nbhkdz.com冰点文库

高中数学常见思想方法总结

时间:2019-10-08

高中常见数学思想方法

方法一 函数与方程的思想方法

函数是中学数学的一个重要概念,它渗透在数学的各部分内容中,一直是高考的热点、重点内容.函数的思想,

就是用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,建立函数特征,重在对问题的变量的动态研究,从

变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中

的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问

题获解.

函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)

不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,

把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.有时,还实现函数与方程的互相转

化、接轨,达到解决问题的目的.

? ? 【例 1】 设等差数列 an 的前 n 项的和为 Sn ,已知 a3 ? 12, S12 ? 0, S13 ? 0 .
(1)求公差 d 的取值范围;

(2)指出 S1 、 S2 、…、 S12 中哪一个值最大,并说明理由.

【分析】 (1)利用公式 an 与 Sn 建立不等式,容易求解 d 的范围;(2)利用 Sn 是 n 的二次函数,将 Sn 中哪

一个值最大,变成求二次函数中 n 为何值时 Sn 取最大值的函数最值问题.

【解】(1) 由 a3 = a1 ? 2d =12,得到 a1 =12-2 d , 所以 S12 =12 a1 +66 d =12(12-2 d )+66 d =144+42 d ? 0, S13 =13 a1 +78 d =13(12-2 d )+78 d =156+52 d ? 0.

解得: ? 24 ? d ? ?3 . 7
(2)解法一:(函数的思想)

Sn



na1

?

1 2

n(n

?1)d

?

1 2

dn2

?

(12

?

5 2

d )n



d 2

???n

?

1 2

? ??

5

?

24 d

??2 ????

?

d 2

? ??

1 2

? ??

5

?

24 d

??2 ????

因为

d

?

0

,故

???n

?

1 2

? ??

5

?

24 d

??2 ????

最小时,

Sn

最大.

2



?

24 7

?

d

?

?3 得

6

?

n

?

1 2

? ??

5

?

24 d

? ??

?

6.5 ,故正整数

n

=6



???n

?

1 2

? ??

5

?

24 d

?? ????

最小,所以 S6 最大.

解法二:(方程的思想)

由 d ? 0 可知 a1 ? a2 ? a3 ? ? a13 .

因此,若在1? n ?12 中存在自然数 n ,使得 an ? 0 , an?1 ? 0 ,

则 Sn 就是 S1 , S2 , , Sn 中的最大值.

???SS1123

? ?

0 0

?

???a1 ??

? 5d a1 ?

??d ? 2
6d ? 0

0

?

???aa67

? ?

0
,
0

故在 S1 、 S2 、…、 S12 中 S6 的值最大. 【点评】 数列的通项公式及前 n 项和公式实质上是定义在自然数集上的函数,因此可利用函数思想来分析,
即用函数方法来解决数列问题;也可以利用方程的思想,利用不等式关系,将问题进行算式化,从而简洁明快. 由此可见,利用函数与方程的思想来解决问题,要求灵活地运用、巧妙的结合,发展了学生思维品质的深刻性、 独创性.

【例 1】 在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的左右顶点为 A,B,右顶点为 F,设过点 T 95

( t, m )的直线 TA,TB 与椭圆分别交于点 M (x1, y1 ) , N (x2 , y2 ) ,其中 m>0, y1 ? 0, y2 ? 0

(1)设动点 P 满足 PF2 ? PB2 ? 4 ,求点 P 的轨迹;

(2)设

x1

?

2, x2

?

1 3

,求点

T

的坐标;

(3)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标A与 m 无关). O

【解】 (1)由题意知 F (2,0) , A(3,0) ,设 P(x, y) ,则

FB

(x ? 2)2 ? y 2 ? (x ? 3)2 ? y 2 ? 4

化简整理得 x ? 9 . 2

(2)把 x1

?

2 , x2

?

1 代人椭圆方程分别求出 M (2, 5) , N (1 , 20)

3

3

39

直线 AM : y ? 1 (x ? 3)



3

直线 BN : y ? ? 5 (x ? 3)



6

①、②联立得

T

? ??

7,

10 3

? ??

.

(3)T (9, m) ,

直线 TA

:

y

?

m 12

(x

?

3)

,与椭圆联立得

M

(?

3(m 2 m2

? 80) ? 80

,

40 m2 ?

80

)

直线 TB

:

y

?

m 6

(x

?

3)

,与椭圆联立得

N (3(m2 ? 20) m2 ? 20

,?

20 m2 ?

20

)

直线

MN

:

y

?

20 m2 ? 20

?

?

40 m2 ? 80

?

20 m2 ? 20

3(m2 ? 80) m2 ? 80

?

3(m2 ? 20) m2 ? 20

? ? ?

x

?

3(m2 ? 20) m2 ? 20

? ? ?

,

化简得

y

?

20 m2 ? 20

?

?

10 m2 ? 40

? ? ?

x

?

