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函数的单调性和奇偶性精品讲义

时间:2015-08-10

第三讲 函数的单调性、奇偶性
一、知识点归纳 函数的单调性 (1)定义:设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两

个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)) ,那么就说 f(x)在区间 D 上 是增函数(减函数) , 区 间 D 为 函 数 y=f(x) 的 增 区 间 ( 减 区 间 ) 概 括 起 来 , 即

? ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 或? ?增函数 ? ? ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) “同增异减” ? ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? ? ?减函数 ? f ( x ) ? f ( x ) 或 ? f ( x ) ? f ( x ) ? 1 2 ? 1 2 ? ?
(2)函数单调性的证明的一般步骤:①设 x1 , x2 是区间 D 上的任意两个实数,且 x1 ? x2 ②作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判断 正负的式子;③确定 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的符号;④给出结论 证明函数单调性时要注意三点:① x1 和 x2 的任意性,即从区间 D 中任取 x1 和 x2 ,证明单调 性时不可随意用量额特殊值代替;②有序性,即通常规定 x1 ? x2 ;③同区间性,即 x1 和 x2 必须属于同一个区间。 (3)设复合函数 y ? f ?g ?x ?? 是定义区间 M 上的函数,若外函数 f(x)与内函数 g(x)的单调 性相反,则 y ? f ?g ?x ?? 在区间 M 上是减函数;若外函数 f(x)与内函数 g(x)的单调性相同, 则 y ? f ?g ?x ?? 在区间 M 上是增函数。概括起来,即“同增异减 II 号” (4)简单性质: ① f ( x) 与

f ( x) 单调性相同; f ( x) 与 ? f ( x) 及

1 单调性相反 f ( x)

②在公共定义域内: 增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数;减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是减函数; 增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增函数;减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数。 (5)必须掌握特殊函数单调性 ① 一次函数 y ? kx ? b :

1

② 二次函数 y ? ax 2 ?bx ?c :

k : x k ④ 双钩函数 y ? x ? : x
③ 反比例函数 y ? 注: ①函数的多个单调区间通常不能用并集联接;②单调区间的端点只要在定义域内就要加上 ③增函数在图像上反映出来就是“向上” ,减函数从图像上反映出来就是“向下” 函数的最值 (1)定义: f ( x ) 的最大值: f ( x ) 最大的函数值; f ( x ) 的最小值: f ( x ) 最小的函数值 (2)求最值方法与求值域方法类似 函数的奇偶性 1.定义: ①设 y=f(x),定义域为 A 且 A 关于原点对称,如果对于任意 x ∈A,都有 f (? x) ? f ( x) , 称 y=f(x)为偶函数。 ②设 y=f(x) ,定义域为 A 且 A 关于原点对称,如果对于任意 x ∈A,都有 f (? x) ? ? f ( x) , 称 y=f(x) 为奇函数。概括起来,即 f ( x)为偶函数 ? ?

? f ( x)定义域关于原点对称 , f (? x) ? f ( x) ?

? f ( x)定义域关于原点对称 f ( x)为奇函数 ? ? f (? x) ? ? f ( x) ?
2. 函数奇偶性的判断的步骤: ①求 f ( x ) 定义域, 若 f ( x ) 定义域不关于原点对称, 则函数 f ( x ) 既不是奇函数也不是偶函数;若 f ( x ) 定义域关于原点对称,则判断 f ( x ) 与 f (? x) 的关系 ②判断 f ( x ) 与 f (? x) 的关系,若 f (? x) ? f ( x) ,则 f ( x ) 为偶函数;若 f (? x) ? ? f ( x) , 则 f ( x ) 为奇函数;若 f (? x) ? f ( x) 且 f (? x) ? ? f ( x) ,则 f ( x ) 既是奇函数又是偶函数; 若 f (? x) ? f ( x) 且 f (? x) ? ? f ( x) ,则函数 f ( x ) 既不是奇函数也不是偶函数 3.性质: (1)若 f ( x ) 为奇函数,则:① f (? x) ? ? f ( x) ;② f ( x ) 图像关于原点对称; ③0 在 f ( x ) 定义域内时有 f (0) ? 0 ;④ f ( x ) 在关于原点对称的区间上单调性相同
3 ⑤几种特殊的奇函数 y ? x , y ? x , y ?

