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 则直线 l 与 x 轴的交点 D ( ?
2 k , 0) ,

8k ? ? x1 ? x 2 ? ? 1 ? 2 k 2 3 ? 2 由解法一知 k ? 且 ? , 2 6 ?x ? x ? ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

解法 1: S ? AOB ?

1 2

| OD | ? | y1 ? y 2 |?

1 2 | | ? | kx1 ? 2 ? kx 2 ? 2 | 2 k

= | x1 ? x 2 |
? ( x ? x ) ? 4 x1 x 2
2 2 2

?

16 k ? 24
2

1 ? 2k

2

?

2 2 2k ? 3
2

1 ? 2k

2

.

下同解法一. 解法 2: S ? AOB ? S ? POB ? S ? POA ? 下同解法一。 点评:文科 06 年高考主要考察了圆锥曲线的最值问题,主要是三角形的面积、弦长问 题。处理韦达定理以及判别式问题啊是解题的关键。 题型 3:证明问题和对称问题
1 2 ? 2? || x 2 | ? | x1 || ? | x 2 ? x1 |

2 2 2k ? 3
2

1 ? 2k

2



例 5.(1)如图,椭圆

x a

2 2

?

y b

2

=1(a>b>0)

与过点 A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点 T, 且椭圆的离心率 e=
3 2

.

(Ⅰ)求椭圆方程;

11

(Ⅱ)设 F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点,M 为线段 AF 1 的中点,求证:∠ATM=∠AF 1 T。
2 2 2 2

(2)设 A , B 分别为椭圆 距,且 x ? 4 为它的右准线。 (Ⅰ)、求椭圆的方程;

x a

?

y b

? 1( a , b ? 0) 的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦

(Ⅱ) 、设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线 AP , BP 分别与椭圆相 交于异于 A , B 的点 M 、 N ,证明点 B 在以 M N 为直径的圆内。 (3)在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 与抛物线 y =2 x 相交于 A、B 两点。 ①求证:“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA ? OB =3”是真命题; ②写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. 解析:(1)(I)过点 A 、 B 的直线方程为
2 ? x2 y ? 2 ?1 ? 2 ? b 因为由题意得 ? a 有惟一解, ?y ? ? 1 x ?1 ? 2 ?
?? ? ?? ?

2

x 2

? y ? 1.

即 (b ?
2

1 4

a ) x ? a x ? a ? a b ? 0 有惟一解,
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2

所以 ? ? a b ( a ? 4 b ? 4) ? 0
3 2

( ab ? 0 ),故 a ? 4 b ? 4 ? 0.
2 2

又因为 e ?

,即

a ?b
2

2

a x
2

2

?

3 4

, 所以

a ? 4 b . 从而得
2 2

a ? 2, b ?
2 2

1 2

,

故所求的椭圆方程为

2
c?

? 2 y ? 1.
2

(II)由(I)得

6 2

, 故 F1 ( ?

6 2

, 0), F2 (

6 2

, 0), 从而 M (1 ?

6 4

, 0).

? x2 2 ? 2y ? 1 ? 1 ? 2 由? ,解得 x1 ? x 2 ? 1, 所以 T (1, ). 2 ?y ? ? 1 x ?1 ? 2 ?

12

因为 tan ? AF1T ?

6 2

? 1, 又 tan ? TAM ?

1 2

, tan ? TM F2 ?

2 6

,

2

? 1

1 2 6
? 6 2 ? 1, 因此 ? ATM ? ? AF1T .

得 tan ? ATM ?

6 1?

点评:本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质,同时考察解析几何的基 本思想方法和综合解题能力。
2

(2)(Ⅰ)依题意得 a=2c,

a

c

=4,解得 a=2,c=1,从而 b= 3 .

故椭圆的方程为

x

2

4

?

y

2

3

?1.

(Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)得 A(-2,0),B(2,0).设 M(x0,y0).
3 2 ∵M 点在椭圆上, y0= (4-x0 ) ∴ . 4

1 ○
2

M

又点 M 异于顶点 A、B,∴-2<x0<2, 由 P、A、M 三点共线可以得
6 y0 x0 ? 2
-4

1

A -2

2

B

4

-1

P(4,

).

N
-2

-3

从而 BM =(x0-2,y0),
6 y0 x0 ? 2

BP =(2,

).

∴ BM · BP =2x0-4+

6 y0

2

x0 ? 2



2 x0 ? 2

(x0 -4+3y0 ).