3(m2 ? 20) m2 ? 20

? ? ?

令 y ? 0 ,解得 x ?1,即直线 MN 过 x 轴上定点 (1,0) .

【点评】 本题主要考查求简单曲线的方程,考查直线与椭圆的方程等基础知识,考查运算求解能力和探究问

题的能力.而且,本题在解决问题时,无论求点的坐标,还是求点 P 的轨迹方程,都灵活运用了方程的思想,特别

是在证明过程中更是很好地利用方程的有关知识,使问题画繁为简,华难为易.

方法二 数形结合的思想方法
正确利用数形结合,应注意三个原则: (1)等价性原则 数形信息的转换应该是等价的、充要的.要注意由于图形的直观性,往往可以成为严格推证的启导,但有时不 能完整表现数的一般性,考虑问题可能不完备. (2)双向性原则 数形结合的含意是双向的,即考虑问题既注意代数问题几何化,也注意几何问题代数化,而不仅仅指前者. (3)简单性原则 有了解题思路,思考用几何方法,还是代数方法,还是两者兼而用之,要取决于解题的简单性原则,而不能 形而上学地让几何问题代数化,代数问题几何化成为一种机械模式.

运用数形结合的思想方法解题的途径主要有三条: 第一,以形助数:把一些数式的几何意义明朗化,构造出解题的几何模型,突显问题的直观性,使解题思路 变得形像而通畅; 第二,以数助形:利用几何图形或图像图表中隐含的数式特征,构造出解题的代数模型(必要时建立坐标系), 突显问题的本质,另辟解题的捷径; 第三,数形互助:根据问题的需要,将以形助数和以数助形二方面结合运用. 数形结合的应用是广泛的,数与形的结合点主要集中在以下几个方面: 1.研究函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、值域与最值等),可从函数图像的直观性得到鲜明的 启示. 2.利用数轴与坐标系(包括直角坐标系、极坐标系),使数与点对应,使函数与图像、方程与曲线结合,使代 数与几何联结.这样,可利用坐标或向量的运算,探索几何图形的相关性质;利用函数图像与方程曲线的直观性, 探索函数或方程的性质. 3.从统计图表、图像中,收集分析出“数”的信息,由破译的数量关系建立代数模型,探索相关的结论.这类 数形信息的转换能力是近年高考的新亮点. 4.三角函数与单位圆、三角函数曲线的联系. 5.复平面与复数、向量的沟通. 6.利用类比法、换元法(如三角换元)、构造法、坐标法等构造代数问题的几何模型、几何问题的代数模型, 开辟解题的新思路. 【例 1】 (12 年上海模拟)若函数 y ? f (x)(x? R) 满足 f (x ? 2) ? f (x) ,且 x ?[?1,1] 时, f (x) ? 1 ? x2 ,

?lg(x ?1),

函数

g

(

x)

?

???? ?

1 x

,

??0,

x ?1 x ? 0 ,则函数 h(x) ? f (x) ? g(x) 在区间[?5,6] 内的零点个数为_________. 0? x?1

【答案】 9 【解】 由题意,直接求解会很麻烦,且不易得到正确的答案,所以该题中求 h(x) ? f (x) ? g(x) 的零点,可
以转化为求 f (x) 与 g(x) 两函数图像的交点.则画出 f (x) 与 g(x) 的图像,由于 f (x) 在 x ?[?1,1] 上为 f ( x) ? 1? x2 , 且为周期函数,周期为 2,而 g(x) 是分段函数,注意其图像共分为三部分,如图,可等共有 9 个交点,其中有一个易错 点,即其中 1 个交点为(1,0)很容易被遗漏.

【点评】 要求 h(x) ? f (x) ? h(x) 在区间 [?5,6] 内的零点的个数,可转化为求 f (x) 与 h(x) 交点的个数,
可以作出图形,观察图形易得交点的个数.本题体现了数形结合的思想,正是运用数形结合的思想方法解题的途径 中的以形助数.

【例2】 函数 y=f(x)的图像为圆心在原点的两段圆弧,试解不等式 f(x)>f(-x)十 x.
【解】 解法一:(以数助形)

由题意及图像,有

f

(x)

?

?? ? ???

1? x2 1? x2

0? x ?1 , ?1? x ? 0

(1)当 0<x≤1 时, f(x)>f(-x)+x 得 1? x2 >- 1? (?x)2 +x, 解得 0<x< 2 5 ; 5

(2)当-1≤x<0 时, 得- 1? x2 > 1? (?x)2 +x, 解得-1≤x<- 2 5 , 5

∴ 原不等式的解集为[-1, - 2 5 )∪(0, 2 5 ).

5

5

解法二:(数形互助)

由图象知 f(x)为奇函数,∴ 原不等式为 f(x)> x ,而方程 f(x)= x 的解为 x=± 2 5 ,据图像可知原不等

2

2

5

式解集为[-1, - 2 5 )∪(0, 2 5 ).

