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湖南省永州市2009年高 一 数 学上期期末质量检测试卷人教版必修4.doc

时间:2017-03-31


湖南省永州市 2009 年上期期末质量检测试卷

高 一 数 学
命题:双牌二中 周冬国 祁阳一中 王勇波 宁远一中 李杰 审题:唐作民(永州市教科所) 考试时间:2009-7-1 14:30-16:30 考生注意: 1.标注有“必修 3 做”或“必修 5 做”的试题分别由本期修习了“必修 3”模块或“必 修 5”模块的学生选做一题。但每位学生必须全部选做“必修 3 做”或“必修 5 做”试题。 没有标注的试题为每位学生必做题。 2.全卷分第 I 卷和第 II 卷,第 I 卷为选择题,1~2 页;第 II 卷为解答题,3~6 页。 3.全卷满分 120 分,时量 120 分钟。 4.考生务必 将第 I 卷的答案填入第 II 卷 卷首的答案栏内。 .. .... . .

第I卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求,请将正确选项的代号填入第 II 卷卷首的答题栏内.) 1. tan120°的值为 A. ?
3 3

B.

3 3

C. 3

D. ? 3

2. (必修 3 做)下列选项那个是正确的 A.PRINT 4*x B.INPUT A;B C.INPUT B=3 D.PRINT y=2*x+1 (必修 5 做)已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 则a12 的值是 A.15 B.30 C.31 D.64 3. (必修 3 做)一个公司共有 300 名员工,现采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量 为 20 的样本,已知某部门有 60 名员工,那么从这一部门抽取的员工人数是 A.4 B.5 C.6 D.8 0 (必修 5 做)在 ΔABC 中,b=2,A=60 ,c=1,则 ΔABC 的面积等于 6 1 3 6 A. B. C. D. 3 2 2 2 4. 若函数 f(x)满足 f ( x) ? cos x ( x ? R) ,则 f ( x ?

?

2

)=

A.sinx B. ? sin x C.cosx D. ? cosx 5. (必修 3 做)袋中有红、蓝、黑、白 4 个除颜色以外完全相同的球,甲、乙、丙、丁四人 依次各摸一球,则事件“甲摸得白球”与事件“乙摸得白球”是 A.对立事件 B.互斥但不对立事件 C.不可能事件 D.以上都不对 1 (必修 5 做) 已知 x ? 1 ,则函数 f ( x) ? x ? 的最小值为 x ?1 A.4 B.3 C.2 D.1

??? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ??? ? ??? ? 6.如右图,已知 CA ? a , CB ? b , AD ? 2DB ,用 a 、 b 表示 CD 为
C
a b

A

D

B

??? ? ? ? A. CD ? 5 a ? 2 b 3 3 2 1 C. CD = a ? b 3 3

??? ? ? ? B. CD ? 1 a ? 2 b 3 3 1 1 D. CD = a ? b 2 3

7. 函数 y ? A sin(?x ? ? ) (A>0, ? >0,0< ? < ? ) 在一个 周期内的图象如右图,此函数的解析式为 A. y ? 2 sin( 2 x ?

y 2
5? 12

x ? C. y ? 2 sin( ? ) 2 3

2? ) 3

B. y ? 2 sin( 2 x ? D. y ? 2 sin( 2 x ?

?

?

3 3

) )



? 0
12

x

-2

8. (必修 3 做)如右图,大正方形靶盘的边长为 13 ,四个全等的直角三角形围成一个小正 方形,即阴影部分.较短的直角边长为 2,现向大正方形靶盘投掷飞镖,则飞镖落在阴 影区域的概率为

4 13 1 C. 13
A.

2 13 3 D. 13
B.

(必修 5 做)已知数列{ an }, Sn 为{ an }的前 n 项和,且有 Sn =2 an -1,则 an = A.2n-1 B.2n C.2n
-1

D.2n

9. 在区间[0, 2 ? ]上满足 sin x ? A. ?0, ? ? ? 6? ? ?

D. ? 5? , ? ? ? ? 3 ? ? 6 ? 10.(必修 3 做)甲、乙两人玩数字游戏的规则如下:甲、乙两人都从集合 ?1,2,3,4? 中任选

1 的 x 的取值范围是 2 ? 2? ? B. ? ? , 5? ? C. ? , ? ?
? ?6 6 ? ?

?6

一个数写在纸上,并分别记为 a、b,若 a ? b ? 1 ,则称甲、乙两人“心有灵犀”,那么 甲、乙两人在一次游戏中“心有灵犀”的概率为 A.

