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高考数学常用公式及结论200条--25

时间:2010-02-22


高考数学常用公式及结论 200 条

闭区间上的二次函数的最值 二次函数

f ( x) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 在闭区间 [ p, q ] 上的最值只能在 x =
x= b ∈ [ p, q ] 2a

集合 {a1 , a2 , , an } 的子集个数共有 2 个;非空的真子集有 2 –2 个.
n

n

个; 真子集有 2 –1 个; 非空子集有 2

n

n

–1

b 2a
,

处及区

间的两端点处取得,具体如下: (1) 当 a>0 时 , 若 则

集合 A 中有 M 个元素, 集合 B 中有 N 个元素, 则可以构造 M*N 个从集合 A 到集合 B 的映 射;二次函数,二次方程 二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 (2)顶点式 (3)零点式

f ( x) min = f ( x=

b ), f ( x) max = max { f ( p ), f (q )} ; 2a

f ( x) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) ; f ( x) = a ( x h) 2 + k (a ≠ 0) ; f ( x) = a( x x1 )( x x2 )(a ≠ 0) .
< f ( x) < M
常有以下转化形式

b [ p, q ] , f ( x) max =max { f ( p), f (q)} , f ( x) min =min { f ( p), f (q)} . 2a b (2) 当 a<0 时 , 若 x = ∈ [ p, q ] , 则 f ( x) min = min { f ( p ), f (q)} , 若 2a b x = [ p, q ] ,则 f ( x) max = max { f ( p), f (q)} , f ( x) min = min { f ( p ), f (q)} . 2a
一元二次方程的实根分布 依据:若

解连不等式 N

f (m) f (n) < 0 ,则方程 f ( x) = 0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根

.

N < f ( x) < M [ f ( x) M ][ f ( x) N ] < 0



f ( x) = x2 + px + q ,则
f ( x) = 0 在区间 (m,+∞) 内有根的充要条件为

| f ( x)

M +N M N f ( x) N |< >0 2 2 M f ( x)
.

(1)方程

p 2 4q ≥ 0 f (m) = 0 或 p ; >m 2



1 1 > f ( x) N M N
方程

f ( x) = 0 在 (k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) < 0 不等价,前者
2

(2) 方程

f ( x) = 0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为

是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 ax 有 一 个 实 根在

+ bx + c = 0(a ≠ 0) 有且只
, 或

f ( m) > 0 f ( n) > 0 f ( m ) f ( n) < 0 或 p 2 4q ≥ 0 m < p < n 2

(k1 , k 2 )
,或

内 , 等 价于

f ( k1 ) f ( k 2 ) < 0

f ( k1 ) = 0





k1 <

k + k2 b < 1 2a 2

f (k 2 ) = 0 且

k1 + k 2 b < < k2 . 2 2a

f ( m) = 0 f (n) = 0 或 ; af (n) > 0 af (m) > 0

(3)方程

f ( x) = 0 在区间 (∞, n) 内有根的充要条件为

p 2 4q ≥ 0 f (m) < 0 或 p < m 2

对任何 x , . 不成立

存在某 x , 成立

p 且q

p 或 q

四种命题的相互关系 原命题 若p则q 互 互 否 逆 否 否命题 若非p则非q 互逆 逆 否 逆否命题 若非q则非p 为 为 互 互 否 互逆 逆命题 若q则p

定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 (∞,+∞) 的子区间 L (形如 的二次不等式

[α , β ] , ( ∞, β ], [α ,+∞ ) 不同)上含参数

f ( x, t ) ≥ 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t ) min ≥ 0( x L) . f ( x, t ) ≥ 0 ( t 为参数)恒成立的

(2)在给定区间 (∞,+∞) 的子区间上含参数的二次不等式 充要条件是

f ( x, t ) man ≤ 0( x L) .

(3)

a ≥ 0 a < 0 f ( x) = ax 4 + bx 2 + c > 0 恒成立的充要条件是 b ≥ 0 或 2 . c > 0 b 4ac < 0
真值表 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 非p 假 假 真 真 p或q 真 真 真 假 p且q 真 假 假 假

充要条件 (1)充分条件:若 (2)必要条件:若 q

简易逻辑

p q ,则 p 是 q 充分条件. p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p q ,且 q p ,则 p 是 q 充要条件.

注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 函数 函数的单调性 (1)设 x1 x2 ∈

[a, b], x1 ≠ x2 那么
f ( x1 ) f ( x2 ) > 0 f ( x)在[a, b]上是增函数; x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) < 0 f ( x)在[a, b ] 上是减函数. x1 x2

常见结论的否定形式

( x1 x2 ) [ f ( x1 ) f ( x2 ) ] > 0
原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n 1 )个 至少有( n + 1 )个 (2) 设函 数

原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x , 成立

反设词 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 x , 不成立

( x1 x2 ) [ f ( x1 ) f ( x2 ) ] < 0

y = f (x) 在 某个 区间 内可导 , 如果 f ′( x) > 0 , 则 f (x) 为 增 函数 ;如果

p 或q

p 且 q

f ′( x) < 0 ,则 f (x) 为减函数.
如果函数

(1)函数

y = f ( x) 的图象关于直线x 称 f (a + x) = f (a x) = 对 a

f (x) 和 g (x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) + g ( x) 也是减 y = f (u ) 和 u = g (x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数

f (2a x) = f ( x) .
(2)函数

函数; 如果函数

y = f ( x) 的图象关于直线 x =

a+b 对称 f ( a + mx ) = f (b mx ) 2

y = f [ g ( x)] 是增函数.
奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;在对称区间上,奇函数的单调性相 同,欧函数相反; ,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的 图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数,如果一个奇函数的定义域包括 0,则必有 f(0)=0; 若函数

f (a + b mx) = f (mx) .
两个函数图象的对称性 (1)函数

y = f ( x) 与函数 y = f ( x) 的图象关于直线x即 y 轴)对称. = (
y = f (mx a ) 与函数 y = f (b mx) 的图象关于直线 x = y = f ( x) 和 y = f
1

(2)函数

y = f (x) 是偶函数,则 f ( x + a ) = f ( x a ) ;若函数 y = f ( x + a ) 是
(3)函数

a+b 对称. 2m

偶函数,则 对于函数

f ( x + a) = f ( x + a ) .

( x) 的图象关于直线 y=x 对称.

若将函数

y = f ( x) 的图象右移 a ,上移 b 个单位,得到函数 y = f ( x a ) + b 的 f ( x, y ) = 0
的图象右移

y = f (x) ( x ∈ R ), f ( x + a ) = f (b x) 恒成立,则函数 f ( x) 的对称
图象;若将曲线 的图象关于直线

a+b 轴是函数 x = ;两个函数 y = f ( x + a ) 与 y = f (b x ) 2 a+b 对称. x= 2


a

,上移

b

个单位,得到曲线

f ( x a, y b) = 0 的图象.
互为反函数的两个函数的关系

f ( x ) = f ( x + a )

,则函数

y = f (x)

的图象关于点

a ( ,0 ) 2

对称; 若

f (a) = b f 1 (b) = a .
若函数

f ( x) = f ( x + a ) ,则函数 y = f (x) 为周期为 2a 的周期函数.
多项式函数 P ( x )

y = f (kx + b) 存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为 y =
1

1 1 [ f ( x ) b] , 并 不 是 k

= an x n + an 1 x n 1 + + a0 的奇偶性 P ( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. P ( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

y =[f

(kx + b) ,而函数 y = [ f

1

(kx + b) 是 y =

1 [ f ( x) b] 的反函数. k

多项式函数 P ( x ) 是奇函数 多项式函数 P ( x ) 是偶函数 函数

几个常见的函数方程 (1)正比例函数

f ( x) = cx , f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ), f (1) = c .

(2)指数函数

y = f ( x) 的图象的对称性

f ( x) = a x , f ( x + y ) = f ( x) f ( y ), f (1) = a ≠ 0 .

(3)对数函数

f ( x) = log a x , f ( xy ) = f ( x) + f ( y ), f (a ) = 1(a > 0, a ≠ 1) .

