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2016年广东省惠州市高考数学三调试卷(文科)(解析版)

时间:2016-07-01


2016 年广东省惠州市高考数学三调试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.复数 z= +i3(i 为虚数单位)的共轭复数为( )

A.1+2i B.i﹣1 C.1﹣i D.1﹣2i 2.已知集合 A={0,1},B={z|z=x+y,x∈A,y∈A},则 B 的子集个数为( A.3 B.4 C.7 D.8 3.已知 a=21.2,b=( )﹣0.8,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为( )



A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a 4.已知向量 =(1, ) , =(3,m) ,若向量 在 方向上的投影为 3,则实数 m=( A.3 B.﹣3 C. D.﹣3 5.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,且 a1+a10﹣a5=6,则 S11=( A.55 B.66 C.110 D.132 6.已知 sinθ+cosθ= , A. B.﹣ C. D.﹣ ,则 sinθ﹣cosθ 的值为( )





7. x2+y2=4 上到直线 l: x+y=a 的距离等于 1 的点恰有 3 个, 已知圆 O: 则实数 a 的值为 ( A.2 B. C.﹣ 或 D.﹣2 或 2 8.某程序框图如图所示.该程序运行后输出的 S 的值是( )



A.1007 B.2015 C.2016 D.3024

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9.已知双曲线

与抛物线 y2=8x 的一个交点为 P,F 为抛物线的焦点,若|PF|=5,

则双曲线的渐近线方程为( ) A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.

D. )

10.记数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn+(1+ )an=4,则 an=( A. B.n?2n﹣1 C.n?2n D.

11.某几何体的三视图如图,其正视图中的曲线部分为半个圆弧,则该几何体的表面积为 ( )

A.16+6 +4π B.16+6 +3π C.10+6 +4π D.10+6 +3π 12.如图,偶函数 f(x)的图象形如字母 M(图 1) ,奇函数 g(x)的图象形如字母 N(图 2) ,若方程 f(g(x) )=0.g(f(x) )=0 的实根个数分别为 a,b,则 a+b=( )

A.18

B.21

C.24

D.27

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若点(a,27)在函数 y=x3 的图象上,则 tan 的值为 . .

14.已知 a>0,b>0,2a+3b=6,则 + 的最小值为

15.某校有 A,B 两个文学社团,若 a,b,c 三名学生各自随机选择参加其中的一个社团, 则三人不在同一个社团的概率为 . 16. 已知三棱锥 S﹣ABC 所在顶点都在球 O 的球面上, 且 SC⊥平面 ABC, 若 SC=AB=AC=1, ∠BAC=120°,则球 O 的表面积为 .

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三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.如图所示,在四边形 ABCD 中,∠D=2∠B,且 AD=1,CD=3,cos∠B= (1)求△ ACD 的面积; (2)若 BC=2 ,求 AB 的长.

18.微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件,它支持发送语音短信、视频、图片和文字, 一经推出便风靡全国,甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商) .为 了调查每天微信用户使用微信的时间, 某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、 女性用 户各 50 名,将男性、女性使用微信的时间分成 5 组: (0,2], (2,4], (4,6], (6,8], (8, 10]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

(Ⅰ)根据女性频率直方图估计女性使用微信的平均时间; (Ⅱ)若每天玩微信超过 4 小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”, 请你根据已知条件完成 2×2 的列联表,并判断是否有 90%的把握认为“微信控”与“性别”有 关? 微信控 非微信控 合计 50 男性 50 女性 100 合计 参考公式:K2= 参考数据: P(K2≥k0) k0 ,其中 n=a+b+c+d.

