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【强烈推荐】数列压轴题训练50道(精华,含答案)

时间:2014-01-03


数列大题训练 50 题
1 .数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? 1 , 2Sn ? (n ? 1)an .

(1)求{ a n }的通项公式; (2)求和 Tn =

1 1 1 . ? ?? ? 2a1 3a2 (n ? 1)an

2 .已知数列 {a n } ,a1=1,点 P(a n ,2a n ?1 )( n ? N *) 在直线 x ?

1 y ? 1 ? 0 上. 2

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)函数 f (n) ?

1 1 1 1 ? ? ??? (n ? N *,且n ? 2) ,求函数 f (n) 最小值. n ? a1 n ? a 2 n ? a3 n ? an
x

3 .已知函数 f ( x) ? ab

1 (a,b 为常数)的图象经过点 P(1, )和 Q(4,8) 8 (1) 求函数 f (x) 的解析式;

(2) 记 an=log2 f (n) ,n 是正整数, S n 是数列{an}的前 n 项和,求 S n 的最小值。
4 .已知 y=f(x)为一次函数,且 f(2)、f(5)、f(4)成等比数列,f(8)=15.

求 S n =f(1)+f(2)+…+f(n)的表达式.
5 .设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? c ? 1 ? can ,其中 c 是不等于 ?1 和 0 的实常数.

(1)求证:

?an ? 为等比数列;

?1? 1 (2)设数列 ?an ? 的公比 q ? f ? c ? ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? , bn ? f ? bn ?1 ?? n ? N , n ? 2 ? ,试写出 ? ? 的通 3 ? bn ?
项公式,并求 b1b2 ? b2b3 ? ? ? bn ?1b n 的结果.
6 .在平面直角坐标系中,已知 An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(n∈N*),满足向量 An An ?1 与向量 Bn Cn 共线,且

点 Bn(n,bn) (n∈N*)都在斜率为 6 的同一条直线上. (1)试用 a1,b1 与 n 来表示 an; (2)设 a1=a,b1=-a,且 12<a≤15,求数列{an}中的最小项.
7 . 已知数列 {an } 的前三项与数列 {bn } 的前三项对应相同,且 a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? … ?2n ?1 an ? 8n 对任意的

n ?N*都成立,数列 {bn?1 ? bn } 是等差数列.
(1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (2)问是否存在 k ? N*,使得 bk ? ak ? (0,1) ?请说明理由.

中 8 .已知数列 {a n } , a1 ? 5且a n ? 3a n ?1 ? 3 ? 1
n

(n ? 2,3,?)

(I)试求 a2,a3 的值; (II)若存在实数 ? , 使得{

an ? ? } 为等差数列,试求 λ 的值. 3n

9 .已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 2, n ? a n ?1 ? S n ? n?n ? 1? ,
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(1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)令 Tn ? 取值范围。
10 . 已 知 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 f (n) 是 n 的 二 次 函 数 , f (n) 满 足 f (2 ? n) ? f (2 ? n), 且

Sn ,①当 n 为何正整数值时, Tn ? Tn ?1 :②若对一切正整数 n ,总有 Tn ? m ,求 m 的 2n

f (4) ? 0, f (1) ? ?3.
(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)设数列 {bn } 满足 bn ?

an ? 1 ,求 {bn } 中数值最大和最小的项. an ? 2
n

12.已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,且当 n ? 2 时, an ? 2 ? 2an ?1 ? 0

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 {an } 的前 n 项和为 S n ,求 S n 。
13. 正数数列 ?an ? 的前 n 项和 S n , 满足 2 Sn ? an ? 1 , 试求: 数列 ?an ? 的通项公式; 设 bn ? (I) (II)

1 , an an ?1

数列的前 n 项的和为 Bn ,求证: Bn ?
14.已知函数 f (x) =

7x ? 5 ,数列 ?an ? 中,2an+1-2an+an+1an=0,a1=1,且 an≠0, 数列{bn}中, bn=f(an-1) x ?1 1 (1)求证:数列{ }是等差数列; an
(2)求数列{bn}的通项公式; (3)求数列{ bn }的前 n 项和 Sn.

1 。 2

15.已知函数

b . f (x) =a·x 的图象过点 A(4, )和 B(5,1)

1 4

(1)求函数 f (x) 解析式; (2)记 an=log2 f (n) n∈N*, S n 是数列 ?a n ?的前 n 项和,解关于 n 的不等式 a n ? S n ? 0

16.已知数列 ?a n ?的前 n 项的和为 S n ,且 a n ? S n ? S n ?1 ?n ? 2, S n ? 0? , a1 ?

2 . 9

(1)求证: ?

?1 ? ? 为等差数列; ?Sn ?

(2)求数列 ?a n ?的通项公式.
17. 在平面直角坐标系中, 已知 An (n, an ) 、Bn (n, bn ) 、C n (n ? 1,0)( n ? N *) , 满足向量 An An ?1 与向量 Bn C n

???????

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共线,且点 Bn (n, bn ) (n ? N *) 都在斜率 6 的同一条直线上. (1)证明数列 ?bn ?是等差数列; (2)试用 a1 , b1 与 n 来表示 a n ; (3)设 a1 ? a, b1 ? ?a ,且 12 ? a ? 15 ,求数 {a n } 中的最小值的项.
18.设正数数列{ a n }的前 n 项和 S n 满足 S n

?

1 (a n ? 1) 2 . 4

(I)求数列{ a n }的通项公式; (II)设 bn ?

1 ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . a n ? a n?1

19.已知等差数列{an}中,a1=1,公差 d>0,且 a2、a5、a14 分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项.

(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项 an、bn; (Ⅱ)设数列{cn}对任意的 n∈N*,均有

c c1 c2 ? +…+ n =an+1 成立,求 c1+c2+…+c2005 的值. b1 b2 bn
n *

20.已知数列{ a n }满足 a1 ? 1 ,且 a n ? 2a n ?1 ? 2 (n ? 2, 且n ? N )

(1)求证:数列{

an }是等差数列; (2)求数列{ a n }的通项公式; 2n Sn ? 2n ? 3 。 2n

(3)设数列{ a n }的前 n 项之和 S n ,求证:
2

21.设数列{an}的前 n 项和为 S n =2n ,{bn}为等比数列,且 a1=b1,b2(a2 -a1) =b1。

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设 cn=

an , 求数列{cn}的前 n 项和 Tn. bn

22.已知函数 f ( x ) 与函数 y ?

a ( x ? 1) (a >0)的图象关于 y ? x 对称.

(1) 求 f ( x ) ; (2) 若无穷数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, Sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an ,且点 Pn ( a n , Sn ) 均在函数 y ? f ( x ) 上,求 a 的 值,并求数列 ?
23.已知函数

?1? ? 的所有项的和(即前 n 项和的极限)。 ? an ?

f ( x) ?

x , 数列{an }满足a1 ? 1, an?1 ? f (an )( n ? N ? ) 3x ? 1
1 } 是等差数列; an

(1)求证:数列 {

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(2)若数列 {bn } 的前 n 项和 S n ? 2 ? 1, 记Tn ?
n

b b1 b2 ? ? ? ? n , 求Tn . a1 a 2 an
an an ?1 ( n?N * ) {bn } 是以 q 为公 ,且

24.已知数列 {an } 和 {bn } 满足: a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? 0 , bn ?

比的等比数列

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(I)证明: an ? 2 ? an q ;
2

(II)若 cn ? a2 n ?1 ? 2a2 n ,证明数列 {cn } 是等比数列; (III)求和:

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? a1 a2 a3 a4 a2 n ?1 a2 n
2

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25.已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x +2x 的图象上,其中 n=1,2,3,…

(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2)设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求数列{an}的通项及 Tn;
2 26.等差数列 {an } 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1,a3,a9 成等比数列, S 5 ? a5 .

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 bn ?
n2 ? n ?1 ,求数列 {bn } 的前 n 项的和. a n ? a n?1
n ?1

27.已知向量 a ? (2 , an ), b ? (an ?1 , 2
n

?

?

? ? ), (n ? N * ) 且 a1 ? 1 .若 a 与 b 共线,

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n .
28.已知:数列 {a n } 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ? ? 3
2 n ?1

an ?

n , a ? N? . 3

(1)求数列 {a n } 的通项; (2)设 bn ?

n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn. an

29.对负整数 a,数 a2 ? a ? 3, 6a ? 6, 10a ? 3 可构成等差数列.

(1)求 a 的值; (2)若数列 ?an ? 满足 a n ?1 ? a
n ?1

? 2a n (n ? N ? ) 首项为 a0 ,①令 bn ?

an (?2)n

,求 ?bn ? 的通项公式;②若

对任意 n ? N ? 有a2n?1 ? a2n?1 ,求 a0 取值范围.
30.数列 {a n }满足a1 ? 2, a 2 ? 5, a n ? 2 ? 3a n ?1 ? 2a n .

(1)求证:数列 {a n ?1 ? a n } 是等比数列; (2)求数列{ a n }的通项公式;
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(3)若 bn ? nan , 求数列{bn }的前n项和S n .
31.已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,
'

点 (n, Sn )(n ? N ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。 (Ⅰ) 、求数列 {an } 的通项公式;

?

(Ⅱ) 、设 bn ? 数 m;

3 m ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的最小正整 a n a n ?1 20

32.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1

?

1 , an ? 2S n S n?1 ? 0(n ? 2) 2

(Ⅰ)判断 {

1 } 是否为等差数列?并证明你的结论; Sn
2

(Ⅱ)求 Sn 和 an (Ⅲ)求证: S1 ? S 2 ? .... ? S n ?
2 2 2
0 0

1 1 ? . 2 4n ??