1 , y ? sin x x

(2)若 f ( x ) 为偶函数,则:① f (? x) ? f ( x) ;② f ( x ) 图像关于 y 轴对称③ f ( x ) 在关于
2 原点对称的区间上单调性相反;④几种特殊的偶函数: y ? x , y ? x , y ? cos x

2

注:①若二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 为偶函数,则 b ? 0 ;②在同一定义域内, 奇 偶=奇 ,

?

?

? 奇 ? 奇=奇 , 偶 ? 偶=偶 ;③既是奇函数又是偶函数的函数只有一个解析式 f ( x) ? 0 ?
二、典例例题解析: 题型一 单调性的定义 例 1 定义在 R 上的函数 f ( x) 对任意两个不相等的实数 a , b 总有 f (a ) ? f (b) ? 0 , 试判断 f ( x)
a ?b

单调性。 例 2 若 f ( x) 在区间 ( a, b) 上是增函数,在区间 (b, c) 上也是增函数,则函数 f ( x ) 在区间 ) D.无法确定单调性

(a, b) ? (b, c) 上(

A. 必是增函数 B.必是减函数 C.是增函数或减函数 变式训练 下列说法中正确的有______个

①若 x1 , x2 ? I ,当 x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 y ? f ( x) 在 I 上是增函数 ②函数 y ? x2 在 R 上是增函数;③函数 y ? ? 是 (??,0) ? (0, ??) 题型二 单调性的证明 1 例1 证明函数 y ? x ? 在区间 (0,1) 上为减函数 x

1 1 在定义域上是增函数;④ y ? 的单调区间 x x

例2 证明函数 f ( x) ? x 2 ? 1 ? x 在其定义域内是减函数

例3 已知函数 y ? f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,且 f ( x) ? 0( x ? 0) ,试判断 F ( x) ?
(0, ??) 上的单调性,并给出证明过程

1 在 f ( x)

3

题型三 利用单调性求函数值域和最值 例1 求下列函数的最值 ①

f ( x) ? 1 ? 2x ? x ;② f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ;③ f ( x) ? x ? 1 ? x ?1



f ( x) ? x ? 2 ?

1 1? x , x ? [1, ??) ⑤ f ( x) ? x?2 x

变式 如果函数 f ( x) ?

- x 2 -2x ? 3 ,求 f ( x) 的单调区间和值域

例2 已知 f ( x) ? x2 ? 2(1 ? a) x ? 2 在 (??, 4] ,上是减函数,求 a 的取值范围

2 变式 1 已知 f ( x) ? x ? 2(1 ? a) x ? 2 的减区间是 (??, 4] ,求 a 的值

变式 2 函数 f(x)= x 2 + 3x +2 在区间(-5,5)上的最大值、最小值分别为 A、42,12 B、42,-





1 4

C、12,-

1 4

D、无最大值,最小值-

1 4
( )

.变式 3 函数 y=2x2-(a-1)x+3 在(-∞, 1]内递减, 在(1, +∞)内递增, 则 a 的值是 A.1 例3 B.3 C.5 D.-1

若 f ( x) ? ax ? 1 在区间 (-2, ??) 上是减函数,求 a 的的取值范围 x?2

Y

? 变式 1 函数 y ? f ( x) 的图象如图所示:则 g ( x) ? f ? log 1 ? 2
减区间是( )

? x ? 的单调 ?

?1
? 1 2

O

X

4

? A. ? ?1, 2 ?

? 2 ? B. ? ,1? ? 2 ?