指数与对数 分数指数幂
m

(4)幂函数 (5) 余

f ( x) = xα , f ( xy ) = f ( x) f ( y ), f ' (1) = α .
弦 函 数

(1) a n 函 数

=

1
n

f ( x) = cos x

,





g ( x) = sin x

a

m

(a

> 0, m, n ∈ N ,且 n > 1 ).(2) a



m n

=

1 a
m n

(a

> 0, m, n ∈ N ,

,

且n

> 1 ).
根式的性质 (1) (
n

f ( x y) = f ( x) f ( y) + g ( x) g( y) ,

g ( x) f (0) = 1, lim =1. x →0 x
几个函数方程的周期(约定 a>0) (1)

a, a ≥ 0 a ) n = a . 2) n 为奇数时,n a n = a ; n 为偶数时,n a n =| a |= ( 当 当 . a, a < 0

有理指数幂的运算性质 (1) (2)

f ( x) = f ( x + a ) ,则 f (x) 的周期 T=a; f ( x) = f ( x + a ) = 0 ,或 f ( x + a) =

a r a s = a r + s (a > 0, r , s ∈ Q) . (a r ) s = a rs (a > 0, r , s ∈ Q) .
r

(2)

1 ( f ( x) ≠ 0) , f ( x)

(3) ( ab) 或

= a r b r (a > 0, b > 0, r ∈ Q) .
p

f (x + a) =

1 1 ( f (x) ≠ 0) ,或 + f (x) 2

f ( x) f 2 ( x) = f ( x + a ), ( f ( x) ∈ [ 0,1]) ,

注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对 于无理数指数幂都适用. 指数式与对数式的互化式



f (x) 的周期 T=2a;
(3)

log a N = b a b = N (a > 0, a ≠ 1, N > 0)

.

f ( x) = 1

1 ( f ( x) ≠ 0) ,则 f (x) 的周期 T=3a; f ( x + a)
f ( x1 ) + f ( x2 ) f ( x1 + x2 ) = 1 f ( x1 ) f ( x2 )
且 推论

对数的换底公式

log a N =

(4)

log m N log m a

(a且 a , >

, ≠ 1 , m > 0 ,且m N > 0 ).

f (a ) = 1( f ( x1 ) f ( x2 ) ≠ 1, 0 <| x1 x2 |< 2a) ,则 f (x) 的周期 T=4a;
(5)

log am b n =

n log a b (a且 a > 1 , m, n > 0 ,且mn ≠ 1 , N > 0 ). , , > m

对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) log a ( MN ) (3) log a

f (x) + f (x + a) + f (x + 2a) f (x + 3a) + f (x + 4a)

= f (x) f (x + a) f (x + 2a) f (x + 3a) f (x + 4a) ,则 f (x) 的周期 T=5a;
(6)

= log a M + log a N

;(2)

log a

M = log a M log a N ; N

f ( x + a ) = f ( x) f ( x + a) ,则 f (x) 的周期 T=6a.

M n = n log a M (n ∈ R ) .

设函数 域为

f ( x) = log m (ax 2 + bx + c)(a ≠ 0) ,记 = b 2 4ac .若 f (x) 的定义

R ,则 a > 0 ,且 < 0 ;若 f (x) 的值域为 R ,则 a > 0 ,且 ≥ 0 .对于

a1 (1 q n ) a1 an q ,q ≠1 ,q ≠1 sn = 1 q 或 sn = 1 q . na , q = 1 na , q = 1 1 1
等比差数列

a = 0 的情形,需要单独检验.
对数换底不等式及其推广

{an }: an+1 = qan + d , a1 = b(q ≠ 0) 的通项公式为

,

1 ,则函数 y = log ax (bx ) a 1 (1)当a ,在( ( , +∞ ) 上 y = log ax (bx ) 为增函数. 时 和 > 0 b , ) a 1 (2)当a ,在( ( , +∞ ) 上 y = log ax (bx ) 为减函数. 时 和 < 0 b , ) a
若abx x , ,, >>>



b + (n 1)d , q = 1 an = bq n + (d b)q n 1 d ; ,q ≠1 q 1
其前 n 项和公式为

推论:设 n

, > m > 1 , p > 0 ,a 且 a ≠ 1 ,则 >

(1) log m + p ( n +

p ) < log m n .(2) log a m log a n < log a 2 p

m+n . 2

nb + n(n 1)d , (q = 1) sn = . d 1 qn d (b ) + n, (q ≠ 1) 1 q q 1 1 q
分期付款(按揭贷款)

平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 ,则对于时间

x

的总产值

y

,有

y = N (1 + p) x .
39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系

ab(1 + b)n 每次还款 x = 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 + b)n 1
三角函数 常见三角不等式

n =1 s1 , an = ( sn sn 1 , n ≥ 2
数列

数列 {an } 的前 n 项的和为 sn

= a1 + a2 + + an )

( 1 ) 若

x ∈ (0, ) 2

π

, 则

sin x < x < tan x

.(2)



x ∈ (0, ) 2

π

, 则

1 < sin x + cos x ≤ 2 .
= a1 + (n 1)d = dn + a1 d (n ∈ N * ) ;
(3)

等差数列的通项公式 an

| sin x | + | cos x |≥ 1 .
同角三角函数的基本关系式

其前 n 项和公式为 sn

=

n(a1 + an ) n(n 1) d 1 = na1 + d = n 2 + (a1 d )n . 2 2 2 2

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 , tan θ =
正弦,余弦的诱导公式

sin θ cosθ

, tan θ

cotθ = 1 .

等比数列的通项公式 an 其前 n 项的和公式为

= a1q

n 1

a = 1 q n (n ∈ N * ) ; q

n nπ (1) 2 sin α , sin( + α ) = n 1 2 (1) 2 co s α ,
n nπ ( 1) 2 co s α , co s( +α) = n +1 2 ( 1) 2 sin α ,

(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数)

cos 3θ = 4 cos3 θ 3cos θ = 4 cos θ cos( θ ) cos( + θ ) 3 3

π

π

.

tan 3θ =

3 tan θ tan 3 θ π π = tan θ tan( θ ) tan( + θ ) . 2 1 3 tan θ 3 3

三角函数的周期公式 函数

y = sin(ω x + ) ,x∈R 及函数 y = cos(ω x + ) ,x∈R(A,ω, 为常数,且 A≠0, = 2π

和角与差角公式

sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β ) = cos α cos β sin α sin β

ω>0)的周期 T ; ;

ω

;函数

y = tan(ω x + ) , x ≠ kπ +

π
2

,k ∈Z

(A,ω, 为常数,且 A

≠0,ω>0)的周期 T 正弦定理

=

π ω

.

tan(α ± β ) =

tan α ± tan β 1 tan α tan β

a b c = = = 2R . sin A sin B sin C

.

余弦定理

sin(α + β ) sin(α β ) = sin 2 α sin 2 β

a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A ; b 2 = c 2 + a 2 2ca cos B ; c 2 = a 2 + b 2 2ab cos C .
(平方正弦公式); . 面积定理

cos(α + β ) cos(α β ) = cos 2 α sin 2 β
a sin α + b cos α
定, tan =

a 2 + b 2 sin(α + ) ( 辅 助 角

所在象限由点

(a, b) 的 象 限 决

=

b a

).

半角正余切公式: tan 二倍角公式

α
2

=

sin α sin α , cot α = 1 + cos α 1 cos α
.

1 1 1 aha = bhb = chc ( ha,hb,hc 分别表示 a,b,c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S = ab sin C = bc sin A = ca sin B . 2 2 2 1 (3) S OAB = (| OA | | OB |) 2 (OA OB) 2 . 2
(1) S

=

三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A + B + C

= π C = π ( A + B)

sin 2α = sin α cos α tan 2α = 2 tan α 1 tan 2 α
三倍角公式 .