33.若 An 和 Bn 分别表示数列 ?a n ?和 ?bn ? 的前 n 项和,对任意正整数 n 有 an
7 0

2n ? 3 ,4 Bn ? 12 An ? 13n 。 2

(1)求 An ;

2

(2)求数列 ?bn ? 的通项公式;
0 9

( 3 ) 设 集 合 X ? {x | x ? 2a n , n ? N }, Y ? { y | y ? 4bn , n ? N } , 若 等 差 数 列 ?cn ? 的 任 一 项
* *

cn ? X ? Y ,c1 是 X ? Y 的最大数,且 ? 265 ? cm ? ?125 ,求 ?cn ?的通项公式。
34. 已知点列 Pn (a n , bn ) 在直线 l: = 2x + 1 上, 1 为直线 l 与 y 轴的交点, y P 等差数列{an}的公差为 1(n ? N )
*
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(Ⅰ)求{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ) C ? n
1 (n ? 2) ,求和:C2 + C3 + … +Cn; n | P1 Pn |
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(Ⅲ)若 d n ? 2d n?1 ? a n?1 (n ? 2) ,且 d1 = 1,求证数列 {d n ? n ? 2} 为等比数列:求{dn}的通项公式
35.已知数列 ?an ? 是首项为 a1 ?

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1 ,公比 q ? 1 的等比数列,设 bn ? 2 ? 3log 1 an (n ? N? ) ,数列 ?cn ? 满足 4 4 4

(Ⅰ)求证:数列 ?bn ? 成等差数列; (Ⅱ)求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n ; (Ⅲ)若 cn ?

cn ? an ? bn .

1 m2 ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4

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1 36.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn( Sn ? 0 ) ,且 an ? 2Sn Sn ?1 ? 0 (n ≥ 2, n ? N* ), a1 ? . 2

(1)求证: ? (2)求 an;

?1? ? 是等差数列; ? Sn ?

2 2 (3)若 bn ? 2(1 ? n) an ( n ≥ 2) ,求证: b2 ? b32 ? ? ? bn ? 1.

37.已知

f ( x) ? x | x ? a | ?2 x ? 3

(Ⅰ)当 a ? 4 , 2 ? x ? 5 时,问 x 分别取何值时,函数 f ( x) 取得最大值和最小值,并求出相应的最 大值和最小值; (Ⅱ)若 f ( x) 在 R 上恒为增函数,试求 a 的取值范围; ( Ⅲ ) 已 知 常 数 a ? 4 , 数 列 ? an ? 满 足 an ?1 ?

f (an ) ? 3 (n ? N ? ) , 试 探 求 a1 的 值 , 使 得 数 列 an

?an ? (n ? N ? ) 成等差数列.
38.在数列 {a n }中,已知a1 ? 2, a n ?1 ?

2a n an ? 1

(I)求数列 {a n } 的通项公式; (II)求证: a1 (a1 ? 1) ? a 2 (a 2 ? 1) ? ? ? a n (a n ? 1) ? 3
39. 设函数 f(x)的定义域为 (0,??) ,且对任意正实数 x,y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 恒成立,已知

f (2) ? 1且x ? 1时, f ( x) ? 0.
(1)求 f ( ) 的值; (2)判断 y ? f ( x)在(0,??) 上单调性; (3)一个各项均为正数的数列{an}满足: f ( S n ) ? f (a n ) ? f (a n ? 1) ? 1(n ? N ? ) 其中 Sn 是数列{an} 的前 n 项和,求 Sn 与 an 的值.
1 x? y 40.已知定义在(-1,1)上的函数 f (x)满足 f ( ) ? 1 ,且对 x,y ? (?1,1) 时,有 f ( x) ? f ( y) ? f ( )。 1 ? xy 2

1 2

(I)判断 f (x) 在(-1,1)上的奇偶性,并证明之; (II)令 x1 ? , xn ?1 ? (III)设 Tn 为数列 {
1 2 2 xn
2 1 ? xn

,求数列 { f ( xn )} 的通项公式;

1 m?4 成 } 的前 n 项和,问是否存在正整数 m,使得对任意的 n ? N * ,有 Tn ? f ( xn ) 3

立?若存在,求出 m 的最小值;若不存在,则说明理由。
41.已知 f1 ( x) ? x ? 1 ,且 f n ( x) ? f1[ f n ?1 ( x)](n ? 1, n ? N )
*

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(1)求 f n ( x) (n ? N ) 的表达式;
*

(2)若关于 x 的函数 y ? x ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? … ? f n ( x)(n ? N ) 在区间(- ? ,-1]上的最小值为 12,
2 *

求 n 的值。

?x ? 0 ? 42.设不等式组 ? y ? 0 所表示的平面区域为 Dn ,记 Dn 内的整点个数为 a n ? y ? ? nx ? 3n ?
坐标和纵坐标均为整数的点) (I)求数列 a n 的通项公式; (II)记数列 a n 的前 n 项和为 S n ,且 Tn ? 数 m 的取值范围。
43.在数列 ? an ? 中, a1 ? 2,an ?1 ? ? an ? ?
n ?1

(整点即横 ?n ? N ? 。
*

? ?

? ?

Sn 3· 2
n ?1

,若对于一切的正整数 n,总有 Tn ? m ,求实

? (2 ? ? )2n (n ? N? ) ,其中 ? ? 0

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(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ; (Ⅲ)证明存在 k ? N ,使得
?

an ?1 a ≤ k ?1 对任意 n ? N? 均成立 an ak

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44.设数列{an}是首项为 4,公差为 1 的等差数列,Sn 为数列{bn}的前 n 项和,且 S n ? n ? 2n.
2

(I)求{an}及{bn}的通项公式 an 和 bn. ? ?an , n为正奇数, 问是否存在k ? N *使f (k ? 27) ? 4 f (k ) 成立?若存在,求出 k 的值;若不 (II)若 f (n) ? ? ?bn , n为正偶数, ? 存在,说明理由; (III)若对任意的正整数 n,不等式 围.
45.函数 y ?

a 1 ? ? 0 恒成立,求正数 a 的取值范 1 1 1 n ? 1 ? an ?1 (1 ? )(1 ? )? (1 ? ) b1 b2 bn

x2 ? x ? n 1 (n ? N ? , y ? 1) 的最小值为 an , 最大值为bn , 且 cn ? 4(an bn ? ), 数列 {Cn } 的前 n 项 2 2 x ?1

和为 S n . (Ⅰ)求数列 {c n } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {dn } 是等差数列,且 dn ? (Ⅲ)若 f (n) ?

Sn ,求非零常数 c ; n?c

dn (n ? N ? ) ,求数列 { f (n)} 的最大项. (n ? 36) d n ?1

46.设数列 ? an ? 的各项均为正数,它的前 n 项的和为 S n ,点 ( an , S n ) 在函数 y
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1 1 1 ? x 2 ? x ? 的图像上; 8 2 2

数列 ?bn ? 满足 b1 ? a1 , bn ?1 (an ?1 ? an ) ? bn .其中 n ? N ? . ⑴求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; ⑵设 cn ?

an 5 ? ,求证:数列 ?cn ? 的前 n 项的和 Tn ? ( n ? N ) . bn 9

的前n项和为S n , 且S n ? (1 ? ? ) ? ?an , 其中? ? ?1,0 ; 47.设数列 {a n }
(1)证明:数列 {a n } 是等比数列; (2) 设数列 {a n } 的公比 q ? f (? ), 数列{bn }满足b1 ? 项公式; (3)记 ? ? 1, 记C n ? a n (

1 , bn ? f (bn?1 )( n ? N * , n ? 2) 求数列 {bn } 的通 2

1 ? 1), 求数列{C n }的前n项和Tn ; bn
1 2 ? x ? 1? 对一切实数 x 恒成立. 2

48.已知二次函数 f ? x ? 满足 f ? ?1? ? 0 ,且 x ? f ? x ? ?

(1)求 f ?1? (3)求证:

(2)求 f ? x ? 的表达式;
1 1 1 1 4n . ? ? ??? ? f ?1? f ? 2 ? f ? 3? f ? n ? 2n ? 4

49.在数列 {an } 中, a1 ? a , an ?1 ?

5an ? 6 , n ? 1,2,3,?. an

(Ⅰ)若对于 n ? N ,均有 an ?1 ? an 成立,求 a 的值;
*

(Ⅱ)若对于 n ? N ,均有 an ?1 ? an 成立,求 a 的取值范围;
*

(Ⅲ)请你构造一个无穷数列 {bn } ,使其满足下列两个条件,并加以证明: ① bn ? bn ?1 , n ? 1,2,3,? ; ② 当 a 为 {bn } 中的任意一项时, {an } 中必有某一项的值为 1.
50. f (x) 对任意 x ? R 都有

1 f ( x) ? f (1 ? x) ? . 2 1 1 n ?1 (Ⅰ)求 f ( ) 和 f ( ) ? f ( ) (n ? N ) 的值. 2 n n 1 2 n ?1 (Ⅱ)数列 ?a n ?满足: a n = f (0) + f ( ) ? f ( ) ? ?? ? f ( ) ? f (1) ,数列 ?a n ?是等差数列吗? n n n
请给予证明; (Ⅲ)令 bn ?

4 4a n ? 1

2 2 2 , Tn ? b12 ? b2 ? b3 ? ?? ? bn , S n ? 32 ?

16 . 试比较 Tn 与 S n 的大小. n

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数列大题训练 50 题
参考答案 1 .解: (1) ∵ ?

?2 S n ? (n ? 1)an n ,两式相减,得 an ? an ?1 (n ? 2) , n ?1 ?2 S n ?1 ? nan ?1



an a a a n n ?1 2 ? n ? n ?1 ?? ? 2 ? ? ?? ? ? n , a1 an ?1 an ? 2 a1 n ? 1 n ? 2 1

∴ an ? n . (2) Tn ? =1 ?

1 1 1 ? ?? ? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 2 2 3 n n ?1 1 n =1 ? = . n ?1 n ?1
2 .解 (1)∵ ( a n ,2a n ?1 ) 在直线 x-y+1=0 上,

∴ a n ? a n ?1 ? 1 ? 0,即a n ?1 ? a n ? 1, ∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n. (2)∵ f (n ? 1) ? f (n) ?