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

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19. AD∥BC, AB=AD= BC=2, E 是 BC 的中点, AE∩BD=M, 如图 1, 已知等腰梯形 ABCD 中, 将△ BAE 沿着 AE 翻折成图 2△ B1AE. (Ⅰ)求证:CD⊥平面 B1DM; (Ⅱ)若 B1C= ,求棱锥 B1﹣CDE 的体积.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,以原点 O 为圆心,椭圆 C 的长半

轴为半径的圆与直线 2x﹣ y+6=0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 标准方程; (Ⅱ)已知点 A,B 为动直线 y=k(x﹣2) (k≠0)与椭圆 C 的两个交点,问:在 x 轴上是否 存在点 E,使 ? 为定值?若存在,试求出点 E 的坐标和定值,若不存在,说明理由. 21.函数 f(x)= ax2﹣(1+a)x+lnx(a≥0) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)当 a=0 时,方程 f(x)=mx 在区间[1,e2]内有唯一实数解,求实数 m 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分,答题时请 写清题号.选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,正方形 ABCD 边长为 2,以 D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F,连结 CF 并延长交 AB 于点 E. (1)求证:AE=EB; (2)求 EF?FC 的值.

一、选修 4-4:坐标系与参数方程 23. 已知曲线 C 的参数方程是 = (θ 为参数) , 直线 l 的极坐标方程为 ρsin (θ+ )

. (其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合,极轴与直角坐标系 x 轴正半轴 重合,单位长度相同. )
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(Ⅰ)将曲线 C 的参数方程化为普通方程,把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设 M 是直线 l 与 x 轴的交点,N 是曲线 C 上一动点,求|MN|的最大值. 一、 【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|x+2|﹣2|x﹣1| (1)解不等式 f(x)≥﹣2; (2)对任意 x∈[a,+∞) ,都有 f(x)≤x﹣a 成立,求实数 a 的取值范围.

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2016 年广东省惠州市高考数学三调试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.复数 z= +i3(i 为虚数单位)的共轭复数为( )

A.1+2i B.i﹣1 C.1﹣i D.1﹣2i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.
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【解答】解:z= 其共轭复数为 1+2i, 故选:A.

+i3=

﹣i=﹣(i﹣1)﹣i=1﹣2i,

2.已知集合 A={0,1},B={z|z=x+y,x∈A,y∈A},则 B 的子集个数为( A.3 B.4 C.7 D.8 【考点】集合的表示法. 【分析】先求出集合 B 中的元素,从而求出其子集的个数. 【解答】解:由题意可知, 集合 B={z|z=x+y,x∈A,y∈A}={0,1,2}, 则 B 的子集个数为:23=8 个, 故选:D.
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3.已知 a=21.2,b=( )﹣0.8,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为( A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a



【考点】不等式比较大小. 【分析】由函数 y=2x 在 R 上是增函数可得 a>b>20=1,再由 c=2log52=log54<log55=1,从 而得到 a,b,c 的大小关系
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【解答】解:由于函数 y=2x 在 R 上是增函数,a=21.2,b=( )﹣0.8 =20.8,1.2>0.8>0, ∴a>b>20=1. 再由 c=2log52=log54<log55=1, 可得 a>b>c, 故选 A. 4.已知向量 =(1, ) , =(3,m) ,若向量 在 方向上的投影为 3,则实数 m=( A.3 B.﹣3 C. D.﹣3 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由投影的定义即可求出 m.
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【解答】解:根据投影的定义: 故选:C.

=

=3,解得 m=



5.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,且 a1+a10﹣a5=6,则 S11=( ) A.55 B.66 C.110 D.132 【考点】等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 【分析】设等差数列{an}的公差为 d,由 a1+a10﹣a5=6,得 a6=6,由等差数列{an}的前 n 项 和公式计算即可得答案. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d,由 a1+a10﹣a5=6,得:a1+5d=6, ∴a6=6.
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则 故选:B.

=66.

6.已知 sinθ+cosθ= , A. B.﹣ C. D.﹣

,则 sinθ﹣cosθ 的值为(



【考点】同角三角函数基本关系的运用.

