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高一年级数学,任意角及的三角函数,(学生版)

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任意角和弧度制及任意角的三角函数

一、兴趣导入(Topic-in):
有一天我同学问我 “你知道什么动物最爱问为什么吗?” 我老早就知道了,但是我还是配合了,我说:“不知道,是什么?” 同学:“是猪啊。” 我:“哦。” ??沉默了一会后?? 同学:“你不想知道为什么吗?” 我:“不想。” 同学:“为什么?” ??自作孽不可活

二、学前测试(Testing):
1 任意角的概念 2 象限角的概念 若角 ? 的终边在第 k 个象限,则称 ? 是第 k 象限角. 象限角及其集合表示 象限角 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合 象限角的集合表示

3.终边相同的角 所有与角 ? 的终边相同的角连同角 ? 在内构成的集合为______________.

4.弧度制的概念 与半径等长的圆弧所对的圆心角称为 1 rad(弧度)的角.

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1

角度与弧度的互化: 1 rad(弧度) ? ?

? 180? ? ? ? 53.7? ? 57?18' ; 1o ? _____ rad(弧度). ? ? ? ?
扇形面积公式:___________.

5.扇形的弧度、面积 弧长公式:______ 6.任意角的三角函数的定义

在角 ? 的终边上任取点 P ( x, y ) , 设它与原点 O 的距离 | OP |? r ( r > 0) , 则

s in ? ? _ _ _ _ _

, cos ? ? _____ , tan ? ? _____ .

7.三角函数在各象限的符号

sin ? :上正下负横轴零

cos? :左负右正纵轴零

tan? :交叉正负横轴零

8.终边相同的角的同一三角函数的值相等

sin(2k? ? ? ) ? _____ , cos(2k? ? ? ) ? _____ , tan(2k? ? ? ) ? _____ .

y P T

9.三角函数线 如图有向线段 MP , OM , AT 分别表示:_____________________

O

M A

x

10.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:________________________.(2)商数关系:______________.

x=1

三、知识讲解(Teaching):
1.任意角 (1)角的分类: ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角: 终边与角α 相同的角可写成α +k·360°(k∈Z). (3)弧度制: ①1 弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. ②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α |= ,l 是以角α 作为 圆心角时所对圆弧的长,r 为半径. ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值 与所取的 r 的大小无关,仅与角的大小有关. ④弧度与角度的换算:360°=2π 弧度;180°=π 弧度.
——————————————————————————————————————————————————— 2

l r

l r

1 1 2 ⑤弧长公式:l=|α |r,扇形面积公式:S 扇形= lr= |α |r . 2 2 2.任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义: 设α 是一个任意角,角α 的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么角α 的正弦、余弦、正切分别是: sin α =y,cos α =x,tan α = ,它们都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比 值为函数值的函数. (2)三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3.三角函数线 设角α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点 P,过 P 作 PM 垂直于 x 轴于 M.由三角函数的定义知,点 P 的坐标为(cos_α ,sin_α ),即 P(cos_α ,sin_α ),其中 cos α =OM, sin α =MP,单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A,单位圆在 A 点的切线与α 的终边或其反向延长线相交于点

y x

T,则 tan α =AT.我们把有向线段 OM、MP、AT 叫做α 的余弦线、正弦线、正切线.

三角函数线 有向线段 MP 为正弦 线 有向线段 OM 为余弦 线 有向线段 AT 为正切 线

1.对任意角的理解 (1)“小于 90°的角”不等同于“锐角” “0°~90°的角”不等同于“第一象限的角” .其实锐角的 集合是{α |0°<α <90°},第一象限角的集合为{α |k·360°<α <k·360°+90°,k∈Z}. (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同,终边相同的角的同一三角函数值相等. 2.三角函数定义的理解 三角函数的定义中,当 P(x,y)是单位圆上的点时有 sin α =y,cos α =x,tan α = , 但若不是单位圆时,如圆的半径为 r,则 sin α = ,cos α = ,tan α = .

y x

y r

x r

y x

四、强化练习(Training)
——————————————————————————————————————————————————— 3

例 1.(1)给出下列四个命题: 3π 4π ①- 4 是第二象限角; ② 3 是第三象限角; ③-400° 是第四角限角; ④-315° 是第一象限角. 其 中正确的命题有( A.1 个 C.3 个 ) B.2 个 D.4 个

(2)如果角 α 是第二象限角,则 π-α 角的终边在第________象限.