3 8

B.

7 16

C.

5 8

D.

7 12

(必修 5 做)把正整数按下列方式分组:(1),(2,3),(4,5,6),?,其中第 n 组有 n 个 整数,记 Sn 为第 n 组的 n 个整数之和,则 S 20 等于 A.3439 B.3990 C.4010 D.4641

永州市 2009 年上期期末质量检测试卷

高 一 数 学
第 II 卷
题号 得分 一、选择题答题栏 1 2 题号 答案 二、填空题答题栏 11. 14. 12. 15. 13. 3 4 5 6 7 8 9 10 一 二 三 16 17 18 19 20 21 总分 合分人

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 11.已知 a ? (2, 1) , b ? (?1,

?

?

? ? ? ) ,且 a / / b ,则 ? =

. 参加人数 60 50 40 30 20 10 1 2 3

12.(必修 3 做) 某学校号召学生在暑假期间至少参加一次 社会公益活动(以下简称活动). 该校文学社共有 100 名 学生,他们参加活动的次数统计如图所示.则该文学 社学生参加活动的人均次数为 . (必修 5 做)若 a<b<0,给出下列不等式: ①

1 1 1 1 ? ;③ | a |?| b | ;④ a 2 ? b 2 . ? ; ② a ?b a a b
(填序号).
? ?

活动次数

其中不能 成立的是 .. 13. 3 cos15 ? sin 15 的值等于



14.(必修 3 做) 阅读以下程序:INPUT x IF x<0 THEN y=x*x-2*x+6 ELSE y=(x-1)*(x-1) END IF PRINT y END 若输出 y=9, 则输入的 x 值应该是

. .

(必修 5 做)关于 x 的不等式 x(1 ? x) ? a(1 ? a) ( a <0)的解集为 15.给出下列命题: ① 函数 y ? sin(

5? ? 2 x) ( x ? R) 是偶函数; 2

2 ② 函数 f ( x) ? cos x ?

1 2

( x ? R) 的周期为 ? ;

③ 函数 y ? sin( x ?

?
4

) 在闭区间 [ ?

? ?

④ 将函数 y ? cos( 2 x ?

?
3

, ] 上是增函数; 2 2

) ( x ? R) 的图象向左平移

? 个单位,得到函数 y ? cos2 x 的 3

图象. 其中正确的命题的序号是: . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(必修 3 做) (本小题 8 分)在 2008 年奥运会上甲、乙两名射击运动员在比赛中打出如下 成绩: 甲:9.4,8.7,7.5,8.4,10.1,10.5,10.7,7.2, 7.8,10.8; 乙:9.1,8.7,7.1,9.8,9.7,8.5,10.1,9.2, 10.1,9.1; (I) 请用茎叶图表示甲,乙两人成绩;(II)根 据茎叶图分别求出他们的中位数,并分析甲、乙两 人的成绩. (必修 5 做)(本小题 8 分)已知等差数列 {an } 中, a1 ? 2 , a1 ? a2 ? a3 ? 12 , Sn 为{ an } 的前 n 项和. (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项 an ; (Ⅱ) 求数列 {an } 的前 n 项和 S n .

17.(本小题 10 分)已知 tan( (Ⅰ) tan ?

? ? )=3,计算: 4 sin? ; (Ⅱ) . 2 sin? ? cos?

?

18.(必修 3 做) (本小题 10 分)在一个匣内有大小完全相同的 1 个白球、2 个红球和 2 个黑 球,现从中任取两球,分别求下列事件的概率: (Ⅰ) 恰有一个红球;(Ⅱ) 至少有一个红球;(Ⅲ) 没有黑球. (必修 5 做) (本小题 10 分) 如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,DB =16,∠BDA=60o, ∠BCD=135o. (Ⅰ) 求 BC 长;(Ⅱ) 求 AB 长. D C

A B

19. (本小题 10 分)已知 e1 、 e2 是单位向量, e1 与 e2 的夹角为

? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? , a ? e1-2e2 , b ? 2e1 +? e2 . 3 ? ? ? ? ? ? (Ⅰ)若 ? =-1,求 a ? b 及向量 a 与 b 的夹角 ? 的大小;(Ⅱ) ? 取何值时, a ? b .

?? ?? ?

??

?? ?

