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人教版高中数学必修5测试题及答案全套

时间:2018-06-26


第一章
测试一


解三角形
学习目标

正弦定理和余弦定理

1.掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形. 2.会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形. Ⅱ 基础训练题 一、选择题 1.在△ABC 中,若 BC= 2 ,AC=2,B=45°,则角 A 等于( (A)60° (B)30° (C)60°或 120° ) (D)30°或 150°

2.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a=2,b=3,cosC=- (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 )

1 ,则 c 等于( 4

)

3.在△ABC 中,已知 cos B ? (A)

3 2 , sin C ? ,AC=2,那么边 AB 等于( 5 3
5 3
(C)

5 4

(B)

20 9

(D)

12 5

4.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 B=30°,c=150,b=50 3 ,那么这个三角形 是( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 5.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,如果 A∶B∶C=1∶2∶3,那么 a∶b∶c 等于( (A)1∶2∶3 (B)1∶ 3 ∶2 (C)1∶4∶9 (D)1∶ 2 ∶ 3

)

二、填空题 6.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a=2,B=45°,C=75°,则 b=________. 7.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a=2,b=2 3 ,c=4,则 A=________. 8.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 2cosBcosC=1-cosA,则△ABC 形状是________三 角形. 9.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a=3,b=4,B=60°,则 c=________. 10.在△ABC 中,若 tanA=2,B=45°,BC= 5 ,则 AC=________. 三、解答题 11.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a=2,b=4,C=60°,试解△ABC. 12.在△ABC 中,已知 AB=3,BC=4,AC= 13 . (1)求角 B 的大小; (2)若 D 是 BC 的中点,求中线 AD 的长. 13.如图,△OAB 的顶点为 O(0,0),A(5,2)和 B(-9,8),求角 A 的大小.

1

14.在△ABC 中,已知 BC=a,AC=b,且 a,b 是方程 x2-2 3 x+2=0 的两根,2cos(A+B)=1. (1)求角 C 的度数; (2)求 AB 的长; (3)求△ABC 的面积.

测试二

解三角形全章综合练习
Ⅰ 基础训练题 )

一、选择题 1.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 b2+c2-a2=bc,则角 A 等于(

π (A) 6
①sin(A+B)=sinC 其中正确的个数是( (A)0

π (B) 3

2π (C) 3
A? B C ? cos 2 2

5π (D) 6

2.在△ABC 中,给出下列关系式: ②cos(A+B)=cosC ③ sin ) (B)1

(C)2

(D)3

3.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a=3,sinA= (A)4 (B)

2 3 ,sin(A+C)= ,则 b 等于( 3 4

)

8 3

(C)6

(D)

27 8

4.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a=3,b=4,sinC=

2 ,则此三角形的面积是( 3

)

(A)8 (B)6 (C)4 (D)3 5.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且 sinA=2sinBcosC,则 此三角形的形状是( ) (A)直角三角形 (B)正三角形 (C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形 二、填空题 6.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a= 2 ,b=2,B=45°,则角 A=________. 7.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a=2,b=3,c= 19 ,则角 C=________. 8. 在△ABC 中, 三个内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, 若 b=3, c=4, cosA=

3 , 则此三角形的面积为________. 5

9.已知△ABC 的顶点 A(1,0),B(0,2),C(4,4),则 cosA=________. 10. 已知△ABC 的三个内角 A,B, C 满足 2B=A+C,且 AB=1, BC=4,那么边 BC 上的中线 AD 的长为________. 三、解答题 11.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 a=3,b=4,C=60°. (1)求 c; (2)求 sinB. 12.设向量 a,b 满足 a?b=3,|a|=3,|b|=2. (1)求〈a,b〉 ; (2)求|a-b|. 13.设△OAB 的顶点为 O(0,0),A(5,2)和 B(-9,8),若 BD⊥OA 于 D. (1)求高线 BD 的长; (2)求△OAB 的面积. 14.在△ABC 中,若 sin2A+sin2B>sin2C,求证:C 为锐角.
2

a b c ? ? ? 2R ,其中 R 为△ABC 外接圆半径) sin A sin B sinC Ⅱ 拓展训练题 15.如图,两条直路 OX 与 OY 相交于 O 点,且两条路所在直线夹角为 60°,甲、乙两人分别在 OX、OY 上的 A、
(提示:利用正弦定理 B 两点,| OA |=3km,| OB |=1km,两人同时都以 4km/h 的速度行走,甲沿 XO 方向,乙沿 OY 方向. 问:(1)经过 t 小时后,两人距离是多少(表示为 t 的函数)? (2)何时两人距离最近?

16.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 (1)求角 B 的值; (2)若 b= 13 ,a+c=4,求△ABC 的面积.

cos B b ?? . cos C 2a ? c

3

第二章
测试三

数列
数列

Ⅰ 学习目标 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是一种特殊的函数. 2.理解数列的通项公式的含义,由通项公式写出数列各项. 3.了解递推公式是给出数列的一种方法,能根据递推公式写出数列的前几项. Ⅱ 基础训练题 一、选择题 1.数列{an}的前四项依次是:4,44,444,4444,?则数列{an}的通项公式可以是( ) (A)an=4n (B)an=4n (C)an=

4 n (10 -1) 9

(D)an=4?11n

2.在有一定规律的数列 0,3,8,15,24,x,48,63,??中,x 的值是( ) (A)30 (B)35 (C)36 (D)42 3.数列{an}满足:a1=1,an=an-1+3n,则 a4 等于( ) (A)4 (B)13 (C)28 (D)43 4.156 是下列哪个数列中的一项( ) 2 2 (A){n +1} (B){n -1} (C){n2+n} (D){n2+n-1} 5.若数列{an}的通项公式为 an=5-3n,则数列{an}是( ) (A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 (D)以上都不对 二、填空题 6.数列的前 5 项如下,请写出各数列的一个通项公式:

2 1 2 1 (1) 1, , , , ,?, an =________; 3 2 5 3 (2)0,1,0,1,0,?,an=________.
7.一个数列的通项公式是 an=

n2 . n 2 ?1

(1)它的前五项依次是________; (2)0.98 是其中的第________项. 8.在数列{an}中,a1=2,an+1=3an+1,则 a4=________. 9.数列{an}的通项公式为 an ?

1 (n∈N*),则 a3=________. 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (2n ? 1)

10.数列{an}的通项公式为 an=2n2-15n+3,则它的最小项是第________项. 三、解答题 11.已知数列{an}的通项公式为 an=14-3n. (1)写出数列{an}的前 6 项; (2)当 n≥5 时,证明 an<0.

n2 ? n ?1 12.在数列{an}中,已知 an= (n∈N*). 3
(1)写出 a10,an+1, an2 ; (2)79

2 是否是此数列中的项?若是,是第几项? 3
1 ,设 an=f(n)(n∈N+). x
4

13.已知函数 f ( x) ? x ?

(1)写出数列{an}的前 4 项; (2)数列{an}是递增数列还是递减数列?为什么?

测试四

等差数列

Ⅰ 学习目标 1.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式,并能解决一些简单问题. 2.掌握等差数列的前 n 项和公式,并能应用公式解决一些简单问题. 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能体会等差数列与一次函数的关系. Ⅱ 基础训练题 一、选择题 1.数列{an}满足:a1=3,an+1=an-2,则 a100 等于( ) (A)98 (B)-195 (C)-201 (D)-198 2.数列{an}是首项 a1=1,公差 d=3 的等差数列,如果 an=2008,那么 n 等于( ) (A)667 (B)668 (C)669 (D)670 3.在等差数列{an}中,若 a7+a9=16,a4=1,则 a12 的值是( ) (A)15 (B)30 (C)31 (D)64 4.在 a 和 b(a≠b)之间插入 n 个数,使它们与 a,b 组成等差数列,则该数列的公差为( )

b?a b?a b?a b?a (B) (C) (D) n n ?1 n ?1 n?2 5.设数列{an}是等差数列,且 a2=-6,a8=6,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则( ) (A)S4<S5 (B)S4=S5 (C)S6<S5 (D)S6=S5 二、填空题 6.在等差数列{an}中,a2 与 a6 的等差中项是________. 7.在等差数列{an}中,已知 a1+a2=5,a3+a4=9,那么 a5+a6=________. 8.设等差数列{an}的前 n 项和是 Sn,若 S17=102,则 a9=________. 9.如果一个数列的前 n 项和 Sn=3n2+2n,那么它的第 n 项 an=________. 10.在数列{an}中,若 a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),设{an}的前 n 项和是 Sn,则 S10=________. 三、解答题 11.已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,a3=7,S4=24.求数列{an}的通项公式.
(A) 12.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a10=30,a20=50. (1)求通项 an; (2)若 Sn=242,求 n. 13.数列{an}是等差数列,且 a1=50,d=-0.6. (1)从第几项开始 an<0; (2)写出数列的前 n 项和公式 Sn,并求 Sn 的最大值. Ⅲ 拓展训练题 14.记数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 3an+1=3an+2(n∈N*),a1+a3+a5+?+a99=90,求 S100.

测试五

等比数列

Ⅰ 学习目标 1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式,并能解决一些简单问题. 2.掌握等比数列的前 n 项和公式,并能应用公式解决一些简单问题. 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能体会等比数列与指数函数的关系. Ⅱ 基础训练题 一、选择题
5

1.数列{an}满足:a1=3,an+1=2an,则 a4 等于( (A)

)

3 (B)24 (C)48 (D)54 8 2.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前三项和为 21,则 a3+a4+a5 等于( (A)33 (B)72 (C)84 (D)189 3.在等比数列{an}中,如果 a6=6,a9=9,那么 a3 等于( )
3 16 (C) (D)3 2 9 4.在等比数列{an}中,若 a2=9,a5=243,则{an}的前四项和为( ) (A)81 (B)120 (C)168 (D)192 - 5.若数列{an}满足 an=a1qn 1(q>1),给出以下四个结论: ①{an}是等比数列; ②{an}可能是等差数列也可能是等比数列; ③{an}是递增数列; ④{an}可能是递减数列. 其中正确的结论是( ) (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④ 二、填空题 6.在等比数列{an}中,a1,a10 是方程 3x2+7x-9=0 的两根,则 a4a7=________. 7.在等比数列{an}中,已知 a1+a2=3,a3+a4=6,那么 a5+a6=________.
(A)4 (B) 8.在等比数列{an}中,若 a5=9,q=

)

1 ,则{an}的前 5 项和为________. 2

8 27 9.在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为________. 3 2 10.设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q=________. 三、解答题 11.已知数列{an}是等比数列,a2=6,a5=162.设数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 Sn=242,求 n.
12.在等比数列{an}中,若 a2a6=36,a3+a5=15,求公比 q. 13.已知实数 a,b,c 成等差数列,a+1,b+1,c+4 成等比数列,且 a+b+c=15,求 a,b,c. Ⅲ 拓展训练题 14.在下列由正数排成的数表中,每行上的数从左到右都成等比数列,并且所有公比都等于 q,每列上的数从上到 下都成等差数列.aij 表示位于第 i 行第 j 列的数,其中 a24= a11 a21 a31 a41 ? ai1 ? a12 a22 a32 a42 ? ai2 ? a13 a23 a33 a43 ? ai3 ? a14 a24 a34 a44 ? ai4 ?

1 5 ,a42=1,a54= . 16 8
? ? ? ? ? ? a1j a2j a3j a4j ? aij ? ? ? ? ? ? ?

a15 a25 a35 a45 ? ai5 ?

(1)求 q 的值; (2)求 aij 的计算公式.

6

测试六

数列求和

Ⅰ 学习目标 1.会求等差、等比数列的和,以及求等差、等比数列中的部分项的和. 2.会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和. Ⅱ 基础训练题 一、选择题 1.已知等比数列的公比为 2,且前 4 项的和为 1,那么前 8 项的和等于( ) (A)15 (B)17 (C)19 (D)21 2.若数列{an}是公差为

1 的等差数列,它的前 100 项和为 145,则 a1+a3+a5+?+a99 的值为( 2
)

)

(A)60 (B)72.5 (C)85 (D)120 n-1 * 3.数列{an}的通项公式 an=(-1) ?2n(n∈N ),设其前 n 项和为 Sn,则 S100 等于( (A)100 (B)-100 (C)200 (D)-200 4.数列 ? (A)

?

? 1 ? 的前 n 项和为( ? (2n ? 1)(2n ? 1) ?

)

n 2n n 2n (B) (C) (D) 2n ? 1 2n ? 1 4n ? 2 n ?1 5.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,a2=2,且 an+2=an+3(n=1,2,3,?),则 S100 等于( (A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950 二、填空题
6.
1 2 ?1 ? 1 3? 2 ? 1 4 ? 3 ??? 1 n ?1 ? n

)

=________.

7.数列{n+

1 }的前 n 项和为________. 2n
2 2

8.数列{an}满足:a1=1,an+1=2an,则 a 1 +a 2 +?+a 2 n =________. 9.设 n∈N*,a∈R,则 1+a+a2+?+an=________. 10. 1?

1 1 1 1 ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? n ? n =________. 2 4 8 2

三、解答题 11.在数列{an}中,a1=-11,an+1=an+2(n∈N*),求数列{|an|}的前 n 项和 Sn. 12.已知函数 f(x)=a1x+a2x2+a3x3+?+anxn(n∈N*,x∈R),且对一切正整数 n 都有 f(1)=n2 成立. (1)求数列{an}的通项 an; (2)求

1 1 1 ? ??? . a1a2 a2 a3 an an ?1
1 1 1 ? ? ? ? n?1 ,求数列的前 n 项和 Sn. 2 4 2

13.在数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,an= 1 ?