2

2

2 ○

将○代入○,化简得 BM · BP = 1 2

5 2

(2-x0).

13

∵2-x0>0,∴ BM · BP >0,则∠MBP 为锐角,从而∠MBN 为钝角, 故点 B 在以 MN 为直径的圆内。 解法 2:由(Ⅰ)得 A(-2,0),B(2,0).设 M(x1,y1),N(x2,y2),
x1 ? x 2 2 y1 ? y 2 2

则-2<x1<2,-2<x2<2,又 MN 的中点 Q 的坐标为(



),

依题意,计算点 B 到圆心 Q 的距离与半径的差
x1 ? x 2 2 y1 ? y 2 2

BQ

2



1 4

MN

2

=(

-2) +(

2

)-

2

1 4

[(x1-x2) +(y1-y2) ]

2

2

=(x1-2) (x2-2)+y1y1

3 ○

又直线 AP 的方程为 y=

y1 x1 ? 2

( x ? 2 ) ,直线 BP 的方程为 y=

y2 x2 ? 2

( x ? 2) ,

而点两直线 AP 与 BP 的交点 P 在准线 x=4 上,
6 y1 x1 ? 2 6 y2 x2 ? 2 ( x 2 ? 2 ) y1 3 x1 ? 2
2



?

,即 y2=

4 ○

又点 M 在椭圆上,则

x1

2

4

?

y1 3

? 1 ,即 y 1 ?
2

3 4

( 4 ? x1 )
2

5 ○

于是将○、○代入○,化简后可得 BQ - 4 5 3 从而,点 B 在以 MN 为直径的圆内。

2

1 4

MN

2

5 = ( 2- x 1 )( x 2 ? 2 ) ? 0 . 4

点评:本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学 知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。 (3)证明:①设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y =2x 于点 A(x1,y1)、B(x12,y2). 当直线 l 的钭率下存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于 A(3, 6 )、 B(3,- 6 ),∴ OA ? OB =3。 当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-3),其中 k≠0.
14
2

y =2x 当 3) 又∵x1=
1 2

2

y=k(x-

得 ky -2y-6k=0,则 y1y2=-6.

2

y 1 , x2=

2

1 2

y2 ,
1 4 ( y 1 y 2 ) ? y 1 y 2 =3.
2

2

∴ OA ? OB =x1x2+y1y2=

综上所述, 命题“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA ? OB =3”是真命题. ②逆命题是:设直线 l 交抛物线 y =2x 于 A、B 两点,如果 OA ? OB =3,那么该直线过点
2

T(3,0).该命题是假命题. 例如:取抛物线上的点 A(2,2),B( 直线 AB 的方程为 Y=
2

1 2

,1),此时 OA ? OB =3,

2 3

(X+1),而 T(3,0)不在直线 AB 上.

点评:由抛物线 y =2x 上的点 A(x1,y1)、B(x12,y2)满足 OA ? OB =3,可得 y1y2=-6。或 y1y2=2, 如果 y1y2=-6, 可证得直线 AB 过点(3,0); 如果 y1y2=2, 可证得直线 AB 过点(-1,0), 而不过点(3,0)。 例 6.(1)椭圆 C:
PF1 ? F1 F2 , | PF1 |? 4 3
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上,且

, | PF2 |?

14 3

.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 过圆 x +y +4x-2y=0 的圆心,交椭圆 C 于 A , B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程。 (2)已知三点 P(5,2)、 F1 (-6,0)、 F 2 (6,0)。 (Ⅰ)求以 F1 、 F 2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 P、 F1 、 F 2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P ? 、 F1' 、 F 2' ,求以 F1' 、 F 2' 为 焦点且过点 P ? 的双曲线的标准方程。 解析:(1)解法一: (Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上, 所以 2 a ? PF 1 ? PF 2 ? 6 , O
2 2

15

a=3. 在 Rt△PF1F2 中, F1 F 2 ? -c =4,所以椭圆 C 的方程为
2

PF 2
x
2

2

? PF 1

2

? 2 5 , 故椭圆的半焦距 c= 5 ,从而 b =a
2

2

9

?

y

2

=1。

4

(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)。 已知圆的方程为(x+2) +(y-1) =5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 从而可设直线 l 的方程为
2 2

y=k(x+2)+1,
代入椭圆 C 的方程得 (4+9k )x +(36k +18k)x+36k +36k-27=0. 因为 A,B 关于点 M 对称. 所以
x1 ? x 2 2 ?? 18 k ? 9 k
2
2 2 2 2

4 ? 9k

2

? ?2.

