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高三数学一轮复习《集合》学案

时间:2013-12-06


●基础知识
一、集合的基本概念 集合:某些指定的对象集在一起成为集合。 (1)集合中的对象称元素,若 a 是集合 A 的元素,记作 a ? A ;若 b 不是集合 A 的元素, 记作 b ? A ; (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或者不 是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立; 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象) ,因此, 同一集合中不应重复出现同一元素; 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关; (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法; 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内; 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再 画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一 般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (4)常用数集及其记法:

二、元素与集合、集合与集合之间的关系 1.元素与集合的关系包括_________和_________ ,分别用符号_________和_________表示. 2. 集合与集合之间的关系有: _________、 _________关系, 分别用符号_________和_________ 表示. 3.若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有_________个,A 的非空子集有_________个,A 的非空 真子集有_________个.

三、集合的运算

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四、集合中的常用运算性质

●考点演练
1.(2009· 海南)已知集合 A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则 A∩?NB=____________. 2.(2010· 南京模拟)已知集合 M={x|y2=x+1},P={x|y2=-2(x-3)},那么 M∩P=________. 3.(2009· 陕西改编)若不等式 x2-x≤0 的解集为 M,函数 f(x)=ln(1-|x|)的定义域为 N,则 M∩N 为________. 1 4.(2010· 苏州模拟)已知全集 U=R,M={x|y= x-1},P={x|y=log x,y∈M}, 2 则(?UM)∩(?UP)=________________. x+1 5.(2010· 常州模拟)已知全集 U=R,集合 M={x|x≥1},N={x| ≥0},则?U(M∩N)=________. x-2 6.(2009· 珠海模拟)已知集合 A 中有 10 个元素,集合 B 中有 6 个元素,全集 U 中有 18 个元 素,且有 A∩B≠?,设集合?U(A∪B)中有 x 个元素,则 x 的取值范围是________. 7.(2010· 淮安模拟)对于任意两个集合 M,N,定义:M-N={x|x∈M,x?N},M*N=(M-N)∪(N -M),设 M={y|y=x2,x∈R},N={y|y=3sin x,x∈R},则 M*N=____________. 8.(2010· 南通模拟)已知集合 A={(x,y)|x2+y2+2ny+n2-4=0,x,y∈R},B={(x,y)|x2+ 2 y -6mx-4ny+9m2+4n2-9=0,x,y∈R},若 A∩B 为单元素集,则点 P(m,n)构成的集 合为________________. x-1 9.(2010· 盐城模拟)设全集 U=R,A={x| >0},?UA=[-1,-n],则 m2+n2=________. x+m 10.(2009· 衡水中学第一次教学质检)若集合 A={1,2,x,4},B={x2,1},A∩B={1,4},则满足条件的实数 x 的值为 ( ) A.4 B.2 或-2 C.-2 D.2 11.(2006· 江苏高考,7)若 A、B、C 为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有 ( ) A.A? C B.C? A C.A≠C D.A=?
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二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 12.已知集合 A={ x |m x2-2 x +3=0,m∈R}.? (1)若 A 是空集,求 m 的取值范围;? (2)若 A 中只有一个元素,求 m 的值;? (3)若 A 中至多只有一个元素,求 m 的取值范围.?

13.(14 分)(2010· 盐城模拟)已知集合 A={x|x2+x-2≤0},B={x|2<x+1≤4},设集合 C={x|x2 +bx+c>0},且满足(A∪B)∩C=?,(A∪B)∪C=R,求实数 b,c 的值.

14.已知集合 A= ? x |

6 ? ? 1, x ? R ? , B= ? x | x 2 ? 2 x ? m ? 0? , x ?1 ? (1)当 m=3 时,求 A ??R B ;
(2)若 A ? B ? ?x | ?1 ? x ? 4? ,求实数 m 的值.

? ?

15.(16 分)(2010· 扬州模拟)设 A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+ 2x-8=0}. (1)若 A∪B=A∩B,求实数 a 的值; (2)若 A∩B≠?,且 A∩C=?,求实数 a 的值; (3)若 A∩B=A∩C≠?,求实数 a 的值.

16.(16 分)(2010· 绍兴模拟)已知{an}是等差数列,d 为公差且不为 0,a1 和 d 均为实数,它的
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Sn 1 前 n 项和记作 Sn,设集合 A={(an, )|n∈N*},B={(x,y)| x2-y2=1,x,y∈R}.试问下 n 4 列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明: (1)若以集合 A 中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上; (2)A∩B 至多有一个元素; (3)当 a1≠0 时,一定有 A∩B≠?.

●规律方法提炼
1.解答集合问题注意“四看” 一看代表元素:代表元素反映了集合中元素的特征,解题时分清是点集、数集还是其他的集合. 二看元素组成:集合是由元素组成的,从研究集合的元素入手是解集合题的常用方法. 三看能否化简:有些集合是可以化简的,如果先化简再研究其关系,可使问题变得简单明了、易于解决. 四看能否数形结合:常运用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图. 2.正难则反原则 对于一些比较复杂、比较抽象,条件和结论不明确,难以从正面入手的数学问题,在解题时要调整思路, 从问题的反面入手,探求已知与未知的关系,能起到化难为易,化隐为显的作用,从而解决问题.比如下 面这个问题你能解决吗? 已知 A={x| x2+x+a≤0},B={x| x2-x+2a-1<0},C={x|a≤x≤4a-9},且 A、B、C 中至少有一个不 是空集,求 a 的取值范围.

解析:这个问题的反面即是三个集合全为空集,即 ?1-4a<0 ? ? 5 ?1-4(2a-1)≤0? ≤a<3, 8 ? ? ?a>4a-9 5 从而所求 a 的取值范围为:a≥3 或 a<8.

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