Ⅲ 拓展训练题 14.已知数列{an}是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=anxn(x∈R),求数列{bn}的前 n 项和公式.
7

测试七


数列综合问题
基础训练题

一、选择题 1.等差数列{an}中,a1=1,公差 d≠0,如果 a1,a2,a5 成等比数列,那么 d 等于( ) (A)3 (B)2 (C)-2 (D)2 或-2 2.等比数列{an}中,an>0,且 a2a4+2a3a5+a4a6=25,则 a3+a5 等于( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 3.如果 a1,a2,a3,?,a8 为各项都是正数的等差数列,公差 d≠0,则( ) (A)a1a8>a4a5 (B)a1a8<a4a5 (C)a1+a8>a4+a5 (D)a1a8=a4a5 4.一给定函数 y=f(x)的图象在下列图中,并且对任意 a1∈(0,1),由关系式 an+1=f(an)得到的数列{an}满足 an+1> an(n∈N*),则该函数的图象是( )

5.已知数列{an}满足 a1=0, an ?1 ?

an ? 3 (n∈N*),则 a20 等于( 3an ?1
(C) 3

)

(A)0 二、填空题

(B)- 3

(D)

3 2

?1 a , ? 1 ?2 n 6.设数列{an}的首项 a1= ,且 an ?1 ? ? 4 ?a ? 1 , n ? 4 ?

n为偶数,
则 a2=________,a3=________.

n为奇数.

7.已知等差数列{an}的公差为 2,前 20 项和等于 150,那么 a2+a4+a6+?+a20=________. 8.某种细菌的培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过 3 个小时,这种细菌可以由 1 个繁殖成 ________个. 9.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+3n(n∈N*),则 an=________. 10.在数列{an}和{bn}中,a1=2,且对任意正整数 n 等式 3an+1-an=0 成立,若 bn 是 an 与 an+1 的等差中项,则{bn} 的前 n 项和为________. 三、解答题 11.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 an=5Sn-3(n∈N*). (1)求 a1,a2,a3; (2)求数列{an}的通项公式; (3)求 a1+a3+?+a2n-1 的和.

12.已知函数 f(x)=

2 * (x>0),设 a1=1,a 2 n?1 ?f(an)=2(n∈N ),求数列{an}的通项公式. x ?4
2

13.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差 d 的范围; (2)指出 S1,S2,?,S12 中哪个值最大,并说明理由.
8

Ⅲ 拓展训练题 14.甲、乙两物体分别从相距 70m 的两地同时相向运动.甲第 1 分钟走 2m,以后每分钟比前 1 分钟多走 1m,乙每 分钟走 5m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1m,乙继续每分钟走 5m,那么开始运 动几分钟后第二次相遇? 15.在数列{an}中,若 a1,a2 是正整数,且 an=|an-1-an-2|,n=3,4,5,?则称{an}为“绝对差数列”. (1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项); (2)若“绝对差数列”{an}中,a1=3,a2=0,试求出通项 an; (3)*证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

测试八


数列全章综合练习
基础训练题

一、选择题 1.在等差数列{an}中,已知 a1+a2=4,a3+a4=12,那么 a5+a6 等于( ) (A)16 (B)20 (C)24 (D)36 2.在 50 和 350 间所有末位数是 1 的整数和( ) (A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)4877 2 3.若 a,b,c 成等比数列,则函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴的交点个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定 4.在等差数列{an}中,如果前 5 项的和为 S5=20,那么 a3 等于( ) (A)-2 (B)2 (C)-4 (D)4 5.若{an}是等差数列,首项 a1>0,a2007+a2008>0,a2007?a2008<0,则使前 n 项和 Sn>0 成立的最大自然数 n 是( ) (A)4012 (B)4013 (C)4014 (D)4015 二、填空题 6.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项 an=________. 7.等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前 20 项和 S20=________. 8.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 Sn=n2-3n+1,则 an=________.

a3 ? a6 ? a9 9.等差数列{an}中,公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,则 a =________. 4 ? a7 ? a10
2 * 10.设数列{an}是首项为 1 的正数数列,且(n+1)a 2 n?1 -na n +an+1an=0(n∈N ),则它的通项公式 an=________.

三、解答题 11.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求 S13. 12.已知数列{an}中,a1=1,点(an,an+1+1)(n∈N*)在函数 f(x)=2x+1 的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (3)设 cn=Sn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 13.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足条件 Sn=3an+2. (1)求证:数列{an}成等比数列; (2)求通项公式 an. 14.某渔业公司今年初用 98 万元购进一艘渔船,用于捕捞,第一年需各种费用 12 万元,从第二年开始包括维修费 在内,每年所需费用均比上一年增加 4 万元,该船每年捕捞的总收入为 50 万元. (1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用);
9

(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)? (3)若当盈利总额达到最大值时,渔船以 8 万元卖出,那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元? Ⅱ 15.已知函数 f(x)= (1)求 an;
2 2 * (2)设 bn=a 2 n?1 +a n ? 2 +?+a 2 n ?1 ,是否存在最小正整数 m,使对任意 n∈N 有 bn<

拓展训练题
1 )(n∈N*). a n ?1

1 x ?4
2

(x<-2),数列{an}满足 a1=1,an=f(-

m 成立?若存在,求出 m 25

的值,若不存在,请说明理由.

16.已知 f 是直角坐标系平面 xOy 到自身的一个映射,点 P 在映射 f 下的象为点 Q,记作 Q=f(P). 设 P1(x1,y1),P2=f(P1),P3=f(P2),?,Pn=f(Pn-1),?.如果存在一个圆,使所有的点 Pn(xn,yn)(n∈N*) 都在这个圆内或圆上,那么称这个圆为点 Pn(xn,yn)的一个收敛圆.特别地,当 P1=f(P1)时,则称点 P1 为映射 f 下的不动点. 若点 P(x,y)在映射 f 下的象为点 Q(-x+1,

1 y). 2

(1)求映射 f 下不动点的坐标; (2)若 P1 的坐标为(2,2),求证:点 Pn(xn,yn)(n∈N*)存在一个半径为 2 的收敛圆.

10

第三章
测试九

不等式

不等式的概念与性质

Ⅰ 学习目标 1.了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景,掌握用作差的方法比较两个代数式的大小. 2.理解不等式的基本性质及其证明. Ⅱ 基础训练题 一、选择题 1.设 a,b,c∈R,则下列命题为真命题的是( ) (A)a>b ? a-c>b-c (B)a>b ? ac>bc (C)a>b ? a2>b2 (D)a>b ? ac2>bc2 2.若-1<?<?<1,则?-???的取值范围是( ) (A)(-2,2) (B)(-2,-1) (C)(-1,0) (D)(-2,0) 3.设 a>2,b>2,则 ab 与 a+b 的大小关系是( ) (A)ab>a+b (B)ab<a+b (C)ab=a+b (D)不能确定

1 1 ) ? 同时成立的条件是( a b (A)a>b>0 (B)a>0>b (C)b>a>0 (D)b>0>a 5.设 1<x<10,则下列不等关系正确的是( ) 2 2 (A)lg x>lgx >lg(lgx) (B)lg2x>lg(lgx)>lgx2 (C)lgx2>lg2x>1g(lgx) (D)lgx2>lg(lgx)>lg2x 二、填空题 6.已知 a<b<0,c<0,在下列空白处填上适当不等号或等号:
4.使不等式 a>b 和 (1)(a-2)c________(b-2)c; (2)

c c ________ ; (3)b-a________|a|-|b|. a b a 的取值范围是________. b

7.已知 a<0,-1<b<0,那么 a、ab、ab2 按从小到大排列为________. 8.已知 60<a<84,28<b<33,则 a-b 的取值范围是________; 9.已知 a,b,c∈R,给出四个论断:①a>b;②ac2>bc2;③

a b ? ;④a-c>b-c.以其中一个论断作条件,另 c c 一个论断作结论,写出你认为正确的两个命题是________ ? ________;________ ? ________.(在“ ? ”的两 侧填上论断序号).
a? 3 2

10.设 a>0,0<b<1,则 P= b 三、解答题 11.若 a>b>0,m>0,判断

与Q ? b

( a ?1)( a ? 2)

的大小关系是________.

b b?m 与 的大小关系并加以证明. a a?m
a2 b2 ? a , q ? a ? b .证明:p>q. b

12.设 a>0,b>0,且 a≠b, p ?

注:解题时可参考公式 x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2). Ⅲ 拓展训练题 13.已知 a>0,且 a≠1,设 M=loga(a -a+1),N=loga(a2-a+1).求证:M>N.
3

14.在等比数列{an}和等差数列{bn}中,a1=b1>0,a3=b3>0,a1≠a3,试比较 a5 和 b5 的大小.
11

测试十
Ⅰ 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. Ⅱ 一、选择题 1.已知正数 a,b 满足 a+b=1,则 ab( )

均值不等式
学习目标

基础训练题

1 1 (B)有最小值 4 2 2.若 a>0,b>0,且 a≠b,则( )
(A)有最小值 (A)

(C)有最大值

1 4

(D)有最大值

1 2

a?b a 2 ? b2 ? ab ? 2 2
a2 ? b2 a?b ? 2 2

(B) ab ?

a?b ? 2

a2 ? b2 2

(C) ab ?

(D)

a2 ? b2 a?b ? ab ? 2 2

3.若矩形的面积为 a2(a>0),则其周长的最小值为( ) (A)a (B)2a (C)3a a b 4.设 a,b∈R,且 2a+b-2=0,则 4 +2 的最小值是( (A) 2 2 (B)4 (C) 4 2

(D)4a ) (D)8

5.如果正数 a,b,c,d 满足 a+b=cd=4,那么( ) (A)ab≤c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一 (B)ab≥c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一 (C)ab≤c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不唯一 (D)ab≥c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不唯一 二、填空题 6.若 x>0,则变量 x ? 7.函数 y=

9 的最小值是________;取到最小值时,x=________. x

4x (x>0)的最大值是________;取到最大值时,x=________. x ?1
2

16 的最大值是________. a ?3 9.函数 f(x)=2log2(x+2)-log2x 的最小值是________. 10.已知 a,b,c∈R,a+b+c=3,且 a,b,c 成等比数列,则 b 的取值范围是________. 三、解答题
8.已知 a<0,则 a ? 11.四个互不相等的正数 a,b,c,d 成等比数列,判断 12.已知 a>0,a≠1,t>0,试比较

a?d 和 bc 的大小关系并加以证明. 2

t ?1 1 logat 与 log a 的大小. 2 2
Ⅲ 拓展训练题

13.若正数 x,y 满足 x+y=1,且不等式 x ? 14.(1)用函数单调性的定义讨论函数 f(x)=x+ (2)设函数 f(x)=x+

y ? a 恒成立,求 a 的取值范围.
a (a>0)在(0,+∞)上的单调性; x

a (a>0)在(0,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的解析式. x
12

测试十一

一元二次不等式及其解法

Ⅰ 学习目标 1.通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 2.会解简单的一元二次不等式. Ⅱ 基础训练题 一、选择题 1.不等式 5x+4>-x2 的解集是( ) (A){x|x>-1,或 x<-4 } (C){x|x>4,或 x<1 } 2.不等式-x2+x-2>0 的解集是( (A){x|x>1,或 x<-2 } (C)R 3.不等式 x2>a2(a<0)的解集为( (A){x|x>±a} (C){x|x>-a,或 x<a } ) (B){x|-2<x<1} (D) ? ) (B){x|-a<x<a } (D){x|x>a,或 x<-a} ) (B){x|-4<x<-1 } (D){x|1<x<4 }

1 4.已知不等式 ax2+bx+c>0 的解集为 {x | ? ? x ? 2} ,则不等式 cx2+bx+a<0 的解集是( 3

1 } 2 1 (C){x-2<x< } 3
(A){x|-3<x<

1 } 2 1 (D){x|x<-2,或 x> } 3
(B){x|x<-3,或 x> )

5.若函数 y=px2-px-1(p∈R)的图象永远在 x 轴的下方,则 p 的取值范围是( (A)(-∞,0) (B)(-4,0] (C)(-∞,-4) (D)[-4,0) 二、填空题 6.不等式 x2+x-12<0 的解集是________.

3x ? 1 ? 0 的解集是________. 2x ? 5 8.不等式|x2-1|<1 的解集是________. 9.不等式 0<x2-3x<4 的解集是________.
7.不等式 10.已知关于 x 的不等式 x2-(a+

1 1 )x+1<0 的解集为非空集合{x|a<x< },则实数 a 的取值范围是________. a a

三、解答题 11.求不等式 x2-2ax-3a2<0(a∈R)的解集. 12.k 在什么范围内取值时,方程组 ?

?x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 ?3 x ? 4 y ? k ? 0

有两组不同的实数解?

Ⅲ 拓展训练题 13.已知全集 U=R,集合 A={x|x -x-6<0},B={x|x2+2x-8>0},C={x|x2-4ax+3a2<0}. (1)求实数 a 的取值范围,使 C ? (A∩B); (2)求实数 a 的取值范围,使 C ? ( UA)∩( UB).
2

14.设 a∈R,解关于 x 的不等式 ax2-2x+1<0.
13

测试十二

不等式的实际应用

Ⅰ 学习目标 会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题. Ⅱ 基础训练题 一、选择题 1.函数 y ?