.

cos 2α = cos 2 α sin 2 α = 2 cos 2 α 1 = 1 2sin 2 α



C π A+ B = 2C = 2π 2( A + B) . 2 2 2
在三角形中有下列恒等式:



sin( A + B) = sin C A + tan B + tan C = tan A.tan B. tan C
简单的三角方程的通解

sin 3θ = 3sin θ 4 sin 3 θ = 4sin θ sin( θ ) sin( + θ ) . 3 3

π

π

② tan

sin x = a x = kπ + (1)k arcsin a(k ∈ Z ,| a |≤ 1) .
co s x = a x = 2kπ ± arccos a (k ∈ Z ,| a |≤ 1) . tan x = a x = kπ + arctan a (k ∈ Z , a ∈ R ) .
特别地,有

(1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a; a a (2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa; a a a; a;(3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb. a b a b 向量的数量积的运算律: b= (1) ab= b a (交换律);(2)( λ a) b= b= b (3)(a+b) c= a c +b c. +b) c= c +bc. 平面向量基本定理 如果 e1,e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一 e 对实数λ1,λ2,使得 a= 1e1+λ2e2. a=λ 不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 基底. e 基底 向量平行的坐标表示 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ≠ 0,则 a b(b ≠ 0) b

λ (ab)= λ ab= b b

( a λ b);

sin α = sin β α = kπ + (1) k β (k ∈ Z ) .
co s α = cos β α = 2kπ ± β (k ∈ Z ) . tan α = tan β α = kπ + β (k ∈ Z ) .
最简单的三角不等式及其解集

x 1 y2 x2 y1 = 0 .

a 与 b 的数量积(或内积) ab=|a||b|cosθ. b b
. ab 的几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积. 平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 b (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 b (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB

sin x > a (| a |≤ 1) x ∈ (2kπ + arcsin a, 2kπ + π arcsin a ), k ∈ Z

sin x < a (| a |≤ 1) x ∈ (2kπ π arcsin a, 2kπ + arcsin a ), k ∈ Z . cos x > a (| a |≤ 1) x ∈ (2kπ arccos a, 2kπ + arccos a ), k ∈ Z . cos x < a (| a |≤ 1) x ∈ (2kπ + arccos a, 2kπ + 2π arccos a ), k ∈ Z .

+ x2 , y1 + y2 ) . x2 , y1 y2 ) .

tan x > a (a ∈ R) x ∈ (kπ + arctan a, kπ + ), k ∈ Z . 2 tan x < a (a ∈ R) x ∈ (kπ
角的变形: 2 β

π

= OB OA = ( x2 x1 , y2 y1 ) .

π

2

, kπ + arctan a ), k ∈ Z .

(4)设 a= ( x, y ), λ ∈ R ,则 λ a= (λ x, λ y ) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 ab= ( x1 x2 b b= 两向量的夹角公式 公式

2α = (α β ) + (α + β ) = (α + β ) (α β ) 向量 α = (α + β ) β

+ y1 y2 ) .

cos θ =

x1 x2 + y1 y2
2 2 x + y12 x2 + y2 2 1

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ). b

平面两点间的距离公式 实数与向量的积的运算律 设λ,μ为实数,那么

d A, B = | AB |= AB AB

= ( x2 x1 ) 2 + ( y2 y1 ) 2
向量的平行与垂直

(A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).

(1)点 P ( x, y ) 按向量 a=( 移后得到点 P h , 平 ) k (2) 函数 y

'

( x + h, y + k ) .

设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ≠ 0,则 b A||b b=λa b a

= f ( x) 的图象C 按向量 a=( 移后得到图象C ' ,则C ' 的函数解析式为 y = f ( x h) + k . h , k 平 )

y = f ( x h) + k .
()图 C 按 量a( 移 得 图 C , C 的 析 y 3 象 向 a, 后 到 象 若 = h k 平 ) 解 式
'

x 1 y2 x2 y1 = 0 . x 1 x2 + y1 y2 = 0 .
y = f ( x + h) k .

b=0 a ⊥ b(a ≠ 0) ab= b= 线段的定比分公式

= f ( x) ,则C ' 的 数 析 为 y = f ( x + h) k . 函 解 式

设 P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) 是线段 P P 的分点, λ 是实数,且 P P 1 2 1 2 1 则

= λ PP2 ,

(4)曲线 C :

f ( x, y ) = 0 按向量 a=( 移后得到图象 C ' ,则 C ' 的方程为 f ( x h, y k ) = 0 . h , k 平 )

x1 + λ x2 x = 1+ λ OP + λ OP2 OP = 1 1+ λ y = y1 + λ y2 1+ λ
1 OP = tOP + (1 t )OP2 ( t = 1 1+ λ
三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 ), B(x2 ,y2 ), C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐标 是 G( ).

f ( x h, y k ) = 0 .
(5) 向量 m= ( x, y ) 按向量 a=( 移后得到的向量仍然为 m= ( x, y ) . h , k 平 ) 三角形五"心"向量形式的充要条件 设 O 为 ABC 所在平面上一点,角 (1) O 为 ABC 的外心
2

A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则
2 2

OA = OB = OC

.

(2) O 为 ABC 的重心 OA + OB + OC (3) O 为 ABC 的垂心 OA OB (4) O 为 ABC 的内心

= 0.

x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 , ). 3 3
点的平移公式

= OB OC = OC OA .

x' = x + h x = x' h OP ' = OP + PP ' ' ' y = y + k y = y k
'

aOA + bOB + cOC = 0 . aOA = bOB + cOC .
不等式

.

(5) O 为 ABC 的 ∠A 的旁心
'

注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F 上的对应点为 P 为( h , ) . k "按向量平移"的几个结论

( x ' , y ' ) ,且 PP ' 的坐标为( h , k . )

常用不等式:

(1) a, b ∈ R (2) a, b ∈ R (3) a
3

a 2 + b 2 ≥ 2ab (当且仅当 a=b 时取"="号).
+

x < x1 , 或x > x2 ( x x1 )( x x2 ) > 0( x1 < x2 ) .
含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有



a+b ≥ ab (当且仅当 a=b 时取"="号). 2

+ b3 + c3 ≥ 3abc(a > 0, b > 0, c > 0).

x < a x2 < a a < x < a .
2

(4)柯西不等式

x > a x2 > a2 x > a 或 x < a
2 2

.

(a + b )(c + d ) ≥ (ac + bd ) , a, b, c, d ∈ R.
2 2 2

75.无理不等式

(5)

a b ≤ a+b ≤ a + b
极值定理

. (1)

已知 x, y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值

f ( x) ≥ 0 f ( x) > g ( x) g ( x) ≥ 0 f ( x) > g ( x )

.

p ,则当 x = y 时和 x + y 有最小值 2 p ;
(2)

1 2 (2)若和 x + y 是定值 s ,则当 x = y 时积 xy 有最大值 s . 4
推广 已知 x, y ∈ R ,则有 ( x + (1)若积 xy 是定值,则当 | 当|

f ( x) ≥ 0 f ( x) ≥ 0 f ( x) > g ( x) g ( x) ≥ 0 或 . f ( x) > [ g ( x)]2 g ( x) < 0 f ( x) ≥ 0 f ( x) < g ( x) g ( x) > 0 . f ( x) < [ g ( x)]2
指数不等式与对数不等式

y ) 2 = ( x y ) 2 + 2 xy
(3)

x y | 最大时, | x + y | 最大;
(1)当 a

x y | 最小时, | x + y | 最小. x + y | 是定值,则当 | x y | 最大时, | xy | 最小;

> 1 时,

(2)若和 | 当|

a f ( x ) > a g ( x ) f ( x ) > g ( x) ;

x y | 最小时, | xy | 最大.
一元二次不等式 ax
2

+ bx + c > 0(或 < 0) (a ≠ 0, = b2 4ac > 0) ,如果 a 与

f ( x) > 0 log a f ( x) > log a g ( x) g ( x) > 0 . f ( x) > g ( x)
(2)当 0 <

ax 2 + bx + c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax 2 + bx + c 异号,则其解集在
两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.

a < 1 时,

a f ( x ) > a g ( x ) f ( x) < g ( x) ;

x1 < x < x2 ( x x1 )( x x2 ) < 0( x1 < x2 ) ;

f ( x) > 0 log a f ( x) > log a g ( x) g ( x) > 0 f ( x ) < g ( x)
直线方程 斜率公式 ①k

②两直线垂直的充要条件是 夹角公式 (1) tan α

A1 A2 + B1 B2 = 0 ;即: l1 ⊥ l2 A1 A2 + B1 B2 = 0

=|

k2 k1 |. 1 + k2 k1

=

y2 y1 x2 x1

( P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) ).② k=tanα(α为直线倾斜角) 1 2

( l1 :

y = k1 x + b1 , l2 : y = k2 x + b2 , k1k2 ≠ 1 )
=|

直线的五种方程 (1)点斜式 (2)斜截式

(2) tan α (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 1 ( l1 :

y y1 = k ( x x1 )

A1 B2 A2 B1 |. A1 A2 + B1 B2

y = kx + b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). y y1 x x1 = ( y1 ≠ y2 )( P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) 1 2 y2 y1 x2 x1
( x1

A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 , A1 A2 + B1 B2 ≠ 0 ). ⊥ l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是

直线 l1

π
2

.

