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8—3空间点、线、面间位置关系

时间:2013-06-20


高三数学(理)

第八章

第3课时

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第3课时 空间点、线、面间位置关系
授 人 以 渔

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2011· 考纲下载

1.理解空间直线、平面位置关系的定义,
并了解作为推理依据的公理和定理.

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2.能运用公理、定理和已获得的结论证明 一些空间位置关系的简单命题.

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请注意!

平面的基本性质是立体几何的基础,而
两条异面直线所成的角和距离是高考热点,
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在新课标高考卷中频频出现.

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课本导读
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1.平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线就在此 平面内. 公理2:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3:如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有一条通过 该点的公共直线. 2.用集合语言描述点、线、面间的关系 (1)点与平面的位置关系: 点A在平面α内记作A∈α,点A不在平面α内记作A?α. (2)点与线的位置关系: 点A在直线l上记作A∈l,点A不在直线l上,记作A?l. (3)线面的位置关系:直线l在平面α内记作l?α,直线l不在平面α内记 作l?α. (4)平面α与平面β相交于直线a,记作α∩β=a. (5)直线l与平面α相交于点A,记作l∩α=A. (6)直线a与直线b相交于点A,记作a∩b=A.
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3.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
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?平行 ? ?共面直线? ? ?相交 ? 异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线 ?

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(2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间中任一点 O 作直 线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′所成的锐角或直角叫做异面直 线 a,b 所成的角(或夹角). π ②范围:(0, ]. 2

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教材回归
1.下面三条直线一定共面的是( ) A.a、b、c 两两平行 B.a、b、c 两两相交 C.a∥b,c 与 a、b 均相交 D.a、b、c 两两垂直 答案 C 2.已知 m、n 为异面直线,m? 平面 α ,n? 平面 β ,α ∩β =l,则 l( ) A.与 m、n 都相交 B.与 m、n 至少一条相交 C.与 m、n 都不相交 D.至多与 m、n 中的一条相交 答案 B 解析 若 l 与 m、n 都不相交,则 l∥m,l∥n, ∴m∥n 与已知矛盾,故 C、D 不正确. A 中与 m、 都相交, n 也不一定, l∥m, 与 l 相交于一点. 如 n
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? 3.给出下列四个命题,其中正确命题的个数是(
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)

? ①如果线段AB在平面α内,那么直线AB在平面α内;

? ②两个不同的平面相交于不在同一直线上的三个点A、B、C;
? ③若三条直线 a ,b,c互相平行且分别交直线 l于A ,B, C三点,则 这四条直线共面;

? ④若三条直线两两相交,则这三条直线共面.
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? A. 1 ? C. 3 ? 答案 B ? 解析 ①③正确.

B. 2 D. 4

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? 4.(2010·江西卷)如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给 出下列四个命题:
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? ①过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交; ? ②过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直; ? ③过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交; ? ④过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行.

? 其中真命题是(
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)
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? A.②③④ B.①③④ ? C.①②④ D.①②③

? 答案
? 解析

C
将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度,所得的平

面与直线AB,B1C1都相交,故③错误,排除ABD,选C.
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5.(09·上海)如图,
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若正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 2,高为 4,则异 面直线 BD1 与 AD 所成角的正切值是______.
答案 5

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题型一 平面的性质
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例1 下列命题: ①空间不同三点确定一个平面; ②有三个公共点的两个平面必重合; ③空间两两相交的三条直线确定一个平面; ④三角形是平面图形; ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形; ⑥垂直于同一直线的两直线平行; ⑦一条直线和两平行线中的一条相交,也必和 另一条相交; ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形. 其中正确的命题是________.

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? 【解析】

由公理3知,不共线的三点才能确定一个平面,所以知命

题①错,②中有可能出现两平面只有一条公共线 (当这三个公共点共
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线时),②错.③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,

若为三个交点,则这三线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平
面或三个平面.⑤中平行四边形及梯形由公理 2可得必为平面图形, 而四边形有可能是空间四边形,如图(1)所示.

? 在正方体 ABCD—A′B′C′D′ 中,直线 BB′⊥AB , BB′⊥CB ,但 AB 与
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CB不平行,∴⑥错.AB∥CD,BB′∩AB=B,但BB′与CD不相交, ∴⑦错.如图(2)所示,AB=CD,BC=AD,四边形ABCD不是平行

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四边形,故⑧也错.
? 【答案】 ④
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?
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探究1

对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一

定要结合图形,理解其本质,准确把握其内涵,特别是定理、公理
中的限制条件,如公理3中“不共线的三点”,“不共线”是很重要 的条件.另外,对于平面几何中的一些正确命题,包括一些定理推 论,在空间几何中应当重新认定,有些命题因为空间中位置关系的
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变化,可能变为错误命题,学习中要养成分类讨论的习惯,再就是 结合较熟悉的立体几何图形或现实生活中的实物进行辨析,也可利 用手中的笔、书本等进行演示,验证.