? C. ? 0,1? 和 ? ? 2, ?? D. ? ??,1? 和 ? 2, ?? 变 式 2 、 已 知


?

?

? ? x? 4a ? ?x ? 1 ?? 3a ? 1 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是( f ? x? ? ? ?x ? ? 1 ? ?l o agx

A. ? 0 , ?1

? 1? B? . 0 ? , ? 3?

?1 1 ? C? . ?, ?7 3 ?

?1 ? D . ? ,1 ? ? 7?

题型四 抽象函数的单调性 例1 已知函数 y ? f ( x) 是 (??, ??) 上的增函数,且 f (2 x ? 3) ? f (5x ? 6) ,求 x 的取值范围

变式

已 知 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 [?2, 2] , 且

f ( x) 在 区 间 [? 2, 2]上 是 增 函 数 且

f (1 ? m) ? f (m) ,求 m 的取值范围

例2 已知函数 y ? f ( x) 在 [0, ??) 上是减函数,比较 f ( 3 ) 与 f (a 2 ? a ? 1) 的大小
4

例3 已知定义在区间 (0, ??) 上的函数

f ( x) 满足 f ( x ) ? f ( x) ? f ( y) , 且当 x ? 1 时 f ( x) ? 0
y

① 求 f (1) 的值;②判定 f ( x) 的单调性;③若 f (3) ? ?1 ,求 f ( x ) 在 [2,9] 上的最小值

变式 已知定义在区间 (0, ??) 上的增函数 f ( x) 满足 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) , f (2) ? 1 ,解不 等式 f ( x ) ? f (

x y

1 )?2 x?3

5

例4 函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,对任意的 x,y∈(0,+∞),都有 f(x+y) =f(x)+f(y)-1,且 f(4)=5. (1)求 f(2)的值; (2)解不等式 f(m-2)≤3

变式

已知函数 f ( x) 定义域为 R ,且对 m, n ? R ,恒有 f (m ? n) ? f ( m) ? f ( n) ? 1 ,

1 1 且 f ( ? ) ? 0 ,当 x ? ? 时, f ( x) ? 0 2 2
① 求 f ( ) ②证明:

1 2

f ( x) 在 R 上为增函数

题型五 函数的奇偶性概念 例 1 下列说法中错误的个数为( ) ①图像关于坐标原点对称的函数是奇函数②图像关于 y 轴对称的函数是偶函数 ③奇函数的图像一定过坐标原点④偶函数的图像一定与 y 轴相交 A.4 B.3 C.2 变式 下列判断正确的是( ) D.0

A. 定义在 R 上的函数 f ( x) ,若 f (?1) ? f (1) ,且 B. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (2) ? f (1) ,则

f (?2) ? f (2) ,则 f ( x) 是偶函数 f ( x) 在 R 上是增函数

C. 定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 在区间 (??,0] 上是减函数, 则在区间 (0, ??] 上也是减函数 D. 既是奇函数又是偶函数的函数只有一个 题型六 函数奇、偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性(定义法) ⑤

f ( x) ? x ?

1 x3

② f ( x) ? ( x ? 1)

1 ? x2 1? x 2 ③ f ( x) ? ④ f ( x) ? x ? 2 x ? 1 x?2 ?2 1? x

⑤ f ( x) ? x ? 2 ? x ? 2 ⑥ f ( x) ? ⑧ f ( x) ? lg(1 ? x) ? lg(1 ? x)

x 2 ? 1 ? 1 ? x 2 ⑦ f ( x) ?

2x ?1 2x ?1

例 2 判断下列函数奇偶性(定义法或图像法)

6

? x( x ? 1), x ? 0 ① f ( x) ? ? ?? x( x ? 1), x ? 0


? x2 ? 2 x ? 3 ? ② f ( x) ? ? 0 ?? x 2 ? 2 x ? 3 ?

x?0 x?0 x?0

f ( x) ? 2, x ???2, ?1,0,1,2?
f ( x) ? f ( ? x)
② F ( x ) ? f ( x ) ? f ( ? x)

例 3 判断下列函数奇偶性(抽象函数) ① F ( x) ?