1 4 ? x2

的定义域是(

)

(A){x|-2<x<2 } (C){x|x>2,或 x<-2 }

(B){x|-2≤x≤2 } (D){x|x≥2,或 x≤-2 }

2.某村办服装厂生产某种风衣,月销售量 x(件)与售价 p(元/件)的关系为 p=300-2x,生产 x 件的成本 r=500+ 30x(元),为使月获利不少于 8600 元,则月产量 x 满足( ) (A)55≤x≤60 (B)60≤x≤65 (C)65≤x≤70 (D)70≤x≤75 3.国家为了加强对烟酒生产管理,实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶 70 元,不征收附加税时,每年大约产销 100 万瓶;若政府征收附加税,每销售 100 元征税 r 元,则每年产销量减少 10r 万瓶,要使每年在此项经营中所 收附加税不少于 112 万元,那么 r 的取值范围为( ) (A)2≤r≤10 (B)8≤r≤10 (C)2≤r≤8 (D)0≤r≤8 2 4 4.若关于 x 的不等式(1+k )x≤k +4 的解集是 M,则对任意实常数 k,总有( ) (A)2∈M,0∈M (B)2 ? M,0 ? M (C)2∈M,0 ? M (D)2 ? M,0∈M 二、填空题 5.已知矩形的周长为 36cm,则其面积的最大值为________. 6.不等式 2x2+ax+2>0 的解集是 R,则实数 a 的取值范围是________. 7.已知函数 f(x)=x|x-2|,则不等式 f(x)<3 的解集为________. 8.若不等式|x+1|≥kx 对任意 x∈R 均成立,则 k 的取值范围是________. 三、解答题 9.若直角三角形的周长为 2,求它的面积的最大值,并判断此时三角形形状. 10.汽车在行驶过程中,由于惯性作用,刹车后还要继续滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”. 刹车距离是分析事故的一个主要因素,在一个限速为 40km/h 的弯道上,甲乙两车相向而行,发现情况不对同 时刹车,但还是相撞了,事后现场测得甲车刹车的距离略超过 12m,乙车的刹车距离略超过 10m.已知甲乙两 种车型的刹车距离 s(km)与车速 x(km/h)之间分别有如下关系:s 甲=0.1x+0.01x2,s 乙=0.05x+0.005x2.问交 通事故的主要责任方是谁? Ⅲ 拓展训练题 11.当 x∈[-1,3]时,不等式-x +2x+a>0 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

12.某大学印一份招生广告,所用纸张(矩形)的左右两边留有宽为 4cm 的空白,上下留有都为 6cm 的空白,中间排 版面积为 2400cm2.如何选择纸张的尺寸,才能使纸的用量最小?

14

测试十三

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

Ⅰ 学习目标 1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. Ⅱ 基础训练题 一、选择题 1.已知点 A(2,0),B(-1,3)及直线 l:x-2y=0,那么( ) (A)A,B 都在 l 上方 (B)A,B 都在 l 下方 (C)A 在 l 上方,B 在 l 下方 (D)A 在 l 下方,B 在 l 上方
? x ? 0, ? 2.在平面直角坐标系中,不等式组 ? y ? 0, 所表示的平面区域的面积为( ?x ? y ? 2 ?

)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 3.三条直线 y=x,y=-x,y=2 围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是(

)

? y ? x, ? (A) ? y ? ? x, ? y ? 2. ?

? y ? x, ? (B) ? y ? ? x, ? y ? 2. ?

? y ? x, ? (C) ? y ? ? x, ? y ? 2. ?

? y ? x, ? (D) ? y ? ? x, ? y ? 2. ?

? x ? y ? 5 ? 0, ? 4.若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z=2x+4y 的最小值是( ? x ? 3, ?

)

(A)-6 (B)-10 (C)5 (D)10 5.某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元,70 元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件 至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,则不同的选购方式共有( ) (A)5 种 (B)6 种 (C)7 种 (D)8 种 二、填空题
?x ? 0 6.在平面直角坐标系中,不等式组 ? 所表示的平面区域内的点位于第________象限. ?y ? 0

7.若不等式|2x+y+m|<3 表示的平面区域包含原点和点(-1,1),则 m 的取值范围是________.
? x ? 1, ? 8.已知点 P(x,y)的坐标满足条件 ? y ? 3, 那么 z=x-y 的取值范围是________. ?3 x ? y ? 3 ? 0, ? ? x ? 1, y ? 9.已知点 P(x,y)的坐标满足条件 ? y ? 2, 那么 的取值范围是________. x ?2 x ? y ? 2 ? 0, ?

10.方程|x|+|y|≤1 所确定的曲线围成封闭图形的面积是________. 三、解答题 11.画出下列不等式(组)表示的平面区域: (1)3x+2y+6>0
? x ? 1, ? (2) ? y ? ?2, ? x ? y ? 1 ? 0. ?
15

12.某实验室需购某种化工原料 106kg,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋 35kg,价格为 140 元;另一种 是每袋 24kg,价格为 120 元.在满足需要的前提下,最少需要花费多少元?

Ⅲ 拓展训练题 13.商店现有 75 公斤奶糖和 120 公斤硬糖,准备混合在一起装成每袋 1 公斤出售,有两种混合办法:第一种每袋 装 250 克奶糖和 750 克硬糖, 每袋可盈利 0.5 元; 第二种每袋装 500 克奶糖和 500 克硬糖, 每袋可盈利 0.9 元. 问每一种应装多少袋,使所获利润最大?最大利润是多少? 14.甲、乙两个粮库要向 A,B 两镇运送大米,已知甲库可调出 100 吨,乙库可调出 80 吨,而 A 镇需大米 70 吨, B 镇需大米 110 吨,两个粮库到两镇的路程和运费如下表: 路程(千米) 甲库 A镇 B镇 20 25 乙库 15 20 甲库 12 10 运费(元/吨?千米) 乙库 12 8

问:(1)这两个粮库各运往 A、B 两镇多少吨大米,才能使总运费最省?此时总运费是多少? (2)最不合理的调运方案是什么?它给国家造成不该有的损失是多少?

测试十四

不等式全章综合练习
Ⅰ基础训练题

一、选择题 1.设 a,b,c∈R,a>b,则下列不等式中一定正确的是( (A)ac2>bc2 (B)

) (D)|a|>|b|

1 1 ? a b

(C)a-c>b-c

? x ? y ? 4 ? 0, ? 2.在平面直角坐标系中,不等式组 ?2 x ? y ? 4 ? 0, 表示的平面区域的面积是( ?y ? 2 ?
(A)

)

3 (B)3 (C)4 (D)6 2 3.某房地产公司要在一块圆形的土地上,设计一个矩形的停车场.若圆的半径为 10m,则这个矩形的面积最大值是 ( ) (A)50m2 (B)100m2 (C)200m2 (D)250m2
4.设函数 f(x)=

x2 ? x ? 2 ,若对 x>0 恒有 xf(x)+a>0 成立,则实数 a 的取值范围是( x2
(B)a<2 2 -1 (C)a>2 2 -1 (D)a>1-2 2 (D)|a|>1

)

(A)a<1-2 2

5.设 a,b∈R,且 b(a+b+1)<0,b(a+b-1)<0,则( ) (A)a>1 (B)a<-1 (C)-1<a<1 二、填空题

16

6.已知 1<a<3,2<b<4,那么 2a-b 的取值范围是________,

a 的取值范围是________. b

7.若不等式 x2-ax-b<0 的解集为{x|2<x<3},则 a+b=________. + 8.已知 x,y∈R ,且 x+4y=1,则 xy 的最大值为________. 9.若函数 f(x)= 2 x
2

?2 ax ?? a

?1 的定义域为 R,则 a 的取值范围为________.

10.三个同学对问题“关于 x 的不等式 x2+25+|x3-5x2|≥ax 在[1,12]上恒成立,求实数 a 的取值范围”提出各自 的解题思路. 甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.” 乙说: “把不等式变形为左边含变量 x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值.” 丙说: “把不等式两边看成关于 x 的函数,作出函数图象.” 参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即 a 的取值范围是________. 三、解答题 11.已知全集 U=R,集合 A={x| |x-1|<6 } ,B={x| (1)求 A∩B; (2)求( UA)∪B.

x ?8 >0}. 2x ? 1

12.某工厂用两种不同原料生产同一产品,若采用甲种原料,每吨成本 1000 元,运费 500 元,可得产品 90 千克; 若采用乙种原料,每吨成本 1500 元,运费 400 元,可得产品 100 千克.今预算每日原料总成本不得超过 6000 元,运费不得超过 2000 元,问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克,才能使产品的日产量最大?



拓展训练题

13.已知数集 A={a1,a2,?,an}(1≤a1<a2<?<an,n≥2)具有性质 P:对任意的 i,j(1≤i≤j≤n),aiaj 与 数中至少有一个属于 A. (1)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质 P,并说明理由; (2)证明:a1=1,且

aj ai



a1 ? a2 ? ? ? an ?1???a ?1 ? a n . a1?1?a2 n

17

测试十五
一、选择题 1.函数 y ? x2 ? 4 的定义域是( )

必修 5 模块自我检测题

(A)(-2,2) (B)(-∞,-2)∪(2,+∞) (C)[-2,2] (D)(-∞,-2]∪[2,+∞) 2.设 a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a-b<0 (C) ab < (B)0<

a <1 b

a?b 2

(D)ab>a+b

? x ? 1, ? 3.设不等式组 ? y ? 0, 所表示的平面区域是 W,则下列各点中,在区域 W 内的点是( ? x? y?0 ?
1 1 (A) ( , ) 2 3 1 1 (B) (? , ) 2 3

)

1 1 1 1 (C) (? ,? ) (D) ( ,? ) 2 3 2 3 4.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a1+a3>0 (B)a1a3>0 (C)S1+S3<0 (D)S1S3<0 5.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 A∶B∶C=1∶2∶3,则 a∶b∶c 等于(
(A)1∶ 3 ∶2 (B)1∶2∶3 (C)2∶ 3 ∶1 (D)3∶2∶1

)

6.已知等差数列{an}的前 20 项和 S20=340,则 a6+a9+a11+a16 等于( ) (A)31 (B)34 (C)68 (D)70 7.已知正数 x、y 满足 x+y=4,则 log2x+log2y 的最大值是( ) (A)-4 (B)4 (C)-2 (D)2 8.如图,在限速为 90km/h 的公路 AB 旁有一测速站 P,已知点 P 距测速区起点 A 的距离为 0.08 km,距测速区终 点 B 的距离为 0.05 km,且∠APB=60°.现测得某辆汽车从 A 点行驶到 B 点所用的时间为 3s,则此车的速度介 于( )

(A)60~70km/h (B)70~80km/h (C)80~90km/h (D)90~100km/h 二、填空题 9.不等式 x(x-1)<2 的解集为________. 10.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 成等差数列,则 cos(A+C)的值为________. 11.已知{an}是公差为-2 的等差数列,其前 5 项的和 S5=0,那么 a1 等于________. 12.在△ABC 中,BC=1,角 C=120°,cosA=

2 ,则 AB=________. 3

18

? x ? 0, y ? 0 ? 13.在平面直角坐标系中,不等式组 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ,所表示的平面区域的面积是________;变量 z=x+3y 的最大 ?x ? y ? 3 ? 0 ?

值是________. 14.如图,n2(n≥4)个正数排成 n 行 n 列方阵,符号 aij(1≤i≤n,1≤j≤n,i,j∈N)表示位于第 i 行第 j 列的正数. 已知每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,且各列数的公比都等于 q.若 a11= 则 q=________;aij=________.

1 1 ,a24=1,a32= , 2 4

三、解答题 15.已知函数 f(x)=x2+ax+6. (1)当 a=5 时,解不等式 f(x)<0; (2)若不等式 f(x)>0 的解集为 R,求实数 a 的取值范围. 16.已知{an}是等差数列,a2=5,a5=14. (1)求{an}的通项公式; (2)设{an}的前 n 项和 Sn=155,求 n 的值. 17.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,A,B 是锐角,c=10,且 (1)证明角 C=90°; (2)求△ABC 的面积. 18.某厂生产甲、乙两种产品,生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每天配给 该厂的煤至多 56 吨,供电至多 45 千瓦,问该厂如何安排生产,使得该厂日产值最大? 用煤(吨) 甲种产品 乙种产品 7 3 用电(千瓦) 2 5 产值(万元) 8 11

cos A b 4 ? ? . cos B a 3

1 19.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 cosA= . 3
(1)求 sin2

B?C ? cos 2 A 的值; 2

(2)若 a= 3 ,求 bc 的最大值. 20.数列{an}的前 n 项和是 Sn,a1=5,且 an=Sn-1(n=2,3,4,?). (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 3 ? ??? ? ? (2)求证: ? a1 a 2 a3 an 5

19

参考答案
第一章
测试一
一、选择题 1.B 2.C 提示: 3.B 4.D 5.B

解三角形

正弦定理和余弦定理

4.由正弦定理,得 sinC=

3 ,所以 C=60°或 C=120°, 2 当 C=60°时,∵B=30°,∴A=90°,△ABC 是直角三角形;

当 C=120°时,∵B=30°,∴A=30°,△ABC 是等腰三角形. 5.因为 A∶B∶C=1∶2∶3,所以 A=30°,B=60°,C=90°, 由正弦定理

a b c =k, ? ? sin A sin B sin C
3 1 k,b=k?sin60°= k,c=k?sin90°=k, 2 2

得 a=k?sin30°=

所以 a∶b∶c=1∶ 3 ∶2. 二、填空题

3 ? 37 2 6 5 2 7.30° 8.等腰三角形 9. 10. 3 4 2 提示: 8.∵A+B+C=π ,∴-cosA=cos(B+C).∴2cosBcosC=1-cosA=cos(B+C)+1, ∴2cosBcosC=cosBcosC-sinBsinC+1,∴cos(B-C)=1,∴B-C=0,即 B=C. 9.利用余弦定理 b2=a2+c2-2accosB.
6. 10.由 tanA=2,得 sin A ? 三、解答题 11.c=2 3 ,A=30°,B=90°. 12.(1)60°;(2)AD= 7 . 13.如右图,由两点间距离公式,
2 5

,根据正弦定理,得

AC BC 5 2 ,得 AC= . ? 4 sin B sin A

得 OA= (5 ? 0) 2 ? (2 ? 0) 2 ? 29 , 同理得 OB ? 145, AB ? 232 .由余弦定理,得

OA2 ? AB2 ? OB2 2 , ? 2?OA?AB 2 ∴A=45°.
cosA=
20

14.(1)因为 2cos(A+B)=1,所以 A+B=60°,故 C=120°. (2)由题意,得 a+b=2 3 ,ab=2, 又 AB2=c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC =12-4-4?( ? 所以 AB= 10 . (3)S△ABC=
3 3 1 1 absinC= ?2? = . 2 2 2 2

1 )=10. 2

测试二

解三角形全章综合练习

1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 提示: 5.化简(a+b+c)(b+c-a)=3bc,得 b2+c2-a2=bc, 由余弦定理,得 cosA=
b2 ? c2 ? a2 1 ? ,所以∠A=60°. 2bc 2

因为 sinA=2sinBcosC,A+B+C=180°, 所以 sin(B+C)=2sinBcosC, 即 sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC. 所以 sin(B-C)=0,故 B=C. 故△ABC 是正三角形. 二、填空题 6.30° 三、解答题 11.(1)由余弦定理,得 c= 13 ; 7.120° 8.