故 {a n } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列.

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 0, n ? N * 且n ? 2, 2n ? 2 2n ? 1 n ? 1 2n ? 1 2n ? 2

7 7 , ∴ f (n) 的最小值是 . 12 12 x 3 .解:(1)因为函数 f(x)=ab (a,b 为常数)的图象经过点 P,Q 则有
∴ f (n) ? f (n ? 1) ? ? ? f (2) ?

1 1 ? ? ?ab ? ?a ? 8 解得? 32 ? ?ab 4 ? 8 ?b ? 4 ? ?

x? 1 x ? f ( x) ? 4 (也可以写成 4 2 等不同的形式。 ) 32

5

(2)an = log2 f (n) = log2 4

n

32

= 2n - 5

因为 an+1 - an=2(n + 1)- 5 -(2n -5) = 2 ; 所以{an}是首项为-3,公差为 2 的等差数列 n(?3 ? 2n ? 5) 所以 S n ? ? n 2 ? 4n ? (n ? 2) 2 ? 4, 2
依题意:[f(5)]2=f(2)· f(4). 2 即:(5k+b) =(2k+b)(4k+b),化简得 k(17k+4b)=0. ∵k≠0,∴b=-

当 n=2 时, S n 取最小值 - 4

4 .解:设 y=f(x)=kx+b( k≠0),则 f(2)=2k+b,f(5)=5k+b,f(4)=4k+b,

17 k 4



又∵f(8)=8k+b=15 ② 将①代入②得 k=4,b=-17. ∴Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)=(4× 1-17)+(4× 2-17)+…+(4n-17) 2 =4(1+2+…+n)-17n=2n -15n.
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5 . (1)

an c ? ? c ? 0 ? ,所以是等比数列 an ?1 c ? 1

(2) bn ?

bn ?1 1 1 ? bn ? bnbn ?1 ? bn ?1 ? ? ? 1 ,所以 ?bn ? 是等差数列 1 ? bn ?1 bn bn ?1

bn ?

1 n?2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 3 4 4 5 n ?1 n ? 2 3 n ? 2

(3) Sn ?

6 .解:(1)∵点 Bn(n,bn)(n∈N*)都在斜率为 6 的同一条直线上,



bn ?1 ? bn =6,即 bn+1-bn=6, ( n ? 1) ? n

于是数列{bn}是等差数列,故 bn=b1+6(n-1). ∵ An An ? 1 ? ?1,an ?1 ? a ?, Bn Cn ? ?? 1,?bn ?,又A n A n ?1与Bn C n 共线. ∴1× n)-(-1)(an+1-an )=0,即 an+1-an=bn (-b ∴当 n≥2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ …+(an-an-1)=a1+b1+b2+b3+…+bn-1 =a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2) 当 n=1 时,上式也成立. 所以 an=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2). (2)把 a1=a,b1=-a 代入上式,得 an=a-a(n-1)+3(n-1)(n-2)=3n2-(9+a)n+6+2a. ∵12<a≤15,∴
7 9?a ? ? 4 ,∴当 n=4 时,an 取最小值,最小值为 a4=18-2a. 2 6

7 .解: (1)已知 a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? … ?2n?1 an ? 8n (n? N*)

① ②

n ? 2 时, a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? … ?2n?2 an ?1 ? 8(n ? 1) (n? N*)
①-②得, 2 所以 an ? 2
n ?1

an ? 8 ,求得 an ? 2

4? n



在①中令 n ? 1 ,可得得 a1 ? 8 ? 2
4? n

4 ?1



(n? N*).

由题意 b1 ? 8 , b2 ? 4 , b3 ? 2 ,所以 b2 ? b1 ? ?4 , b3 ? b2 ? ?2 , ∴数列 {bn?1 ? bn } 的公差为 ? 2 ? (?4) ? 2 , ∴ bn?1 ? bn

? ? 4 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 6 ,

bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ? ? (bn ? bn?1 )
? (?4) ? (?2) ? ? ? (2n ? 8) ? n2 ? 7n ? 14 (n? N*).
4? k (2) bk ? ak ? k 2 ? 7k ? 14 ? 2 , 7 7 4? k 当 k ? 4 时, f (k ) ? (k ? )2 ? ? 2 单调递增,且 f (4) ? 1 , 2 4

所以 k ? 4 时, f (k ) ? k 2 ? 7k ? 14 ? 2 又 f (1) ? f (2) ? f (3) ? 0 ,

4? k

? 1,

所以,不存在 k ? N*,使得 bk ? ak ? (0,1) .
第 10 页 共 32 页

8 . (I)解

依 a1=5 可知:a2=23, a3=95

(II)解 设

an ? ? ? bn . 3n

若{bn}是等差数列,则有 2b2=b1+b3

即 2?

a 2 ? ? a1 ? ? a3 ? ? ? ? 3 32 33

2 1 1 (23 ? ? ) ? (5 ? ? ) ? (95 ? ? ) 9 3 27 1 得? ? ? 2 1 1 an?1 ? an ? 2? 2 ? 1 [( a ? 3a ) ? 1] ? 1 [(3n?1 ? 1) ? 1] ? 1 事实上, bn ?1 ? bn ? n ?1 n n ?1 n 3 3 3n?1 3n ?1
因此,存在 ? ? ?

a ?? 1 3 , 可使{ n n }成为首项是 、公差是 1 的等差数列 2 2 3

9 .解: (1)令 n

? 1, 1 ? a2 ? a1 ? 1 ? 2 ,即 a 2 ? a1 ? 2

由?

?n ? a n ?1 ? S n ? n?n ? 1? ? n ? an?1 ? ?n ? 1?an ? an ? 2n ? an?1 ? an ? 2?n ? 2? ??n ? 1? ? a n ? S n ?1 ? n?n ? 1?

∵ a 2 ? a1 ? 2 ,∴ a n ?1 ? a n ? 2 n ? N * ,即数列 ?a n ?是以 2 为首项、 2 为公差的等差数列, ∴ a n ? 2n (2)① Tn ?

?

?

S n n?n ? 1? ?n ? 1??n ? 2? ,即 n ? 2?n ? N * ? ? ? Tn?1 ? n n 2 2 2 n?1

②∵ T1 ?

S1 3 ? 1, T2 ? T3 ? ,又∵ n ? 2 时, Tn ? Tn ?1 2 2
3 3 ,∵对一切正整数 n ,总有 Tn ? m 恒成立,因此 m ? 2 2
2

∴各项中数值最大为

10.依题意设 f ( x) ? a(n ? 2) ? b(a ? 0)

(1)? f (4) ? 0 ,∴ 4a ? b ? 0 又 f (1) ? ?3. ∴ a ? b ? ?3. ②



由①、②得 a ? 1, b ? ?4, 所以 f (n) ? n ? 4n
2

又 a n ? f (n) ? f (n ? 1) ? n ? 4n ? (n ? 1) ? 4(n ? 1) ? 2n ? 5(n ? 2)
2 2

而 a1 ? f (1) ? ?3 符合上式,∴ an ? 2n ? 5. (2)? bn ?

2n ? 4 1 ? 1? 2n ? 3 2n ? 3
第 11 页 共 32 页

当 n ? 2 时, bn 是增函数,因此 b2 ? 0 为 {bn } 的最小项,且 bn ? 1, 又 b1 ? 2 ,所以 {bn } 中最大项为 b1 ? 2 ,最小项为 b2 ? 0 。
11. (1)由 y=

y x x 1 得 x= ,∴ f ?1 ( x) ? (x ? ? ) 2y ?1 1? 2 x 2x ? 1 2
an 2a n ? 1

又 an+1=f-1(an) ? N ? ) (n ,∴an+1=

?a1= ?

an 1 ,an+1= ,∴an ? 0 (n ? N+) 2a n ? 1 2007



1 1 1 ? ? 2(n ? N ? ) 且 ? ?2007 an ?1 an a1 1 }是以-2007 为首项, 2 为公差的等差数列 an

∴{



1 ? ?2007 ? 2(n ? 1) an

∴ an ?

1 为所求 2n ? 2009
1 , (2n ? 2009 )( 2n ? 2011)

(2)由(1)知 bn=

记 g(n)=(2n-2009) (2n-2011) ? N+) (n 当 1≤n≤1004 时,g(n)单调递减且 gmin(n)=g(1004)=3 此时 bn>0 且 bn 的最大值为

1 ; 当 n=1005 时,g(n)=-1; 3 1 ; 3

当 n≥1006 时,g(n)单调递增且 gmin(n)=g(1006)=3 此时 bn>0 且 bn 的最大值为 综上:bn 的最大值为
12. (1) an ? 2an ?1 ? 2
n

1 ,最小值为-1 3

?

an an?1 ? ?1 2n 2n ?1

?a ? ? ? n ? 等差数列 n ?2 ?

? an ? n ? 2n
(2)错位相减, S n ? (n ? 1) ? 2
13. (I)由已知,得
n ?1

?2
2

4S n ? ? an ? 1 ? n ? 2 ? 4 S n ?1 ? ? an ?1 ? 1? ? n ? 2 ? ? ?
2

作差,得 ? an ? an ?1 ?? an ? an ?1 ? 2 ? ? 0 。
第 12 页 共 32 页

又因为 ?an ? 正数数列,所以 an ? an ?1 ? 2 ,由 2 S1 ? a1 ? 1 ,得 a1 ? 1 ? an ? 2n ? 1 (II) bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an a n ?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 2n ? 1 2n ? 1

所以 Bn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? …… ? ? )= ? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2 ? 2n ? 1? 2
∵an≠0, 两边同除 an+1an

14.解: (1)2an+1-2an+an+1an=0

1 a n ?1

?