解得 k ?

8 9


8 9 ( x ? 2 ) ? 1,

所以直线 l 的方程为 y ? 即 8x-9y+25=0.

(经检验,所求直线方程符合题意) 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圆的方程为(x+2) +(y-1) =5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意 x1 ? x2 且
x1 9 x2 9
2 2
2 2

?

y1 4

2

? 1, ①

?

y2 4

2

? 1, ②
( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) 9 ( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) 4

由①-②得:

?

? 0.



因为 A、B 关于点 M 对称,所以 x1+ x2=-4,y1+ y2=2。

16

代入③得

y1 ? y 2 x1 ? x 2



8 9

,即直线 l 的斜率为

8

8 ,所以直线 l 的方程为 y-1= (x+2), 9 9

即 8x-9y+25=0。 (经检验,所求直线方程符合题意.) (2)①由题意可设所求椭圆的标准方程为
x a
2 2 2 2

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0), 其 半 焦 距

c=6, 2 a ? PF1 ? PF2 ? 11 ? 2 ? 1 ? 2 ? 6 5 ∴ a ? 3 5 ,b =a -c =9。
2 2 2

所以所求椭圆的标准方程为

x

2

45

?

y

2

9

?1
, ,

②点 P(5,2)、 1(-6,0)、 2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为点 P (2, F1 (0, F F 5)、 -6)、 F2 (0,6)。 设所求双曲线的标准方程为
x
2 2


a1

?

y

2 2

b1

? 1( a1 ? 0, b1 ? 0) 。

由题意知,半焦距 c1=6, 2 a1 ? P ?F1? ? P ?F2? ?
2 2 2

11 ? 2 ? 1 ? 2
2 2 2

2

?4 5。
2

a1 ? 2 5 ,b1 =c1 -a1 =36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为

x

2

20

?

y

16

?1。

点评:本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基 本运算能力。 题型 4:知识交汇题 例 7.已知点 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ( x1 x 2 ? 0) 是抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 上的两个动
2

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 点, O 是坐标原点,向量 O A , OB 满足 OA ? OB ? OA ? OB .设圆 C 的方程为
x ? y ? ( x1 ? x 2 ) x ? ( y1 ? y 2 ) y ? 0
2 2

(I) 证明线段 AB 是圆 C 的直径; (II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为
2 5 5

时,求 p 的值。

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 2 2 解析:(I)证明 1: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB ) ? (OA ? OB )

??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? OA ? 2 OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB

17

??? ??? ? ? 整理得: OA ? OB ? 0
? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? 0

???? ???? 设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 M A ? M B ? 0

即 ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y 2 ) ? 0 整理得: x ? y ? ( x1 ? x 2 ) x ? ( y1 ? y 2 ) y ? 0
2 2

故线段 AB 是圆 C 的直径 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 2 2 证明 2: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB ) ? (OA ? OB )
??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? OA ? 2 OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB

??? ??? ? ? 整理得: OA ? OB ? 0
? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? 0 ??..(1)

设(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则 即
y ? y2 x ? x2 ? y ? y1 x ? x1 ? ? 1( x ? x1 , x ? x 2 )

去分母得: ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y 2 ) ? 0 点 ( x1 , y1 ), ( x1 , y 2 ), ( x 2 , y1 )( x 2 , y 2 ) 满足上方程,展开并将(1)代入得:
x ? y ? ( x1 ? x 2 ) x ? ( y1 ? y 2 ) y ? 0
2 2

故线段 AB 是圆 C 的直径 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 2 2 证明 3: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB ) ? (OA ? OB )
??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? OA ? 2 OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB

??? ??? ? ? 整理得: OA ? OB ? 0
? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? 0 ??(1)

以线段 AB 为直径的圆的方程为
(x ? x1 ? x 2 2 ) ? (y ?
2

y1 ? y 2 2

) ?
2

1 4

[( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ]
2 2

展开并将(1)代入得:
18

x ? y ? ( x1 ? x 2 ) x ? ( y1 ? y 2 ) y ? 0
2 2

故线段 AB 是圆 C 的直径 (II)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则
x1 ? x 2 ? ?x ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y 2 ? ? 2
? y1 ? 2 px1 , y 2 ? 2 px 2 ( p ? 0)
2 2

? x1 x 2 ?

y1 y 2 4p
2

2

2

又因 x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? 0
? x1 ? x 2 ? ? y1 ? y 2

? ? y1 ? y 2 ?

y1 y 2 4p
2

2

2

? x1 ? x 2 ? 0,? y1 ? y 2 ? 0

? y1 ? y 2 ? ? 4 p
x? x1 ? x 2 2
2

2

?