(3)两点式

≠ x2 )).

l1 到 l2 的角公式
(1) tan α

(4)截距式 (5)一般式

x y + = 1 (a 别为直线的横,纵截距, a,b ≠ 0 ) , b 分 a b Ax + By + C = 0 (其中 A,B 不同时为 0).

=

k2 k1 1 + k2 k1

.

两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : ①l ②l

( l1 :

y = k1 x + b1 , l2 : y = k2 x + b2 , k1k2 ≠ 1 )
=

y = k1 x + b1 , l2 : y = k2 x + b2

(2) tan α

1

|| l2 k1 = k2 , b1 ≠ b2 ;
( l1 :

A1 B2 A2 B1 A1 A2 + B1 B2

.

1

⊥ l2 k1k2 = 1 . A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 ,且 A1,A2,B1,B2 都不为零,
A1 B1 C1 = ≠ A2 B2 C2
;

A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 , A1 A2 + B1 B2 ≠ 0 ). ⊥ l2 时,直线 l1 到 l2 的角是

直线 l1

π
2

.

(2)若 l1 :

四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点 P ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 0

①l

1

|| l2

y y0 = k ( x x0 ) (除直线
的 直 线 系 方 程 为

x = x0

), 其 中

k

是 待 定 的 系 数 ;

经 过 定 点

P0 ( x0 , y0 )

A( x x0 ) + B( y y0 ) = 0 ,其中 A, B 是待定的系数.
(2)共点直线系方程:经过两直线 l1 :

设曲线 C : ( A1 x + B1 y + C1 )( A2 x + B2 y + C2 )

= 0 ( A1 A2 B1 B2 ≠ 0 ) ,则

A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 的交 = 0 (除 l2 ),其中λ是待定的系

( A1 x + B1 y + C1 )( A2 x + B2 y + C2 ) > 0 或 < 0 所表示的平面区域是: ( A1 x + B1 y + C1 )( A2 x + B2 y + C2 ) > 0 所表示的平面区域上下两部分; ( A1 x + B1 y + C1 )( A2 x + B2 y + C2 ) < 0 所表示的平面区域上下两部分.圆 圆
圆的四种方程 (1)圆的标准方程 (2)圆的一般方程

点的直线系方程为 ( A1 x + B1 y + C1 ) + λ ( A2 x + B2 y + C2 ) 数. (3)平行直线系方程: 直线 程.与直线 量. (4)垂直直线系方程:与直线

y = kx + b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线系方

Ax + By + C = 0 平行的直线系方程是 Ax + By + λ = 0 ( λ ≠ 0 ),λ是参变

( x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2 . x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ( D 2 + E 2 4 F >0). x = a + r cos θ . y = b + r sin θ ( x x1 )( x x2 ) + ( y y1 )( y y2 ) = 0 ( 圆 的 直 径 的 端 点 是

Ax + By + C = 0

(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是 (3)圆的参数方程

Bx Ay + λ = 0 ,λ是参变量.
点到直线的距离

(4)圆的直径式方程 (点 P ( x0 , y0 ) ,直线 l :

d=

| Ax0 + By0 + C | A2 + B 2

Ax + By + C = 0 ).

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ).
圆系方程 (1)过点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 的圆系方程是

Ax + By + C > 0 或 < 0 所表示的平面区域
设直线

l : Ax + By + C = 0 , 若

A>0, 则 在 坐 标 平 面 内 从 左 至 右 的 区 域 依 次 表 示

Ax + By + C < 0 , Ax + By + C > 0 ,若

( x x1 )( x x2 ) + ( y y1 )( y y2 ) + λ[( x x1 )( y1 y2 ) ( y y1 )( x1 x2 )] = 0
A<0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示

Ax + By + C > 0 , Ax + By + C < 0 ,可记为"x
的系数 A,开口对指"<>",背靠背指"><")

( x x1 )( x x2 ) + ( y y1 )( y y2 ) + λ (ax + by + c) = 0 ,其中 ax + by + c = 0 是直
为正开口对,X 为负背靠背". (正负指 X 线

AB 的方程,λ是待定的系数.
(2)过直线 l :

Ax + By + C = 0 与圆 C : x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 的交点的圆系方程

85.

( A1 x + B1 y + C1 )( A2 x + B2 y + C2 ) > 0 或 < 0 所表示的平面区域

是x

2

+ y 2 + Dx + Ey + F + λ ( Ax + By + C ) = 0 ,λ是待定的系数.
x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 = 0 与圆 C2 : x 2 + y 2 + D2 x + E2 y + F2 = 0

(3) 过圆 C1 :

的交点的圆系方程是 待定的系数.

x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 + λ ( x 2 + y 2 + D2 x + E2 y + F2 ) = 0 ,λ是

91.圆的切线方程 (1)已知圆 x
2

+ y 2 + Dx + Ey + F = 0 .

点与圆的位置关系 点 P ( x0 , y0 ) 与圆 ( x a ) 若d
2

+ ( y b) = r
2

①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是
2

的位置关系有三种

= (a x0 ) 2 + (b y0 ) 2
直线与圆的位置关系

,则

d > r 点 P 在圆外; d = r 点 P 在圆上; d < r 点 P 在圆内.
直线

D( x0 + x) E ( y0 + y ) + + F = 0. 2 2 D( x0 + x) E ( y0 + y ) 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, x0 x + y0 y + + + F = 0 表示过两个切 2 2 x0 x + y0 y +
点的切点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为

Ax + By + C = 0 与圆 ( x a) 2 + ( y b) 2 = r 2 的位置关系有三种:

y y0 = k ( x x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必有

d > r 相离 < 0 ; d = r 相切 = 0 ;

两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为
2

y = kx + b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线.

(2)已知圆 x

d < r 相交 > 0 .
其中 d

+ y2 = r2 .
y0 y = r 2 ;
.

