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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修二课件:第二章 平面解析几何初步-2.1-2.1.2-第2课时

时间:2017-08-09


阶 段 1

阶 段 3

第2课时

两点式
学 业 分 层 测 评

阶 段 2

1.了解直线方程的两点式的推导过程.(难点) 2.会利用两点式求直线的方程.(重点) 3.掌握直线方程的截距式,并会应用.(易错点)

[ 基础· 初探] 教材整理1 直线的两点式方程 阅读教材P83思考以上部分内容,完成下列问题.
y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 已知直线过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则其方程________________(x1≠x2

且y1≠y2),称为直线的两点式方程.

1.过点P1(1,1),P2(2,3)的直线方程为________.
y-3 x-2 【解析】 由直线方程的两点式得 = ,即2x-y-1=0. 1-3 1-2
【答案】 2x-y-1=0

2.经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为________.

【解析】 由M,N两点的坐标可知,直线MN与x轴平行,所以直线方程为 y=2.
【答案】 y=2

教材整理2 直线的截距式方程 阅读教材P84例2以上部分内容,完成下列问题. 若直线过点A(a,0),B(0,b),其中a叫做直线在x轴上的截距,b叫做直线在 x y +b=1(a≠0,b≠0) a y轴上的截距,则直线方程______________________,称为直线的截距式方程.

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) y-y1 x-x1 (1)两点式 = ,适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线.(√) y2-y1 x2-x1 (2)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y- y1)(x2-x1)=(x-x1)· (y2-y1)表示.(√) x y (3)不经过原点的直线都可以用方程 + =1表示.(×) a b y2-y1 y-y1 x-x1 (4)方程y-y1= (x-x1)和 = 表示同一图形.(×) x2-x1 y2-y1 x2-x1

2.过点P1(2,0),P2(0,3)的直线方程为________.

x 【解析】 ∵P1(2,0),P2(0,3)都在坐标轴上,因此过这两点的直线方程为 2 y +3=1.

x y 【答案】 2+3=1

x y 3.直线 - =1在两坐标轴上的截距之和为________. 3 4 【导学号:60420056】

【解析】 令x=0,得y=-4;令y=0,得x=3. 故直线在两坐标轴上的截距之和为-4+3=-1.
【答案】 -1

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[ 小组合作型]

直线的两点式方程及其应用
已知△ABC三个顶点坐标A(2,-1),B(2,2),C(4,1),求三角形三 条边所在的直线方程.

【精彩点拨】 已知直线上的两点,可利用两点式求方程,也可利用两点 先求斜率,再利用点斜式写直线方程.

【自主解答】 ∵A(2,-1),B(2,2), A,B两点横坐标相同, 直线AB与x轴垂直,故其方程为x=2. ∵A(2,-1),C(4,1),由直线方程的两点式可得AC的方程为 x-4 ,即x-y-3=0. 2-4 y-1 -1-1 =

y-2 x-2 同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为 = ,即x+2y-6= 1-2 4-2 0. ∴三边AB,AC,BC所在的直线方程分别为 x=2,x-y-3=0,x+2y-6=0.

当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式 方程的适用条件,若满足即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的情况下,也可 以先应用斜率公式求出斜率,再用点斜式写方程.

[ 再练一题] 1.已知三角形的三个顶点A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求: (1)BC边所在的直线方程; (2)BC边上中线所在的直线方程.

【解】 (1)直线BC过点B(0,-3),C(-2,1),由两点式方程得 x-0 ,化简得2x+y+3=0. -2-0

y+3 1+3



?0-2 -3+1? ? (2)由中点公式得,BC的中点D的坐标为 ? , ? 2 ? ,即D(-1,-1), 2 ? ?

y+1 x+1 又直线AD过点A(-4,0),由两点式方程得 = ,化简得x+3y+4=0. 0+1 -4+1

直线的截距式方程

求过点(4,-3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方 程.

【精彩点拨】

【自主解答】

设直线l在x轴,y轴上的截距分别为a,b.

x y ①当a≠0,b≠0时,设l的方程为 + =1. a b 4 -3 ∵点(4,-3)在直线上,∴a+ b =1, 若a=b,则a=b=1,直线方程为x+y=1. 若a=-b,则a=7,b=-7, 此时直线的方程为x-y=7. ②当a=b=0时,直线过原点,且过点(4,-3), ∴直线的方程为3x+4y=0. 综上所述,所求直线方程为x+y-1=0或x-y-7=0或3x+4y=0.