1 4p
2

( y1 ? y 2 ) ?
2 2

1 4p

( y1 ? y 2 ? 2 y1 y 2 ) ?
2 2

y1 y 2 4p

?

1 p

(y ? 2p )

所以圆心的轨迹方程为 y ? px ? 2 p
2

2

设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则
| ? 1 p (y ? 2p )? 2y |
2 2

d ?

| x ? 2y | 5

? 5

| y ? 2 py ? 2 p |
2 2

5p

?

| ( y ? p) ? p |
2 2

5p

19

当 y=p 时,d 有最小值
? p ? 2.

p 5

,由题设得

p 5

?

2 5 5

解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则
x1 ? x 2 ? ?x ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y 2 ? ? 2
? y1 ? 2 px1 , y 2 ? 2 px 2 ( p ? 0)
2 2

? x1 x 2 ?

y1 y 2 4p
2

2

2

又因 x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? 0
? x1 ? x 2 ? ? y1 ? y 2

? ? y1 ? y 2 ?

y1 y 2 4p
2

2

2

? x1 ? x 2 ? 0,? y1 ? y 2 ? 0

? y1 ? y 2 ? ? 4 p
x? x1 ? x 2 2
2

2

?

1 4p
2

( y1 ? y 2 ) ?
2 2

1 4p

( y1 ? y 2 ? 2 y1 y 2 ) ?
2 2

y1 y 2 4p

?

1 p

(y ? 2p )

所以圆心的轨迹方程为 y ? px ? 2 p
2

2

设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为
m ? ?2

2 5 5

,则

因为 x-2y+2=0 与 y ? px ? 2 p 无公共点,
2 2

所以当 x-2y-2=0 与 y ? px ? 2 p 仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为
2 2

20

2 5 5

? x ? 2 y ? 2 ? 0 ? (2) ? 2 2 ? y ? px ? 2 p ? (3)

将(2)代入(3)得 y ? 2 py ? 2 p ? 2 p ? 0
2 2

? ? ? 4 p ? 4(2 p ? 2 p ) ? 0
2 2

? p?0 ? p ? 2.

解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则
x1 ? x 2 ? ?x ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y 2 ? ? 2

圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则
| d ? x1 ? x 2 2 ? ( y1 ? y 2 ) | 5

? y1 ? 2 px1 , y 2 ? 2 px 2 ( p ? 0)
2 2

? x1 x 2 ?

y1 y 2 4p
2

2

2

又因 x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? 0
? x1 ? x 2 ? ? y1 ? y 2

? ? y1 ? y 2 ?

y1 y 2 4p
2

2

2

? x1 ? x 2 ? 0,? y1 ? y 2 ? 0

? y1 ? y 2 ? ? 4 p
| ?d ? 1 4p
2

2

( y1 ? y 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) |
2

? 5

| y 1 ? y 2 ? 2 y1 y 2 ? 4 p ( y 1 ? y 2 ) ? 8 p |
2 2 2

4 5p
21

?

( y1 ? y 2 ? 2 p ) ? 4 p
2

2

4 5p

当 y1 ? y 2 ? 2 p 时,d 有最小值
? p ? 2.

p 5

,由题设得

p 5

?

2 5 5

点评: 本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基 础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。 例 8.如图,对每个正整数 n , An ( x n , y n ) 是抛 物线 x ? 4 y 上的点,过焦点 F 的直线 FAn 角抛物线
2

于另一点 B n ( s n , t n ) 。 (Ⅰ)试证: x n s n ? ? 4( n ? 1) ; (Ⅱ)取 x n ? 2 ,并记 C n 为抛物线上分别以 An
n

与 B n 为切点的两条切线的交点。 试证: FC1 ? FC 2 ? ? ? FC n ? 2 ? 2
n ? n ?1

?1 ;