=

Aa + Bb + C A2 + B 2

①过圆上的 P ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x + 0 ②斜率为 k 的圆的切线方程为

.

y = kx ± r 1 + k 2
椭圆

两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2,

O1O2 = d

椭圆

d > r1 + r2 外离 4条公切线 ; d = r1 + r2 外切 3条公切线 ; r1 r2 < d < r1 + r2 相交 2条公切线 ; d = r1 r2 内切 1条公切线 ; 0 < d < r1 r2 内含 无公切线 .
椭圆

x = a cos θ x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 的参数方程是 . 2 a b y = b sin θ x2 y2 + = 1(a > b > 0) 焦半径公式 a2 b2

PF1 = a + ex , PF2 = a ex , F1 , F2分别为左右焦点
焦点三角形:P

x2 y2 为椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 上一点,则三角形 PF F2 的面积 1 a b

S= b

2

tan

∠PF1 F2 ; 特别地,若 PF1 ⊥ PF2 , 此三角形面积为 b 2 ; 2
P,使 PF1

a2 a2 PF1 =| e( x + ) | , PF2 =| e( x) | . c c
c≥b,即椭圆 双曲线的内外部

在椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 上存在点 a2 b2
2 ,1) ; 2

⊥ PF2 的条件是

(1)点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线

的离心率 e 的范围是 [ 椭圆的的内外部

x2 y2 x2 y2 2 = 1(a > 0, b > 0) 的内部 0 0 > 1 . a2 b a2 b2 x2 y2 x2 y2 2 = 1(a > 0, b > 0) 的外部 0 0 < 1 . a2 b a2 b2

(2)点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线

2 2 x0 y0 x2 y2 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的内部 2 + 2 < 1 . a b a b

双曲线的方程与渐近线方程的关系

(2)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 椭圆的切线方程

x2 y 2 x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 的外部 0 + 0 > 1 . a2 b a2 b2

(1)若双曲线方程为

x2 y2 x2 y2 2 = 1 渐近线方程: 2 2 = 0 y = ± b x . a b a2 b a


(2)若渐近线方程为 y

x y x y b x ± = 0 双曲线可设为 2 2 = λ . a b a a b

2

2

(1)椭圆

xx y y x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 + 02 = 1 . 2 a b a b

(3)若双曲线与 上, λ

x2 y2 x2 y2 2 = 1 有公共渐近线,可设为 2 2 = λ ( λ > 0 ,焦点在 x 轴 a2 b a b

x2 y2 (2 )过 椭 圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 外 一点 P ( x0 , y0 ) 所 引 两 条 切线 的 切点 弦方 程 是 a b
x0 x y0 y + 2 = 1. a2 b
( 3 ) 椭 圆

< 0 ,焦点在 y 轴上).
双曲线的切线方程

(1)双曲线

xx y y x2 y 2 2 = 1(a > 0, b > 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 02 = 1 . 2 a b a b

x2 y2 + = 1(a > b > 0) a2 b2

与 直 线

Ax + By + C = 0

相 切 的 条 件 是 (2)过双曲线

A2 a 2 + B 2b 2 = c 2 .双曲线

x2 y 2 = 1(a > 0, b > 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a2 b2

x2 y2 双曲线 2 2 = 1( a > 0, b > 0) 的焦半径公式 a b

x0 x y0 y 2 = 1. a2 b
(3)双曲线

x2 y 2 = 1(a > 0, b > 0) a2 b2

与直线

Ax + By + C = 0

相切的条件是

A2 a 2 B 2 b 2 = c 2 .

焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度(即 b 值) 抛物线 焦点与半径

(1)点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线

y 2 = 2 px( p > 0) 的内部 y 2 < 2 px( p > 0) .

y 2 = 2 px( p > 0) 的外部 y 2 > 2 px( p > 0) . y 2 = 2 px( p > 0) 的内部 y 2 < 2 px( p > 0) .

a a 抛物线y 2 = ax(a ≠ 0), 焦点是( , 0), 准线x = ; 4 4 a a 抛物线x2 = ay (a ≠ 0), 焦点是(0, ), 准线y = ; 4 4
焦半径公式 抛物线

(2)点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线

y 2 = 2 px( p > 0) 的外部 y 2 > 2 px( p > 0) .
2

y 2 = 2 px( p > 0) ,C ( x0 , y0 ) 为抛物线上一点,焦半径 CF = x0 +

p . 2

(3)点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x
2

= 2 py ( p > 0) 的内部 x 2 < 2 py ( p > 0) .

p p 过焦点弦长 CD = x1 + + x 2 + = x1 + x 2 + p .对焦点在 y 轴上的抛物线有类似结 2 2
论. 设点方法 抛物线

= 2 py ( p > 0) 的外部 x 2 > 2 py ( p > 0) .
2

(4) 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x
2

= 2 py ( p > 0) 的内部 x 2 < 2 py ( p > 0) .

= 2 py ( p > 0) 的外部 x 2 > 2 py ( p > 0) .

y 2 = 2 px 上的动点可设为 P (

y0 2 , y0 ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt )或 2p

P (x

, y ) ,其中

抛物线的切线方程 (1)抛物线

2 y0 = 2 px0 .

y 2 = 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y = p( x + x0 ) . y 2 = 2 px 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y = p(x + x0 ) .

二次函数

(2)过抛物线

y = ax2 + bx + c = a( x +

b 2 4ac b2 ) + (a ≠ 0) 的图象是抛物线: 2a 4a
2

(3)抛物线

y 2 = 2 px( p > 0) 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是 pB 2 = 2 AC . y 2 = 2 px
( p>0) 的 焦 点 F 的 直 线 与 抛 物 线 相 交 于

过 抛 物 线 (1)顶点坐标为 (

b 4ac b , ); 2a 4a b 4ac b + 1 , ); 2a 4a
2

A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ), 则有y1 y2 = p 2 , x1 x2 = 4 p 2 , 1 即k OA .K OB =- (O为原点) 4 1 A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ), 则有y1 y2 = p 2 , x1 x2 = 4 p 2 , 即k OA .K OB =- (O为原点) ; 4
圆锥曲线共性问题 两个常见的曲线系方程

(2)焦点的坐标为 (

4ac b2 1 (3)准线方程是 y = . 4a
抛物线的内外部

(1)过曲线

f1 ( x, y ) = 0 , f 2 ( x, y ) = 0 的交点的曲线系方程是

F (x

2 A( Ax + By + C ) 2 B( Ax + By + C ) ,y ) = 0. 2 2 A +B A2 + B 2

f1 ( x, y) + λ f2 ( x, y) = 0 ( λ 为参数).
(2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程

"四线"一方程 对于一般的二次曲线

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ,用 x0 x 代 x 2 ,用 y0 y 代

x2 y2 + 2 = 1 , 其 中 k < max{a 2 , b 2 } . 当 a2 k b k
2

k > min{a 2 , b 2 } 时,表示椭圆;

当 min{a

, b 2 } < k < max{a 2 , b 2 } 时,表示双曲线.

x0 y + xy0 x0 + x y0 + y 代 xy ,用 代 x ,用 代 y 即得方程 2 2 2 x y + xy0 x +x y +y + Cy0 y + D 0 + E 0 + F = 0 ,曲线的切线,切点弦, Ax0 x + B 0 2 2 2

y 2 ,用

直线与圆锥曲线相交的弦长公式

中点弦,弦中点方程均是此方程得到.立体几何 109.证明直线与直线的平行的思考途径 或 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 110.证明直线与平面的平行的思考途径
2

AB = ( x1 x2 )2 + ( y1 y2 ) 2

AB = (1 + k 2 )( x2 x1 ) 2 =| x1 x2 | 1 + tan 2 α =| y1 y2 | 1 + co t 2 α
(弦端点 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )

y = kx + b 由方程 F( x, y) = 0
为直线的斜率).

消去 y 得到 ax

+ bx + c = 0 , > 0 , α 为直线 AB 的倾斜角, k

(1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直;

涉及到曲线上的 点 A,B 及线段 AB 的中点 M 的关系时,可以利用"点差法: ,比如在椭圆中:

A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ),中 点 M ( x 0 , y 0 ), 则 有 : x12 y12 + = 1 (1 ) a 2 b2 x22 y22 + = 1(2 ) a 2 b2 y1 y 2 (1 ) ( 2 ) = x1 x 2
圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y ) (2)曲线 F ( x, y )

x1 + x 2 b ( y1 y 2 a

2 2

x0 b ) = ( y0 a

2 2

)

(3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;

= 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 y ) = 0 . = 0 关于直线 Ax + By + C = 0 成轴对称的曲线是

(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. a b b a (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). a b c a b c (3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb. a b a b 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公 共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a,b(b≠0 ),a‖b 存在实数λ使 a=λb.

120.空间向量基本定理 如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x,y,z, b c 使 p=xa+yb+zc. a b c 推论 z,使 OP 设 O,A,B,C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实数 x,y,

= xOA + yOB + zOC .

121.射影公式 已知向量
'

AB =a 和轴 l , 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点在 l 上的射影 A' , B 点在 l 作 e .

