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二次函数图象和性质知识点总结

时间:2015-12-22


二次函数的图象和性质知识点总结
一、知识点回顾
1. 二次函数解析式的几种形式:
2 ①一般式: y ? ax ? bx ? c (a、b、c 为常数,a≠0) 2 ②顶点式: y ? a( x ? h) ? k (a、h、k 为常数,a≠0) ,其中(h,k)为顶点坐

标。 ③交点式: y ? a ( x ? x1 )( x ? x2 ) ,其中 x1 ,x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标,即
2 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两个根,且 a≠0, (也叫两根式) 。

2 2. 二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象 2 ①二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线,

几个不同的二次函数, 如果 a 相同, 那么抛物线的开口方向, 开口大小 (即形状) 完全相同,只是位置不同。
2 2 ②任意抛物线 y ? a( x ? h) ? k 可以由抛物线 y ? ax 经过适当的平移得到, 移动

规律可简记为:[左加右减,上加下减],具体平移方法如下表所示。

2 2 ③在画 y ? ax ? bx ? c 的图象时,可以先配方成 y ? a( x ? h) ? k 的形式,然后 2 将 y ? ax 的图象上(下)左(右)平移得到所求图象,即平移法;也可用描点 2 2 法:也是将 y ? ax ? bx ? c 配成 y ? a( x ? h) ? k 的形式,这样可以确定开口方

向,对称轴及顶点坐标。然后取图象与 y 轴的交点(0,c) ,及此点关于对称轴 对称的点(2h,c) ;如果图象与 x 轴有两个交点,就直接取这两个点(x1,0) ,

(x2,0)就行了;如果图象与 x 轴只有一个交点或无交点,那应该在对称轴两 侧取对称点, (这两点不是与 y 轴交点及其对称点) ,一般画图象找 5 个点。 3. 二次函数的性质 函 y ? ax 2 ? bx ? c 二次函数 数 a、b、c 为常数,a≠0 a>0 a<0 图 象

y ? a( x ? h) 2 ? k (a、h、k 为
常数,a≠0) a>0 a<0

(1)抛物线开口向上, (1)抛物线开口向下, (1)抛物线开口 (1)抛物线开 并向上无限延伸 并向下无限延伸 向上, 并向上无 口向下,并向 限延伸 下无限延伸 性 (2)对称轴是 x= (2)对称轴是 x= (2)对称轴是 x (2)对称轴是 x =h, 顶点是 (h, =h,顶点是 b b ? ? k) (h,k) 2 a ,顶点是 2 a ,顶点是
b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 , ? , 4a ) ( 2a 4a ) ( 2a ?



(3)当 x<h 时, y 随 x 的增大而 时, y 随 x 的增 增大;当 x>h 随 x 的增大而减小; 当 随 x 的增大而增大; 当 大而减小; 当 x 时, y 随 x 的增 >h 时,y 随 x 大而减小 b b x?? x?? 的增大而增大。 2 a 时,y 随 x 的 2 a 时,y 随 x 的
b b x?? x?? 2 a 时,y (3)当 2 a 时,y (3)当

(3)当 x ? h

增大而增大 增大而减小 (4)抛物线有最低点, (4)抛物线有最高点, (4)抛物线有最 (4)抛物线有 低点,当 x=h 最高点,当 x b b x?? x?? 时, y 有最小值 =h 时,y 有最 2 a 时,y 有最 当 2 a 时,y 有最 当 大值 y 最小值 ? k 小值, 大值, y ?k
最大值

y 最小值

4ac ? b 2 ? 4a

y 最大值

4ac ? b 2 ? 4a

4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法
2 2 ①配方法:将解析式 y ? ax ? bx ? c 化为 y ? a( x ? h) ? k 的形式,顶点坐标为

y ?k (h,k) ,对称轴为直线 x ? h ,若 a>0,y 有最小值,当 x=h 时, 最小值 ;
若 a<0,y 有最大值,当 x=h 时,

y 最大值 ? k



b 4ac ? b 2 ? , 4a ) ②公式法:直接利用顶点坐标公式( 2a ,求其顶点;对称轴是直
x??

