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人教a版高中数学选修2-1习题:第三章3.2第3课时空间向量与空间角含答案

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第三章 3.2 空间向量与立体几何 立体几何中的向量方法 空间向量与空间角 第 3 课时 A级 基础巩固 一、选择题 1.三棱锥 A?BCD 中,平面 ABD 与平面 BCD 的法向量分别为 n1,n2,若〈n1, π n2〉= ,则二面角 A?BD?C 的大小为( 3 A. C. π 3 π 2π 或 3 3 B. D. 2π 3 π π 或 6 3 ) 解析:只需搞清二面角的范围是[0,π ]. 答案:C 2.直三棱柱 ABC?A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC =CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( A. C. 1 10 30 10 B. D. 2 5 2 2 ) 解析:建立如图所示的空间直角坐标系 C? xyz,设 BC=2,则 B(0,2,0), → → A(2,0,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以BM=(1,-1,2),AN=(-1,0, → → → → |BM·AN| 3 30 2),故BM与AN所成角 θ 的余弦值 cos θ = = = . → → 6× 5 10 |BM|·|AN| 答案:C 3.若平面 α 的一个法向量 n=(2,1,1),直线 l 的一个方向向量为 a=(1, 2,3),则 l 与 α 所成角的正弦值为( A. 17 6 B. 21 6 C.- 21 6 D. 21 3 ) 7 ? n·a ? ?= 解析: 设 l 与 α 所成的角为 θ , 则 sin θ=|cos 〈n, a〉 |=? |n||a| ? ? 6· 14 = 21 . 6 答案:B 4.在矩形 ABCD 中,AB=1,BC= 2,PA⊥平面 ABCD,PA=1,则 PC 与平面 ABCD 所成角是( A.30° C.60° ) B.45° D.90° 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则 P(0,0,1),C(1, 2,0), → PC=(1, 2,-1), 平面 ABCD 的一个法向量为 n=(0,0,1), → 所以 cos〈PC,n〉= → PC·n 1 =- , → 2 |PC|·|n| → 所以〈PC·n〉=120°, 所以斜线 PC 与平面 ABCD 的法向量所在直线所成角为 60°, 所以斜线 PC 与平面 ABCD 所成角为 30°. 答案:A 5.如图,正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为 1,O 是底面 A1B1C1D1 的中心,则 O 到 平面 ABC1D1 的距离是( ) A. C. 1 2 2 2 B. D. 2 4 3 2 解析:以 D 为坐标原点,以 DA,DC,DD1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间 直角坐标系,则有 D1(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),A1(1,0, 1),C1(0,1,1). ?1 1 ? 因 O 为 A1C1 的中点,所以 O? , ,1?, ?2 2 ? → ?1 1 ? C1O=? ,- ,0?, 2 ? ?2 设平面 ABC1D1 的法向量为 n=(x,y,z),则有 → ?n·AD =0, ?-x+z=0, 即? ? → ?y=0, ?n·AB=0, 1 取 n=(1,0,1) 1 → |C1O·n| 2 2 所以 O 到平面 ABC1D1 的距离为 d= = = . |n| 2 4 答案:B 二、填空题 6.如图,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,M 是 C1C 的中点,O 是底面 ABCD

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