上的射影 B ,则

A' B ' =| AB | cos 〈a,e〉=ae e e
122.向量的直角坐标运算 设 a= ( a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) 则 b

P,A,B 三点共线 AP || AB AP = t AB OP = (1 t )OA + tOB .

AB || CD AB , CD 共线且 AB,CD 不共线 AB = tCD 且 AB,CD 不共
线. 118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a,b 共面的 存在实数对 x, y ,使 b 推论

(1)a+b= ( a1 + b1 , a2 b (2)a-b= ( a1 b1 , a2 b

+ b2 , a3 + b3 ) ; b2 , a3 b3 ) ;

p = ax + by .

(3)λa= (λ a1 , λ a2 , λ a3 ) (λ∈R); (4)ab= a1b1 + a2b2 b

空间一点 P 位于平面 MAB 内的 存在有序实数对 x, y ,使 MP

= xMA + yMB ,

+ a3b3 ;

或对空间任一定点 O,有序实数对 x, y ,使 OP 119. 对 空 间 任 一 点 (x+

= OM + xMA + yMB .
123.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 A,B,C,满足

O 和不共线的三点

OP = xOA + yOB + zOC

y+z =k) ,则当 k = 1 时,对于空间任一点 O ,总有 P,A,B,C 四点共面;当 k ≠ 1 时,

AB = OB OA = ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) .
124.空间的线线平行或垂直

若 O ∈ 平面 ABC,则 P,A,B,C 四点共面;若 O 平面 ABC,则 P,A,B,C 四点不共面.

r
设a

A,B, ,D C

四点共面

AD 与 AB , AC 共面 AD = x AB + y AC

r = ( x1 , y1 , z1 ) , b = ( x2 , y2 , z2 ) ,则

OD = (1 x y )OA + xOB + yOC ( O 平面 ABC).

x1 = λ x2 r r r r r r a P b a = λ b(b ≠ 0) y1 = λ y2 ; z = λ z 2 1 r r r r a ⊥ b a b = 0 x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0 .
125.夹角公式 设 a= ( a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 b

成的角分别是 θ1 , θ 2 ,

A,B 为 ABC 的两个内角,则
.

sin 2 θ1 + sin 2 θ 2 = (sin 2 A + sin 2 B ) sin 2 θ
特别地,当 ∠ACB

= 90

时,有

sin 2 θ1 + sin 2 θ 2 = sin 2 θ . a1b1 + a2b2 + a3b3
2 2 a + a2 + a3 b12 + b22 + b32 2 1

130.若 ABC 所在平面若 β 与过若 . 成的角分别是 θ1 , θ 2 ,

AB 的平面 α

成的角 θ ,另两边

AC , BC 与平面 α

cos〈a,b〉= b

A',B ' 为 ABO 的两个内角,则

推论

2 2 (a1b1 + a2b2 + a3b3 ) 2 ≤ (a12 + a2 + a3 )(b12 + b22 + b32 ) ,此即三维柯西不等式.

tan 2 θ1 + tan 2 θ 2 = (sin 2 A' + sin 2 B ' ) tan 2 θ .
特别地,当 ∠AOB

126. 四面体的对棱所成的角 四面体

ABCD 中, AC 与 BD 所成的角为 θ ,则

= 90

时,有

| ( AB 2 + CD 2 ) ( BC 2 + DA2 ) | cos θ = . 2 AC BD
127.异面直线所成角

sin 2 θ1 + sin 2 θ 2 = sin 2 θ .
131.二面角 α

l β

的平面角

r r cos θ =| cos a, b |
r r | a b | = r r = | a || b |
o

θ = arc cos
| x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 |

mn mn 或 π arc cos ( m , n 为平面 α , β 的法向量). | m || n | | m || n |

x1 + y12 + z12 x2 2 + y2 2 + z2 2
2
o

132.三余弦定理 设 AC 是α内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 θ1 ,AB 与 AC 所 成的角为 θ 2 ,AO 与 AC 所成的角为 θ .则 cos θ 133. 三射线定理 若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 θ1 , θ 2 ,与二面角的 棱所成的角是θ,则有 sin
2

r r (其中 θ ( 0 < θ ≤ 90 )为异面直线 a, 所成角, a, b 分别表示异面直线 a, 的方向向量) b b
128.直线 AB 与平面所成角

= cos θ1 cos θ 2 .

β = arc sin

AB m ( m 为平面 α 的法向量). | AB || m | AB 的平面 α 成的角 θ ,另两边 AC , BC 与平面 α

129.若 ABC 所在平面若 β 与过若

sin 2 θ = sin 2 θ1 + sin 2 θ 2 2sin θ1 sin θ 2 cos

;

| θ1 θ 2 |≤ ≤ 180 (θ1 + θ 2 ) (当且仅当 θ = 90
134.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

时等号成立).

139.三个向量和的平方公式

(a + b + c) 2 = a + b + c + 2a b + 2b c + 2c a
= a + b + c + 2 | a | | b | cos a, b + 2 | b | | c | cos b, c + 2 | c | | a | cos c, a
. 140. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1,l2,l3 ,夹角分别为
2 2 2

2

2

2

d A, B = | AB |= AB AB = ( x2 x1 )2 + ( y2 y1 ) 2 + ( z2 z1 ) 2
135.点 Q 到直线 l 距离

θ1,θ 2,θ 3 ,则有
(点

h=
b= PQ ).

1 (| a || b |) 2 (a b) 2 |a|

P 在 直线 l 上 , 直 线 l 的 方 向向 量

a=

PA , 向 量
.

2 l 2 = l12 + l2 + l32 cos2 θ1 + cos2 θ 2 + cos2 θ3 = 1 sin 2 θ1 + sin 2 θ 2 + sin 2 θ 3 = 2

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 141. 面积射影定理

136.异面直线间的距离

| CD n | d= ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n , C,D 分别是 l1 , l2 上任一点, d 为 |n|

S=

S' cos θ

.

(平面多边形及其射影的面积分别是 S , S ,它们所在平面所成锐二面角的为 θ ).
'

l1 , l2 间的距离).
137.点 B 到平面 α 的距离

142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S斜棱柱侧 和 V斜棱柱 ,它的直截面的周长和面积 分别是 c1 和 S1 ,则 ① S斜棱柱侧 . ② V斜棱柱
'

d=

| AB n | ( n 为平面 α 的法向量, AB 是经过面 α 的一条斜线, A ∈ α ). |n|

138.异面直线上两点距离公式

= c1l .

d = h + m + n 2mn cos θ
2 2 2
2 2 2

d = h + m + n 2mn cos EA , AF d = h 2 + m2 + n 2 2mn cos
(

= S1l .

.

143.作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 144.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比 等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相似多边形, 相似多边形面积的比等于对应边的比的平方) ;相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面

= E AA' F ). AA' 的长度为 h.在直线 a,b 上分别取两点 E,F,

(两条异面直线 a, 所成的角为θ, b 其公垂线段

A' E = m , AF = n , EF = d ).

距离与棱锥高的平方比. 145.欧拉定理(欧拉公式)

N = m1 × m2 × × mn .
排列数公式

V + F E = 2 (简单多面体的顶点数 V,棱数 E 和面数 F). (1) E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n 的多边形,则面数 F 与棱数 1 E 的关系: E = nF ; 2 1 (2)若每个顶点引出的棱数为 m ,则顶点数 V 与棱数 E 的关系: E = mV . 2
146.球的半径是 R,则 其体积 V

Anm = n(n 1) (n m + 1) =
注:规定 0! = 1 . 排列恒等式 (1) An (2) (3)
m

n! .( n , m ∈N ,且 m ≤ n ). N (n m)!
*

4 = π R3 , 3
= 4π R 2 .

= (n m + 1) Anm 1 ; n Anm1 ; nm

Anm =

其表面积 S

147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正 方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:

m Anm = nAn 1 ; 1 n + = Ann+11 Ann ;

(4) nAn (5) (6)

m Anm+1 = An + mAnm 1 .