线

b 4ac ? b 2 b a ? 0,y有最小值,当x ? ? 时,y 最小值 ? ; 2 a ,若 2a 4a 若 a ? 0, x?? b 4ac ? b 2 时,y 最大值 ? 2a 4a

y 有最大值,当

5. 抛物线与 x 轴交点情况:
2 对于抛物线 y ? ax ? bx ? c (a≠0)
2 ①当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,抛物线与 x 轴有两个交点,反之也成立。 2 ②当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,抛物线与 x 轴有一个交点,反之也成立,此交点即为

顶点。
2 ③当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,抛物线与 x 轴无交点,反之也成立。

二、考点归纳
考点一求二次函数的解析式 例1.已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最

大值是8,试求 f(x) 。 解答: 法一:利用二次函数的一般式方程 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ,由题意

故得 f(x)=-4x2+4x+7。 法二:利用二次函数的顶点式方程 设 f(x)=a(x-m)2+n 由 f(2)=f(-1)可知其对称轴方程为 又由 f(x)的最大值是8可知,a<0且 n=8; 由 f(2)=-1可解得 a=-4。 故 。 ,故 m= ;

法三:利用二次函数的零点式方程 由 f(2)=-1,f(-1)=-1可知 f(x)=-1的两根为2和-1,故可设 F(x)=f(x)+1=a(x-2) (x+1) 。又由 f(x)的最大值是8可知 F(x)的 最大值是9,从而解得 a=-4或0(舍) 。 2 所以 f(x)=-4x +4x+7。 说明:求函数解析式一般采用待定系数法,即先按照需要设出函数方程,然 后再代入求待定系数。 考点二二次函数的图像变换 例2.(2008年浙江卷)已知 t 为常数,函数 在区间[0,3]上的 最大值为2,则 t=。 解答: 作出 的图像, I、 若所有点都在 x 轴上方, 则 ymax=f (3) =2可解得 t=1;II、若图像有部分在 x 轴下方,把 x 轴下方的部分对称地翻折 到 x 轴上方即可得到 的图像,则 ymax=f(1)或 ymax=f(3) ,解 得 t=-3或 t=1,经检验,t=1。综上所述,t=1。 考点三二次函数的图像的应用 例3.已知函数 f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞]上是增函数,则 f(1) 的范围是() A. f(1)≥25 B. f (1)=25 C. f(1)≤25 D. f(1)>25 解答:函数 f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数,则区间[- 2,+∞)必在对称轴的右侧,从而 选 A。 ,故 f(1)=9-m≥25。

说明:解决此类问题结合函数图像显得直观。 考点四二次函数的性质的应用 例4.设 的定义域是[n,n+1](n 是自然数) ,试判断 的

值域中共有多少个整数? 分析:可以先求出值域,再研究其中可能有多少个整数。 解答: 的对称轴为 ,因为 n 是自然数,故 ,

所以函数在[n,n+1]上是增函数。故

故知:值域中共有2n+2个整数。 说明:本题利用了函数的单调性,很快求出了函数的值域,这是求函数值域 的一个重要方法。 考点五二次函数的最值 例5.试求函数 分析:本题需就对称轴 <1, ∈[1,2],

在区间[1,3]上的最值。 与区间的相对位置关系进行分类讨论: >3。

∈(2,3],

解答:函数的对称轴 I、当 <1 即 时 : 函 数 在 [1 , 3] 上 是 增 函 数 , 故 ; II 、 当 ∈ [1 , 2] 即 ; III 、 当 ∈ ( 2 , 3] 即 ; IV 、 当 >3 即 时 : 函 数 在 [1 , 3] 上 为 减 函 数 , 故 时 : 时 :

综上所述:当 时 ,

时,

;当 ; 当

时, 时, 。

;当

考点六方程的根或函数零点的分布问题 例6.已知二次方程 的一个根比1大,另一个根比1小,试求 的取值范围。 解答: 设 , 则 ; 例7.当 为何实数时,关于 的方程 (I)有两个正实根; (II)有一个正实根,一个负实根。 解答: (I)设 像可知:

,由方程有两个正实根,结合图

(II)设

,结合图像可知:

说明:一元二次方程的根或二次函数零点的分布问题的处理主要思路是结合 函数图像,考虑三个内容:根或零点所在区间端点的函数的正负、判别式及对称 轴的位置。 考点七三个“二次”的关系 例8.已知关于 的一元二次不等式 关于 的一元二次不等式 。 解答: 法一:由题意可知, ,一元二次不等式 方程 的两个根是1和2,故

的解集为

, 试解

对应的一元二次 ;又

即关于 法二:

的一元二次不等式

的解集为



, 即关于 的一元二次不等式 的解集为 。

考点八二次函数的应用 例9.(2003北京春招)某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000 元时, 可全部租出, 当每辆车的月租金每增加50元时, 未租出的车将会增加一辆, 租出的车每辆每月需维护费150元。未租出的车每辆每月需维护费50元。 (I)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车? (II)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收 益是多少? 解答: ( I ) 当 每 辆 车 的 月 租 金 定 为 3600 元 时 , 未 租 出 的 车 辆 数 为 ,故租出了88辆; ( II ) 设 每 辆 车 月 租 金 定 为 元,则租赁公司的月收益为