1 1 ? an 2 1 1 }是首项为 1,公差为 的等差数列 an 2 1 1 n ?1 ? (n ? 1)d ? = a n a1 2

∴数列{

(2)∵

1? n , (n ? N ) n ?1 1? n ∵bn=f(an-1)=f( )=-n+6 (n∈N) n ?1
∴an-1= (3) -n+6 (n≤6, n∈N) n-6 (n>6, n∈N)

bn =

n( b1 ? 6 ? n) 2
∴Sn= (n>6, n∈N)
15. (1)

?

n(11 ? n) 2

(n≤6, n∈N)

S6 ?

(n ? 6)( b7 ? bn ) 2

?

n 2 ? 11n ? 60 2

f ( x) ?

1 ?4 x 1024

(2)n=5,6,7,8,9
16.解: (1)当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ,∴ S n ? S n ?1 ? S n ? S n?1 ,



?1 ? 1 1 ? ? ?1?n ? 2? , ∴数列 ? ? 为等差数列. S n S n ?1 ?Sn ?

(2)由(1)知,

1 1 11 ? 2n ? ? (n ? 1) ? (?1) ? , S n S1 2

∴ Sn ?

2 . 11 ? 2n
2 2 4 ? ? , 11 ? 2n 13 ? 2n (11 ? 2n)(13 ? 2n)
第 13 页 共 32 页

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ?

?2 (n ? 1), ?9 , ? ∴ an ? ? 4 ? , ( n ? 2) ? (11 ? 2n)(13 ? 2n) ?
17.解: (1)∵点 Bn (n, bn )( n ? N *) 都在斜率为 6 的同一条直线上,

?

bn ?1 ? bn ? 6,即bn ?1 ? bn ? 6, (n ? 1) ? n

于是数列 {bn } 是等差数列,故 bn ? b1 ? 6(n ? 1). (2)? An An ?1 ? (1, an ?1 ? an ), BnCn ? (?1, ?bn ), 又 An An ?1与BnCn 共线,

???????

????? ?

??????? ????? ?

?1 ? (?bn ) ? (?1)( a n ?1 ? a n ) ? 0, 即a n ?1 ? a n ? bn . ?当n ? 2时, a n ? a1 ? (a 2 ? a1 ) ? (a 3 ? a 2 ) ? ? ? (a n ? a n ?1 ) ? a1 ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?1 ? a1 ? b1 (n ? 1) ? 3(n ? 1)( n ? 2).
当 n=1 时,上式也成立. 所以 a n ? a1 ? b1 (n ? 1) ? 3(n ? 1)( n ? 2). (3)把 a1 ? a, b1 ? ?a 代入上式, 得 a n ? a ? a(n ? 1) ? 3(n ? 1)( n ? 2) ? 3n 2 ? (9 ? a)n ? 6 ? 2a.

?12 ? a ? 15,?

7 9?a ? ? 4, 2 6

∴当 n=4 时, a n 取最小值,最小值为 a4 ? 18 ? 2a.
18.解: (Ⅰ)当 n

? 1时, a1 ? S1 ?

1 (a1 ? 1) 2 ,∴ a1 ? 1 . 4


∵ Sn ? ∴ S n ?1

1 (a n ? 1) 2 , 4 1 ? (a n?1 ? 1) 2 4

(n ? 2) .



①-②,得 a n ? S n ? S n ?1 ?

1 1 (an ? 1) 2 ? (an?1 ? 1) 2 , 4 4

整理得, (a n ? a n ?1 )( a n ? a n?1 ? 2) ? 0 , ∵ an ? 0 ∴ a n ? a n ?1 ? 0 .

∴ a n ? a n ?1 ? 2 ? 0 ,即 a n ? a n ?1 ? 2(n ? 2) . 故数列 {a n } 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列. ∴ a n ? 2n ? 1 .

第 14 页 共 32 页

(Ⅱ)∵ bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), a n ? a n ?1 (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1



Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 3 2 3 5 2 2 n ? 1 2n ? 1 1 1 n . ? (1 ? )? 2n ? 1 2 2n ? 1 ?
19.解:(Ⅰ)由题意,有 (a1+d)(a1+13d)=(a1+4d) .
2

而 a1=1,d>0.∴d=2,∴an=2n-1. 公比 q=

a5 =3,a2=b2=3. a2

∴bn=b2·n-2=3· n-2=3 n-1. q 3 (Ⅱ)当 n=1 时,

c1 =a2,∴c1=1× 3=3. b1

当 n≥2 时,∵

c1 c2 c ? ? ? ? n ?1 ? an , ……① b1 b2 bn ?1
……②

c c c1 c 2 ? ? ? ? n ?1 ? n ? a n ?1 . b1 b2 bn ?1 bn
②—①,得

cn ? an ?1 ? an ? 2, ∴cn=2bn= 2·n?1 (n ? 2) 3 bn

∴cn= ?

?3,    ? 1; 3 n ?1 ?2· , n ? 2.

∴c1+c2+c3+…+c2005=3+2(31+32+33+…+32004) =3+2·
20.(1)? an

3(1 - 32004 ) ? 32005. 1? 3

? 2an?1 ? 2 n (n ? 2, 且n ? N * )

a n a n ?1 a a ? n ?1 ? 1, 即 n ? n ?1 ? 1(n ? 2, 且n ? N * ) n n 2 2 2 2 n ?1 a 1 ? 数列{a n }是等差数列, 公差为d ? 1, 首项 1 ? , n 2 2 a 1 1 1 (2)由(1)得 n ? ? (n ? 1)d ? ? (n ? 1) ? 1 ? n ? , n 2 2 2 2 1 ? a n ? (n ? ) ? 2 n 2 1 1 3 2 5 3 1 (3) ? S n ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? (n ? ) ? 2 n.......... ....(1) 2 2 2 2 1 2 3 3 5 4 1 ? 2 S n ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? (n ? ) ? 2 n ?1.......... ......( 2) 2 2 2 2 ?
第 15 页 共 32 页

(1) ? (2)得 1 1 ? S n ? 1 ? 2 2 ? 23 ? ? ? (n ? ) ? 2 n ?1 ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ? (n ? ) ? 2 n ?1 ? 1 2 2

2(1 ? 2 n ) 1 ? ? (n ? ) ? 2 n ?1 ? 1 ? (3 ? 2n) ? 2 n ? 3. 1? 2 2 Sn S n ? (2n ? 3) ? 2 n ? 3 ? (2 ? 3) ? 2 n ,? n ? 2n ? 3 2
21.解: (1)∵当 n=1 时 ,a1=S1=2;

当 n≥2 时,an=Sn -Sn-1=2n2 -2(n-1)2=4n-2. 故数列{an}的通项公式 an=4n-2,公差 d=4.

1 ?1? - 设{bn}的公比为 q,则 b1qd= b1,∵d=4,∴q= .∴bn=b1qn 1=2×? ? 4 ?4?
即数列{ bn }的通项公式 bn= (2)∵ c n ?

n ?1

=

2 4 n ?1

,

2 4 n ?1



a n 4n ? 2 ? ? (2n ? 1)4 n ?1 2 bn 4 n ?1
-1

∴Tn=1+3·1+5·2+··+(2n-1)4n 4 4 ·· ··

∴4Tn=1· 42+5·3+··+(2n-1)4n 4+3· 4 ·· ·· 两式相减得 3Tn=-1-2(41+42+43+··+4n 1)+(2n-1)4n= [(6n ? 5)4 ? 5] ·· ··


1 3

n

∴Tn= [(6n ? 5)4 ? 5]
n

1 9

22.(1) f ( x ) ?

x2 ? 1,( x ? 0) a

an a ? 1,∵ a1 ? 1? a1 ? 1 ? 1 a a (2) ∵ Pn ( an , S n ) 在 y ? f ( x ) 上 1 1 ?1 ? ? 1,? a ? a 2 ? Sn ?
? Sn ? 2an ? 1 ,当 n ? 2 时 Sn ?1 ? 2an ?1 ? 1 ? Sn ? Sn ?1 ? a n ? 2an ? 2an ?1
? an ? 2an ?1 ,??an ? 等比且公比为 q ? 2 ,首项为 a1 ? 1
?1? ? ? 等比 ? an ?

1 ?1? 1 1 a ' 公比为 q ? ,首项为 1 ,所以 ? ? 的各项和为 1 ' ? ?2 2 1? q 1? 1 ? an ? 2

第 16 页 共 32 页

23.解: (1)由已知得: a n ?1 ?

an 1 1 1 1 ,? ? ? 3即 ? ?3 3a n ? 1 a n ?1 a n a n ?1 a n

?{

1 } 是首项为 a1 ? 1,公差 d=3 的等差数列 an

(2)由(1)得 : ?

1 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 2即a n ? (n ? N ? ) an 3n ? 2
n ?1

由 S n ? 2 ? 1得bn ? 2
n

? Tn ?

b b1 b2 ? ? ? ? n ? 1 ? 4 ? 2 ? 7 ? 2 2 ? ? ? (3n ? 2) ? 2 n ?1 a1 a 2 an

? 2Tn ? 1 ? 2 ? 4 ? 2 2 ? 7 ? 2 3 ? ? ? (3n ? 5) ? 2 n ?1 ? (3n ? 2) ? 2 n ? (1 ? 2)Tn ? 1 ? 3(2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ?1 ) ? (3n ? 2) ? 2 n ? 1 ? 3(2 n ? 2) ? (3n ? 2) ? 2 n ? ?5 ? (3n ? 5) ? 2 n
? Tn ? (3n ? 5) ? 2 n ? 5.
24.解法: (I)证:由

a a a bn ?1 ? q ,有 n ?1 n ? 2 ? n ? 2 ? q ,∴ an? 2 ? an q 2 (n ? N*) an bn an an ?1
2

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(II)证:? an ? qn ?2 q ,

? a2 n ?1 ? a2 n ?3q 2 ? ? ? a1q 2 n ?2 , a2 n ? a2 n ? 2 q 2 ? ? ? a2 q n ? 2 ,

? cn ? a2 n?1 ? 2a2 n ? a1q 2 n?2 ? 2a2 q 2 n?2 ? (a1 ? 2a2 )q 2 n?2 ? 5q 2 n?2
??cn ? 是首项为 5,以 q 2 为公比的等比数列
(III)由(II)得
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1 a2 n ?1

?