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【分析】由题意可得可得 1>cosθ>sinθ>0,2sinθcosθ= ,再根据 sinθ﹣cosθ=﹣ ,计算求得结果. 【解答】 解: 由 sinθ+cosθ= , ∴2sinθcosθ= . ∴sinθ﹣cosθ=﹣ 故选:B. 7. x2+y2=4 上到直线 l: x+y=a 的距离等于 1 的点恰有 3 个, 已知圆 O: 则实数 a 的值为 ( A.2 B. C.﹣ 或 D.﹣2 或 2
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1+2sinθcosθ= , 可得 1>cosθ>sinθ>0,



=﹣

=﹣





【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】由题意可得圆心(0,0)到直线 l:x+y=a 的距离 d 满足 d=1,根据点到直线的距 离公式求出 d,再解绝对值方程求得实数 a 的值. 【解答】解:因为圆上的点到直线 l 的距离等于 1 的点至少有 2 个,所以圆心到直线 l 的距 离 d=1, 即 d= 故选:C.
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=1,解得 a=±



8.某程序框图如图所示.该程序运行后输出的 S 的值是(



A.1007 B.2015 C.2016 D.3024 【考点】程序框图. 【分析】模拟程序框图的运行过程,得出该程序运行后输出的算式 S 是求数列的和,且数 列的每 4 项的和是定值,由此求出 S 的值. 【解答】解:模拟程序框图的运行过程,得出该程序运行后输出的算式: S=a1+a2+a3+a4+…+a2013+a2014+a2015+a2016 =(0+1)+(﹣2+1)+(0+1)+(4+1)+…+(0+1)+(﹣2014+1)+(0+1)+
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=6+…+6=6×

=3024;

所以该程序运行后输出的 S 值是 3024. 故选:D.

9.已知双曲线

与抛物线 y2=8x 的一个交点为 P,F 为抛物线的焦点,若|PF|=5,

则双曲线的渐近线方程为( ) A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.
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D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据抛物线 y2=8x 上的点 P 满足|PF|=5,可得 P(3,±2 ) ,代入双曲线方程算出 m 的值,即可得到双曲线的 a、b 之值,从而得到该双曲线的渐近线方程. 【解答】解:∵点 P 在抛物线 y2=8x 上,|PF|=5, ∴P(x0,y0)满足 x0+ =5,得 x0=5﹣ =5﹣2=3 因此 y02=8x0=24,得 y0=±2 ∴点 P(3,±2 )在双曲线 上

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可得 9﹣

=1,解之得 m=3

∴双曲线标准方程为



得 a=1,b= 故选:C

,渐近线方程为 y=±

,即 y=±

x

10.记数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn+(1+ )an=4,则 an=( A. B.n?2n﹣1 C.n?2n D.
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【考点】数列的求和.

【分析】由已知条件推导出

,由此利用累乘法能求出 an.

【解答】解:∵数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn+(1+ )an=4,①, 当 n≥2 时, =4,②

①﹣②,并整理得:





=



,…,





= = , .

当 n=1 时,适合此式,∴ 故选:D.

11.某几何体的三视图如图,其正视图中的曲线部分为半个圆弧,则该几何体的表面积为 ( )

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A.16+6

+4π

B.16+6

+3π
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C.10+6

+4π

D.10+6

+3π

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】几何体为侧放的三棱柱与半圆柱的组合体,代入数据计算求出表面积. 【解答】解:根据三视图可知,该几何体由两部分构成,底部为圆柱的一半,底面半径为 1, 高为 3,上部为三棱柱,底面是直角边为 2 的等腰直角三角形,高为 3, 上部分几何体的表面积 S 上=


+2×3+2

×3=10+6

,下部分几何体的表面积 S

= π×12×2+ ×2π×1×3=4π, +4.

∴该几何体的表面积为 S 上+S 下=10+6 故选:C.