故当月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大为307050元。

三、综合练习
1、小李从如图所示的二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象中,观察得出了下面四条信息: (1)
2

b -4ac>0; (2)c>1; (3)ab>0; (4)a-b+c<0. 你认为其中错误 的有( .. A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 1

2

) 个

y
A(1,4) B(4,4) C

O

D

x

第1题 2.已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 经过点 M(-1,2)和点 N(1,-2) ,交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴于 C 则??() ① b ? ?2 ; ②该二次函数图像与 y 轴交与负半轴 ③ 存在这样一个 a,使得 M、A、C 三点在同一条直线上 ④若 a ? 1, 则OA ? OB ? OC 以上说法正确的有: A.①②③④ B.②③④
2

(第 4 题)

2

C.①②④

D.①②③

3、在平面直角坐标系中,如果抛物线 y=2x 不动,而把 x 轴、y 轴分别向上、向右平移 2 个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( A.y=2(x + 2) -2 C.y=2(x-2) -2
2 2

)
2

B.y=2(x-2) + 2 D.y=2(x + 2) + 2
2

4.如图,点 A,B 的坐标分别为(1,4)和(4, 4),抛物线 y ? a( x ? m) ? n 的顶点在线段
2

AB 上运动,与 x 轴交于 C、D 两点(C 在 D 的左侧) ,点 C 的横坐标最小值为 ? 3 ,则点 D
的横坐标最大值为( A.-3
2

) B.1 C.5 D.8
2

5. 抛物线 y ? ax ? bx ? c 图像如图所示,则一次函数 y ? ?bx ? 4ac ?b 与反比例函数

y?

a?b?c x 在同一坐标系内的图像大致为

(

)

x 6. 把抛物线 y ? ? x 2 向上平移 2 个单位, x 轴的两个交点之间的距离是 x x x . x 那么所得抛物线与
3 2 7.如图,菱形 ABCD 的三个顶点在二次函数 y=ax -2ax+ (a<0)的 2 图象上,点 A、B 分别是该抛物线的顶点和抛物线与 y 轴的交点, 则点 D 的坐标为.
B y A D

C O 8. 老师给出一个 y 关于 x 的函数,甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质:

x

甲:函数图象不经过第三象限;乙:函数图象经过第一象限;丙:当 x<2 时,y 随 x 的增大 而减小;丁:当 x<2 时 y>0.已知这四位同学叙述都正确。请写出满足上述所有性质的一个 函数______________. 9.已知关于 x 的函数 y=(m-1)x +2x+m 图像与坐标轴有且只有 2 个交点,则 m= 10. 如图, 已知⊙P 的半径为 2, 圆心 P 在抛物线 y ? 轴相切时,圆心 P 的坐标为.
2

第 7 题图

1 2 x ? 1 上运动, 当⊙P 与 x 2
第 10 题

y
11. .如图,在第一象限内作射线 OC,与 x 轴的夹角为 30 ,在射线 OC 上取一 点 A,过点 A 作 AH⊥x 轴于点 H.在抛物线 y=x (x>0)上取点 P,在 y 轴上 取点 Q,使得以 P,O,Q 为顶点的三角形与△AOH 全等,则符合条件的点 A 的坐标是 _______________ .
2 o

y=x2 A C

O

H

x

12. 我们知道,根据二次函数的平移规律,可以由简单的函数通过平移后得 到较复杂的函数,事实上,对于其他函数也是如此。如一次函数,反比例函数等。请问

3x ? 2 1 可以由 y ? 通过_________________________平移得到。 x ?1 x 3 k 13 如图, 点 P 的坐标为 (2, ) , 过点 P 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 A, 交双曲线 y ? (x>0) 2 x k 于点 N;作 PM⊥AN 交双曲线 y ? (x>0)于点 M,连结 AM.已知 PN=4. x y?
(1)求 k 的值.(3 分) (2)求△APM 的面积.(3 分)

14 如图,已知 A(?4,n) , B(2, ? 4) 是一次函数 y ? kx ? b 的图象 和 反比例函数 y ?

m 的图象的两个交点. x

(1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及△ AOB 的面积; (3)求方程 kx ? b ? (4)求不等式 kx ? b ?
m ; ? 0 的解(请直接写出答案) x

m ? 0 的解集(请直接写出答案). x

15. 如图,在直角坐标系 xOy 中,正方形 OABC 的边长为 2cm,点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的 正半轴上。抛物线 y ? ? x ? bx ? c 经过点 B、C。
2