1 2? 2 n 1 1 2?2 n q , 2n ? 2 q ,于是 a1 a a

1 1 1 ?1 1 1 ? ?1 1 1 ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? a1 a2 a2 n ? a1 a3 a2 n ?1 ? ? a2 a4 a2 n ?
? 1? 1 1 1 ? 1? 1 1 1 ? ?1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ?2 ? ? ?1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ?2 ? a1 ? q q q q q ? a2 ? q ?

3? 1 1 1 ? ? ?1 ? 2 ? 1 ? ? ? 2 n?2 ? 2? q q q ?
当 q ? 1 时,

1 1 1 3? 1 1 1 ? 3 ? ?? ? ? ?1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ?2 ? ? n a1 a2 a2 n 2 ? q q q ? 2

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当 q ? 1 时,

1 1 1 3? 1 1 1 ? ? ?? ? ? ?1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ?2 ? a1 a2 a2 n 2 ? q q q ?

?

3 ? 1 ? q ?2 n ? 3 ? q 2 n ? 1 ? ? ?? 2 ? 1 ? q ?2 ? 2 ? q 2 n ? 2 (q 2 ? 1) ? ? ?

?3 q ? 1, ? n, 1 1 1 ?2 ?? ? ?? 故 ? 2n a1 a2 a2 n ? ? ? q ? 1 ? ,q ? 1. ? ? ? q 2 n ? 2 ( q 2 ? 1) ? ? ? ?
25.解: (1)由已知 an ?1 ? an ? 2an ,
2

? an ?1 ? 1 ? (an ? 1)2

? a1 ? 2 ,? an ? 1 ? 1,两边取对数得 lg(1 ? an?1 ) ? 2lg(1 ? an ) ,即 ?{lg(1 ? an )} 是公比为 2 的等比数列.
(2)由(1)知 lg(1 ? an ) ? 2
n ?1

lg(1 ? an ?1 ) ?2 lg(1 ? an )

? lg(1 ? a1 ) ? 2n ?1 ? lg 3 ? lg 32 ?1 ? an ? 32
0 1 2 n-1

n?1

n?1

?Tn ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )…(1+a n ) ? 32 ? 32 ? 32 ?…? 32
26.(1)解:设数列 {an } 公差为 d(d>0)

? 31? 2? 2

2

?…+2n-1

=3

2n -1

2 ∵a1,a3,a9 成等比数列,∴ a3 ? a1a9 ,即 (a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 8d ) 2

整理得: d 2 ? a1d ∵ d ? 0 ,∴ a1 ? d
2 ∵ S 5 ? a5



5? 4 ② ? d ? (a1 ? 4d ) 2 2 3 3 由①②得: a1 ? , d ? 5 5 3 3 3 ∴ a n ? ? (n ? 1) ? ? n 5 5 5 n2 ? n ? 1 25 n 2 ? n ? 1 25 1 1 (2) bn ? ? ? ? (1 ? ? ) 3 3 9 n(n ? 1) 9 n n ?1 n ? (n ? 1) 5 5 25 1 1 1 1 1 ∴ b1 ? b2 ? b3 ? ?? ? bn ? [n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )] 9 2 2 3 n n ?1 25 1 25 n 2 ? 2n ? (n ? 1 ? )? ? 9 n ?1 9 n ?1

∴ 5a1 ?

27.(1)? a // b ? an an ?1 ? 2

? ?

2 n ?1

(n ? N * )



取 n ? 1 得 a1a2 ? 8,? a1 ? 1? a2 ? 8

? an ?1an ? 2 ? 22 n ?3
② ? ①得:



an ? 2 ? 4( n ? N * ) an
第 18 页 共 32 页

??an ? 中的奇数项 a1 , a3 , a5 ,? 是以 a1 为前项,4 为公比的等比数列,偶数项 a2 , a4 , a6 ,? 是以 a2 的前
项,4 为公比的等比数列

? a2 k ?1 ? a1 ? 4k ?1 ? 22 k ? 2 ? ?? k ?1 2 k ?1 ? a2 k ? a2 ? 4 ? 2 ? ?2n ?1 (n为奇数) ? ? an ? ? n ?1 ?2 (n为偶数) ?
(2)当 n 为偶数时,
n n

1 ? (1 ? 4 2 ) 8 ? (1 ? 4 2 ) S n ? (a1 ? a3 ? m ? an ?1 ) ? (a2 ? a4 ? m ? an ) ? ? ? 3(2 n ? 1) 1? 4 1? 4
当 n 为奇数时, Sn ? Sn ?1 ? an ? 3(2
n ?1

? 1) ? 2n ?1 ? 2n ?1 ? 3

? 2 n ?1 ? 3( n为奇数) ? ? Sn ? ? n ?3(2 ? 1)( n为偶数) ?
28. (Ⅰ) a1 ? 3a 2 ? 3 a3 ? ? ? 3
2 n ?1

a1 ? 3a 2 ? 32 a3 ? ? ? 3n?2 a n?1 3n?1 a n ?
an ?

n n ?1 1 ? ? (n ? 2), 3 3 3

n , 3 n ?1 ? (n ? 2), 3 an ?

1 (n ? 2) 3n

验证 n=1 时也满足上式: a n ? (Ⅱ) bn ? n ? 3 n

1 (n ? N *) 3n

S n ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 2 ? 3 ? 33 ? ? n ? 3 n 3S n ? 1 ? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ? n ? 3n?1 ? 2S n ? 3 ? 32 ? 33 ? ?3n ? n ? 3 n ?1 ,

3 ? 3n ?1 ? 2S n ? ? n ? 3n ?1 , 1? 3
Sn ? n n ?1 1 n ?1 3 ?3 ? ?3 ? . 2 4 4
2 2

29. (1) a ? a ? 3 ? 10 a ? 3 ? 12 a ? 12 ? a ? a ? 6 ? 0

又 a ? 0且a ? Z ? a ? ?2

(2)① a n ?1 ? (?2)

n ?1

? 2a n , ? bn ?1 ?

a n ?1 (?2) n ?1

? 1 ? bn

又 b0 ? a0 , ? bn ? n ? a0

第 19 页 共 32 页

② an ? (?2)n bn ? (?2)n (n ? a0 )
? a2n?1 ? a2n?1

即 (?2)

2 n ?1

(2n ? 1 ? a0 ) ? (?2) 2 n ?1 (2n ? 1 ? a0 )

而 (?2)2n ?1 ? 0 ? 4(2n ? 1 ? a0 ) ? 2n ? 1 ? a0
? a0 ? ?2n ? 5 5 11 n ? N ? ? a0 ? ?2 ? ? ? 3 3 3

30.解(1)由题意知: a n ? 2 ? a n ?1 ? 2(a n ?1 ? a n ).

?

a n ? 2 ? a n ?1 ? 2, 故数列{a n ?1 ? a n } 是等比数列 a n ?1 ? a n

(2)由(1)知数列 {a n ?1 ? a n } 以是 a2-a1=3 为首项, 以 2 为公比的等比数列,所以 a n ?1 ? a n ? 3 ? 2
n ?1

,
n?2

故 a2-a1=3·0,所以 a3-a2=3·1,a4-a3=3·2,…, a n ? a n ?1 ? 3 ? 2 2 2 2 所以 a n ? a1 ?

,

3(1 ? 2 n ?1 ) ? 3(2 n ?1 ? 1).即a n ? 3 ? 2 n ?1 ? 1. 1? 2
n ?1

(3) nan ? 3n ? 2
0

? n, 先求n ? 2 n ?1的前n项和.
n ?1

设 Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? n2
1 1 2


n ?1

2 Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1)2
0 1 2

? n2 n ②
n ?1

①—②得: ? Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2

? n2 n ? 2 n ? 1 ? n ? 2 n

? Tn ? n ? 2 n ? 2 n ? 1 ? (n ? 1) ? 2 n ? 1

S n ? 3(n ? 1) ? 2 n ? 3 ?

n(n ? 1) n
2

31.解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax +bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得

a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x. 又因为点 (n, Sn )(n ? N ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 S n =3n2-2n.
?

3 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- (n ? 1) ? 2(n ? 1) =6n-5.
2

?

?

当 n=1 时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N )

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ?

3 3 1 1 1 = = ( ? ), a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1
第 20 页 共 32 页

故 Tn=

?b = 2
i ?1 i

n

1 1 1 1 1 ? 1 1 ? 1 ?(1 ? 7 ) ? ( 7 ? 13 ) ? ... ? ( 6n ? 5 ? 6n ? 1)? = 2 (1- 6n ? 1 ). ? ?

因此,要使

1 1 m 1 m (1- )< ( n ? N ? )成立的 m,必须且仅须满足 ≤ ,即 m≥10,所以满足 2 6n ? 1 20 2 20
1 2 ? 1 ?2 S1

要求的最小正整数 m 为 10.
32.解证: (Ⅰ) S1 ? a1 ?

当 n≥2 时, a n ? S n ? S n ?1即S n ? S n ?1 ? ?2S n S n ?1

?

1 1 ? ?2 S n S n ?1

故{

1 } 是以 2 为首项,以 2 为公差的等差数列. Sn

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

1 1 ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n, S n ? Sn 2n

当 n≥2 时, a n ? ?2S n S n ?1 ? ?

1 2n(n ? 1)

?1 (n ? 1) ?2 1 ? 当 n=1 时, a1 ? ? a n ? ? 1 2 ?? (n ? 2) ? 2n(n ? 1) ?
(Ⅲ) S1 ? S 2 ? ... ? S n ?
2 2 2

1 1 1 1 ? ? ? ... ? 2 2 4 4? 2 4?3 4 ? n2

?