12.如图,偶函数 f(x)的图象形如字母 M(图 1) ,奇函数 g(x)的图象形如字母 N(图 2) ,若方程 f(g(x) )=0.g(f(x) )=0 的实根个数分别为 a,b,则 a+b=( )

A.18

B.21

C.24

D.27
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【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】结合函数图象把方程根的个数转化为函数图象的交点个数,可分别求得 a,b 进而 可得答案. 【解答】解:由图象知,f(x)=0 有 3 个根,0,± , g(x)=0 有 3 个根,0,± (假设与 x 轴交点横坐标为± ) , 由 f(g(x) )=0,得 g(x)=0 或± , 由图象可知 g(x)所对每一个值都能有 3 个根,因而 a=9;

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由 g(f(x) )=0,知 f(x)=0 或± , 由图象可可以看出 0 时对应有 3 个根, 而 时有 4 个, 而﹣ 时只有 2 个,加在一起也是 9 个, 即 b=9, ∴a+b=9+9=18, 故选:A. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若点(a,27)在函数 y=x3 的图象上,则 tan 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
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的值为



【分析】把点(a,27)代入 y=x3,求出 a 的值,再计算 tan 【解答】解:把点(a,27)代入 y=x3 得, a3=27, 解得 a=3, 所以 tan = = . .

的值.

故答案为:

14.已知 a>0,b>0,2a+3b=6,则 + 的最小值为 4 . 【考点】基本不等式. 【分析】利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵a>0,b>0,2a+3b=6,
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则 + = 3b=2a=3 时取等号. ∴ + 的最小值为 4. 故答案为:4.

=



=4,当且仅当

15.某校有 A,B 两个文学社团,若 a,b,c 三名学生各自随机选择参加其中的一个社团, 则三人不在同一个社团的概率为 .
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【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】先由列举法求出“三人在同一个社团”的概率,再由对立事件概率计算公式求出“三 人不在同一个社团”的概率. 【解答】解:∵某校有 A,B 两个文学社团,a,b,c 三名学生各自随机选择参加其中的一 个社团,
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∴a,b,c 三名学生选择社团的结果有: (A,A,A) , (A,A,B) , (A,B,A) , (B,A,A) , (A,B,B) , (B,A,B) , (B,B,A) , (B,B,B) ,共 8 个等可能性的基本事件, 三人在同一个社团的结果有: (A,A,A) , (B,B,B) ,共两个, ∴“三人在同一个社团”的概率为 p1= = , 而“三人不在同一个社团”与“三人在同一个社团”是对立事件, ∴“三人不在同一个社团”的概率为 p=1﹣ = . 故答案为: .

16. 已知三棱锥 S﹣ABC 所在顶点都在球 O 的球面上, 且 SC⊥平面 ABC, 若 SC=AB=AC=1, ∠BAC=120°,则球 O 的表面积为 5π . 【考点】球的体积和表面积. 【分析】求出 BC,可得△ ABC 外接圆的半径,从而可求该三棱锥的外接球的半径,即可求
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出三棱锥的外接球表面积. 【解答】解:∵AB=1,AC=1,∠BAC=120°, ∴BC= ∴三角形 ABC 的外接圆直径 2r= = , =2,

∴r=1, ∵SC⊥面 ABC,SC=1,三角形 OSC 为等腰三角形, ∴该三棱锥的外接球的半径 R= = , )2=5π.

∴该三棱锥的外接球的表面积为 S=4πR2=4π×( 故答案为:5π.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.如图所示,在四边形 ABCD 中,∠D=2∠B,且 AD=1,CD=3,cos∠B= (1)求△ ACD 的面积; (2)若 BC=2 ,求 AB 的长.

