高三数学一轮复习《集合》学案

●基础知识
一、集合的基本概念 集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 （1）集合中的对象称元素，若 a 是集合 A 的元素，记作 a ? A ；若 b 不是集合 A 的元素， 记作 b ? A ； （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设 A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是 A 的元素，或者不 是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象） ，因此， 同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再 画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一 般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法：

二、元素与集合、集合与集合之间的关系 1．元素与集合的关系包括_________和_________ ，分别用符号_________和_________表示． 2． 集合与集合之间的关系有： _________、 _________关系， 分别用符号_________和_________ 表示． 3．若 A 含有 n 个元素，则 A 的子集有_________个，A 的非空子集有_________个，A 的非空 真子集有_________个．

三、集合的运算

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四、集合中的常用运算性质

●考点演练
1．(2009· 海南)已知集合 A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则 A∩?NB＝____________. 2．(2010· 南京模拟)已知集合 M＝{x|y2＝x＋1}，P＝{x|y2＝－2(x－3)}，那么 M∩P＝________. 3．(2009· 陕西改编)若不等式 x2－x≤0 的解集为 M，函数 f(x)＝ln(1－|x|)的定义域为 N，则 M∩N 为________． 1 4．(2010· 苏州模拟)已知全集 U＝R，M＝{x|y＝ x－1}，P＝{x|y＝log x，y∈M}， 2 则(?UM)∩(?UP)＝________________. x＋1 5．(2010· 常州模拟)已知全集 U＝R，集合 M＝{x|x≥1}，N＝{x| ≥0}，则?U(M∩N)＝________. x－2 6．(2009· 珠海模拟)已知集合 A 中有 10 个元素，集合 B 中有 6 个元素，全集 U 中有 18 个元 素，且有 A∩B≠?，设集合?U(A∪B)中有 x 个元素，则 x 的取值范围是________． 7．(2010· 淮安模拟)对于任意两个集合 M，N，定义：M－N＝{x|x∈M，x?N}，M*N＝(M－N)∪(N －M)，设 M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y＝3sin x，x∈R}，则 M*N＝____________. 8．(2010· 南通模拟)已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2＋2ny＋n2－4＝0，x，y∈R}，B＝{(x，y)|x2＋ 2 y －6mx－4ny＋9m2＋4n2－9＝0，x，y∈R}，若 A∩B 为单元素集，则点 P(m，n)构成的集 合为________________． x－1 9．(2010· 盐城模拟)设全集 U＝R，A＝{x| >0}，?UA＝[－1，－n]，则 m2＋n2＝________. x＋m 10．(2009· 衡水中学第一次教学质检)若集合 A＝{1,2,x,4}，B＝{x2,1}，A∩B＝{1,4}，则满足条件的实数 x 的值为 ( ) A．4 B．2 或－2 C．－2 D．2 11．(2006· 江苏高考，7)若 A、B、C 为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有 ( ) A．A? C B．C? A C．A≠C D．A＝?
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二、解答题(本大题共 3 小题，共 46 分) 12.已知集合 A={ x |m x2-2 x +3=0，m∈R}.? （1）若 A 是空集，求 m 的取值范围；? （2）若 A 中只有一个元素，求 m 的值；? （3）若 A 中至多只有一个元素，求 m 的取值范围.?

13．(14 分)(2010· 盐城模拟)已知集合 A＝{x|x2＋x－2≤0}，B＝{x|2<x＋1≤4}，设集合 C＝{x|x2 ＋bx＋c>0}，且满足(A∪B)∩C＝?，(A∪B)∪C＝R，求实数 b，c 的值．

14.已知集合 A= ? x |

6 ? ? 1, x ? R ? , B= ? x | x 2 ? 2 x ? m ? 0? , x ?1 ? （1）当 m=3 时，求 A ??R B ；
（2）若 A ? B ? ?x | ?1 ? x ? 4? ，求实数 m 的值.

? ?

15．(16 分)(2010· 扬州模拟)设 A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋ 2x－8＝0}． (1)若 A∪B＝A∩B，求实数 a 的值； (2)若 A∩B≠?，且 A∩C＝?，求实数 a 的值； (3)若 A∩B＝A∩C≠?，求实数 a 的值．

16．(16 分)(2010· 绍兴模拟)已知{an}是等差数列，d 为公差且不为 0，a1 和 d 均为实数，它的
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Sn 1 前 n 项和记作 Sn，设集合 A＝{(an， )|n∈N*}，B＝{(x，y)| x2－y2＝1，x，y∈R}．试问下 n 4 列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明： (1)若以集合 A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； (2)A∩B 至多有一个元素； (3)当 a1≠0 时，一定有 A∩B≠?.

●规律方法提炼
1．解答集合问题注意“四看” 一看代表元素：代表元素反映了集合中元素的特征，解题时分清是点集、数集还是其他的集合． 二看元素组成：集合是由元素组成的，从研究集合的元素入手是解集合题的常用方法． 三看能否化简：有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系，可使问题变得简单明了、易于解决． 四看能否数形结合：常运用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图． 2．正难则反原则 对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论不明确，难以从正面入手的数学问题，在解题时要调整思路， 从问题的反面入手，探求已知与未知的关系，能起到化难为易，化隐为显的作用，从而解决问题．比如下 面这个问题你能解决吗？ 已知 A＝{x| x2＋x＋a≤0}，B＝{x| x2－x＋2a－1＜0}，C＝{x|a≤x≤4a－9}，且 A、B、C 中至少有一个不 是空集，求 a 的取值范围．

解析：这个问题的反面即是三个集合全为空集，即 ?1－4a＜0 ? ? 5 ?1－4(2a－1)≤0? ≤a＜3， 8 ? ? ?a＞4a－9 5 从而所求 a 的取值范围为：a≥3 或 a＜8.

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