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ) ? (1 ? ? ? ... ? ) 4 4 1? 2 2 ? 3 ( n ? 1) n 2 3 n

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? 1 ? ? ? ? ... ? ? )? ? . 4 2 2 3 n ?1 n 2 4n 5 2n ? 3 2(n ? 1) ? 3 33.解: (1)? a1 ? ? , an ? an?1 ? ? ? ? ?1(n ? 2) , 2 2 2 5 ∴数列 ?a n ?是以 ? 为首项,-1 为公差的等差数列, 2 ?
? 5 2n ? 3 ? n? ? ? ? n(n ? 4) 2 2 ? ? An ? ? ?? 。 2 2
(2)由 4 Bn ? 12 An ? 13n ,得 Bn ?

13n ? 12 An 6n 2 ? 11n ?? 。 4 4

? bn ? Bn ? Bn?1 ? ?

6n 2 ? 11n 6(n ? 1) 2 ? 11(n ? 1) 12 n ? 5 ? ?? (n ? 2) 。 4 4 4

而当 n ? 1 时, B1 ? b1 ? ?

12 ? 1 ? 5 17 ?? 。 4 4
第 21 页 共 32 页

? bn ? ?

12n ? 5 。 4
*

(3)对任意 n ? N ,2an ? ?2n ? 3,4bn ? ?12 n ? 5 ? ?2(6n ? 1) ? 3 , 所以 Y ? X ,即 X ? Y ? Y 。

? c1 是 X ? Y 中的最大数,?c1 ? ?17 。
设等差数列 ?cn ?的公差为 d ,则 c10 ? ?17 ? 9d 。

? ?265 ? ?17 ? 9d ? ?125 , ? ?27

5 ? d ? ?12 , 9

? ?4bn ?是一个以-12 为公差的等差数列, ? d ? ?12 m(m ? N * ),? d ? ?24 ,
? cn ? 7 ? 24 n(n ? N * ) 。
34.解: (Ⅰ)? Pn (a n , bn ) 在直线 l : y ? 2 x ? 1上,? bn ? 2a n ? 1

∵P1 为直线 l 与 y 轴的交点,∴P1(0,1) ? a1 ? 0 , 又数列 {a n } 的公差为 1 ? a n ? n ? 1(n ? N )
*

? bn ? 2n ? 1(n ? N * )
(Ⅱ)? P (0,1), p n (a n , bn ) 1
2 ?| P1 Pn |? a n ? (bn ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 ? (2n ? 2) 2 ? 5 (n ? 1)

?Cn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (n ? 2) n? | P1 Pn | 5n(n ? 1) 5 n ?1 n

?C 2 ? C3 ? ? ? C n ?

1

1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? )? (1 ? ) 2 2 3 n ?1 n n 5 5

(Ⅲ)? d n ? 2d n ?1 ? n

? d n ? n ? 2 ? 2(d n?1 ? n ? 1 ? 2)

?{d n ? n ? 2} 是以 2 为公比,4 为首项的等比数列,
? d n ? n ? 2 ? 2 n ?1 ,? d n ? 2 n ?1 ? n ? 2.
35.解: (Ⅰ)由题意知, an ? ( 1 )n

∵ bn ? 3log 1 an ? 2 , b1 ? 3log a1 ? 2 ? 1
4

4

( n ? N? )

∴ bn ?1 ? bn ? 3log 1 an ?1 ? 3log 1 an ? 3log 1
4 4 4

∴数列 ?bn ? 是首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列, 其通项为 bn ? 3n ? 2 ( n ? N ? ) . (Ⅱ)∵ cn ? (3n ? 2) ? ( 1 )n ,( n ? N ? ) 4

an ?1 ? 3log 1 q ? 3 an 4

第 22 页 共 32 页

∴ Sn ? 1? 1 ? 4 ? ( 1 )2 ? 7 ? ( 1 )3 ? ? ? (3n ? 5) ? ( 1 )n?1 ? (3n ? 2) ? ( 1 )n , 4 4 4 4 4 1 S ? 1? ( 1 )2 ? 4 ? ( 1 )3 ? 7 ? ( 1 )4 ? ? ? (3n ? 5) ? ( 1 )n ? (3n ? 2) ? ( 1 )n?1 于是 n 4 4 4 4 4 4 3 S ? 1? 3 ? ( 12) ? ( 13 ? ? ? (1 1 1 ?) n ? ( 3? 2 ?n 1 ( ) 1 n? n? 两式相减得 ) ) ? ( ) ? 4 n 4 ? 4 4 4 4 4 ? ? ? ? 1 ? 3 ? 1 ? ( 1 )2 ? ( 1 )3 ? ? ? ( 1 )n?1 ? ( 1 )n ? ? (3n ? 2) ? ( 1 )n?1 ?4 4 2 4 4 4 ? 4 ? ? ? 1 ? (3n ? 2) ? ( 1 )n?1 . 2 4 2 ? 12n ? 8 ? ( 1 )n?1 ( n ? N ? ) ∴ Sn ? 3 3 4 (Ⅲ) ∵ cn?1 ? cn ? (3n ? 1) ? ( 1 )n?1 ? (3n ? 2) ? ( 1 )n ? 9(1 ? n) ? ( 1 )n?1 , ( n ? N ? ) 4 4 4 1 ∴当 n ? 1 时, c2 ? c1 ? 4 当 n ? 2 时, cn?1 ? cn ,即 c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn ∴当 n ? 1 时, cn 取最大值是 1 4 1 m2 ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立 ∴ 1 m2 ? m ? 1 ? 1 又 cn ? 4 4 4 即 m2 ? 4m ? 5 ? 0 得 m ? 1 或 m ? ?5
36. (1)∵ an ? 2Sn Sn?1 ? 0 ,∴ Sn Sn ?1 ? ?

an 1 1 ,又∵ Sn ? Sn ?1 ? an , ∴ ? ? 2 (n ≥ 2, n ? N* ) Sn Sn ?1 2

∴数列 ?

?1? 1 ? 2n. ? 是等差数列,且 Sn ? Sn ?

(2)当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ?

1 1 1 ? ?? . 2n 2(n ? 1) 2n(n ? 1)
(n ? 1), (n ≥ 2).

?1 ? 1 ?2 当 n=1 时, a1 ? 不成立. ∴ an ? ? 2 1 ?? ? 2n(n ? 1) ?

(3) bn ? 2(1 ? n)an ?
1 2 1 1 2 3

1 1 1 1 1 2 ,∴ bn ? 2 ? ? ? (n ≥ 2) . n(n ? 1) n ? 1 n n n

∴左边 ? 1 ? ? ? ? ? ?
37.解: (Ⅰ)当 a ? 4 时,

1 1 1 ? ? 1 ? ? 1 显然成立. n ?1 n n
2

f ( x) ? x | x ? 4 | ?2 x ? 3

(1) 2 ? x ? 4 时, f ( x) ? x(4 ? x) ? 2 x ? 3 ? ?( x ? 3) ? 6 当 x ? 2 时, f ( x) min ? 5 ;当 x ? 3 时, f ( x) max ? 6 (2)当 4 ? x ? 5 时, f ( x) ? x( x ? 4) ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1) ? 4
2

当 x ? 4 时, f ( x) min ? 5 ;当 x ? 5 时, f ( x)max ? 12 综上所述,当 x ? 2 或 4 时, f ( x) min ? 5 ;当 x ? 5 时, f ( x)max ? 12
? a ? 2 2 (a ? 2) 2 ? 3, x ? a ? (x ? 2 ) ? 4 (Ⅱ) f ( x) ? ? x ? (2 ? a) x ? 3, x ? a ? ? ? 2 ? 2 ?? x ? (2 ? a) x ? 3, x ? a ??( x ? a ? 2 ) 2 ? (a ? 2) ? 3, x ? a ? ? 2 4
2

f ( x) 在 R 上恒为增函数的充要条件是 ? ?

?a ? 2 ? a ,解得 ?2 ? a ? 2 2 ? ?a ? 2 ? a ? 2 ?

第 23 页 共 32 页

f (an ) ? 3 ?| an ? 4 | ?2(n ? N * ) , an ① 当 a n ? 4 时, an ?1 ? ?an ? 6 ,即 an ?1 ? an ? 6 (1)
(Ⅲ) an ?1 ? 当 n=1 时, a1 ? a 2 ? 6 ;当 n≥2 时, a n ? a n?1 ? 6 又 ?a n ?为等差数列,∴ (2) (1)—(2)得,n≥2 时, an?1 ? an?1 ? 0 ,即 an ?1 ? an ?1

a n ? 3 (n ? N * )

此时 a1 ? 3 ∴ d ? ?2

②当 an ? 4 时 an ?1 ? an ? 2 ,即 an?1 ? an ? ?2

若 d ? ?2 时,则 an ?1 ? an ? 2 (3) ,将(3)代入(1)得 an ? 4 ?| an ? 4 | ,

? an ? 4 对一切 n ? N * 都成立
另一方面, an ? a1 ? 2(n ? 1) , an ? 4 当且仅当 n ?

? d ? ?2 不符合题意,舍去. ? 综合①②知,要使数列 ?an ? (n ? N ) 成等差数列,则 a1 ? 3
38. (I)解:由 a1 ? 2, a n ?1 ?

a1 ? 1 时成立,矛盾 2

2a n 可知, 对n ? N * , a n ? 0 an ? 1

从而由 a n ?1 ?

2a n 1 1 1 1 1 1 两边取倒数得, ? ? 即 ? 1 ? ( ? 1) an ? 1 a n ?1 2 2a n a n ?1 2 an

? a1 ? 2,

1 1 ?1 ? ? . a1 2

? 数列{

1 1 1 ? 1}是首项为 ? , 公比为 的等比数列 an 2 2

?

1 1 1 1 ? 1 ? ? ( ) n ?1 ? ?( ) n . an 2 2 2
1 1 2n ? 1 ?1 ? ? n ? an 2 2n 2n . 2n ?1

?

? an ?

故数列 {a n }的通项公式是a n ?

2n . 2n ? 1

(II)? a n ?