【考点】解三角形. 【分析】 (1)利用已知条件求出 D 角的正弦函数值,然后求△ ACD 的面积;
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(2)利用余弦定理求出 AC,通过 BC=2 【解答】解: (1)因为∠D=2∠B,cos∠B= 所以 cosD=cos2B=2cos2B﹣1=﹣ .… 因为∠D∈(0,π) , 所以 sinD= .…

,利用正弦定理求解 AB 的长. ,

因为 AD=1,CD=3, 所以△ ACD 的面积 S= = = .…

(2)在△ ACD 中,AC2=AD2+DC2﹣2AD?DC?cosD=12. 所以 AC=2 .… 因为 BC=2 , ,…

所以 所以 AB=4.…

=



18.微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件,它支持发送语音短信、视频、图片和文字, 一经推出便风靡全国,甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商) .为 了调查每天微信用户使用微信的时间, 某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、 女性用 户各 50 名,将男性、女性使用微信的时间分成 5 组: (0,2], (2,4], (4,6], (6,8], (8, 10]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

(Ⅰ)根据女性频率直方图估计女性使用微信的平均时间; (Ⅱ)若每天玩微信超过 4 小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”, 请你根据已知条件完成 2×2 的列联表,并判断是否有 90%的把握认为“微信控”与“性别”有 关? 微信控 非微信控 合计 50 男性 50 女性 100 合计
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参考公式:K2=

,其中 n=a+b+c+d.

参考数据: P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【考点】独立性检验的应用. 【分析】 (Ⅰ)根据女性频率直方图,利用组中值,估计女性使用微信的平均时间; (Ⅱ)求出 a,可得列联表,即可得出结论. 【解答】解: (Ⅰ)女性平均使用微信的时间为:0.16×1+0.24×3+0.28×5+0.2×7+0.12×9=4.76 (小时) (Ⅱ)2(0.04+a+0.14+2×0.12)=1,解得 a=0.08
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由列联表可得 微信控 38 男性 30 女性 68 合计

非微信控 12 20 32

合计 50 50 100

K2=

≈2.941>2.706

所以有 90%的把握认为“微信控”与“性别”有关.

19. AD∥BC, AB=AD= BC=2, E 是 BC 的中点, AE∩BD=M, 如图 1, 已知等腰梯形 ABCD 中, 将△ BAE 沿着 AE 翻折成图 2△ B1AE. (Ⅰ)求证:CD⊥平面 B1DM; (Ⅱ)若 B1C= ,求棱锥 B1﹣CDE 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)由题意可知四边形 ABED 是菱形,四边形 AECD 是平行四边形,故 CD∥AE.AE⊥B1M,AE⊥DM,故而 AE⊥平面 B1DM,从而 CD⊥平面 B1DM; (2)由条件可知△ ABE,△ ADE,△ CDE 是等边三角形,求出 B1M,DM,CM,由勾股 定理可证 B1M⊥MC,于是 B1M⊥平面 AECD,即 B1M 为棱锥的高.
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【解答】 (I)证明:连接 DE,∵AD∥BC,AB=AD= BC=BE=CE=CD,
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∴四边形 ABED 和 AECD 是菱形, ∴AE∥CD,BM⊥AM,DM⊥AM,即 B1M⊥AE,DM⊥AE, 又∵DM∩B1M=M,MD?平面 B1MD,B1M?平面 B1MD, ∴AE⊥平面 B1MD.∵AE∥CD, ∴CD⊥平面 B1DM. (Ⅱ) 连接 CM,∵AB=AD=AE=BE=CE=CD=DE=2,AE⊥BD, ∴B1M=DM= ∴CM= .S△ CDE= ×22= . ,

,∵B1C=

∴B1M2+CM2=B1C2,∴B1M⊥CM, 又 B1M⊥AE,MC∩AE=M, ∴B1M⊥平面 CDE. ∴V = S△ CDE?B1M= =1.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,以原点 O 为圆心,椭圆 C 的长半

轴为半径的圆与直线 2x﹣ y+6=0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 标准方程; (Ⅱ)已知点 A,B 为动直线 y=k(x﹣2) (k≠0)与椭圆 C 的两个交点,问:在 x 轴上是否 存在点 E,使 ? 为定值?若存在,试求出点 E 的坐标和定值,若不存在,说明理由. 【考点】椭圆的简单性质.
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【分析】 (Ⅰ)由 e=

,以原点 O 为圆心,椭圆 C 的长半轴长为半径的圆与直线 2x﹣

+6=0 相切,求出 a,b,由此能求出椭圆的方程. ,得(1+3k2)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0,由此利用韦达定理、向量的

(Ⅱ)由

数量积,结合已知条件能求出在 x 轴上存在点 E,使 【解答】解: (Ⅰ)由 e= ,得 = ,即 c=

?