例2

(1)已知角 α 的终边上有一点 P(t,t2+1)(t>0),则 tan α 的最小值为( A.1 1 C.2 B.2 D. 2

)

2π? ? 2π (2)(2012· 大庆模拟)已知角 α 的终边上一点 P 的坐标为?sin 3 ,cos 3 ?,则角 α 的最 ? ? 小正值为( 5π A. 6 5π C. 3 ) 2π B. 3 11π D. 6

练习: ? 3? (1)(2012· 东莞调研)已知角 α 的终边与单位圆的交点 P?x, ?,则 tan α=( 2? ? )

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4

A. 3 3 C. 3

B.± 3 3 D.± 3 )

4 (2)(2012· 潍坊质检)已知角 α 的终边经过点 P(m,-3),且 cos α=-5,则 m 等于( 11 A.- 4 C.-4 11 B. 4 D.4

例 3、(1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角. (2)已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大?

若本例(1)中条件变为:圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数 是________.

1.在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷. 1 1 2. 记住下列公式: ①l=αR; ②S= lR; ③S= αR2.其中 R 是扇形的半径, l 是弧长, α(0<α<2π) 2 2 为圆心角,S 是扇形面积.
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五、训练辅导(Tutor):
1.将表的分针拨快 10 分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( π A.3 π C.-3 π B.6 π D.-6 )

2.已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是( A.1 或 4 C.4 B.1 D.8

)

π 3.已知角 α 和角 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=-3,则 sin α=( 3 A.- 2 1 C.- 2 3 B. 2 D. 1 2 )

)

θ θ ? θ? 4.设 θ 是第三象限角,且?cos2?=-cos2,则2是( ? ? A.第一象限角 C.第三象限角

B.第二象限角 D.第四象限角

5.(2012· 宜春模拟)给出下列各函数值:①sin(-1 000° );②cos(-2 200° );③tan(-10); 7π sin10cos π



17π ,其中符号为负的是( tan 9 B.②

)

A.①

C.③

D.④

6.已知 sin θ-cos θ>1,则角 θ 的终边在( A.第一象限

)

B.第二象限
6

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C.第三象限

D.第四象限

7.在直角坐标系中,O 是原点,A( 3,1),将点 A 绕 O 逆时针旋转 90° 到 B 点,则 B 点坐 标为__________. 3π? ? 3π 8.若 β 的终边所在直线经过点 P?cos 4 ,sin 4 ?,则 sin β=________,tan β=________. ? ?

9.如图,角 α 的终边与单位圆(圆心在原点,半径为 1)交于第二象限的 3? ? 点 A?cos α,5?,则 cos α-sin α=________. ? ?

10.一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB.

11.如图所示,A,B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二象限,C 是圆与 x 轴正半轴的交点,A ?3 4? 点的坐标为?5,5?,△AOB 为正三角形. ? ? (1)求 sin∠COA; (2)求 cos∠COB.

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7

2 12.(1)设 90° <α<180° ,角 α 的终边上一点为 P(x, 5),且 cos α= 4 x,求 sin α 与 tan α 的值; (2)已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tan θ=-x,求 sin θ,cos θ.

六、反思总结(Thinking):

堂堂清落地训练 (5-10 分钟的测试卷,坚持堂堂清,学习很爽心)
1.-870°的终边在第几象限( A.一 C.三 ) B.二 D.四 )

2.已知角α 的终边经过点( 3,-1),则角α 的最小正值是( A. 2π 3 B. 11π 6

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8

C.

5π 6

D.

3π 4 )

3.(教材习题改编)若 sin α <0 且 tan α >0,则α 是( A.第一象限角 C.第三象限角 4.若点 P 在 B.第二象限角 D.第四象限角

2π 角的终边上,且 P 的坐标为(-1,y),则 y 等于________. 3

5.弧长为 3π ,圆心角为 135°的扇形半径为________,面积为________.

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9


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