2n . 2n ? 1
2i (i ? 1,2, ? n), ( 2 i ? 1) 2

? ai ( ai ? 1) ? 当i ? 2时,

2i 2i 2 i ?1 1 1 ? ai (ai ? 1) ? i ? i ? i ? i ?1 ? i 2 i i ?1 (2 ? 1) (2 ? 1)( 2 ? 2) (2 ? 1)( 2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1
第 24 页 共 32 页

? ? ai (ai ? 1) ? a1 (a1 ? 1) ? a 2 (a 2 ? 1) ? ? ? a n (a n ? 1)
i ?1

n

? ?

21 22 2n ? 2 ??? n (21 ? 1) 2 (2 ? 1) 2 (2 ? 1) 2
1 1

? 3?

1 2 n ?1

? 3.

2 1 1 1 1 1 1 ?( 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ? ? ? ( n ?1 ? n ) 2 (2 ? 1) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 ? 2 ?1? n 2 ?1

39.1°f (1) ? f (1,1) ? f (1) ? f (1) ? f (1) ? 0

1 1 1 f (1) ? f (2 ? ) ? f (2) ? f ( ) ? f ( ) ? ?1 2 2 2
2? f ( x)在(0,??)上单调递增, 设0 ? x1 ? x 2 ? x2 x x x ? 1 ? f ( 2 ) ? 0 ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ? 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) x1 x1 x1 x1

? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x)在(0,??)上是增函数. 3
?

f ( S n ) ? f (a n ) ? f (a n ? 1) ? 1 ? f ( S n ) ? f (2) ? f (a n ) ? f (a n ? 1) ? f (2 ? S n ) ? f [a n ? (a n ? 1)]
2 ? 2 ? S n ? an ? an 2 2 S n ?1 ? a n ?1 ? a n ?1

? a n ? a n ?1 ? 1 ? a n ? n S n ?
40.解: (I)令 x=y=0,得 f(0)=0。

n(n ? 1) 2

又当 x=0 时, f (0) ? f ( y) ? f (? y), 即 f (? y) ? ? f ( y) 。 ∴对任意 x ? (?1,1) 时,都有 f (? x) ? ? f ( x) 。
? f (x) 为奇函数。

2 xn 1 2 2 (II) ?{xn } 满足 x1 ? , xn ?1 ? ? ? ? 1, 2 1 2 1 ? xn ? xn 2 xn
? 0 ? xn ? 1 。? f ( xn ?1 ) ? f (

2 xn 1?
2 xn

) ? f[

xn ? (? xn ) ] ? f ( xn ) ? f (? xn ) 。 1 ? xn ? (? xn )

? f (x) 在 (?1,1) 上是奇函数, ∴ f (? xn ) ? ? f ( xn ) ? f ( xn ?1 ) ? 2 f ( xn ) ,即

f ( xn ?1 ) ?2。 f ( xn )

1 ?{ f ( xn )} 是以 f ( x1 ) ? f ( ) ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列。? f ( xn ) ? 2n ?1 。 2
1 1 ? ( )n 1 1 1 1 1 1 2 ? 2? 1 。 (III) Tn ? = 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? ? ??? 1 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) 2 2 2 2n ?1 1? 2

假设存在正整数 m,使得对任意的 n ? N * , m?4 有 Tn ? 成立, 3 即2?
1 2
n ?1

?

m?4 对 n ? N * 恒在立。 3
第 25 页 共 32 页

只需

m?4 ? 2 ,即 m ? 10. 3 m?4 成立。 3

故存在正整数 m,使得对 n ? N * ,有 Tn ? 此时 m 的最小值为 10。
41.解(1) f n ( x) ? x ? n

(2)∵ f n ( x) ? x ? n ,∴ f1 ( x) ? f 2 ( x) ? … ? f n ( x) ? nx ? ∴ y ? x ? nx ?
2

n(n ? 1) , 2

n(n ? 1) n n 2 ? 2n 。 ? ( x ? )2 ? 2 2 4

①当 ?

n n 2 ? 2n n 在区间(- ? ,-1]上是减函数 ? ?1 即 n ? 2 时,函数 y ? ( x ? )2 ? 2 4 2 n2 ? n ? 2 ? ? 12 即 n2 ? n ? 22 ? 0 , 2

∴当 x ? ?1 时, ymin
2

又 ? ? (?1) ? 4 ? (?22) ? 89 ,∴该方程没有整数解; ②当 ?

n 2 ? 2n n ? 12 ? ?1,即 n ? 2 时, ymin ? 2 2

∴ n ? 2n ? 48 ? 0 ,解得 n ? 6 或 n ? ?8 (舍去)
2

综上所述, n ? 6 为所求的值
42.解: (I)由 x

? 0 ,y ? 0 , 3n ? nx ? 0 ,得 0 ? x ? 3

∴x ? 1 或 x ? 2
∴ Dn 内的整点在直线 x ? 1 和 x ? 2 上,记直线 y ? ? nx ? 3n 为 l,l 与直线 x ? 1,x ? 2 的交点的纵 坐标分别为 y1 、y 2 ,则

y1 ? ? n ? 3n ? 2 n,y 2 ? ?2 n ? 3n ? n

∴a n ? 3n n ? N

?

*

?
?
3n?n ? 1? 2

(II) ∵S n ? 3 1 ? 2 ? 3 ? … ? n ?

?

∴ ∴

T n T n
?

?

n

?

n 2

?
n

1 ?

1

?

T n

?

?

n

?

1 ? ? 2
n

n
1

?

2

?

?

?

n

?

n 2

?
n

1 ?

?

?

n

?

1 ? ? 2
n

2
1

?

n

?

?

3 ∴当 n ? 3 时, Tn ? Tn ?1 ,且 T1 ? 1 ? T2 ? T3 ? 2 3 ∴T2 ,T3 是数列 ?Tn ? 中的最大项,故 m ? T2 ? 2
第 26 页 共 32 页

43. (Ⅰ) 解:由 an ?1 ? ? an ? ?

n ?1

? (2 ? ? )2n (n ? N? ) , ? ? 0 ,
n

可得

? n ?1
? an ?

an ?1

?2? ?? ? ???

n ?1

?2? ? n ? ? ? ?1, ? ??? an

所以 ?

?2? ?? ? n ?? ? ? ? ?

n

n ? a ?2? ? 为等差数列,其公差为 1,首项为 0,故 n ? ? ? ? n ? 1 ,所以数列 ?an ? 的通项 ? ?n ? ? ? ? ?
n n
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公式为 an ? (n ? 1)? ? 2
2

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(Ⅱ)解:设 Tn ? ? ? 2? ? 3? ? ? ? (n ? 2)?
3 4

n ?1

? (n ? 1)? n ,




?Tn ? ? 3 ? 2? 4 ? 3? 5 ? ? ? (n ? 2)? n ? (n ? 1)? n?1
当 ? ? 1 时,①式减去②式, 得 (1 ? ? )Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? (n ? 1)?
2 3 n n ?1

? 2 ? ? n ?1 ? ? (n ? 1)? n ?1 , 1? ?

Tn ?

? 2 ? ? n ?1 (n ? 1)? n ?1 (n ? 1)? n ? 2 ? n? n ?1 ? ? 2 ? ? (1 ? ? ) 2 1? ? (1 ? ? ) 2

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这时数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 当 ? ? 1 时, Tn ?

(n ? 1)? n ? 2 ? n? n ?1 ? ? 2 ? 2n ?1 ? 2 2 (1 ? ? )

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n(n ? 1) 2

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这时数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ?

n(n ? 1) n?1 ?2 ?2 2

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(Ⅲ)证明:通过分析,推测数列 ?

? an ?1 ? a2 ? 的第一项 最大,下面证明: a1 ? an ?


an ?1 a2 ? 2 ? 4 ? ? , n≥ 2 an a1 2

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由 ? ? 0 知 an ? 0 ,要使③式成立,只要 2an ?1 ? (? ? 4)an (n ≥ 2) ,
2

因为 (? ? 4)an ? (? ? 4)(n ? 1)? ? (? ? 1)2
2 2 n 2

n

? 4? (n ? 1)? n ? 4 ? 2n ? 4(n ? 1)? n?1 ? 2n ? 2 ·

≥ 2n? n?1 ? 2n?2 ? 2an?1,n ≥ 2
所以③式成立
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因此,存在 k ? 1 ,使得

an ?1 a a ≤ k ?1 ? 2 对任意 n ? N? 均成立 an ak a1

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44.解: (I) a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 4 ? n ? 1 ? n ? 3.

第 27 页 共 32 页

当n ? 1时, b1 ? S1 ? 3. 当n ? 2时, bn ? Sn ? Sn ?1 ? n 2 ? 2n ? (n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1. 当n ? 1时上式也成立,? bn ? 2n ? 1(n ? N * ). 所以an ? n ? 3, bn ? 2n ? 1.????????????????? 4分
(II)假设符合条件的 k(k∈N*)存在, 由于 f ( n) ? ?

?n ? 3, n为正奇数, ?2n ? 1, n为正偶数,

∴当 k 为正奇数时,k + 27 为正偶数

由 f (k ? 27 ) ? 4 f (k ), 得2(k ? 27) ? 1 ? 4(k ? 3). ? 2k ? 43, k ? 当 k 为正偶数时,k + 27 为正奇数, 由 f (k ? 27) ? 4 f (k ), 得(k ? 27 ) ? 3 ? 4(2k ? 1). 因此,符合条件的正整数 k 不存在 (III)将不等式变形并把 a n ?1 ? n ? 4 代入得

43 . (舍) 2 26 . (舍) 7

即 7k ? 26,? k ?

a?

1 2n ? 3

(1 ? 1

1 1 1 1 )(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ). b1 b2 b3 bn (1 ? 1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ). b1 b2 bn 1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ). b1 b2 bn ?1
1 bn ?1 )? 2n ? 3 2n ? 5 ? 2n ? 4 ? 2n ? 3 2n ? 4 2n ? 5 2n ? 3 .