24 5

9.

5 5

10. 3

2 39 . 13 12.(1)由 a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉 ,得〈a,b〉=60°; (2)由向量减法几何意义, 知|a|,|b|,|a-b|可以组成三角形, 所以|a-b|2=|a|2+|b|2-2|a|?|b|?cos〈a,b〉=7,
(2)由正弦定理,得 sinB= 故|a-b|= 7 . 13.(1)如右图,由两点间距离公式,

得 OA ? (5 ? 0) 2 ? (2 ? 0) 2 ? 29 , 同理得 OB ? 145, AB ? 232 . 由余弦定理,得
21

OA2 ? AB 2 ? OB 2 2 ? , 2?OA? AB 2 所以 A=45°. cos A ?

故 BD=AB?sinA=2 29 .

1 1 ?OA?BD= ? 29 ?2 29 =29. 2 2 a b c ? ? ? 2R , 14.由正弦定理 sin A sin B sin C a b c ? sin A, ? sin B, ? sin C . 得 2R 2R 2R
(2)S△OAB= 因为 sin2A+sin2B>sin2C,

a 2 b c ) ? ( )2 ? ( )2 , 2R 2R 2R 2 2 2 即 a +b >c .
所以 ( 所以 cosC=

a 2 ? b2 ? c2 >0, 2ab

由 C∈(0,π ),得角 C 为锐角. 15.(1)设 t 小时后甲、乙分别到达 P、Q 点,如图,

则|AP|=4t,|BQ|=4t,因为|OA|=3,所以 t= 故当 t∈[0,

? h 时,P 与 O 重合. 4

? ]时, 4

|PQ|2=(3-4t)2+(1+4t)2-2?(3-4t)?(1+4t)?cos60°; 当 t>

? h 时,|PQ|2=(4t-3)2+(1+4t)2-2?(4t-3)?(1+4t)?cos120°. 4

故得|PQ|= 48t 2 ? 24t ? 7 (t≥0). (2)当 t= ?

? 24 1 ? h 时,两人距离最近,最近距离为 2km. 2 ? 48 4

16.(1)由正弦定理

a b c ? ? ? 2R , sin A sin B sin C 得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.
所以等式 即

cos B b cos B 2R sin B 可化为 , ?? ?? cos C 2a ? c cos C 2 ? 2R sin A ? 2R sin C

cos B sin B , ?? cos C 2 sin A ? sin C 2sinAcosB+sinCcosB=-cosC?sinB, 故 2sinAcosB=-cosCsinB-sinCcosB=-sin(B+C), 因为 A+B+C=π ,所以 sinA=sin(B+C),
故 cosB=-

1 , 2
22

所以 B=120°.

(2)由余弦定理,得 b2=13=a2+c2-2ac?cos120°, 即 a2+c2+ac=13 又 a+c=4,
?a ? 1 ?a ? 3 解得 ? ,或 ? . ?c ? 3 ?c ? 1

所以 S△ABC=

1 1 3 3 3 acsinB= ?1?3? = . 2 4 2 2

第二章
测试三
一、选择题 1.C 2.B 二、填空题 6.(1) an ? 3.C 4.C 5.B

数列
数列

1 ? (?1) n 2 (或其他符合要求的答案) (2) an ? (或其他符合要求的答案) 2 n ?1 1 4 9 16 25 1 7.(1) , , , , (2)7 8.67 9. 10.4 15 2 5 10 17 26 提示: 9.注意 an 的分母是 1+2+3+4+5=15. 10.将数列{an}的通项 an 看成函数 f(n)=2n2-15n+3,利用二次函数图象可得答案. 三、解答题 11.(1)数列{an}的前 6 项依次是 11,8,5,2,-1,-4; (2)证明:∵n≥5,∴-3n<-15,∴14-3n<-1, 故当 n≥5 时,an=14-3n<0.
12.(1) a10 ? (2)79

109 n 2 ? 3n ? 1 n4 ? n2 ?1 , an ?1 ? , an 2 ? ; 3 3 3

2 是该数列的第 15 项. 3 1 3 8 15 13.(1)因为 an=n- ,所以 a1=0,a2= ,a3= ,a4= ; 2 3 4 n
(2)因为 an+1-an=[(n+1) ?

1 1 1 ]-(n- )=1+ n ?1 n n(n ? 1)

又因为 n∈N+,所以 an+1-an>0,即 an+1>an. 所以数列{an}是递增数列.

测试四

等差数列

一、选择题 1.B 2.D 3.A 4.B 5.B 二、填空题 6.a4 7.13 8.6 9.6n-1 10.35 提示: 10.方法一:求出前 10 项,再求和即可; 方法二:当 n 为奇数时,由题意,得 an+2-an=0,所以 a1=a3=a5=?=a2m-1=1(m∈N*). 当 n 为偶数时,由题意,得 an+2-an=2, 即 a4-a2=a6-a4=?=a2m+2-a2m=2(m∈N*).
23

所以数列{a2m}是等差数列. 故 S10=5a1+5a2+

5 ? (5 ? 1) ?2=35. 2

三、解答题 11.设等差数列{an}的公差是 d,依题意得

?a1 ? 2d ? 7, ?a ? 3, ? 解得 ? 1 ? 4?3 4a1 ? d ? 24. ? d ? 2. ? 2 ? ∴数列{an}的通项公式为 an=a1+(n-1)d=2n+1. 12.(1)设等差数列{an}的公差是 d,依题意得
?a1 ? 9d ? 30, ?a ? 12, 解得 ? 1 ? ?d ? 2. ?a1 ? 19d ? 50.

∴数列{an}的通项公式为 an=a1+(n-1)d=2n+10.

n ? (n ? 1) ?2=n2+11n, 2 2 ∴Sn=n +11n=242,解得 n=11,或 n=-22(舍). 13.(1)通项 an=a1+(n-1)d=50+(n-1)?(-0.6)=-0.6n+50.6. 解不等式-0.6n+50.6<0,得 n>84.3. 因为 n∈N*,所以从第 85 项开始 an<0. n(n ? 1) n(n ? 1) (2)Sn=na1+ d=50n+ ?(-0.6)=-0.3n2+50.3n. 2 2 由(1)知:数列{an}的前 84 项为正值,从第 85 项起为负值, 所以(Sn)max=S84=-0.3?842+50.3?84=2108.4.
(2)数列{an}的前 n 项和 Sn=n?12+ 14.∵3an+1=3an+2,∴an+1-an=

2 , 3 2 的等差数列. 3
100 . 3

由等差数列定义知:数列{an}是公差为

记 a1+a3+a5+?+a99=A,a2+a4+a6+?+a100=B, 则 B=(a1+d)+(a3+d)+(a5+d)+?+(a99+d)=A+50d=90+ 所以 S100=A+B=90+90+

1 100 =213 . 3 3

测试五

等比数列

一、选择题 1.B 2.C 3.A 4.B 5.D 提示: 5.当 a1=0 时,数列{an}是等差数列;当 a1≠0 时,数列{an}是等比数列; 当 a1>0 时,数列{an}是递增数列;当 a1<0 时,数列{an}是递减数列. 二、填空题 6.-3 7.12 8.279 9.216 10.-2 提示: 10.分 q=1 与 q≠1 讨论. 当 q=1 时,Sn=na1,又∵2Sn=Sn+1+Sn+2, ∴2na1=(n+1)a1+(n+2)a1, ∴a1=0(舍).

24

当 q≠1,Sn=

a1 (1 ? q n ) .又∵2Sn=Sn+1+Sn+2, 1? q

∴2?

a1 (1 ? q n ) a (1 ? q n?1 ) a1 (1 ? q n?2 ) ? = 1 , 1? q 1? q 1? q

解得 q=-2,或 q=1(舍). 三、解答题 - 11.(1)an=2?3n 1; (2)n=5. 12.q=±2 或±

1 . 2

?a ? c ? 2b, ?a ? 2 ?a ? 11 ? ? ? 2 13.由题意,得 ?(a ? 1)(c ? 4) ? (b ? 1) ,解得 ?b ? 5 ,或 ?b ? 5 . ?c ? 8 ?c ? ? 1 ?a?b?c?15. ? ? ?
5 1 ? a54 ? a24 16 8 1 ? 14.(1)设第 4 列公差为 d,则 d ? 5?2 ? . 3 16

故 a44=a54-d=

5 1 1 a 1 2 ? ? ,于是 q = a44 ? . 42 16 16 4 4

由于 aij>0,所以 q>0,故 q=

1 . 2

1 1 1 (2)在第 4 列中,ai4=a24+(i-2)d= ? (i ? 2) ? i . 8 16 16
由于第 i 行成等比数列,且公比 q= 所以,aij=ai4?qj 4=


1 , 2

1 1 1 i ? ( ) j ?4 ? i ? ( ) j . 16 2 2

测试六

数列求和

一、选择题 1.B 2.A 3.B 4.A 5.C 提示: 1.因为 a5+a6+a7+a8=(a1+a2+a3+a4)q4=1?24=16, 所以 S8=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)=1+16=17. 2.参考测试四第 14 题答案. 3.由通项公式,得 a1+a2=a3+a4=a5+a6=?=-2,所以 S100=50?(-2)=-100. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 4. 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 n . ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 5.由题设,得 an+2-an=3,所以数列{a2n-1}、{a2n}为等差数列, 前 100 项中奇数项、偶数项各有 50 项,
其中奇数项和为 50?1+ 所以 S100=7500. 二、填空题 6. n ? 1 ? 1 7.

50 ? 49 50 ? 49 ?3=3725,偶数项和为 50?2+ ?3=3775, 2 2

n(n ? 1) 1 ? n ?1 2 2

8.

1 n (4 -1) 3
25

? ?1, ? 9. ?n ? 1, ? n ?1 ?1 ? a , ? 1?a
提示: 6.利用
1

(a ? 0) (a ? 1) (a ? ? 0, 且a ? ? 1)

10. 2 ?

1 2
n?1

?

n 2n

n ?1 ? n

? n ? 1 ? n 化简后再求和.

2 an an?1 ?1 8.由 an+1=2an,得 a ? 2 ,∴ 2 =4, an n

故数列{a 2 n }是等比数列,再利用等比数列求和公式求和. 10.错位相减法. 三、解答题 11.由题意,得 an+1-an=2,所以数列{an}是等差数列,是递增数列. ∴an=-11+2(n-1)=2n-13, 由 an=2n-13>0,得 n>

13 . 2

所以,当 n≥7 时,an>0;当 n≤6 时,an<0. 当 n≤6 时,Sn=|a1|+|a2|+?+|an|=-a1-a2-?-an =-[n?(-11)+

n( n ? 1) ?2]=12n-n2; 2

当 n≥7 时,Sn=|a1|+|a2|+?+|an|=-a1-a2-?-a6+a7+a8+?+an =(a1+a2+?+an)-2(a1+a2+?+a6) =n?(-11)+

n( n ? 1) 6?5 ?2-2[6?(-11)+ ?2]=n2-12n+72. 2 2
(n∈N*).

? 12n ? n 2 , (n ? 6) Sn= ? 2 ?n ? 12n ? 72, (n ? 7)

12.(1)∵f(1)=n2,∴a1+a2+a3+?+an=n2. ① 所以当 n=1 时,a1=1; 当 n≥2 时,a1+a2+a3+?+an-1=(n-1)2 ② 2 2 ①-②得,an=n -(n-1) =2n-1.(n≥2) 因为 n=1 时,a1=1 符合上式. 所以 an=2n-1(n∈N*). 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ??? (2) a1a2 a2 a3 an an?1 1 ? 3 3 ? 5 (2n ? 1)( 2n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 1 1 n . (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1
1 ? (1 ? 1 ) 2n ? 2 ? 1 (n ? 2) . 1 2n?1 1? 2
26

1 1 1 13.因为 an ? 1 ? ? ? ? ? n?1 ? 2 4 2

1 1 1 所以 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ? (2 ? ) ? (2 ? 2 ) ? ? ? (2 ? n?1 ) 2 2 2 1 1 1 ? 1 ? 2(n ? 1) ? ( ? 2 ? ? ? n?1 ) 2 2 2
1 1 (1 ? n?1 ) 1 2 ? 2n ? 1 ? 2 ? 2n ? 2 ? n?1 . 1 2 1? 2
14.(1)an=2n; (2)因为 bn=2nxn, 所以数列{bn}的前 n 项和 Sn=2x+4x2+?+2nxn. 当 x=0 时,Sn=0;

n ( 2 ? 2n ) =n(n+1); 2 当 x≠0 且 x≠1 时,Sn=2x+4x2+?+2nxn, + xSn=2x2+4x3+?+2nxn 1; + 两式相减得(1-x)Sn=2x+2x2+?+2xn-2nxn 1,
当 x=1 时,Sn=2+4+?+2n= 所以(1-x)Sn=2 即 Sn ?
x (1 ? x n ) + -2nxn 1, 1? x

2 x(1 ? x n ) 2nxn?1 ? . 1? x (1 ? x) 2

( x ? 1) ?n(n ? 1), ? n n ? 1 综上,数列{bn}的前 n 项和 S n ? ? 2 x(1 ? x ) 2nx ? 1) ? (1 ? x) 2 ? 1? x , ( x ? ?