1!+ 2 2!+ 3 3!+ + n n ! = (n + 1)! 1 .
组合数公式

6 6 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为. 2 1 4
148.柱体,锥体的体积

m Cn =

Anm n(n 1) (n m + 1) n! = = ( n ∈N , m ∈ N ,且 m ≤ n ). N m Am 1× 2 × × m m!(n m)!
*

1 V柱体 = Sh ( S 是柱体的底面积, h 是柱体的高). 3 1 V锥体 = Sh ( S 是锥体的底面积, h 是锥体的高). 3
排列组合 分类计数原理(加法原理)

组合数的两个性质 (1) C n = C n (2)
m nm

;

m m m C n + C n 1 = C n +1 . 0

N = m1 + m2 + + mn .
分步计数原理(乘法原理)

注:规定 C n

=1.

组合恒等式 (1) Cn
m

=

n m + 1 m 1 Cn ; m

(2) Cn

n Cnm1 ; nm n m 1 m (3) Cn = Cn 1 ; m
m

=

捆绑法; ③插空:两组元素分别有 k,h 个( k 不能挨近的所有排列数有
h k Ah Ah +1 种.

≤ h + 1) ,把它们合在一起来作全排列,k 个的一组互

(4)

∑C
r =0
r

n

(3)两组元素各相同的插空
r n

=2 ;

n

m 个大球 n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法?
当n

(5) C r (6) C n
0

r r +1 + C rr+1 + C rr+ 2 + + C n = C n +1 . 1 2 r n + Cn + Cn + + Cn + + Cn = 2 n . 3 5 0 2 4 + C n + C n + = C n + C n + C n + 2 n 1 . 2 3 n + 2C n + 3C n + + nC n = n 2 n 1 . 0 r 1 0 r r + C m1C n + + C mr C n = C m + n . n n 1 2 + (C n ) 2 + (C n ) 2 + + (C n ) 2 = C 2 n .

> m + 1 时,无解;当 n ≤ m + 1 时,有

n Am +1 n = C m +1 种排法. n An n

(4)两组相同元素的排列:两组元素有 m 个和 n 个,各组元素分别相同的排列数为 Cm + n . 分配问题 (1)(平均分组有归属问题)将相异的 m , n 个物件等分给 m 个人,各得 n 件,其分配方法 数共有 N
n n n n n = C mn C mn n C mn 2 n C 2 n C n =

(7) C n (8) C n

1

1

(mn)! . (n!) m

(9) C m C n

r

(2)(平均分组无归属问题)将相异的 m n 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆,其分配 方法数共有

(10) (C n )

0 2

排列数与组合数的关系

N=

Anm = m Cn ! m

n n n n n Cmn Cmn n Cmn 2 n ... C2 n Cn (mn)! = m! m!(n!) m

.

. (3)(非平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + +n m ) 个物体分给 m 个人,物件必 须被分完,分别得到 n1 , n2 ,…, nm 件,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数彼此不相等,则其分
n n m = C p1 C p 2 n1 ...C nnm m!=

单条件排列 以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列. (1) "在位"与"不在位" ①某(特)元必在某位有
m m m An1 种;②某(特)元不在某位有 An An 1 (补集思想) 1 1

配方法数共有 N

1 m m 1 m = An 1 An 1 (着眼位置) = An 1 + Am 1 An 1 (着眼元素)种. 1 1

p!m! . n1!n2 !...nm !

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻) ①定位紧贴: k ( k
m ≤ m ≤ n) 个元在固定位的排列有 Akk An kk 种. n +1 An kk+1 Akk 种.注:此类问题常用

(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + +n m ) 个物体分给 m 个人,物 件必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,…, nm 件,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数中分别有 a,b,

②浮动紧贴: n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有

c,…个相等,则其分配方法数有 N

=

nm n n C p1 C p 2 n1 ...Cnm m!

a!b!c!...

=

p !m ! . n1 !n2 !...nm !(a !b !c !...)

= n ![1

1 2 3 4 Cm C m C m Cm Cp Cm + 2 2 + 4 + (1) p m + + (1) m m ] . 1 An An An An Anp Anm

(5)(非平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + +n m ) 个物体分为任意的 n1 ,

不定方程 x1 +x2 + +xn (1)方程 x1 +x2 + +xn

= m 的解的个数

n2 ,…, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配方法数有
N= p! . n1!n2!...nm!

n = m ( n, m ∈ N )的正整数解有 C m11 个.

(2) 方程 x1 +x2 + +xn (3) 方程 x1 +x2 + +xn

= m ( n, m ∈ N )的非负整数解有 C nn+11 个. m
= m( n, m ∈ N ) 满足条件 xi ≥ k ( k ∈ N , 2 ≤ i ≤ n 1 )

(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + +n m ) 个物体分为任意的 n1 , 的非负整数解有 C

m+1 ( n 2)( k 1)

n 1

个.

n2 ,…, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数中分别有
则其分配方法数有 N

a,b,c,…个相等, (4) 方程 x1 +x2 + +xn
= m( n, m ∈ N ) 满足条件 xi ≤ k ( k ∈ N , 2 ≤ i ≤ n 1 )

=

p! . n1!n2!...nm !(a!b!c!...)
p( p = n1 +n2 + +nm ) 个物体分给甲, 丙, 乙, ……

的正整数解有 C

n 1
n+ m1

n n n C12 C m+n1k 2 + C n22 C m+n12 k 3 + (1) n 2 C nn 2C m+11( n2) k 个. n 2

(7) (限定分组有归属问题)将相异的

二项式定理
0 1 2 r n (a + b) n = C n a n + C n a n 1b + C n a n 2 b 2 + + C n a n r b r + + C n b n

;

等 m 个人, 物体必须被分完, 如果指定甲得 n1 件, 乙得 n2 件, 丙得 n3 件, …时, 则无论 n1 , 2 , n …,

二项展开式的通项公式
r Tr +1 = C n a n r b r (r = 0,2 ,n) . 1,

nm 等 m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
N = C C
n1 p n2 p n1

...C

nm nm

p! = . n1!n2!...nm!

概率 等可能性事件的概率

"错位问题"及其推广 贝努利装错笺问题:信 n 封信与 n 个信封全部错位的组合数为

P ( A) =

m . n

互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B).

f (n) = n ![
推广:

1 1 1 1 + + (1)n ] . 2! 3! 4! n! n 个元素与 n 个位置,其中至少有 m 个元素错位的不同组合总数为
p m + (1) p Cm (n p)!+ + (1)m Cm (n m)!

n 个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 独立事件 A,B 同时发生的概率 P(AB)= P(A)P(B). .n 个独立事件同时发生的概率

1 2 3 4 f (n, m) = n ! Cm (n 1)!+ Cm (n 2)! Cm (n 3)!+ Cm (n 4)!

P(A1 A2… An)=P(A1) P(A2)… P(An). n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率

(3) 若 ξ 服从几何分布,且 P (ξ 方差与期望的关系

= k ) = g (k , p) = q k 1 p ,则 Dξ =

Pn (k ) = Cnk P k (1 P ) n k .
期望与方差

q p2

.

\

.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) P i (2) P 1

Dξ = Eξ 2 ( Eξ )

2

.

≥ 0(i = 1, 2,) ; + P2 + = 1 .

正态分布密度函数
1 f ( x) = e 2π 6

( x )2
262

, x ∈ ( ∞, +∞ ) ,式中的实数μ,σ ( σ

>0)是参数,分别表

数学期望

示个体的平均数与标准差. .标准正态分布密度函数
x 1 f ( x) = e 2 , x ∈ ( ∞, +∞ ) . 2π 6
2

Eξ = x1 P + x2 P2 + + xn Pn + 1
数学期望的性质 (1) E ( aξ

+ b) = aE (ξ ) + b . p ) ,则 Eξ = np .