设 g ( n) ?

2n ? 3 1

? g (n ? 1) ?
g (n ? 1) ? g ( n)

2n ? 5
2n ? 3 2n ? 5

(1 ?

?

(1 ?

又? (2n ? 5)( 2n ? 3) ?

g (n ? 1) (2n ? 5) ? (2n ? 3) ? 1,即g (n ? 1) ? g (n). ? 2n ? 4 ,? g ( n) 2
1 1 4 5 4 5 (1 ? ) ? .?0 ? a ? . 3 15 15 5

? g (n)随n的增大而增大, 故g (n) min ? g (1) ?
45.解: (Ⅰ)由 y ?

x2 ? x ? n ,(n ? N *, y ? 1), 得x 2 ( y ? 1) ? x ? y ? n ? 0 2 x ?1

? x ? R , y ? 1 ,?? ? 1 ? 4( y ? 1)( y ? n) ? 0, 即4 y 2 ? 4(1 ? n) y ? 4n ? 1 ? 0
由题意知: an , bn 是方程4 y 2 ? 4(1 ? n) y ? 4n ? 1 ? 0 的两根,

1 4 ? Cn ? 4n ? 3,(n ? N *) ? an ? bn ? n ?

2n 2 ? n 1 6 15 (Ⅱ) S n ? 2n ? n, d n ? ,? d1 ? , d2 ? , d3 ? 1? c 2?c 3? c n?c
2

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1 ? {dn } 为等差数列,? 2d 2 ? d1 ? d3 ,? 2c2 ? c ? 0 ,?c ? ? 或c ? 0(舍) 2 1 经检验 c ? 时, {dn } 是等差数列, dn ? 2n 2
(Ⅲ) f (n) ?

2n 1 1 1 ? ? ? (n ? 36)(2n ? 2) n ? 36 ? 37 37 ? 2 36 49 n

36 即n ? 6时取 " ? " n 1 ? f (n)的最大值为 . 49 当且仅当n ?
46.⑴由已知条件得 Sn

1 1 1 ? an 2 ? an ? , ① 8 2 2 1 1 1 2 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? an ?1 ? an ?1 ? , ② 8 2 2 1 2 1 1 2 ①-②得: an ? (an ? an ?1 ) ? (an ? an ?1 ) ,即 an ? an ?1 ? (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) , 8 2 4
∵数列 ?an ? 的各项均为正数,∴ an ? an ?1 ? 4 ( n ? 2 ) , 又 a1 ? 2 ,∴ an ? 4n ? 2 ; ∵ b1 ? a1 , bn ?1 (an ?1 ? an ) ? bn , ∴ b1 ? 2,

bn ?1 1 1 ? ,∴ bn ? 2 ? ( ) n?1 ; bn 4 4 an ? (2n ? 1)4n ?1 , bn
2 n ?2

⑵∵ cn ?

∴ Tn ? 1 ? 3 ? 4 ? 5 ? 4 ? ? ? (2n ? 3) ? 4

? (2n ? 1) ? 4n ?1 ,

4Tn ?

4 ? 3 ? 42 ? ? ? (2n ? 5) ? 4n?2 ? (2n ? 3) ? 4n?1 ? (2n ? 1) ? 4n ,
2 n ?1

两式相减得 ?3Tn ? 1 ? 2(4 ? 4 ? ? ? 4 ∴ Tn ?

5 5 5 ) ? (2n ? 1)4n ? ? ? (2n ? ) ? 4n ? ? , 3 3 3

5 . 9

47.解: (1)由 S n ? (1 ? ? ) ? ?a n ? S n ?1 ? (1 ? ? ) ? ?a n ?1 (n ? 2)

相减得: a n ? ??a n ? ?a n ?1 ,?

an ? ? (n ? 2),? 数列{a n } 是等比数列 a n ?1 1 ? ?

(2) f (? ) ?

?
1? ?

,? bn ?

bn 1 1 ? ? ? 1, 1 ? bn ?1 bn bn ?1

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1 1 1 ?{ }是首项为 ? 2, 公差为 的等差数列;? ? 2 ? (n ? 1) ? n ? 1 1 bn b1 bn

? bn ?

1 n ?1
1 2
n ?1

(3) ? ? 1时, a n ? ( )

,? C n ? a n (

1 1 ? 1) ? ( ) n ?1 n , bn 2

1 1 1 ① ? Tn ? 1 ? 2( ) ? 3( ) 2 ? ? ? n( ) n?1 2 2 2 1 1 1 1 1 ② Tn ? ( ) ? 2( ) 2 ? 3( ) 3 ? ? ? n( ) n 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ①-②得: Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ?1 ? n( ) n , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n?1 ? n( ) n ? 2(1 ? ( ) n ) ? n( ) n , 2 2 2 2 2 2 2 2 1 n 1 n 所以: Tn ? 4(1 ? ( ) ) ? 2n( ) 2 2
48.解: (1)根据 x ? f ? x ? ?

1 2 ? x ? 1? 对一切实数 x 恒成立, 2

令 x ? 1 ,可得 1 ? f ?1? ?

1 2 ?1 ? 1? ? 1 ,? f ?1? ? 1 ; 2

1 ? ?a ? c ? 2 ? f ? ?1? ? a ? b ? c ? 0 ? ? (2)设 f ? x ? ? ax ? bx ? c ,则 ? ,解得 ? ? f ?1? ? a ? b ? c ? 1 ? ? b?1 ? ? 2
2

1 1 1 1 1 又 f ? x ? ? ax2 ? x ? c ? ax 2 ? x ? ? a ? x 恒成立,即 ax 2 ? x ? ? a ? 0 恒成立, 2 2 2 2 2
a?0 ? 1 1 1 1 1 1 2 ? ,解得 a ? , c ? , f ? x ? ? x2 ? x ? ? ? x ? 1? ?? 1 2 4 4 4 2 4 4 ? ? ? 4 ? 2a ? 4a ? 0 ?

(3)由(2)得 f ? n ? ?

1 1 1 1 1 4 4 4 4 2 ? ? ??? ? ? ? ??? ? n ? 1? , 2 f ?1? f ? 2 ? f ? 3? f ? n ? 22 32 42 4 ? n ? 1?

? 1 ? 1 1 1 1 1 ? 1 ? 4n ?1 1 1 1 ?1 ? 4? ? ? ?? ? ? ? 4 ? ? ? ??? ? ? 4? ? ?? ? 2 ?3 3? 4 4 ?5 n ?1 n ? 2 ? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? ? 2 3 3 4 ? ? 2 n ? 2 ? 2n ? 4 ? ?

49. (Ⅰ)解:依题意, an ?1 ? an ? a , n ? 1,2,3,?.

所以 a ?

5a ? 6 ,解得 a ? 2 ,或 a ? 3 ,符合题意. a
5an ? 6 ? an , 得 an ? 0,或 2 ? an ? 3. an

(Ⅱ解不等式 an ?1 ? an ,即

所以,要使 a2 ? a1 成立,则 a1 ? 0,或 2 ? a1 ? 3.

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(1)当 a1 ? 0 时, a2 ? f (a1 ) ?

5a1 ? 6 6 ? 5? ? 5, a1 a1

而 a3 ? a2 ? f (a2 ) ? a2 ?

5a2 ? 6 (a ? 2)( a2 ? 3) ? a2 ? ? 2 ? 0 ,即 a3 ? a2 ,不满足题意. a2 a2 5a1 ? 6 6 6 ? 5 ? ? (2, , a3 ? 5 ? ? (2, , ? ,满足题意. 3) 3) a1 a1 a2

(2)当 2 ? a1 ? 3 时, a2 ? f (a1 ) ? 综上, a ? (2, . 3) (Ⅲ)解:构造数列 {bn } : b1 ?

6 3 , bn ?1 ? 5 ? bn 2

(n ? N* ) . 那么 bn ? 5 ?

6 . bn ?1

不妨设 a 取 bn ,

那么 a2 ? 5 ?

6 6 6 6 6 6 3 ? 5 ? ? bn ?1 , a3 ? 5 ? ? 5 ? ? bn ?2 , ? , an ? 5 ? ? 5 ? ? b1 ? , a1 bn a2 bn ?1 an ?1 b2 2

an ?1 ? 5 ?

6 6 6 3 ? 5 ? ? 1 . 由 b1 ? ? 2 ,可得 bn ? ? 2 , ( n ? 1 , n ? N* ). an b1 5 ? bn ?1 2 6 (b ? 2)(bn ? 3) ? bn ? n ? 0 ,所以 bn ? bn?1 , n ? 1,2,3,? . 5 ? bn 5 ? bn

因为 bn ?1 ? bn ?

又 bn ? 2 ? 5 ,所以数列 {bn } 是无穷数列,因此构造的数列 {bn } 符合题意.
50.解: (Ⅰ)因为

1 1 1 1 1 1 1 f ( ) ? f (1 ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? .所以 f ( ) ? . 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 n ?1 1 令 x ? ,得 f ( ) ? f (1 ? ) ? ,即 f ( ) ? f ( )? . n n n 2 n n 2 1 n ?1 (Ⅱ) a n ? f (0) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) n n n ?1 1 又 a n ? f (1) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (0) n n
两式相加

1 n ?1 n ?1 . 2an ? [ f (0) ? f (1)] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f (1) ? f (0)] ? n n 2 n ?1 所以 a n ? ,n? N , 4 n ?1?1 n ?1 1 又 a n ?1 ? a n ? ? ? .故数列 {a n } 是等差数列.分 4 4 4 4 4 ? (Ⅲ) bn ? 4a n ? 1 n 1 1 1 2 2 Tn ? b12 ? b2 ? ? ? bn ? 16(1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) 2 3 n 1 1 1 ? 16[1 ? ? ??? ] 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? 16[1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 2 3 n ?1 n
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1 16 ? 16(2 ? ) ? 32 ? ? Sn n n
所以 Tn ? S n

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