测试七
一、选择题 1.B 2.A 提示: 3.B 4.A 5.B

数列综合问题

5.列出数列{an}前几项,知数列{an}为:0,- 3 , 3 ,0,- 3 , 3 ,0?.不难发现循环规律,即 a1=a4= a7=?=a3m-2=0; a2=a5=a8=?=a3m-1=- 3 ; a3=a6=a9=?=a3m= 3 . 所以 a20=a2=- 3 . 二、填空题

1 1 6. ; 7.85 2 4 三、解答题
11.(1) a1 ?

8.512 9.

3 2 3 n - n+2 2 2

10.2[1-(

1 n )] 3

3 3 3 . , a2 ? ? , a3 ? 4 16 64 3 ; 4
27

(2)当 n=1 时,由题意得 a1=5S1-3,所以 a1= 当 n≥2 时,因为 an=5Sn-3,

所以 an-1=5Sn-1-3; 两式相减得 an-an-1=5(Sn-Sn-1)=5an, 即 4an=-an-1. 由 a1=

3 ≠0,得 an≠0. 4

a 1 所以 a n ? ? (n≥2,n∈N*). n?1 4
由等比数列定义知数列{an}是首项 a1= 所以 an ?

3 1 ,公比 q=- 的等比数列. 4 4

3 1 ? (? ) n?1. 4 4

3 1 (1 ? n ) 16 ? 4 (1 ? 1 ) . (3)a1+a3+?+a2n-1= 4 1 5 16n 1? 16
2 12.由 a 2 n ?1 ?f(an)=2,得 a n ?1 ?

2 ? 2, 2 an ?4

2 * 化简得 a 2 n ?1 -a n =4(n∈N ).

由等差数列定义知数列{a 2 n }是首项 a 1 =1,公差 d=4 的等差数列. 所以 a 2 n =1+(n-1)?4=4n-3. 由 f(x)的定义域 x>0 且 f(an)有意义,得 an>0. 所以 an= 4n ? 3 .
1 ? S12 ? 12a1 ? ? 12 ? 11d ? 0 ? ?2a1 ? 11d ? 0 ? 2 ?? 13.(1) ? , ?S ? 13a ? 1 ? 13 ? 12d ? 0 ?a1 ? 6d ? 0 13 1 ? 2 ?

2

又 a3=a1+2d=12 ? a1=12-2d,

24 ?24 ? 7d ? 0 ∴? ,故 ? <d<-3. 7 ?3 ? d ? 0
(2)由(1)知:d<0,所以 a1>a2>a3>?>a13.

13 (a1+a13)=13a7<0, 2 ∴a7<0,且 a6>0,故 S6 为最大的一个值.
∵S12=6(a1+a12)=6(a6+a7)>0,S13= 14.(1)设第 n 分钟后第 1 次相遇,依题意有 2n+

n(n ? 1) +5n=70, 2 整理得 n2+13n-140=0.解得 n=7,n=-20(舍去). ∴第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟.

n(n ? 1) +5n=3?70, 2 整理得 n2+13n-420=0.解得 n=15,n=-28(舍去). ∴第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟. 15.(1)a1=3,a2=1,a3=2,a4=1,a5=1,a6=0,a7=1,a8=1,a9=0,a10=1.(答案不唯一) (2)因为在绝对差数列{an}中,a1=3,a2=0,所以该数列是 a1=3,a2=0,a3=3,a4=3,a5=0,a6=3,a7=3,
(2)设第 n 分钟后第 2 次相遇,依题意有 2n+
28

a8=0,?. 即自第 1 项开始,每三个相邻的项周期地取值 3,0,3,

?a3 n ?1 ? 3, ? 所以 ?a3 n ? 2 ? 3, (n=0,1,2,3,?). ?a ? 3 n ?3 ? 0,
(3)证明:根据定义,数列{an}必在有限项后出现零项,证明如下: 假设{an}中没有零项,由于 an=|an-1-an-2|,所以对于任意的 n,都有 an≥1,从而 当 an-1>an-2 时,an=an-1-an-2≤an-1-1(n≥3); 当 an-1<an-2 时,an=an-2-an-1≤an-2-1(n≥3); 即 an 的值要么比 an-1 至少小 1,要么比 an-2 至少小 1. 令 cn= ?

?a2 n?1 ( a2 n?1 ? a2 n ), (n=1,2,3,?). ?a2 n ( a2 n?1 ? a2 n ),

则 0<cn≤cn-1-1(n=2,3,4,?). 由于 c1 是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项 cn<0, 这与 cn>0(n=1,2,3,?)矛盾,从而{an}必有零项. 若第一次出现的零项为第 n 项,记 an-1=A(A≠0),则自第 n 项开始,每三个相邻的项周期地取值 0,A,A, 即

?an?3k ? 0, ? ?an?3k ?1 ? A, (k=0,1,2,3,?). ?a ? n?3k ? 2 ? A,
所以绝对差数列{an}中有无穷多个为零的项.

测试八
一、选择题 1.B 2.A 二、填空题 6.3?2n 提示:
-3

数列全章综合练习

3.A

4.D

5.C

7.180

8.an= ?

(n ? 1) ?? 1, ?2n ? 4, (n ? 2)

9.

6 7

10.an=

1 (n∈N*) n

2 10.由(n+1)a 2 n ?1 -na n +an+1an=0,得[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0,
n ?1 ? 因为 an>0,所以(n+1)an+1-nan=0,即 a , n n ?1 a a a 1 2 n ?1 1 所以 an ? a2 ? a3 ??? a n ? ? ??? ? . 1 2 n?1 2 3 n n

a

n

三、解答题 11.S13=156. 12.(1)∵点(an,an+1+1)在函数 f(x)=2x+1 的图象上, ∴an+1+1=2an+1,即 an+1=2an. ∵a1=1,∴an≠0,∴

an?1 =2, an

∴{an}是公比 q=2 的等比数列, - ∴an=2n 1.
29

(2)Sn=

1 ? (1 ? 2 n ) ? 2n ? 1 . 1? 2

(3)∵cn=Sn=2n-1, ∴Tn=c1+c2+c3+?+cn=(2-1)+(22-1)+?+(2n-1) =(2+22+?+2n)-n=

2 ? (1 ? 2 n ) ? n =2n+1-n-2. 1? 2

13.当 n=1 时,由题意得 S1=3a1+2,所以 a1=-1; 当 n≥2 时,因为 Sn=3an+2, 所以 Sn-1=3an-1+2; 两式相减得 an=3an-3an-1, 即 2an=3an-1. 由 a1=-1≠0,得 an≠0. 所以 a n ?
n ?1

a

3 (n≥2,n∈N*). 2 3 的等比数列. 2

由等比数列定义知数列{an}是首项 a1=-1,公比 q= 所以 an=-(

3 n-1 ) . 2

14.(1)设第 n 年所需费用为 an(单位万元),则 a1=12,a2=16,a3=20,a4=24. (2)设捕捞 n 年后,总利润为 y 万元,则 y=50n-[12n+

n(n ? 1) ?4]-98=-2n2+40n-98. 2

由题意得 y>0,∴2n2-40n+98<0,∴10- 51 <n<10+ 51 . ∵n∈N*,∴3≤n≤17,即捕捞 3 年后开始盈利. (3)∵y=-2n2+40n-98=-2(n-10)2+102, ∴当 n=10 时,y 最大=102. 即经过 10 年捕捞盈利额最大,共盈利 102+8=110(万元). 15.(1)由 an=f(-
1 a n ?1

),得

1 1 ? 2 ? 4 (an+1>0), 2 an?1 an

∴{

1 1 1 }为等差数列,∴ 2 = 2 +(n-1)?4. 2 a1 an an
1 4n ? 3

∵a1=1,∴an=

(n∈N*).

2 2 2 (2)由 bn ? an ?1 ? an?2 ? ? ? a2n?1 ?

1 1 1 , ? ? ?? 4n ? 1 4n ? 5 8n ? 1

得 bn-bn+1=

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?( ? )?( ? ) 4n ? 1 8n ? 5 8n ? 9 8n ? 2 8n ? 5 8n ? 2 8n ? 9

?

3 7 ? (8n ? 2)(8n ? 5) (8n ? 2)(8n ? 9)

∵n∈N*,∴bn-bn+1>0, ∴bn>bn+1(n∈N*),∴{bn}是递减数列.
30

∴bn 的最大值为 b1 ? a 2 ? a3 ?
2 2

14 . 45 m 成立, 25

若存在最小正整数 m,使对任意 n∈N*有 bn< 只要使 b1=

70 14 m ? 即可,∴m> . 45 25 9 m ∴对任意 n∈N*使 bn< 成立的最小正整数 m=8. 25
16.(1)解:设不动点的坐标为 P0(x0,y0),
?x ? 0 由题意,得 ? ? ?y ? 0 ?

? ? x0 ? 1 ? 1 y0 2

,解得 x0 ?

1 ,y0=0, 2

所以此映射 f 下不动点为 P0(

1 ,0). 2

? xn?1 ? ? xn ? 1 ? (2)证明:由 Pn+1=f(Pn),得 ? , 1 yn?1 ? yn ? 2 ?
所以 xn+1-

1 1 1 =-(xn- ),yn+1= yn. 2 2 2

因为 x1=2,y1=2, 所以 xn-

1 ≠0,yn≠0, 2

1 2 ? ?1, yn?1 ? 1 . 所以 yn 1 2 xn ? 2 xn?1 ?
由等比数列定义,得数列{xn- 首项为 x1-

1 }(n∈N*)是公比为-1, 2

1 3 = 的等比数列, 2 2 1 3 1 3 - - 所以 xn- = ?(-1)n 1,则 xn= +(-1)n 1? . 2 2 2 2 1 - 同理 yn=2?( )n 1. 2 1 3 1 - - 所以 Pn( +(-1)n 1? ,2?( )n 1). 2 2 2
设 A(

1 3 2 1 n?1 2 ,1),则|APn|= ( ) ? [1 ? 2 ? ( ) ] . 2 2 2

1 n-1 ) ≤2, 2 1 - 所以-1≤1-2?( )n 1<1, 2
因为 0<2?( 所以|APn|≤ ( ) ? 1 <2.
2

3 2

31

故所有的点 Pn(n∈N*)都在以 A(

1 ,1)为圆心,2 为半径的圆内,即点 Pn(xn,yn)存在一个半径为 2 的收敛圆. 2

第三章
测试九
一、选择题 1.A 2.D 提示: 3.A 4.B 5.C

不等式

不等式的概念与性质

3.∵a>2,b>2,∴

a?b 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 1 .∵ab>0,∴ab>a+b.故选 A. ab b a 2 2

5.∵1<x<10,∴0<lgx<1,∴lg(lgx)<0. 又 lg2x-lgx2=lgx(lgx-2)<0,∴lg2x<lgx2.故选 C. 二、填空题 6.>;<;= 7.a<ab2<ab 8.a-b∈(27,56),

9.① ? ④;④ ? ①;② ? ①;② ? ④(注:答案不唯一,结论必须是上述四个中的两个) 10.P<Q 提示: 8.由 60<a<84,28<b<33 ? -33<-b<-28, 则 27<a-b<56,

a 20 ∈( ,3) 11 b

1 1 1 ? ? , 33 b 28

20 a ? ? 3. 11 b 3 1 3 10.∵(a+ )2-(a+1)(a+2)= >0,且 a+ >0,(a+1)(a+2)>0, 2 4 2 3 ∴a+ > (a ?1)(a ? 2) ,又∵0<b<1,∴P<Q. 2
三、解答题 11.略解: ∵

b b?m ? .证明如下: a a?m

b b ? m b(a ? m) ? a (b ? m) m(b ? a ) ? ? ? , a a?m a ( a ? m) a ( a ? m)

又 a>b>0,m>0,∴b-a<0,a(a+m)>0,

b b?m . ? a a?m 12.证明:因为

p?q ? a 2 b?2 a 3 ? b 3 ? a 2b ? ab2 (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? ab(a ? b) ? a ?a?b ? ? b ab ab

?

(a ? b)(a ? b) 2 ? 0 ,∴p>q. ab

13.证明:∵(a3-a+1)-(a2-a+1)=a2(a-1), ∴当 a>1 时,(a3-a+1)>(a2-a+1),又函数 y=logax 单调递增,∴M>N; 当 0<a<1 时,(a3-a+1)<(a2-a+1),又函数 y=logax 单调递减,∴M>N. 综上,当 a>0,且 a≠1 时,均有 M>N. 14.略解:设等比数列{an}的公比是 q,等差数列{bn}的公差是 d. 由 a3=b3 及 a1=b1>0,得 a1q2=b1+2d ? q2=1+ 由 a1≠a3 ? q2≠1,从而 d≠0.
32

2d ; a1

∴a5-b5=a1q4-(b1+4d)=(b1+2d)(1+ ∴a5>b5.

2d 4d 2 )-b1-4d= >0. a1 a1

测试十
一、选择题 1.C 2.B 3.D 4.B 5.A 提示: 5.∵正数 a,b,c,d 满足 a+b=cd=4, ∴ab≤

均值不等式

1 (a+b)2=4,c+d≥2 cd =4, 4

∴等号当且仅当 a=b=2,c=d=2 时取到, ∴ab≤c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一. 二、填空题 6.6;3 7.2;1 8.-5 9.3 10.[-3,1] 提示: 8. a ?