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思考题 1
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如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点.问: (1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由. (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由. 【思路点拨】 (1)易证 MN∥AC,所以 AM 与 CN 不是异面直 线.(2)由图易判断 D1B 和 CC1 是异面直线,证明时常用反证法.

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【解】 (1)不是异面直线. 理由: 连结 MN、 1C1、 A

AC.
∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点,∴MN∥A1C1.
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又∵A1A 綊 C1C,∴A1ACC1 为平行四边形. ∴A1C1∥AC,得到 MN∥AC, ∴A、M、N、C 在同一平面内,故 AM 和 CN 不是 异面直线. (2)是异面直线.理由: ∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体,∴B、C、C1、D1 不共 面. 假设 D1B 与 CC1 不是异面直线, 则存在平面 α , D1B? 平面 α , 1? 平面 α , 使 CC ∴D1、B、C、C1∈α ,∴与 ABCD-A1B1C1D1 是正方 体矛盾. ∴假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异面直线.
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题型二
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共面问题

例 2 下列各图是正方体和正四面体,P、Q、R、S 分别是所 在棱的中点,这四个点不共面的图形是( )

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【解析】 ①在 A 中易证 PS∥QR,∴P、Q、R、S 四点共面 ②在 C 中易证 PQ∥SR,∴P、Q、R、S 四点共面 ③在 D 中,∵QR? 平面 ABC,PS∩面 ABC =P 且 P?QR, ∴直线 PS 与 QR 为异面直线∴P、Q、R、S 四点不共面
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? ④在B中P、Q、R、S四点共面,证明如下: ? 取BC中点N,可证PS、NR交于直线B1C1上一点,∴P、N、R、S四点共面,
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设为α ? 可证PS∥QN,∴P、Q、N、S四点共面,设为β ? ∵α、β都经过P、N、S三点,∴α与β重合,∴P、Q、R、S四点共面. ? 【答案】 D

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探究2

(1)公理3及其推论是立体几何最基本、最重要的定理,它的主要作

用是确定平面. ? (2)本题给出了判断四点是否共面的基本方法.①判断四点连结是否有平行直

线或相交直线;②由部分元素确定平面,然后证明这些平面重合.
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思考题 2 (08·四川,文)如图,平面 ABEF⊥平面 ABCD,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB 1 1 =90°,BC 綊 AD,BE 綊 FA,G、H 分别为 FA、FD 的中点. 2 2

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(Ⅰ)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (Ⅱ)C、D、F、E 四点是否共面?为什么?
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【解析】 解法一 1 所以 GH 綊 AD. 2

(Ⅰ)由题设知,FG=GA,FH=HD,

1 又 BC 綊 AD,故 GH 綊 BC. 2 所以四边形 BCHG 是平行四边形. (Ⅱ)C、D、F、E 四点共面.理由如下: 1 由 BE 綊 AF, 是 FA 的中点知, 綊 GF, G BE 所以 EF∥BG. 2 由(Ⅰ)知 BG∥CH,所以 EF∥CH,故 EC、FH 共面,又 点 D 在直线 FH 上,所以 C、D、F、E 四点共面.

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解法二 由题设知 FA、AB、AD 两两互相垂直. 如图,以 A 为坐标原点,射线 AB 为 x 轴正方向建立 空间直角坐标系 A—xyz. (Ⅰ)设 AB=a,BC=b,BE=c,则由题设得 A(0,0,0), (a,0,0), (a, 0), (0,2b,0), (a,0, B C b, D E → c),G(0,0,c),H(0,b,c).所以,GH=(0,b,0),→= BC (0,b,0). 于是→=→.又点 G 不在直线 BC 上, GH BC

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所以四边形 BCHG 是平行四边形. (Ⅱ)C、D、F、E 四点共面.理由如下: 由题设知, (0,0,2c), F 所以→=(-a,0, ), =(- EF c → CH

a,0,c),→=→,又 C?EF,H∈FD,故 C、D、E、F 四点 EF CH
共面.

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题型三
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共点、共线问题

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例 3 如图所示,空间四边形 ABCD 中,E、F、G 分别在 AB、 BC、CD 上,且满足 AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过 E、F、G 的平面交 AD 于 H,连结 EH. (1)求 AH∶HD; (2)求证:EH、FG、BD 三线共点. 【分析】 证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问 题, 其基本理论是把直线看作两平面的交线, 点看作是两平面的 公共点,由公理 3 得证.