(2)若 ξ ~ B ( n,

.对于 N ( , σ

2

) ,取值小于 x 的概率

(3)

1 k 1 若 ξ 服从几何分布,且 P (ξ = k ) = g (k , p ) = q p ,则 Eξ = . p
方差

x F ( x) = Φ . σ

P( x1 < x0 < x 2 ) = P( x < x 2 ) P( x < x1 )

Dξ = ( x1 Eξ ) p1 + ( x2 Eξ ) p2 + + ( xn Eξ ) pn +
2 2 2

= F ( x2 ) F ( x1 )
x x1 = Φ 2 Φ . σ σ
回归直线方程
n ∑ ( xi x )( yi y ) i =1 = n = a + bx ,其中 b = 2 y ∑ ( xi x ) i =1 a = y bx

标准差

σξ

=



.

方差的性质 (1) D

( aξ + b ) = a 2 Dξ ;
p ) ,则 Dξ = np (1 p ) .

∑ x y nx y
i =1 n i i

n

(2)若 ξ ~ B ( n,

∑x
i =1

2

i

nx 2

.

相关系数

(1) lim
i i

r=

∑ ( x x )( y y )
i =1

n

∑ (x x ) ∑ ( y y )
2 i =1 i i =1 i

n

n

=
2

∑ ( x x )( y y )
i =1 i i

n

1 = 0 , lim a n = 0 ( | a |< 1 ) ; n →∞ n →∞ n
x → x0

.
n 2 2 2 i =1

(∑ xi nx )(∑ yi ny )
2 i =1

n

(2) lim

x = x0 , lim

x → x0

1 1 = x x0

.

两个重要的极限 (1) lim
x →0

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小. 极限 .特殊数列的极限

sin x =1; x
x

0 (1) lim q = 1 n →∞ 不存在
n

| q |< 1 q =1 | q |< 1或q = 1
(k < t ) (k = t ) (k > t )
. .

1 (2) lim 1 + = e (e=2.718281845…). x →∞ x
.函数极限的四则运算法则 若 lim
x → x0

0 ak n k + ak 1n k 1 + + a0 at (2) lim = n →∞ b n t + b n t 1 + + b t t 1 0 bk 不存在
(3) S

f ( x) = a , lim g ( x) = b ,则
x → x0

(1) lim (2) lim

x → x0

f ( x ) ± g ( x ) = a ± b ; f ( x ) g ( x ) = a b ; g ( x) f ( x) = a (b ≠ 0) . b

x → x0

= lim

a1 1 q n 1 q

(

n →∞

)=

a1 1 q

( S 无穷等比数列

{a q } ( | q |< 1 )的和).
n 1 1

(3) lim

x → x0

函数的极限定理
x → x0

.数列极限的四则运算法则
x → x0

lim f ( x) = a lim f ( x) = lim+ f ( x) = a .
x → x0

若 lim an
n →∞

= a, lim bn = b ,则
n →∞

.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x ) ≤ (2) lim 则 lim

(1) lim
n →∞

( an ± bn ) = a ± b ; ( an bn ) = a b ;

f ( x ) ≤ h( x ) ;
x → x0

(2) lim

n →∞

x → x0

g ( x) = a, lim h( x) = a (常数),

(3) lim

x → x0

f ( x) = a .

an a = (b ≠ 0) n →∞ b b n
n →∞

本定理对于单侧极限和 x 几个常用极限

→ ∞ 的情况仍然成立.

(4) lim

( c an ) = lim c lim an = c a ( c 是常数). n →∞ n →∞
导数

.

f (x) 在 x0 处的导数(或变化率或微商)
x = x0

(1) (u ± v) (2) (uv )
'

'

= u ' ± v' .

f ′( x0 ) = y′
瞬时速度

= lim

f ( x0 + x) f ( x0 ) y = lim . x → 0 x x → 0 x

= u 'v + uv ' .

s s (t + t ) s (t ) = lim υ = s′(t ) = lim . t → 0 t t → 0 t
瞬时加速度

(3) (

u ' u 'v uv ' ) = (v ≠ 0) . v v2
= ( x) 在点 x 处有导数 u x ' = ' ( x) ,函数 y = f (u ) 在点 x 处的对应点 U 处有

.复合函数的求导法则

a = v′(t ) = lim
.

t →0

v v(t + t ) v(t ) . = lim t →0 t t
导数

设函数 u

f (x) 在 (a, b) 的导数 dy df y f ( x + x) f ( x) = lim = lim . = dx dx x →0 x x →0 x

' ' ' yu ' = f ' (u ) , 则 复 合 函 数 y = f ( ( x)) 在 点 x 处 有 导 数 , 且 yx = yu u x , 或 写 作

f ′( x) = y′ =
. 函数 函数

f x' ( ( x)) = f ' (u ) ' ( x) .
常用的近似计算公式(当

y = f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义
(1)

x

充小时)

y = f (x) 在 点 x0 处 的 导 数 是 曲 线 y = f (x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 的 斜 率

f ′( x0 ) ,相应的切线方程是 y y0 = f ′( x0 )( x x0 ) .
.几种常见函数的导数 (1) (2) (3) (4)

1 n 1 x ; 1+ x ≈1+ x ; 2 n 1 α (2) (1 + x) ≈ 1 + α x (α ∈ R ) ; ≈ 1 x ; 1+ x 1+ x ≈1+
x

C ′ = 0 (C 为常数).

(3) e

≈1+ x ;

( xn )' = nx n 1 (n ∈ Q) . (sin x)′ = cos x . (cos x)′ = sin x . (ln x)′ =
x

(4) ln (1 + (5) sin x

x) ≈ x ;

≈ x ( x 为弧度) ; (6) tan x ≈ x ( x 为弧度) ; (7) arctan x ≈ x ( x 为弧度)
.判别 当函数

(5) (6)

1 1 e x ; (log a )′ = log a . x x
x

f ( x0 ) 是极大(小)值的方法

(e )′ = e

;

(a )′ = a ln a .
x x

f (x) 在点 x0 处连续时, f ′( x) > 0 ,右侧 f ′( x) < 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值;

.导数的运算法则

(1)如果在 x0 附近的左侧

(2)如果在 x0 附近的左侧

f ′( x) < 0 ,右侧 f ′( x) > 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值.
.复数的相等

OZ1 ⊥ OZ 2 z1 z2 的实部为零

z2 z1

为纯虚数

| z1 + z2 |2 =| z1 |2 + | z2 |2

a + bi = c + di a = c, b = d .( a, b, c, d ∈ R )
.复数 z

| z1 z2 |2 =| z1 |2 + | z2 |2 | z1 + z2 |=| z1 z2 | ac + bd = 0 z1 = λ iz2
(λ为非零实数). 203.实系数一元二次方程的解

= a + bi 的模(或绝对值)
.

| z | = | a + bi | = a 2 + b 2
.复数的四则运算法则 (1) (a + bi ) + (c + di ) (2) (a + bi ) (c + di ) (3) ( a + bi )(c + di )

实系数一元二次方程 ax

2

+ bx + c = 0 ,

= (a + c) + (b + d )i ; = (a c) + (b d )i ;

①若 ②若 ③若

= b 2 4ac > 0 ,则 x1,2 =

b ± b2 4ac 2a
b ; 2a

;

= (ac bd ) + (bc + ad )i ;

= b 2 4ac = 0 ,则 x1 = x2 =

ac + bd bc ad (4) ( a + bi ) ÷ (c + di ) = 2 + i (c + di ≠ 0) . c + d 2 c2 + d 2
.复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z2 , z3 ∈ C ,有 交换律: z1 z2

= b 2 4ac < 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭复

数根 x

=

b ± (b 2 4ac)i 2 (b 4ac < 0) . 2a

= z2 z1 . = z1 ( z2 z3 ) .
.

结合律: ( z1 z2 ) z3 分配律: z1 ( z2

+ z3 ) = z1 z2 + z1 z3

.复平面上的两点间的距离公式

d =| z1 z2 |= ( x2 x1 ) 2 + ( y2 y1 ) 2
.向量的垂直 非零复数 z1

( z1

= x1 + y1i , z2 = x2 + y2i ).

= a + bi , z2 = c + di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ 2 ,则


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