16 16 ? ?(3 ? a ? ) ? 3 ? ?2 16 ? 3 ? ?5 . a ?3 3? a

16 16 ,即 a=-1 时, a ? 取得最大值-5. 3?a a ?3 9.函数 f(x)=2log2(x+2)-log2x 的定义域是(0,+∞),
当且仅当 3-a= 且 f(x)=2log2(x+2)-log2x= log2
( x ? 2) 2 4 ? log2 ( x ? ? 4) ≥log28=3, x x

当且仅当 x=2 时,f(x)取得最小值 3. 10.由 a,b,c 成等比数列,得 b2=ac. ∴(3-b)2=(a+c)2=a2+c2+2ac≥4ac=4b2,整理得 b2+2b-3≤0, 解得 b∈[-3,1]. 三、解答题 11.略解:

a?d ? bc .证明如下: 2
ad ?

∵四个互不相等的正数 a,b,c,d 成等比数列,∴ad=bc.

a?d . 2 a?d ? bc . 又 a≠d,∴ 2
∴ bc ?

1 t ?1 t ?1 12.略解:比较 loga t 与 loga 的大小,也就是 loga t 与 loga 的大小. 2 2 2


t ?1 1 t ?1 ; ? t ,从而,当 t=1 时, loga t ? loga 2 2 2

1 t ?1 1 t ?1 当 t≠1,0<a<1 时, loga t ? loga ;a>1 时, loga t ? loga . 2 2 2 2
13.略解:∵ ( x ? y ) 2 ? x ? y ? 2 xy ? 1 ? 2 xy ? 1 ? x ? y ? 2 . 当且仅当 x=y= ∵不等式 x ?

1 时,等号成立,从而 x ? y 的最大值为 2 . 2

y ? a 恒成立,∴a≥ 2 ,
33

即 a 的取值范围是[ 2 ,+∞). 14.略解: (1)用函数单调性的定义可证明:当 x∈(0, a ]时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当 x ∈[ a ,+∞]时,f(x)在(0,+∞)上单调递增.证明略. (2)由(1)得,当 a ≥2 时,f(x)在(0,2]上单调递减,f(x)在(0,2]上的最小值为 f(2); 当 a <2 时,f(x)在(0, a ]上单调递减,在[ a ,2]上单调递增,从而 f(x)在(0,2]上的最小值为 f( a ).

a ? ?2 ? , a ? 4, ∴g(a)= ? 2 ?2 a ,0 ? a ? 4. ?
测试十一
一、选择题 1.A 2.D 3.C 4.A 5.B 提示: 5.①当 p=0 时,y=-1,适合题意; ②当 p≠0 时,y=px2-px-1 为二次函数, 依题意有 ?

一元二次不等式及其解法

?p ? 0 ?p ? 0 ?? ? ?4 ? p ? 0 . 2 ?? ? 0 ?(? p) ? 4 p ? 0

综合①,②知 B 正确. 二、填空题 6.{x|-4<x<3 } 7. {x | ?

5 1 ? x ? }. 2 3

8.{x|- 2 <x< 2 ,且 x≠0 }

9.{x|-1<x<0,或 3<x<4 } 提示: 10.x2-(a+

10.a∈(-∞,-1)∪(0,1)

1 1 )x+1<0 ? (x-a)(x- )<0. a a 1 ∵该集合为非空集合,∴a< . a
即① ?

?a ? 0,
2 ?a ? 1,

或② ?

?a ? 0,
2 ? a ? 1.

解①得 0<a<1;解②得 a<-1. 综合①,②得 a<-1,或 0<a<1. 三、解答题 11.略解:原不等式 ? (x+a)(x-3a)<0. 分三种情况讨论: ①当 a<0 时,解集为{x|3a<x<-a}; ②当 a=0 时,原不等式 ? x2<0,显然解集为 ? ; ③当 a>0 时,解集为{x|-a<x<3a}. 12.略解:由 3x-4y+k=0 得 y ?

3 k x ? ,代入 x2+y2-2x=0, 4 4
34



25 2 3k k2 x ? ( ? 2) x ? ?0, 16 16 8

即 25x2+(6k-32)x+k2=0, 令 ? =(6k-32)2-4?25?k2>0,解得-8<k<2. 13.略解:A={x|-2<x<3},B={x|x<-4 或 x>2}. 当 a>0 时,C={x|a<x<3a},当 a=0 时,C= ? ,当 a<0 时,C={x|3a<x<a}.
? a ? 0, ? (1)A∩B={x|2<x<3},欲使 A∩B ? C,则 ?a ? 2, 解得 1≤a≤2; ?3a ? 3. ?

(2)( UA)∩( UB)={x=|-4≤x≤-2},
?a ? 0, ? 欲使( UA)∩( UB) ? C,则 ?3a ? ?4, ? a ? ?2 . ?

解得-2<a<-

4 . 3 1 ; 2

14.略解:①当 a=0 时,原不等式 ? x> ②当 a>0 时,由于 ? =4-4a,所以 (1)当 0<a<1 时,原不等式 ?

1? 1? a 1? 1? a ; ?x? a a

(2)当 a≥1 时,原不等式解集为 ? . ③当 a<0 时,由于 ? =4-4a>0,所以 原不等式 ? x ?

1? 1? a 1? 1? a ,或 x ? . a a

测试十二

不等式的实际应用

一、选择题 1.A 2.C 3.C 4.A 提示: 2.依题意,有(300-2x)x-(500+30x)≥8600,化简整理为 x2-135x+4550≤0, 解得 65≤x≤70. 3.设产销量为每年 x(万瓶),则销售收入为 70x(万元),从中征收附加税为 70x? 意得 70(100-10r)?

r (万元),且 x=100-10r,依题 100

r ≥112,得 r2-10r+16≤0,解得 2≤r≤8. 100
k4 ? 4 5 ? (1 ? k 2 ) ? ? 2. 2 1? k 1? k2

4.方法-:(1+k2)x≤k4+4 ? x ? 设 f (k ) ? (1 ? k 2 ) ?

5 ?2? 2 5 ?2. 1? k2

从而,f(k)的最小值是 2 5 ? 2 . 这说明只要不大于 2 5 ? 2 的实数 x 必是不等式 x≤f(k)的解. 由于 2< 2 5 ? 2 ,0< 2 5 ? 2 ,从而选 A.
35

方法二:将 x=0,x=2 分别代入不等式进行检验即可. 二、填空题 5.81cm2 提示:
? x ? 2, ? x ? 2, 7.∵x|x-2|<3 ? ? 2 或? 2 ? 2≤x<3 或 x<2, ? x ? 2 x ? 3 ? 0, ? x ? 2 x ? 3 ? 0,

6.(-4,4)

7.{x|x<3 }

8.[0,1]

∴不等式 f(x)<3 的解集为{x|x<3}. 8.在同一坐标系中,画出函数 y1=|x+1|和 y2=kx 的图象进行研究. 三、解答题 9.略解:设直角三角形的两直角边分别为 x,y,则 x+y+ x 2 ? y 2 =2. ∴ 2 xy ? 2xy ? 2, (2 ? 2 ) xy ? 2 ,∴ xy ? ∴xy≤6-4 2 ,∴S=
2 2? 2 ? 2? 2 .

1 xy≤3-2 2 ,此时三角形为等腰直角三角形. 2

10.略解:由题意:对甲 0.1x+0.01x2>12,得 x<-40(舍),或 x>30. 对乙来说 0.05x+0.005x2>10,解得 x<-50(舍),或 x>40. 即 x 甲>30km/h,x 乙>40km/h,∴乙车超过路段限速,应负主要责任 11.略解:-x2+2x+a>0 恒成立 ? a>x2-2x 在区间[-1,3]上恒成立. 由于 x2-2x 在区间[-1,3]上的最大值是 3,从而 a>3. 12.略解:设版面横向长为 xcm,则纵向长为 ∴纸张的面积 S=(x+8)(

2400 2400 cm,那么纸张横向长为(x+8)cm,纵向长为( +12)cm. x x

8 ? 2400 2400 +12)=2496+ +12x. x x

∵x>0,

8 ? 2400 8 ? 2400 ? 12x =3456(cm2). >0,12x>0.∴S≥2496+2 x x

2400 8 ? 2400 =12x,即 x=40(cm), =60(cm). x x ∴纸张的宽为 40+8=48(cm),长为 60+12=72(cm)时,纸的用量最小.
当且仅当

测试十三
一、选择题 1.D 2.B 提示: 3.A 4.A

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
5.C

? x, y ? N , ? x ? 3, ? 5.设软件买 x 片,磁盘少买 y 盒,则约束条件为 ? ? y ? 2, ? ?60x ? 70 y ? 500.

在可行域内的解为(3,2)、(4,2)、(5,2)、(6,2)、(3,3)、(4,3)、(3,4),共有 7 个. 二、填空题 6.四 7.(-2,3) 8.[-3,1] 9.[0,+∞) 10.2 提示: 10.分类讨论去掉绝对值符号,可得曲线围成的图形是边长为 2 的正方形. 三、解答题
36

11.略.
?35x ? 24 y ? 106, 12.略解:设购买 35kg 的 x 袋,24kg 的 y 袋,则 ? ? x ? N, y ? N.

共花费 z=140x+120y.画出可行域,做出目标函数 z=140x+120y 对应的一组平行线,观察在点(1,3)处,z 取 得最小值 500,即最少需要花费 500 元. 13.略解:设第一种应装 x 袋,第二种应装 y 袋,则所获利润 z=0.5x+0.9y.
?0.25x ? 0.5 y ? 75 ? x ? 2 y ? 300 ? ? x,y 应满足约束条件 ?0.75x ? 0.5 y ? 120 ? ?3x ? 2 y ? 480 ? x, y ? N ? x, y ? N ? ?

直线 x+2y=300 与 3x+2y=480 的交点 M(90,105), z=0.5x+0.9y 在 M 点取最大值,此时 z=0.5?90+0.9?105=139.5. ∴第一种装法应装 90 袋,第二种装法应装 105 袋,可使利润最大,最大利润是 139.5 元. 14.略解:设甲库运往 A 镇 x 吨大米,乙库运往 A 镇 y 吨大米,易知 x,y 应满足约束条件
? x ? y ? 70, ? ?(100 ? x) ? (80 ? y ) ? 110, ? x ? 0, y ? 0. ?

目标函数是 z=20?12?x+25?10(100-x)+15?12?y+20?8(80-y)=37800-10x+20y. 易知目标函数在(0,70)处取最大值,(70,0)处取最小值. (1)甲库运往 A 镇 70 吨、运往 B 镇 30 吨,乙库大米全部运往 B 镇,总运费最小,为 37100 元. (2)甲库全部运往 B 镇,乙库运 10 吨给 B 镇,70 吨给 A 镇,总运费最多,为 39200 元.造成不该有的损失 2100 元.

测试十四
一、选择题 1.C 2.B 二、填空题 3.C 4.D 5.D

不等式全章综合练习

1 3 1 6.(-2,4), ( , ) 7.-1 8. 9.-1≤a≤0 4 2 16 三、解答题 11.解:由|x-1|<6,得-6<x-1<6,解得-5<x<7.


10.(-∞,10]

1 x ?8 >0,得(x-8)(2x-1)>0,解得 x>8,或 x< . 2x ? 1 2 1 1 } ={x|-5<x< } . 2 2

(1)A∩B={x|-5<x<7 } ∩{x|x>8,或 x< (2)∵ UA={x|x≤-5,或 x≥7 } ,

∴( UA)∪B={x|x≤-5,或 x≥7 } ∪{x|x>8,或 x<

1 1 } ={x|x≥7,或 x< } . 2 2

12.解:设此工厂每日需甲种原料 x 吨,乙种原料 y 吨,则可得产品 z=90x+100y(千克).

37

?1000x ? 1500y ? 6000, ?2 x ? 3 y ? 12, ? ? 由题意,得 ?500x ? 400y ? 2000, ? ?5 x ? 4 y ? 20, ? x ? 0, y ? 0. ? x ? 0, y ? 0. ? ?

上述不等式组表示的平面区域如右图所示,

阴影部分(含边界)即为可行域. 作直线 l:90x+100y=0,并作平行于直线 l 的一组直线与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的 M 点, 且与直线 l 的距离最大,此时目标函数达到最大值.这里 M 点是直线 2x+3y=12 和 5x+4y=20 的交点,容易 解得 M (

12 20 , ), 7 7 12 20 ? 100 ? ? 440 . 7 7
12 20 吨,乙原料 吨时,每日最多可生产 440 千克产品. 7 7

此时 z 取到最大值 90 ? 答:当每天提供甲原料 13.(1)由于 3?4 与

4 均不属于数集{1,3,4},∴该数集不具有性质 P. 3

6 6 1 2 3 6 由于 1?2,1?3,1?6,2?3, , , , , , 都属于数集{1,2,3,6}, 2 3 1 2 3 6 ∴该数集具有性质 P. a (2)∵A={a1,a2,?,an}具有性质 P,∴anan 与 an 中至少有一个属于 A. n
由于 1≤a1<a2<?<an,∴anan>an,故 anan ? A. a 从而 1= an ∈A,∴a1=1. n ∵1=a1<a2<?<an,∴akan>an,故 akan ? A(k=2,3,?,n). 由 A 具有性质 P 可知 an ∈A(k=1,2,3,?,n). k

a

a a a a 又∵ an ? a n ? ? ? an ? an , n n?1 2 1 a a a a ∴ an ? 1, a n ? a2 ,?, an ? an??1 , an ? an . n n?1 2 1 a a a a 从而 an ? a n ? ? ? an ? an ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an , n n?1 2 1

a1 ? a 2 ? ? ? an ? an . ?1? a ?1??? a ?1 a1 2 n

测试十五
一、选择题 1.D 2.C 提示: 3.A 4.B 5.A

数学必修 5 模块自我检测题
6.C 7.D 8.C

38

20(a1 ? a20 ) =340,∴a1+a20=34. 2 ∴a6+a9+a11+a16=(a6+a16)+(a9+a11)=2a11+2a10=2(a10+a11)=2(a1+a20)=68. 7.∵正数 x、y 满足 x+y=4,
6.∵S20= ∴xy≤(

x? y 2 ) =4 (当 x=y 时取等号). 2

∴ log2x+log2y=log2(xy)≤log24=2. 即 log2x+log2y 的最大值是 2. 8.根据余弦定理得 AB2=AP2+BP2-2AP?BP?cos60°. 解得 AB=0.07(km). 从而汽车从 A 地到 B 地的车速为 二、填空题 9.{x|-1<x<2} 13. 10. ?