20.(必修 3 做)(本小题 10 分)设计一个求

1 1 1 ? ??? 的值的程序框图. 1? 2 2 ? 3 99 ? 100

(必修 5 做) (本小题 10 分)请画出以 A(3, -1)、B(-1, 1)、C(1, 3)为顶点的 ΔABC 的区 域(包括边界),写出表示该区域的二元一次不等式组,并求出以该区域为可行域的目标函数 z=3x-2y 的最大值与最小值.

21. ( 本 小 题 12 分 ) 已 知 向 量 m ? ( 2 cos x , 2 s ix n, ) n ? (cos x,
f ( x) ? am ? n ? b ? a (a、b 为常数且 x∈R). (Ⅰ) 当 a=1, b=2 时,求 f(x)的最小值;

??

?

3 cos x) , 函 数

(Ⅱ) 是否存在非零整数 a、b,使得当 x∈ [0, ] 时,f(x)的值域为[2, 8].若存在,求 出 a、b 的值;若不存在,说明理由.

? 2

永州市 2009 年上期期末质量检测

高一数学参考答案及评分标准
一、选择题答题栏 1 2 题号 答案 D A A A 3 A 4 B B 5 B 6 B 7 A C 8 C 9 B C 10 C

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 1 11.- 12.(必修 3)2.2 (必修 5) ② 13. 2 2 14.(必修 3)-1,4 (必修 5) (??, a) ? (1 ? a, ? ?) 或{x|x<a 或 x>1-a}

15.①②

三、解答题(本大题共 6 小题,共 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(必修 3 做) 解:(I)如图所示,茎表示成绩的整数环数,叶 表示小数点后的数字 4分 (II)甲的中位数是 9.05,乙的中位数是 9.15 6分 乙的成绩大致对称,可看出乙发挥稳定性好, 甲波动性大. 8分

(必修 5 做) 解:(I)设数列 ?an ? 的公差为 d ,则 a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d ? 12 又 a1 ? 2 ,? d ? 2 1分 2分 4分 8分

? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n
(Ⅱ)? S n ? na1 ?

n(n ? 1) d ? n 2 ? n. 2

17.解:(Ⅰ)由已知,得

1 ? tan ? 1 ? 3 ,解得 tan ? ? ; 1 ? tan ? 2 1 1 tan? 2 (Ⅱ)解法一:原式= ? ? 1 4 2 tan? ? 1 2? ?1 2 5 2 5 解法二:(1) 若 ? 在第一象限,则 sin ?= 、 cos ?= , 5 5

5分

10 分

1 1 2 ? ? ; 原式= 1 5 2 5 2? ?1 4 2 ? 2 5 5 5 2 5 (2) 若 ? 在第三象限,则 sin ?=- 、 cos ?=- , 5 5 5 1 - 1 5 2 ? ? 原式= 1 5 2 5 2? ?1 4 2? (- )- 2 5 5 sin ? 1 综上所述 = 2 sin ? ? cos ? 4
18.(必修 3 做) 解:把 2 个红球记为:红 1、红 2,把 2 个黑球记为: 黑 1、黑 2,总事件共有 10 个基本事件: {白,红 1}{白,红 2}{白,黑 1}{白,黑 2}{红 1,黑 1}{红 2,黑 1} {红 1,黑 2}{红 2,黑 2}{红 1,红 2}{黑 1,黑 2}, (Ⅰ)恰有一个红球含有 6 个基本事件:{白,红 1}{白,红 2}{红 1,黑 1} {红 2,黑 1}{红 1,黑 2}{红 2,黑 2},故 P1=

5 5

7分

9分

10 分

1分 2分 4分

6 3 ? ; 10 4 7 ; 10

{Ⅱ} 至少有一个红球含有 7 个基本事件:{白,红 1}{白,红 2}{红 1,黑 1} {红 2,黑 1}{红 1,黑 2}{红 2,黑 2}{红 1,红 2},故 P2= 7分

{Ⅲ} 没有黑球含有 3 个基本事件:{白,红 1}{白,红 2}{红 1,红 2}, 故 P3=

3 . 10

10 分

(必修 5 做) 解:(Ⅰ)由 AD⊥CD,∠BDA=60o,得∠BDC=30o, 在△ BDC 中,由正弦定理得:

2分 D C

BD BC ? sin ?BCD sin ?BDC 16 BC ? 即 ,求得 BC= 8 2 ; ? sin135 sin 30?
(Ⅱ)在△ ABD 中,由余弦定理得:

3分 5分

A B

AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2 AD ? BD cos ?ADB
2 2 2 ?