为定值,定点为(

) .

a,①

以原点 O 为圆心,椭圆 C 的长半轴长为半径的圆为 x2+y2=a2,
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此圆与直线 2x﹣ 代入①得 c=2,

+6=0 相切,∴a=

=



∴b2=a2﹣c2=2,∴椭圆的方程为



(Ⅱ)由

,得(1+3k2)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0,

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,∴





根据题意,假设 x 轴上存在定点 E(m,0) ,使得 为定值, =(x1﹣m,y1)?(x2﹣m,y2)=(x1﹣m)?(x2﹣m)+y1y2 则有 = =(k2+1) =(k2+1)? ﹣(2k2+m)? +(4k2+m2)

=



要使上式为定值,即与 k 无关,则应有 3m2﹣12m+10=3(m2﹣6) , 即 m= , 此时 = 为定值,定点为( ) .

21.函数 f(x)= ax2﹣(1+a)x+lnx(a≥0) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)当 a=0 时,方程 f(x)=mx 在区间[1,e2]内有唯一实数解,求实数 m 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断. 【分析】 (Ⅰ)求出 f(x)的导数,通过讨论 a 的范围,得到导函数的符号,求出函数的单 调区间即可;
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(Ⅱ)要使方程 f(x)=mx 在区间[1,e2]上有唯一实数解,只需 m= 令 g(x)= ﹣1, (x>0) ,根据函数的单调性求出 m 的范围即可. , (x>0) ,
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﹣1 有唯一实数解,

【解答】解: ( I)f′(x)=

( i)当 a=0 时,f′(x)=

,令 f′(x)>0,得 0<x<1,令 f′(x)<0,得 x>1,

函数 f(x)在(0,1)上单调递增, (1,+∞)上单调递减; ( ii)当 0<a<1 时,令 f′(x)=0,得 x1=1,x2= >1 令 f′(x)>0,得 0<x<1,x> ,令 f′(x)<0,得 1<x< , 函数 f(x)在(0,1)和( ,+∞)上单调递增, (1, )上单调递减; ( iii)当 a=1 时,f′(x)≥0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增; ( iv)当 a>1 时,0< <1 令 f′(x)>0,得 0<x< ,x>1,令 f′(x)<0,得 <x<1, 函数 f(x)在(0, )和(1,+∞)上单调递增, ( ,1)上单调递减; 综上所述:当 a=0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,1) ,单调递减区间为(1,+∞) ; 当 0<a<1 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,1)和( ,+∞) ,单调递减区间为(1, ) ; 当 a=1 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞) ; 当 a>1 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0, )和(1,+∞) ,单调递减区间为( ,1) ( II)当 a=0 时,f(x)=﹣x+lnx,由 f(x)=mx,得﹣x+lnx=mx,又 x>0,所以 m= ﹣1, 要使方程 f(x)=mx 在区间[1,e2]上有唯一实数解, 只需 m= ﹣1 有唯一实数解,

令 g(x)=

﹣1, (x>0) ,∴g′(x)=



由 g′(x)>0 得 0<x<e;g′(x)<0 得 x>e, ∴g(x)在区间[1,e]上是增函数,在区间[e,e2]上是减函数. g(1)=﹣1,g(e)= ﹣1,g(e2)= 故﹣1≤m< ﹣1 或 m= ﹣1 ﹣1,