0.07 ?3600=84(km/h). 3
12.

1 2

11.4

3 15 10

7 ,9 2

14.

1 1 ,j?( )i 2 2

提示: 14.设第一行的等差数列的公差为 d,则有
? 1 ( ? 3d )q ? 1, ? a ? q ? a , ? 24 ? 2 ? 14 即 ? ? 2 ? ?a12 ? q ? a32 , ?( 1 ? d )q 2 ? 1 ? ? 4 ? 2

1 1 7 或 d=- (舍去).从而 q= . 2 18 2 1 1 1 1 - - ∴aij=a1j?qi 1=[a11+(j-1)d]?qi 1= [ ? ( j ? 1)] ? ( )i?1 ? j ? ( )i . 2 2 2 2 三、解答题 15.解:(1)当 a=5 时,f(x)=x2+5x+6. f(x)<0 ? x2+5x+6<0 ? (x+2)(x+3)<0 ? -3<x<-2.
解得 d= (2)若不等式 f(x)>0 的解集为 R,则 a2-4?6<0 ? ?2 6 ? a ? 2 6 , 即实数 a 的取值范围是 (?2 6,2 6 ) . 16.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 a1+d=5,a1+4d=14,解得 a1=2,d=3. 所以数列{an}的通项为 an=a1+(n-1)d=3n-1. (2)数列{an}的前 n 项和 Sn= 由

n(a1 ? an ) 3 2 1 ? n ? n. 2 2 2

3 2 1 n ? n ? 155 ,化简得 3n2+n-310=0, 2 2

即(3n+31)(n-10)=0,所以 n=10. 17.证明:(1)根据正弦定理得

cos A sin B , ? cos B sin A 整理为 sinAcosA=sinBcosB,即 sin2A=sin2B. ∵0<2A,2B<π ,∴2A=2B,或 2A+2B=π .


π b 4 ? ,∴A+B= ,即∠C=90° a 3 2
39

(2)因为△ABC 是以角 C 为直角的直角三角形,且 c=10,易求得 a=6,b=8.

∴△ABC 的面积 S=

1 ab=24. 2

18.略解:设每天生产甲种产品 x 吨,乙种产品 y 吨,

?7 x ? 3 y ? 56, ? 则 ?2 x ? 5 y ? 45, 目标函数 z=8x+11y,作出线性约束条件所表示的平面区域, ? x ? 0, y ? 0. ?
可求得鲞 x=5,y=7 时,z 取最大值 117 万元. 所以,每天生产甲种产品 5 吨,乙种产品 7 吨,日产值到达最大值 117 万元. 19.略解:(1) sin2
1?

B?C A 1 ? cos A ? cos 2 A ? cos2 ? 2 cos2 A ? 1 ? ? 2 cos2 A ? 1 2 2 2

?

1 3 ? 2 ? 1 ?1 ? ? 1 . 2 9 9
b2 ? c2 ? a2 1 ? , 2bc 3

(2)∵cosA=

9 2 ∴ bc ? b 2 ? c 2 ? 3 ? 2bc ? 3 ,整理得 bc≤ . 3 4
当且仅当 b=c=

3 9 时,bc 取得最大值 . 2 4

?a ? S n , 20.(1)解:依题意得 ? n?1 两式相减得: ?an ? S n?1 , (n ? 2,3,4, ?)

an ?1 an+1-an=an,即 a ? 2 (n=2,3,4,?). n
∴a2,a3,a4,?构成首项为 a2,公比为 2 的等比数列. - ∵a2=S1=a1=5,∴an=5?2n 2(n≥2). ∴ an ? ?

?5,
n?2 ?5 ? 2 .

(n ? 1) (n ? 2,3,4, ?)

(2)证明:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ??? 2 a1 a 2 a3 an 5 5 5 ? 2 5 ? 2 5 ? 2 n?2

1 1 1 1 1 1 1 ? ? (1 ? ? ? ? ? n?2 ) ? ? ? 5 5 2 4 5 5 2

1 1 ? ( ) n?1 2 1 1? 2

?

1 2 1 1 2 3 ? [1 ? ( ) n?1 ] ? ? ? . 5 5 2 5 5 5

40

单元测试一

解三角形
)

一、选择题 1.在△ABC 中,若 AC=3,A=30°,B=45°,则 BC 等于( (A) 6 (B)

3 6 3 2 (C) 3 2 (D) 2 2 2.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=3,b=4,c=6,则 cosB 等于(
(A)

)

43 48

(B) ?

11 24

(C) )

29 36

(D)

11 48

3.在△ABC 中,若

cos A b ? ,则△ABC 是( cos B a

(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等边三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 4.在等腰锐角△ABC 中,a=3,c=2,则 cosA 等于( ) (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4
)

5.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a、b、c,A= (A)1 (B)2 (C) 3 -1

π , a ? 3 ,b=1,则 c 等于( 3
(D) 3

二、填空题 6.在△ABC 中,若 a2+ab=c2-b2,则角 C=________.

AC 的值等于________. cos A 8.已知△ABC 的顶点 A(1,1),B(-1,3),C(3,0),则 cosB=________.
7.在锐角△ABC 中,BC=1,B=2A,则 9.在△ABC 中,∠A=60°,AC=16,△ABC 的面积 S=220 3 ,则 BC=________. 10.若三角形的三边之比为 3∶5∶7,则其最大角等于________. 三、解答题 11.在△ABC 中,a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边,设 a=4,c=3,cosB= (1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积.

1 . 8

12.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a= 5 ,b=3,sinC=2sinA. (1)求 c 的值; (2)求 sinA 的值.

13.在△ABC 中,cosA= ?

3 5 ,cosB= ,BC=5,求△ABC 的面积. 5 13

41

14.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos

A 2 5 ? 5 , AB ? AC =3,c=1,求 a 的值. 2

42

单元测试二

数列

一、选择题 1.在等差数列{an}中,若 a2=3,a6=11,则 a4 等于( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)9 2.在正项等比数列{an}中,若 a4a5=6,则 a1a2a7a8 等于( ) (A)6 (B)12 (C)24 (D)36 3.等差数列{an}的公差不为零,首项 a1=1,a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列{an}的公差等于( ) (A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2 4.若数列{an}是公比为 4 的等比数列,且 a1=2,则数列{log2an}是( ) (A)公差为 2 的等差数列 (B)公差为 lg2 的等差数列 (C)公比为 2 的等比数列 (D)公比为 lg2 的等比数列 5.等比数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 S4=2,S8=6,则 S12 等于( ) (A)8 (B)10 (C)12 (D)14 6. {an}为等差数列, a1+a3+a5=105, a2+a4+a6=99, 用 Sn 表示{an}的前 n 项和, 则使得 Sn 达到最大值的 n 是( ) (A)21 (B)20 (C)19 (D)18 * 7.如果数列{an}(an∈R)对任意 m,n∈N 满足 am+n=am?an,且 a3=8,那么 a10 等于( ) (A)1024 (B)512 (C)510 (D)256 8. 设 f(n)为正整数 n(十进制)的各数位上的数字的平方之和, 例如 f(123)=12+22+32=14. 记 a1=f(2009), ak+1=f(ak), k=1,2,3,?则 a2009 等于( ) (A)85 (B)16 (C)145 (D)58 二、填空题 9.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6=________. 10.在等差数列{an}中,a2,a11 是方程 x2-3x-5=0 的两根,则 a5+a8=________. S 1 11.设等比数列{an}的公比 q ? ,前 n 项和为 Sn,则 a4 =________. 4 2 * 12.若数列{an}满足:a1=1,an+1=2an(n∈N ),则 a5=______;前 8 项的和 S8=______.(用数字作答) 13.设{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn=an+1(n=1,2,?),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23, 19,37,82}中,则 6q=________. 14.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S6=4S3,则 a4=________. 三、解答题 15.在等差数列{an}中,a3a7=-16,a4+a6=0,求{an}前 n 项和 Sn.

16.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn.

17.已知三个数成等差数列,它们的和为 30,如果第一个数减去 5,第二个数减去 4,第三个数不变,则所得三个 数组成等比数列,求这三个数.

18.已知函数 f(x)=a1x+a2x2+a3x3+?+anxn(x∈R,n∈N*),且对一切正整数 n 都有 f(1)=n2 成立. (1)求数列{an}的通项 an;
43

(2)求

1 1 1 ? ??? . a1a2 a2 a3 an an?1

19.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.

44

单元测试三
一、选择题 1.设 S={x|2x+1>0},T={x|3x-5<0},则集合 S∩T 等于( (A) ? (B) { x|x<-

不等式
) (D) {x | ? ) (D)|a|>|b|

1 } 2

(C) { x|x>

5 } 3

1 5 ?x? } 2 3

2.若 a,b 是任意实数,且 a>b,则下列不等式中一定正确的是( (A)a2>b2 3.不等式 (B)

b ?1 a
)

(C)2a>2b

x?2 ? 0 的解集是( x ?1 (A)(-∞,-1)∪(-1,2) (C)(-∞,-1)∪[2,+∞]

(B)[-1,2] (D)(-1,2] ) (D)15 )

4.设 x,y 为正数,则(x+y)( (A)6

1 4 ? )的最小值为( x y
(C)12

(B)9

5.若 f(x)是定义在 R 上的减函数,则满足 f(

1 )>f(1)的实数 x 的取值范围是( x

(A)(-∞,1) (B)(1,+∞) (C)(-∞,0)∪(0,1) (D)(-∞,0)∪(1,+∞) 2 4 6.若关于 x 的不等式(1+k )x≤k +4 的解集是 M,则对任意实常数 k,总有( ) (A)2∈M,0∈M (B)2 ? M,0 ? M (C)2∈M,0 ? M (D)2 ? M,0∈M. 二、填空题 7.已知集合 A={x|x<a},B={x|1<x<2},且 A∪( RB)=R,则实数 a 的取值范围是________. 8.若实数 a 满足 a2+a<0,那么 a,a2,-a,-a2 由小到大的顺序是________. 9.函数 f(x)=

x?2 lg 4 ? x 的定义域是________. x?3

? x ? y ? 2 ? 0, ? 10.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 0, 则 z=2x+4y 的最大值为________. ? x ? 1. ?
11.已知正实数 a,b 满足 a+4b=8,那么 ab 的最大值是________. 12.如果方程(x-1)(x2-2x+m)=0 的三个根可以作为一个三角形的三条边长,那么实数 m 的取值范围是________. 三、解答题 13.已知一元二次不等式 x2-ax-b<0 的解集是{x|1<x<3}, (1)求实数 a,b 的值; (2)解不等式

2x ? a >1 . x?b

14.设 a∈R,且 a≠-1,试比较 1-a 与

1 的大小. 1? a

45

15.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项 目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%(盈利率=
盈利额 投资额

?100%),可能的最大亏

损率分别为 30%和 10%(亏损率=

亏损额 投资额

?100%),投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资

金亏损不超过 1.8 万元.问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元,才能使可能的盈利最大?

16.已知函数 f(x)=

x2 ? 2x ? a ,其中 x∈[1,+∞ ) . x

(1)当 a>0 时,求函数 f(x)的最小值 g(a); (2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

46

数学必修 5 模块检测题
一、选择题 1.在等比数列{an}中,若 a1=2,a3=4,则 a7 等于( ) (A)8 (B)16 (C)32 (D)64 2.设 a,b,c,d∈R,且 a>b,c>d,则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a+c>b+d (B)a-c>b-d (C)ac>bd (D)

a b ? d c

3.已知函数 y=-x2+x,那么使 y<-2 成立时 x 的取值范围是( ) (A)(-1,2) (B)(-∞,-1)∪(2,+∞) (C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞) 4.在数列{an}中,a1=4,an+1=2an-1(n=1,2,3,?),则 a4 等于( ) (A)7 (B)13 (C)25 (D)49 5.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 满足 A<B<C(C≠

π ),则下列不等式一定成立的是( 2

)

(A)sinA<sinC (B)cosA<cosC (C)tanA<tanC (D)tanA>tanC 6.若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数列有( (A)10 项 (B)11 项 (C)12 项 (D)13 项
? x ? y ? 5 ? 0, ? 7.若不等式组 ? y ? a, 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是( ?0 ? x ? 2 ?

)

)

(A)a<5 (C)5≤a<7 8.若不等式(-1)na<2+

(B)a≥7 (D)a<5,或 a≥7

(?1) n?1 n 对于任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是(

)

3 (A) [?2, ) 2

3 (B) (?2, ) 2

3 3 (C) [?3, ) (D) (?3, ) 2 2 二、填空题 9.不等式 x(2-x)>0 的解集为________. 10.已知正数 a,b 满足 ab=4,那么-a-b 的最大值是________. 11.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=3,a3=7,则 S10 等于________.
? x ? 1, ? 12.已知点 P(x,y)的坐标满足条件 ? y ? 1, 点 O 为坐标原点,那么|PO|的最大值等于________,最小值等于 ? x ? y ? 1 ? 0, ?

________. 13.等比数列{an}的前 n 项和是 Sn,若 8S6=9S3,则{an}的公比等于________. 14.Rt△ABC 的三个内角的正弦值成等比数列,设最小的锐角为角 A,则 sinA=________. 三、解答题 15.解不等式:0<x2-3x<4.

