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选修4-4第1讲坐标系

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知识点 考纲下载 1.理解坐标系的作用. 2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 3.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直 角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. 4.能在极坐标系中给出简单图形的方程,通过比较这些图形在极坐标 系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当 坐标系的意义. 5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间 直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别. 1.了解参数方程,了解参数的意义. 2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 3.了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程. 4.了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在 表示行星运动轨道中的作用. 坐标系 参数方程 第 1 讲 坐标系 , 1.坐标系 (1)伸缩变换 [学生用书 P214]) ? x(λ>0), ?x′=λ· ? 设点 P(x, y)是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换 φ: 的作用下, ? y(μ>0) ?y′=μ· 点 P(x,y)对应到点(λx,μ y),称 φ 为平面直角坐标系中的伸缩变换. (2)极坐标系 在平面内取一个定点 O,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox,叫做极轴;再选一个长 度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极 坐标系. 设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ρ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角,记为 θ,有序数对(ρ,θ )叫做点 M 的极坐标,记为 M(ρ,θ ). 2.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度 ?x=ρcos θ, ? 单位. 设 M 是平面内任意一点, 它的直角坐标、 极坐标分别为(x, y)和(ρ, θ ), 则? ? ?y=ρsin θ , ρ =x +y , ? ? ? y tan θ = (x≠0)W. ? x ? 3.直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0,θ 0),且极轴到此直线的角为 α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0 -α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程: (1)直线过极点:θ=θ0 和 θ=π +θ0; (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴:ρcos_θ =a; π (3)直线过 M?b, ?且平行于极轴:ρsin_θ =b. 2? ? 4.圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0,θ 0),半径为 r,则该圆的方程为: 2 ρ 2-2ρ0ρ cos(θ-θ0)+ρ2 0-r =0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程: (1)当圆心位于极点,半径为 r:ρ=r; (2)当圆心位于 M(a,0),半径为 a:ρ=2acos_θ ; π (3)当圆心位于 M?a, ?,半径为 a:ρ=2asin_θ . 2? ? 2 2 2 平面直角坐标系中的伸缩变换[学生用书 P215] [典例引领] ? ?x′=3x, y2 求双曲线 C:x - =1 经过 φ:? 变换后所得曲线 C′的焦点坐标. 64 ? ?2y′=y 2 1 ? ?x=3x′, y2 【解】 设曲线 C′上任意一点 P′(x′,y′),由上述可知,将? 代入 x2- =1, 64 ? ?y=2y′, 2 x′2 4y′2 x′2 y′ x2 y2 得 - =1,化简得 - =1,即 - =1 为曲线 C′的方程,可见仍是双曲线, 9 64 9 16 9 16 则焦点 F1(-5,0),F2(5,0)为所求. 求经伸缩变换后曲线方程的方法 ? ?x′=λx,λ>0, 平面上的曲线 y = f(x) 在变换 φ : ? 的作用下的变换方程的求法是将 ?y′=μy,μ>0 ? ?x= λ , x′? y′ ? λ ?,整理之后得到 y′=h(x′),即为所求变换之后的方程. ? y′ 代入 y=f(x),得 μ =f? ? ? ?y= μ [通关练习] 1 ? ?x′=2x, x2 2 1.求椭圆 +y =1,经过伸缩变换? 后的曲线方程. 4 ?y′=y ? 1 ? ? ?x′=2x, ?x=2x′, [解] 由? 得到? ① ?y=y′. ? ? ?y′=y 4x′2 x2 将①代入 +y2=1,得 +y′2=1,即 x′2+y′2=1. 4 4 x2 因此椭圆 +y2=1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2+y2=1. 4 2.在同一平面直角坐标系中,将直线 x-2y=2 变成直线 2x′-y′=4,求满足图象变换 的伸缩变换. ? ?x′=λx(λ>0), [解] 设变换为? 代入第二个方程, 得 2λx-μy=4, 与 x-2y=2 比较系 ?y′=μy(μ>0), ? ?x′=x, ?x′=x, ? ? 数得 λ=1,μ=4,即? 因此,经过变换? 后,直线 x-2y=2 变成直线 2x′ ? ? ?y′=4y. ?y′=4y x′ -y′=4. 极坐标与直角坐标的互化[学生用书 P215] [典例引领] π 2 在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cos θ +sin θ 和直线 l:ρsin?θ - ?= . 4? 2 ? (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈(0,π )时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标. 【解】 (1)圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ, π 2 圆 O 的直角坐标方程为: x2+y2=x+y, 即 x2+y2-x-y=0, 直线 l: ρsin?θ- ?= , 4? 2 ? 即 ρsin θ-ρcos θ=1, 则直线 l 的直角坐标方程为 y-x=1,即 x-y+1=0. 2 2 ?

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