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AE CF 【解析】 (1)解 ∵ = =2,∴EF∥AC. EB FB ∴EF∥面 ACD.而 EF? 平面 EFGH, 且面 EFGH∩面 ACD=GH, ∴EF∥GH.而 EF∥AC,∴AC∥GH. AH CG ∴ = =3,即 AH∶HD=3∶1. HD GD EF 1 GH 1 (2)证明 ∵EF∥GH,且 = , = , AC 3 AC 4 ∴EF≠GH,∴四边形 EFGH 为梯形. 令 EH∩FG=P,则 P∈EH,而 EH? 平面 ABD, P∈FG,FG? 平面 BCD,面 ABD∩面 BCD=BD, ∴P∈BD.∴EH、FG、BD 三线共点.

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?
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探究3 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一

点.
? ? (1)证明三线共点的依据是公理3. (2)证明三线共点的思路是:先证两条直线交于一点,再证明第

三条直线经过该点,把问题化归到证明点在直线上的问题.实际上,
点共线、线共点的问题都可以化归为点在直线上的问题来处理.
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思考题 3 如图所示,已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别
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CF CG 是边 AB,AD 的中点,F,G 分别是边 BC,CD 上的点,且 = = CB CD
2 , 3 (1)求证:三条直线 EF,GH,AC 交于一点.

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AE CF AH CG (2)若在本题中, = =2, = =3, 其他条件不变. 求 EB FB HD GD 证:EH、FG、BD 三线共点.

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【解】 (1)∵E,H 分别是 AB,AD 的中点,∴由中 1 位线定理可知,EH 綊 BD. 2

CF CG 2 又∵ = = , CB CD 3
2 ∴在△CBD 中,FG∥BD,且 FG= BD. 3 ∴由公理 4 知,EH∥FG,且 EH<FG. ∴四边形 EFGH 是梯形,EH、FG 为上、下两底. ∴两腰 EF、GH 所在直线必相交于一点 P. ∵P∈直线 EF,EF? 平面 ABC, ∴P∈平面 ABC.同理可得 P∈平面 ADC, ∴P 在平面 ABC 和平面 ADC 的交线上. 又∵面 ABC∩面 ADC=AC,∴P∈直线 AC. 故 EF、GH、AC 三直线交于一点.
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AE CF EB FB AH CG 又 = =3,∴HG∥AC, HD GD ∴EF∥HG,且 EF>HG. 所以四边形 EFGH 为梯形. 设 EH 与 FG 交于点 P, 则 P∈平面 ABD,P∈平面 BCD, 所以 P 在两平面的交线 BD 上, 所以 EH、FG、BD 三线共点.

(2)因为 = =2,所以 EF∥AC.

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题型四
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异面直线所成的角

例4 (2010·全国卷Ⅰ,文)直三棱柱ABC-A1B1C1中,若 ∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的 角等于( ) B.45° D.90°
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A.30° C.60°
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【解析】 延长CA至点M,使AM=CA,则A1M∥C1A,
∠MA1B或其补角为异面直线BA1与AC1所成的角,连接BM,易 知△BMA1为等边三角形,因此,异面直线BA1与AC1所成的角

为60°,选C.
【答案】 C

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? 探究4
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高考中对异面直线所成角的考查,一般出现在综合题的某一

步,其步骤为:
? ①平移:选择适当的点,线段的中点或端点,平移异面直线中的一 条或两条成为相交直线.

? ②证明:证明所作的角是异面直线所成的角.
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? ③寻找:在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形,并解之. ? ④取舍:因为异面直线所成角 θ的取值范围是 0°<θ≤90°,所以所 作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角.

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思考题 4 在空间四边形 ABCD 中, =CD 且其所成的角是 60°, AB 点 M,N 分别是 BC,AD 的中点.求直线 AB 与 MN 所成的角的大小. 【分析】 本题首先要考虑将题目中的直线 AB 与 CD 所成的角是 60°反映在图形上,故要考虑添加辅助线,通常取中点将其中的直线 进行平移,从而得解. 【解析】

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1 1 取 BD 中点 E,连接 NE、EM,则 EN 綊 AB,EM 綊 CD, 2 2 故△EMN 为等腰三角形,由条件∠MEN=60°且∠ENM 即为 AB 与 MN 所成的角, ∴△EMN 为等边三角形且∠ENM=60°.
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本课总结
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? 1.平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础,必须彻底理解 并牢固掌握.

? 2.要求逐步掌握立体几何中的三种语言:文字语言、符号语言、图
形语言及这三种语言之间的相互转化. ? 3.掌握公理的主要用途,并会应用平面的基本性质,解决点共面、
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线共面、点共线、线共点等问题. ? 4.求异面直线所成角的基本法则是:“作平行线,构成三角形”, 作平行线的目的是为了将异面直线所成的角转化为一个平面内的 角.构成三角形的目的是通过三角形求角.
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课时作业(四十一)
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