47

16.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边.已知 a,b,c 成等比数列,且 a2-c2=ac-bc. (1)求角 A 的大小; (2)求

b sin B 的值. c

17.已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,a3=6,S3=12. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 ??? ?1. (2)求证: ? S1 S 2 Sn

18.电视台为某个广告公司特约播放两套片集:片集甲每集播映时间为 21 分钟,其中含广告时间 1 分钟,收视观 众为 60 万人;片集乙每集播映时间为 11 分钟,含广告时间 1 分钟,收视观众为 20 万人.广告公司规定每周至 少有 6 分钟广告,而电视台每周只能为该公司提供不多于 86 分钟的节目时间(含广告时间).电视台每周应播映 两套片各多少集,才能获得最高的收视率?

19.对于定义域分别是 Df,Dg 的函数 y=f(x),y=g(x),规定:函数

? f ( x) ? g ( x), 当x ? D f 且x ? Dg , ? h( x) ? ? f ( x), 当x ? D f 且x ? Dg , ? 当x ? D f 且x ? Dg . ? g ( x),
1 ,g(x)=x2,x∈R,写出函数 h(x)的解析式; x ?1 (2)求问题中(1)函数 h(x)的值域.
(1)若函数 f ( x) ?

20.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2(n=1,2,3,?). (1)设 bn=an+1-2an(n=1,2,3,?),求证数列{bn}是等比数列,并求其通项公式; (2)设 cn=

an (n=1,2,3,?),求证数列{cn}是等差数列,并求其通项公式; 2n

(3)求数列{an}的通项公式及前 n 项和公式.

48

测试卷参考答案
单元测试一
一、选择题 1.D 2.C 二、填空题 6.120° 提示: 9.因为△ABC 的面积 S=220 3 ? 7.2 3.D 4.A 5.B

解三角形

8.

7 2 10

9.49

10.

2π 3

1 AC?AB?sinA,所以求得 AB=55, 2

由余弦定理,得 BC2=AC2+AB2-2AC?ABcosA=162+552-2?16?55cos60°, 所以 BC=49. 三、解答题 xkb1.com 11.(1)解:在△ABC 中,由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB, 得 b2=16+9-24? 所以 b= 22 . (2)解:由 cosB=

1 =22, 8

1 ,B∈(0,π ), 8
3 7 , 8

所以 sin B ? 1 ? cos2 B ? 由三角形的面积公式 S=

1 acsinB, 2

得 S=

1 3 7 9 7 ?4?3? . ? 8 4 2
c a , ? sin C sin A

12.(1)解:在△ABC 中,根据正弦定理,

a ? 2a ? 2 5 . sin A (2)解:在△ABC 中,根据余弦定理,
于是 c=sinC? 得 cos A ?

c2 ? b2 ? a 2 2 5 ? 5 , 2bc
2

于是 sinA= 1 ? cos A ? 13.解:由 cosA=- 由 cosB=

5 5 ,

5 12 ,得 sinA= , 13 13

3 4 ,得 sinB= . 5 5 16 . 65

所以 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

4 5? BC ? sin B 5 ? 13 . 由正弦定理,得 AC ? ? 12 sin A 3 13
49

所以△ABC 的面积 S ? 14.解: cos A ? 2 cos2

1 1 13 16 8 ? BC ? AC ? sin C ? ? 5 ? ? ? . 2 2 3 65 3

A 2 5 3 ? 1 ? 2 ? ( 5 )2 ? 1 ? , 2 5 4 3 又 A∈(0,π ),sinA= 1 ? cos2 A ? ,而 AB ? AC ?| AB | ? | AC | ? cos A ? bc ? 3 , 5 5

所以 bc=5, 又 c=1,所以 b=5, 所以 a ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5 .

单元测试二
一、选择题 xkb1.com 1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 二、填空题 9.13 10.3 11.15 12.16,255 三、解答题 15.解:设{an}的公差为 d,则
?(a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) ? ?16 , ? ?a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? 0
2 2 ? ?a ? 8da1 ? 12d ? ?16 即? 1 , ? ?a1 ? ?4d

数列
8.D

6.B 13.-9

7.A 14.3

?a ? ?8, ?a1 ? 8, 解得 ? 1 或? . ?d ? ?2, ?d ? 2,

因此 Sn=-8n+n(n-1)=n(n-9),或 Sn=8n-n(n-1)=-n(n-9). 16.解:(1)依题意有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2), 由于 a1≠0,故 2q2+q=0,

1 . 2 1 (2)由已知可得 a1-a1( ? )2=3, 2
又 q≠0,从而 q= ? 故 a1=4,

1 4[1 ? (? ) n ] 8 1 2 从而 Sn= ? [1 ? (? ) n ] . 1 3 2 1 ? (? ) 2
17.解:设这三个数为 a-d,a,a+d, 则(a-d)+a+(a+d)=30,解得 a=10. 又由(a-d-5)(a+d)=(a-4)2, 解得 d=2,或-7. 所以三个数为 8,10,12,或 17,10,3. 18.解:(1)由题意,得 a1+a2+a3+?+an=n2. 所以当 n=1 时,a1=1; 当 n≥2 时,a1+a2+a3+?+an-1=(n-1)2 ①-②得,an=n2-(n-1)2=2n-1.(n≥2)

① ②
50

因为 n=1 时,a1=1 符合上式, 所以 an=2n-1(n∈N*). 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ??? (2) a1a2 a2 a3 an an?1 1 ? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n . (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1 19.解:(1)由 a1=1 及 Sn+1=4an+2, 得 a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5,∴b1=a2-2a1=3. 由 Sn+1=4an+2, ?????① 得当 n≥2 时,有 Sn=4an-1+2 ?????② ①-②得 an+1=4an-4an-1,∴an+1-2an=2(an-2an-1), 又因为 bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1, 所以{bn}是首项 b1=3,公比为 2 的等比数列. ?
(2)由(1)可得 bn=an+1-2an=3?2n 1,所以


an?1 an 3 ? n ? , 2 n?1 2 4

1 an 3 }是首项为 ,公差为 的等差数列. n 2 4 2 3 3 1 an 1 - 所以 n = ? (n ? 1) ? ? n ? ,an=(3n-1)?2n 2. 2 2 4 4 4 单元测试三 不等式
所以数列{ 一、选择题 1.D 2.C 二、填空题 7.a≥2 12. 3.D 4.B 5.D 6.A

8.a<-a2<a2<-a

9.[2,3 ) ∪(3,4)

10.14

11.4

3 <m≤1 4

三、解答题 13.(1)因为不等式 x2-ax-b<0 的解集是{x|1<x<3} 所以 1,3 是方程 x2-ax-b=0 的两根, 故 a=1+3,-b=1?3,即 a=4,b=-3. (2)不等式

2x ? a 2x ? 4 >1,即为: >1. x?b x?3 2x ? 4 2x ? 4 因为 >1 ? -1>0 x?3 x?3 x?7 ? 0 ? (x+7)(x-3)>0 ? x?3

? x>3,或 x<-7.
所以,原不等式的解集为{x|x>3,或 x<-7 } . 14.当 a=0 时,1-a=

1 ; 1? a 1 当 a<-1 时,1-a> ; 1? a
51

当 a>-1 且 a≠0 时,1-a<

1 . 1? a

15.解:设投资人对甲、乙两个项目分别投资 x、y 万元,

? x ? y ? 10, ?0.3x ? 0.1y ? 1.8, ? 由题意知 ? ? x ? 0, ? ? y ? 0.
目标函数为 z=x+0.5y, 上述不等式组表示的平面区域如右图所示,

阴影部分(含边界)即为可行域. 作直线 l:x+0.5y=0,并作平行于直线 l 的一组直线与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的 M 点, 且与直线 l 的距离最大,此时目标函数达到最大值. 这里 M 点是直线 x+y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点,容易解得 M(4,6),此时 z 取到最大值 1?4+0.5?6=7. 答: 投资人用 4 万元投资甲项目, 用 6 万元投资乙项目, 才能确保在可能的资金亏损不超过 1.8 万元的前提下, 使可能的盈利最大. 16.略解: (1)当 a≥1 时, f ( x) ?
x2 ? 2x ? a a a ? x? ?2 ? 2 x? ?2 ? 2 a ?2, x x x

当且仅当 x=

a ,即 x= a 时,f(x)有最小值 2 a +2; x

当 0<a<1 时,可证函数 f(x)在 x∈[1,+∞)上是单调增函数(在此略), 所以 f(x)有最小值 f(1)=a+3,
? ?a ? 3, 0 ? a ? 1 综上,函数 f(x)有最小值 g (a) ? ? . ? ?2 a ? 2, a ? 1

(2)因为 x∈[1,+∞],且 f(x)=

x2 ? 2x ? a >0, x

所以 x2+2x+a>0, 即 a>-x2-2x=-(x+1)2+1 对于 x∈[1,+∞)恒成立, 而函数 y=-(x+1)2+1,x∈[1,+∞)的最大值为-3, 所以 a>-3.

数学必修 5 模块检测题
一、选择题 1.B 2.A 提示: 3.B 4.C 5.A 6.D 7.C 8.A

8.①当 n 是正奇数时,原不等式化为 a>-(2+

1 ), n
52

欲使上式对于任意正奇数 n 恒成立,则 a≥-2. ②当 n 是正偶数时,原不等式化为 a<2-

1 , n 1 3 ? . 2 2

欲使上式对于任意正偶数 n 恒成立,则 a<2- 综上,a 的取值范围是[-2, 二、填空题 9.{x|0<x<2 } 12. 2 , 10.-4 13. 11.120 14.
5 ?1 2

3 ). 2

2 2

1 2

提示: 13.设{an}的公比为 q, ①当 q=1 时,S6=6a1,S3=3a1,此时不适合 8S6=9S3,所以 q≠1. ②当 q≠1 时,由 8 ?
a1 (1 ? q 6 ) a (1 ? q 3 ) ? 9? 1 ,且 a1≠0,得 1? q 1? q

8(1+q3)=9,即 q3=

1 1 ,所以 q= . 8 2

14.不妨设∠C 为直角.由题意 sinA?sinC=sin2B,即 sinA=sin2B, 又因为 A+B=

π ,所以 sinB=cosA,故 sinA=cos2A=1-sin2A. 2
?1? 5 5 ?1 ,又 sinA∈(0,1),故 sinA= . 2 2

解此方程得 sinA= 三、解答题 15.原不等式 ? ?

2 ? ? x ? 3, 或x ? 0, ? x ? 3x ? 0, ? ? {x|-1<x<0,或 3<x<4 } . ? 2 ? 1 ? x ? 4 . ? x ? 3 x ? 4 . ? ?

16.解:(1)因为 a,b,c 成等比数列,所以 b2=ac. 又 a2-c2=ac-bc,所以 b2+c2-a2=bc. 根据余弦定理得 cosA=
b2 ? c2 ? a2 1 ? ,所以∠A=60°. 2bc 2

(2)根据正弦定理,得 sinB= 因为 b2=ac,∠A=60°,

b sin A . a

b sin B b 2 sin 60? 3 ? ? sin 60? ? . ac 2 c 17.解:(1)设等差数列{an}的公差是 d,依题意得

所以

?a1 ? 2d ? 6, ?a ? 2, ? 解得 ? 1 3? 2 ? ? d ? 2. ?3a1 ? 2 d ? 12. ? 所以数列{an}的通项公式为 an=a1+(n-1)d=2n.
(2)证明:an=2n,所以 Sn=

n( a1 ? a n ) =n(n+1). 2

1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ??? S1 S 2 Sn 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)
53

1 1 1 1 1 1 1 . ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ( ? ) ?1? 1 2 2 3 n n ?1 n ?1 1 1 1 ??? ?1. 所以 ? S1 S 2 Sn

? x ? y ? 6, ? 18.解:设片集甲播映 x 集,片集乙播映 y 集,则有 ?21x ? 11y ? 86, 设此不等式组表示的平面区域为 D.要获得最 ? x, y ? N. ?
高的收视率,只要 z ? 60x ? 20 y 最大即可,问题转化为求目标函数 z ? 60x ? 20 y 在区域 D 上的最大值即可. 画图分析得,当 x=2,y=4 时,z 取得最大值 200 万. 19.解:(1)由函数 f ( x ) ?

1 , g ( x) ? x 2 ,x∈R,可得: x ?1

Df={x|x≠1},Dg=R,从而当 x≠1 时, h( x) ? (2)当 x>1 时, h( x) ? 当 x<1 时, h( x) ?

x2 ;当 x=1 时,h(x)=1. x ?1

x2 ( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1) ? 1 1 ? ? x ?1? ?2? 4; x ?1 x ?1 x ?1

x2 ( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1) ? 1 1 ? ? ?(1 ? x ? )?2?0; x ?1 x ?1 1? x

所以,h(x)的值域为{y|y≥4,或 y≤0,或 y=1}. 20.(1)证明:由 Sn?1 ? 4an ? 2, Sn?2 ? 4an?1 ? 2 ,两式相减得 an?2 ? 4an?1 ? 4an . 整理得 an?2 ? 2an?1 ? 2(an?1 ? 2an ) ,即 bn+1=2bn. 故{bn}是公比为 2 的等比数列, 而 b1 ? a2 ? 2a1 ? S2 ? 3a1 ? a1 ? 2 ? 3 ,可得 bn ? 3 ? 2n?1 (n∈N*)

an an?1 an?1 ? 2an bn 3 ? 2 n?1 3 ? n?1 ? n?1 ? , (2)证明: cn ? n , cn?1 ? n?1 ? cn?1 ? cn ? 2 2 2 n?1 2 2 4
所以{cn}是等差数列, c1 ?

a1 1 1 3 1 ? ,故 cn ? ? (n ? 1) ? ? (3n ? 1) . 2 2 2 4 4

(3) an ? 2n ? cn ? (3n ? 1) ? 2n?2 (n ? N* ) . 当 n≥2 时, Sn ? 4an?1 ? 2 ? (3n ? 4) ? 2 故 Sn ? (3n ? 4) ? 2
n?1 n?1

? 2 ,因为 S1=a1=1 也适合,

? 2.

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