证明:(Ⅰ)对任意固定的 n ? 1, 因为焦点 F(0,1), 所以可设直线 An B n 的方程为 y ? 1 ? k n x , 将它与抛物线方程 x ? 4 y 联立得: x ? 4 k n x ? 4 ? 0 ,
2

2

由一元二次方程根与系数的关系得 x n s n ? ? 4( n ? 1) . (Ⅱ)对任意固定的 n ? 1, 利用导数知识易得抛物线 x ? 4 y 在 An 处的切线的斜率
2

k An ?

xn 2

, 故 x ? 4 y 在 An 处的切线的方程为: y ? y n ?
2 2

xn 2

( x ? x n ) ,??① sn 2 ( x ? s n ) ,??②

类似地,可求得 x ? 4 y 在 B n 处的切线的方程为: y ? t n ? 由②-①得: y n ? t n ? ?
xn ? sn 2 xn ? sn
2 2

xn ? sn 2

x?

x n ? sn
2

2

2

?

xn 4

2

?

sn 4

2



x?

4

,? x ?

xn ? sn 2

??③

22

将③代入①并注意 x n s n ? ? 4 得交点 C n 的坐标为 (
2

xn ? sn 2
xn 4
2

, ? 1) .
sn 4
2

由两点间的距离公式得: FC n
xn 4
2

?(

xn ? sn 2

) ?4?
2

?

?2

?

?

4 x
2 n

?2?(

xn 2

?

2 xn

) , ? FC n ?
2

xn 2

?

2 xn



现在 x n ? 2 ,利用上述已证结论并由等比数列求和公式得:
n

FC1 ? FC 2 ? ? ? FC n ? ? 1

1 2

( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) ? 2(

1 x1

?

1 x2

?? ?

1 xn

)

1 1 1 2 n n 1? n n ? n ?1 (2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 2( ? 2 ? ? ? n ) ? (2 ? 1) ? (2 ? 2 ) ? 2 ? 2 ? 1. 2 2 2 2

点评:该题是圆锥曲线与数列知识交汇的题目。 五.思维总结 1.注意圆锥曲线的定义在解题中的应用,注意解析几何所研究的问题背景平面几何的 一些性质; 2.复习时要突出“曲线与方程”这一重点内容 曲线与方程有两个方面:一是求曲线方程,二是由方程研究曲线的性质.这两方面的问 题在历年高考中年年出现,且常为压轴题.因此复习时要掌握求曲线方程的思路和方法,即 在建立了平面直角坐标系后,根据曲线上点适合的共同条件找出动点 P(x,y)的纵坐标 y 和横坐标 x 之间的关系式,即 f(x,y)=0 为曲线方程,同时还要注意曲线上点具有条件, 确定 x,y 的范围,这就是通常说的函数法,它是解析几何的核心,应培养善于运用坐标法 解题的能力,求曲线的常用方法有两类:一类是曲线形状明确且便于用标准形式,这时用待 定系数法求其方程;另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示,一般可用直接法、 间接代点法、 参数法等求方程。 二要引导如何将解析几何的位置关系转化的代数数量关系进 而转化为坐标关系,由方程研究曲线,特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决,要 加强等价转化思想的训练。 3.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程 ①方程思想, 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线, 因此把直线与 圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理,就简化解题运算量。 ②用好函数思想方法 对于圆锥曲线上一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量,从而使
23

一些线的长度及 a,b,c,e 之间构成函数关系,函数思想在处理这类问题时就很有效。 ③掌握坐标法 坐标法是解析几何的基本方法,因此要加强坐标法的训练。 ④对称思想 由于圆锥曲线和圆都具有对称性质, 可使分散的条件相对集中, 减少一些变量和未知量, 简化计算,提高解题速度,促成问题的解决。 ⑤参数思想 参数思想是辩证思维在数学中的反映,一旦引入参数,用参数来划分运动变化状态,利 用圆、椭圆、双曲线上点用参数方程形式设立或(x0、y0)即可将参量视为常量,以相对静 止来控制变化,变与不变的转化,可在解题过程中将其消去,起到“设而不求”的效果。 ⑥转化思想 解决圆锥曲线时充分注意直角坐标与极坐标之间有联系, 直角坐标方程与参数方程, 极 坐标之间联系及转化,利用平移得出新系坐标与原坐标之间转化,可达到优化解题的目的。 除上述常用数学思想外,数形结合、分类讨论、整体思想、构造思想也是不可缺少的思 想方法,复习也应给予足够的重视。

24


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