(1)求抛物线的解析式; (2)点 D、E 分别是 AB、BC 上的动点,且点 D 从点 A 开始,以 1cm/s 的速度沿 AB 向点 B 移动,同时点 E 从 点 B 开始,以 1cm/s 的速度沿 BC 向点 C 移动。运动 t 秒(t≤2)后,能否在抛物线上找到一点 P,使得四 边形 BEDP 为平行四边形。如果能,请求出 t 值和点 P

y C E B D O A P x

的坐标;如果不能,请说明理由。

16 已知二次函数 y ? ax ? bx ? c,其中a ? 0,b ? 4a c ? 0 ,它的图象与 x 轴只有
2 2 2 2

一个交点,交点为 A,与 y 轴交于点 B,且 AB=2 . (1)求二次函数解析式; (2)当 b<0 时,过 A 的直线 y=x+m 与二次函数的图象交于点 C,在线段 BC 上依次取 D、 E 两点,若 DE ? BD ? EC ,试确定 ?DAE 的度数,并简述求解过程。
2 2 2

17. 如图,在平面直角坐标系中,开口向下的抛物线与 x 轴交于 A、B 两点,D 是抛物线的 顶点, O 为坐标原点 . A 、 B 两点的横坐标分别是方程

x 2 ? 4 x ? 12 ? 0 的两根,且 cos∠DAB=

2 . 2

(1)求抛物线的函数解析式; (2)作 AC⊥AD,AC 交抛物线于点 C,求点 C 的坐标及直线 AC 的函数解析式; (3)在(2)的条件下,在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 P,使△APC 的面积最大?如 果存在,请求出点 P 的坐标和△APC 的最大面积;如果不存在,请说明理由.

18. 如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax +bx+3(a≠0)经过 A(?1 , 0) 、 B(3, 0) 两
2

点,抛物线与 y 轴交点为 C,其顶点为 D, 连接 BD, 点 P 是线段 BD 上一个动点(不与 B、 D 重合) ,过点 P 作 y 轴的垂线,垂足为 E,连接 BE. (1)求抛物线的解析式,并写出顶点 D 的坐标; (2)如果 P 点的坐标为(x,y) ,△PBE 的面积为 s,求 s 与 x 的函数关系式,写出自变 量 x 的取值范围,并求出 s 的最大值; (3)在(2)的条件下,当 s 取得最大值时,过点 P 作 x 的垂线,垂足为 F,连接 EF,把 △PEF 沿直线 EF 折叠,点 P 的对应点为 P' ,请直接写出 P'点坐标,并判断点 P'是 y

D

否在该抛物线上.

?3 ? 2 ?1 O

A

C3 2 E 1 P
?1

B
3

1 2

x

19. 已知:抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 经过点 O ? 0,0 ? , A ? 7,4 ? ,且对称轴 l 与 x 轴交于点

B ? 5,0 ? .
(1)求抛物线的表达式;

? 5? (2)如图,点 E 、 F 分别是 y 轴、对称轴 l 上的点,且四边形 EOBF 是矩形,点 C ? 5, ? ? 2?
是 BF 上一点,将 ?BOC 沿着直线 OC 翻折, B 点与线段 EF 上的 D 点重合,求 标; (3) 在 (2) 的条件下, 点 G 是对称轴 l 上的点, 直线 DG 交 CO 于点 H , S?DOH : S?DHC ? 1: 4 , 求 G 点坐标.
y
E D

D

点的坐

l
F

C

O

B

x

(第 3 题 图)

20. 如图,抛物线 y ? ax ? bx ? 3与x轴交于A, B两点 ,与 y 轴交于点 C ,且
2

OB ? OC ? 3OA .
(I)求抛物线的解析式; (II)探究坐标轴上是否存在点 P ,使得以点 P, A, C 为顶点的三角形为直角三角形? 若存在,求出 P 点坐标,若不存在,请说明理由; (III)直线 y ? ?

1 x ? 1 交 y 轴于 D 点, E 为抛物线顶点.若 ?DBC ? ? , 3

?CBE ? ? , 求? ? ? 的值.

21 如图,二次函数的图象经过点 D(0, 7 3 ),且顶点 C 的横坐标为 4,该图象在 x 轴上截
9

得的线段 AB 的长为 6.

⑴求二次函数的解析式; ⑵在该抛物线的对称轴上找一点 P,使 PA+PD 最小,求出点 P 的坐标; ⑶在抛物线上是否存在点 Q,使△QAB 与△ABC 相似?如果存在,求出点 Q 的坐标;如果 不存在,请说明理由.


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