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分,答题时请 写清题号.选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,正方形 ABCD 边长为 2,以 D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F,连结 CF 并延长交 AB 于点 E.
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(1)求证:AE=EB; (2)求 EF?FC 的值.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)由题意得 EA 为圆 D 的切线,由切割线定理,得 EA2=EF?EC,EB2=EF?EC, 由此能证明 AE=EB.
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(2)连结 BF,得 BF⊥EC,在 RT△ EBC 中, 求出结果. 【解答】 (1)证明:由以 D 为圆心 DA 为半径作圆, 而 ABCD 为正方形,∴EA 为圆 D 的切线 依据切割线定理,得 EA2=EF?EC… 另外圆 O 以 BC 为直径,∴EB 是圆 O 的切线, 同样依据切割线定理得 EB2=EF?EC… 故 AE=EB… (2)解:连结 BF,∵BC 为圆 O 直径, ∴BF⊥EC 在 RT△ EBC 中,有 又在 Rt△ BCE 中, 由射影定理得 EF?FC=BF2= .… …

,由射影定理得 EF?FC=BF2,由此能

一、选修 4-4:坐标系与参数方程 23. 已知曲线 C 的参数方程是 = (θ 为参数) , 直线 l 的极坐标方程为 ρsin (θ+ )

. (其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合,极轴与直角坐标系 x 轴正半轴 重合,单位长度相同. ) (Ⅰ)将曲线 C 的参数方程化为普通方程,把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设 M 是直线 l 与 x 轴的交点,N 是曲线 C 上一动点,求|MN|的最大值. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
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【分析】 (Ⅰ)利用 cos2θ+sin2θ=1,可把曲线 C 的参数方程可化为普通方程;直线 l 的方程 为 ρsin(θ+ ,利用 )= .可化为 即可得出直线 l 的直角坐标方程. = ,

(Ⅱ)令 y=0,得 x=2,即 M 点的坐标为(2,0) .又曲线 c 为圆,圆 C 的圆心坐标为(1, 2) ,半径 r=1,则|MC|= .利用|MN|≤|MC|+r 即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)利用 cos2θ+sin2θ=1,可把曲线 C 的参数方程可化为(x﹣1)2+(y﹣2) 2 =1, 直线 l 的方程为 ρsin(θ+ )= .可化为 = ,

可得:直线 l 的直角坐标方程为 x+y﹣2=0. (Ⅱ)令 y=0,得 x=2,即 M 点的坐标为(2,0) . 又曲线 c 为圆,圆 C 的圆心坐标为(1,2) ,半径 r=1,则|MC|= ∴|MN|≤|MC|+r= +1, 1. ∴|MN|的最大值为



一、 【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|x+2|﹣2|x﹣1| (1)解不等式 f(x)≥﹣2; (2)对任意 x∈[a,+∞) ,都有 f(x)≤x﹣a 成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题;绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)通过对 x≤﹣2,﹣2<x<1 与 x≥1 三类讨论,去掉绝对值符号,解相应的一次 不等式,最后取其并集即可;
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(2)在坐标系中,作出

的图象,对任意 x∈[a,+∞) ,都有 f(x)

≤x﹣a 成立,分﹣a≥2 与﹣a<2 讨论,即可求得实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)f(x)=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2, 当 x≤﹣2 时,x﹣4≥﹣2,即 x≥2,∴x∈?; 当﹣2<x<1 时,3x≥﹣2,即 x≥﹣ ,∴ ﹣≤x≤1; 当 x≥1 时,﹣x+4≥﹣2,即 x≤6,∴1≤x≤6; 综上,不等式 f(x)≥﹣2 的解集为:{x|﹣ ≤x≤6} …

(2)



函数 f(x)的图象如图所示:

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令 y=x﹣a,﹣a 表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时,﹣a=2; ∴当﹣a≥2,即 a≤﹣2 时成立;… 当﹣a<2,即 a>﹣2 时,令﹣x+4=x﹣a,得 x=2+ , ∴a≥2+ ,即 a≥4 时成立, 综上 a≤﹣2 或 a≥4.…

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