当所给条件涉及直线的横、纵截距求直线方程时,可考虑用直线的截距式 方程.但要特别注意截距式使用的条件是横纵截距都存在且不为零.

[ 再练一题] 2.求过点A(5,2),且在坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. 【导学号:60420057】

【解】 当直线l在坐标轴上的截距为0时,设方程为y=kx,又l过点 2 2 A(5,2),得2=5k,即k=5,故方程为y=5x,即2x-5y=0. 当直线l在坐标轴上的截距不为0时, x y 设直线l的方程为a+ =1,即x-y=a. -a 又因为直线l过点A(5,2),所以5-2=a,a=3. 所以直线l的方程为x-y-3=0. 综上所述,直线l的方程为2x-5y=0或x-y-3=0.

[ 探究共研型]

直线的两点式方程与截距式方程
探究1 已知直线l经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)两点,如 何求直线的点斜式方程,如果将求出的点斜式方程写成比例式可化成怎样的形 式.

y2-y1 【提示】 由于x1≠x2,所求直线的斜率k= ,取P1(x1,y1)和k,由点 x2-x1

y2-y1 y-y1 斜式方程得y-y1= (x-x1).由于y1≠y2,方程两边同除y2-y1得 = x2-x1 y2-y1 x-x1 . x2-x1

探究2 从两点式方程的形式上看,直线方程的两点式适用求什么样的直 线方程.
【提示】 两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程.

已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中 a≠0,b≠0,求l的方程.

【精彩点拨】 结合两点式方程的结构形式,直接写出两点式方程,再化 简.
【自主解答】 将两点A(a,0),B(0,b)的坐标代入两点式,得 x-a x y ,即a+b=1. 0-a y-0 b-0 =

我们把直线与x轴交点?a,0?的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线 x y 在y轴上的截距是b,方程 + =1由直线l在两坐标轴上的截距a与b确定,所以 a b 叫做直线的截距式方程.

[ 再练一题] 3.三角形的顶点是A(-4,0),B(3,-3),C(0,3),求这个三角形三边所在 的直线的方程.

y-0 【解】 ∵直线AB过点A(-4,0),B(3,-3)两点,由两点式方程得 -3-0 x-?-4? = , 3-?-4? 整理得3x+7y+12=0, ∴直线AB的方程为3x+7y+12=0.

∵直线AC过点A(-4,0)和C(0,3)两点, x y 由截距式方程得 + =1,整理得3x-4y+12=0. -4 3 ∴直线AC的方程为3x-4y+12=0. ∵直线BC过点B(3,-3)和C(0,3)两点, y-?-3? x-3 由两点式得 = , 3-?-3? 0-3 整理得2x+y-3=0. ∴直线BC的方程为2x+y-3=0.

[ 构建· 体系]

1.过两点(-2,1)和(1,4)的直线方程为________.

y-1 x+2 【解析】 代入两点式得直线方程 = ,整理得y=x+3. 4-1 1+2
【答案】 y=x+3

2.经过两点(3,9),(-1,1)的直线在x轴上的截距为________.

【解析】 由两点式得,所求直线的方程为 y-1 x+1 3 = ,即2x-y+3=0,令y=0,得x=-2. 9-1 3+1

3 【答案】 -2

3.经过P(4,0),Q(0,-3)两点的直线方程是________.

【解析】 因为由两点坐标知直线在x轴,y轴上截距分别为4,-3,所以 x y 直线方程为4+ =1. -3

x y 【答案】 4-3=1

x y 4.直线a2-b2=1在y轴上的截距是________. 【导学号:60420058】
【答案】 -b2

5.直线l经过点A(2,1)和点B(a,2),求直线l的方程.

【解】 ①当a=2时,直线的斜率不存在,直线上每点的横坐标都为2, 所以直线方程为x=2; y-2 x-a ②当a≠2时,由 = ,得x+(2-a)y+a-4=0.综上,当a=2时,所 1-2 2-a 求直线方程为x=2; 当a≠2时,所求直线方程为x+(2-a)y+a-4=0.

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)


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