7分 10 分

即 AB ? 16 ? 10 ? 2 ?16 ?10cos 60 ? 196 ,所以 AB=14

19.(本小题 10 分) 解:(Ⅰ)

? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? =-1, a ? e1-2e2 , b ? 2e1 ? e2 , e1 ? e2 ? 2

1分

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 3 3分 a ? b = (e1-2e2 ) ? (2e1 ? e2 ) = 2e1 ? e1 ? 5e1 ? e2 ? 2e2 ? e2 = 4 ? = ; 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? | a |2 = a ? a = (e1-2e2 ) ? (e1-2e2 ) = e1 ? e1 ? 4e1 ? e2 ? 4e2 ? e2 =3, | a |? 3 , 4 分
3 ? ? ? a ?b 1 1 2 ? ? ? , cos? = ; 同理 | b |? 3 , cos? = ? 2 | a |?|b | 3? 3 2

? . 3 ? ? ? ? (Ⅱ)由 a ? b 知: a ? b ? 0 ,
又 ? ? [0,? ] ,所以 ? =

6分 7分

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b = (e1-2e2 ) ? (2e1 ? ? e2 ) = 2e1 ? e1 ? (? ? 4)e1 ? e2 ? 2?e2 ? e2
=2?

1 3 (? ? 4) ? 2? ? ? ? ? 0 ,故 ? ? 0 2 2

10 分

20.(必修 3 做) (本小题 10 分) 解:如图所示:ΔABC 的区域是如图的阴影部分, 直线 AB 的方程为: x ? 2 y ? 1 ? 0 ,BC 及 CA 的直线方程分别是:

x ? y ? 2 ? 0 , 2x ? y ? 5 ? 0 .
在 ΔABC 的内部取一点 P(1, 1),分别代入

1分

x ? 2 y ?1 , x ? y ? 2 , 2x ? y ? 5 ,
得 x ? 2 y ? 1 >0, x ? y ? 2 >0, 2 x ? y ? 5 <0, 因此所求区域的不等式组为 3分

? x ? 2 y ?1 ? 0 ? ? x? y?2?0 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
作平行于直线 3x-2y=0 的直线系 l:3x-2y=z, 当直线 y =

4分

5分

3 z z 11 x- 过 A(3,-1)时,直线 l 在 y 轴上的截距- 有最小值 - 2 2 2 2
7分

此时 z 有最大值 11. 当直线 y =

3 z z 5 x- 过 B(-1,1)时,直线 l 在 y 轴上的截距- 有最大值 , 2 2 2 2
9分

此时 z 有最小值是-5 故函数 z=3x-2y

? x ? 2 y ?1 ? 0 ? 在约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 下的最大值是 11,最小值是-5. ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
(必修 5 做)解:程序框图如下: 开始 S=0 k=1 k=1 S=S+ 否 k≤99? 是 输出S 结束 S=S+
1 k ( k ? 1) 1 k ( k ? 1)

10 分

开始 S=0

或 k=k+1 否

k>99? 是 输出S 结束

k=k+1

10 分 21.(本小题 12 分) 解:(Ⅰ)函数 f ( x) ? am ? n ? b ? a = a (2cos x, 2sin x) ? (cos x, = 2a cos2 x+2 3a cos x sin x +b-a = a cos 2x+ 3a sin 2 x ? b = 2a sin (2 x ? 当 a=1,b=2 时, f ( x) ? 2 a sin (2 x ?

3 cos x) +b-a

?
6

)?b ,

3分

?

) ? b=2sin (2 x ? ) ?2 ,又 x∈R, 6 6
5分

?

所以 f(x)的最小值为 0 (Ⅱ)假设存在非零整数 a、b,使得 f(x)的值域为[2, 8], ∵x∈ [0, ] 即 2sin (2 x ?

? 2

∴ (2 x ?

?

?
6

) ?[ , 6 6

?

7? ], 6

) ?[- 1, 2]

由(I)知 f ( x) ? 2a sin (2 x ? ①当 a>0 时,则有 ?

?
6

)?b

7分

? 2a+b=8 ?a=2 ,求得 ? ?-a+b=2 ?b=4

9分

②当 a<0 时,则有 ?

? 2a+b=2 ?a=-2 ,求得 ? ? b=6 ?-a+b=8

11 分 12 分

所以,存在 a=2 、 b=4 或 a=-2 、 b=6 ,使得 f(x)的值域为[2,8] .


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