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2.3.1双曲线及其标准方程(优质课)_图文

时间:2017-10-21

1

一.复习提问:
椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数

2a ( 2a > |F1F2| ) 的点的轨迹.

Y

M ? x, y ?

|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|) 思考问题:

F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?
2

一.授新课:1.画双曲线

P= {M ||MF1 | - | MF2| = 2a } P= {M ||MF1 | - | MF2| =-2a } P= {M |||MF1 | - | MF2| |=2a }
3

①如图(A),
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B), |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得:

| |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值) 上面 两条合起来叫做双曲线
4

2.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差 的绝对值 等于常数 (小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.

① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距. 注意
M

(1)距离之差的绝对值

F

| |MF1| - |MF2| | = 2a
(2)常数要小于|F1F2|大于0

1

o

F

2

0<2a<2c

5

试说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形? (F1、F2是两定点, |MF1|-|MF2| |F1F2| =2c (0<a<c)
当|MF1|-|MF2|=2a时,点M的轨迹 双曲线的右支 当|MF2|-|MF1|=2a时,点M的轨迹 双曲线的左支
F2 =2a,





若2a=2c,动点M 的轨迹 以F1、F2为端点的两条射线 ; M 不存在 F1c,动点M 若2a>2 的轨迹 F 2 .
F1

M 线段F1F2的垂直平分线 若2a=0,动点M的是轨迹_______________________.

因此,在应用定义时,首先要考查 2a与2c的大小

.
6

F1

F2

M
F1

o

F2

M

|MF2|-|MF1|=2a
即双曲线的左支

|MF1|-|MF2| =2a
即双曲线的右支

当|MF1|-|MF2|=2a时,M点轨迹是双曲线中靠近F2的一支; 当|MF2|-|MF1|=2a时,M点轨迹是双曲线中靠近F1的一支.
| |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
即表示整个双曲线

如何求这优美的曲线的方程?

8

3.双曲线的标准方程
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴, 线段F1F2的中点为原点建立直角坐 标系 2.设点. 设M(x , y),双曲线的焦 距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式. |MF1|
F1

y
M

o

F2

x

- |MF2|= ? 2a _ 2a (x-c)2 + y2 = +
9



(x+c)2 + y2 -

4.化简.

(x ? c)2 ? y2 ? (x ? c)2 ? y2 ? ?2a
( (x ? c)2 ? y2 )2 ? ( (x ? c)2 ? y2 ? 2a)2

y
M F1

o

cx ? a2 ? ?a (x ? c)2 ? y2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

令c2-a2=b2

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

10

双曲线的标准方程
y
M

y
M F2 x

F

O
1

F

2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b
11

2

2

(a ? 0,b ? 0)

练一练:
已知F1(-4,0),F2(4,0),︱MF1︱-︱MF2︱=2a, 当a=3和4时,点M轨迹分别为( ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和两条射线 C.双曲线一支和一条直线 D.双曲线一支和一条射线

12

双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?

13

双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭
定 义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

|MF1|+|MF2|=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

方 程

焦 点

F(±c,0) F(0,±c)

F(±c,0) F(0,±c)

a.b.c的关系

a>b>0, c2=a2-b2 a最大

a>0,b>0,但a不一定大于b, c2=a2+b2 14 c最大

思考:如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上?
x2 y2 y2 x2 ? ? 1与 判断: ? ? 1 的焦点位置? 16 9 9 16

结论: 看

x , y 前的系数,哪一个为正,则

2

2

在哪一个轴上。
15

4.例题讲解
x2 y2 1.已知方程 ? ? 1 表示椭圆,则 m ?1 2 ? m

m

的取值范围是____________. 解:?m ? 1 ? 0

3 ? ? 1 ? m ? 2且m ? ?2 ? m ? 0 2 ?m ? 1 ? 2 ? m ?

m 的取值范围? 若此方程表示双曲线,
解:( m ? 1)(2 ? m) ? 0

? m ? 1或m ? 2

16

2.已知下列双曲线的方程:
y 2 x2 (1) ? ? 1 则a= 3 b= 4 c= 5 焦点坐标为(0,-5),(0,5) 9 16

(2) x ? 3 y ? 3 则a= 3 b= 1 c= 2 焦点坐标为(-2,0),(2,0)

2

2

17

F2 的 3. 已知 F1 (?5, 0), F2 (5, 0), 动点 P 到 F 1、 距离之差的绝对值为6,求点 P 的轨迹方程.
解:由双曲线的定义知点 P的轨迹是双曲线.因为 双曲线的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b ?2c=10 ?a ? 3 由已知 ? ,? ? ,? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 25 ? 9 ? 16 ?2a=6 ?c ? 5

x2 y 2 ?1 所求双曲线的方程为: ? 9 16

18

4.写出适合下列条件的双曲线的标准方程 (1)a=4,b=3,焦点在x轴上; (2)焦点为F1(0,-6),F2(0,6),过点M(2,-5) 利用定义得2a= ||MF1|-|MF2||
4 (3)a=4,过点(1, 10) 3

分类讨论
19

15 (4)焦点在x轴上,且过P(- 2,- 3),Q( , 2). 3

由题可设双曲线的方程为:mx2 ? ny 2 ? 1(m ? 0, n ? 0)
15 (4)变式:过P(- 2,- 3),Q( , 2). 3

由题可设双曲线的方程为:mx2 ? ny2 ? 1(mn ? 0)
20

5:已知A、B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析:首先要判断轨迹的形状,由声学原理:由声速及 解:如图,以 A、B所在的直线 A、 为 x轴,以 B两地听到爆炸声的时间差,即可知 AB的中垂线为y轴建 A、B两地与爆炸 点的距离差为定值.由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点 立直角坐标系,由已知可知爆 y 的轨迹方程. 炸点在以 A、B两地为焦点的双 M 曲线的右支上 ∵2a=340×2=680 ∴a=340 又∵c=400 ∴b2=c2-a2=4002-3402=44400
A
O

B

x

x2 y2 所以爆炸点的轨迹方程为: ? ? 1 ( x ? 0) 115600 44400

注意

从实际问题中建立数学模型。

求下列动圆的圆心M的轨迹方程: ①与⊙C:(x+2)2+y2=2内切,且过点A(2,0); ②与⊙C1:x2 +(y-1)2=1和⊙C2:x2 +(y+1)2=4都 外切; ③与⊙C1: (x+3)2+y2=9外切,且与 ⊙C2: (x-3)2+y2=1内切. 解析:这表面上看是圆的相切问题,实际上是双 曲线的定义问题.具体解:设动圆M的半径为r, 消参法求解.

5.课堂小结
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

图象

F1

o

F2

x
F1

x

方程 焦点
a.b.c 的关系

x2 y 2 y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b a b

F ( ±c, 0)

F(0, ± c)
2 2 2
23

c ?a ?b

双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭
定 义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

|MF1|+|MF2|=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

方 程

焦 点

F(±c,0) F(0,±c)

F(±c,0) F(0,±c)

a.b.c的关系

a>b>0, c2=a2-b2 a最大

a>0,b>0,但a不一定大于b, c2=a2+b2 24 c最大

作业: 1.P55 2、3 2.P61习题A组1、2 3.红对勾课时作业14 1-6题
25


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