③ F ( x) ? f ( x) ? f (?x) ,其中 f ( x ) 为奇函数 ④ 函数 f ( x ) 定义域为 R ,并且对任意

x、 y ? R 均满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,判断 f ( x) 奇偶性,并证明。
⑤ 设函数

y ? f ( x)( x ? 0) 并且对任意非零实数 x, y 均满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,

求证: f ( x ) 为偶函数

⑥ 函数 f ( x ) 不恒为 0 ( x ? R) ,对任意 x、y ? R 均满足

f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x) f ( y )

求证:

f ( x) 为偶函数

题型七 奇偶性的应用 1 求函数值
5 3 例 1 已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? 8 且 f (3) ? 10 ,求 f (?3)

变式 1 已知 f(x)=x +ax +bx-6 且,f(3)=10,则 f(-3)的值为 x -x 变式 2 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=a -a +2 (a>0,且 a≠1).若 g(2)=a,则 f(2)=( ) 15 17 2 A.2 B. C. D.a 4 4 变式 3 已知 g(x)为奇函数, f ( x) ? log2 ( x 2 ? 1 ? x) ? g ( x) ? 2 x ,且 f(-3)=
2

5

3

41 ,求 f(3); 8

变式 4 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x) = 2x -x,则 f(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 变式 5 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则 f (6) 的值为__________ 2 求解析式 例1 已知 f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x x ? 2 ,求 x ? 0 时, f ( x ) 解析式

变式 1 奇函数 f(x)在(0,+∞)上的解析式是 f(x)=x(1-x),则在(-∞,0)上 f(x)的函
7

数解析式是( ) A.f(x)=-x(1-x) B.f(x)=x(1+x)

C.f(x)=-x(1+x) D.f(x)=x(x-1) 1 变式 2 设 f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,又 f(x)+g(x)= 求 f(x)和 g(x). x ?1 例2 函数 f ( x)=

ax ? b 是定义在 (?1,1) 上的奇函数,且 f ( 1 ) ? 2 ,求 f ( x ) 解析式 2 1? x 2 5

变式 1 若函数 _______________ 变式 2 若函数 3 解不等式 例1 设

f ( x)? a2x ? 3 x ? 是 b R 上 的 奇 函 数 , 则 f ( x) 的 解 析 式 为

y ? ( x ? 1)( x ? a) 为偶函数,求 a

f ( x) 为定义在 R 上的偶函数,在 (??,0) 上递增,且 f (a ? 1) ? f (2a ? 1) ,求 a 的

取值范围

?1? 变式 1 已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f? ?的 x 取值范围 ?3?
是( )

?1 2? A.? , ? ?3 3?

变式 2 f ( x) 为偶函数,在 [0, ??) 上单调递减,且 f (2 x ? 1) ? f ( x ? 3) ,求 x 的取值范围

?1 2? B.? , ? ?3 3?

?1 2? C.? , ? ?2 3?

?1 2? D.? , ? ?2 3?

4 奇偶性与单调性的综合应用 例1 设 f ( x) 是 R 上的偶函数, f ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,试比较 f (?2), f (3), f (? ) 大小

例2 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且 f (3) ? 0 , f ( x ) 在 [0, ??) 上单调递增,则不等式

f ( x) ? 0 的解集为________
变式 1 定义在 R 上的偶函数 f(x), 对任意 x1, x2∈[0, +∞)(x1≠x2), 有 A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3) B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0, 则( x2 ? x1

)

变式 2 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 f (2) ? 0 , f ( x) 在 [0,1] 上单调递增,在 [1, ??) 上 单调递减,则不等式 f ( x) ? 0 的解集为________

8


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