5

5

【点评】 本题以形看数(解式,奇偶性),以数解形(曲线交点 A、B),最后以形解数(不等式),这才是真 正意义上的数形结合,扬长避短.

方法三 分类讨论的思想方法
1.通常引起分类讨论的原因,大致可归纳为如下几点: (1)涉及的数学概念是分类定义的; (2)涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的; (3)涉及题中所给的限制条件或研究对像的性质而引起的; (4)涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的; (5)涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的;

(6)一些较复杂或非常规的数学问题,需要采用分类讨论的解题策略解决的. 2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步: (1)确定讨论的对像及其范围; (2)确定分类讨论的标准,正确进行分类; (3)逐类讨论,分级进行; (4)归纳整合,作出结论. 其中最重要的一条是“不漏不重”.学生必须对相关知识点或涉及的概念、定义、定理相当清楚,对于一些结 论成立的条件掌握牢固,这样才能在解题时思路清晰,才能知道何时必须进行分类讨论,而何时无须讨论,从而 可以知道怎样进行分类讨论.
【例 1】(12 年上海二模)点 Q(x, y) 是函数 y ? x2 ?1 图像上的任意一点,点 P(0, 5) ,则 P 、Q 两点之间 2
距离的最小值是______________.

【答案】 11

【解】 ①当 x2 ?1 ? 0 时, y ? 1? x2 , PQ 2 ? x2 ? ( y ? 5)2 ? ( y ? 6)2 ? 9 .

2

2

y ? 6 ? ?3时,即 y=9 或 y=3, PQ 取最小值 0,但 x2 ? 2 ? 2 y 都为负数,∴不成立;

②当 x2 ?1 ? 0 时, y ? x2 ?1 , PQ 2 ? x2 ? ( y ? 5)2 ? ( y ? 4)2 ?11.当 y=4 时, PQ 取最小值为 11 .综上

2

2

所述, P 、 Q 两点之间距离的最小值为 11 .
【点评】 由于题中给出的是绝对值函数,需要利用分类讨论的思想去掉绝对值,然后再求解.体现了数学概 念是分类定义的而引起的分类讨论.

【例 2】设等比数列{an}的公比为 q ,前 n 项和 Sn ? 0(n ? 1, 2, 3, ) ,求 q 的取值范围. 【分析】在应用等比数列前 n 项和的公式时,由于公式的要求,分 q =1 和 q ≠1 两种情况. 【解】 {an}是等比数列,且前 n 项和 Sn ? 0(n ? 1, 2, 3, ) , ?a1 ? S1 ? 0 ,且 q ? 0 当 q ? 1 时, Sn ? na1 ? 0 ;

当q

? 1时, Sn

?

a1(1? qn ) 1? q

? 0 ,即 1? qn 1? q

? 0(n

? 1, 2,3,

).

上式等价于

?1 ?

?

qn

?

0

①或

?1 ? ?

qn

?

0

②,

?1?q ? 0

?1?q ? 0

由①得 q ? 1 ,由②得 ?1 ? q ? 1,

? q 的取值范围为 ??1,0? ?0,??? .

【点评】本题正是分类讨论中运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的体现.

【例

4】已知实数 a

?

0 ,函数

f

?x?

?

? 2x ? a, x ? 1, ???x ? 2a, x ? 1.



f

?1? a?

?

f

?1?

a? ,则 a

的值为________.

【答案】 ? 3 4

【解】首先讨论1? a ,1? a 与 1 的关系.

当 a ? 0 时,1? a ?1,1? a ?1,所以 f ?1? a? ? ??1? a? ? 2a ? ?1? a ;

f ?1? a? ? 2(1? a) ? a ? 3a ? 2. 因为 f ?1? a? ? f ?1? a? ,所以 ?1? a ? 3a ? 2 ,所以 a ? ? 3 ;
4
当 a ? 0 时,1? a ?1,1? a ?1,所以 f ?1? a? ? 2?1? a? ? a ? 2 ? a ;

f ?1? a? ? ?(1? a) ? 2a ? ?3a ?1. 因为 f ?1? a? ? f ?1? a? ,所以 2 ? a ? ?3a ?1,所以 a ? ? 3 (舍去).
2 综上,满足条件的 a ? ? 3 .
4 【点评】本题的解题关键在于讨论1? a ,1? a 与 1 的关系,正是体现了数学问题中参变量的不同取值导致
不同结果而引起的分类讨论.
方法四 概括归纳的思想方法
概括是在思维中将同一种类型的对像共同的本质属性集中起来,结合为一般类型的属性.归纳是一种逻辑型的 思维形状,是从几个特殊情形做出一般结论的不完全的属性.一类是性质和法则的归纳,如数列的基本性质,对数 运算的法则的归纳过程;另一类是解题方法的归纳,如向量在物理中的应用等;第三类是归纳猜想,如由表格所 给数据归纳几个连续奇数的和等.
【例 2】在数列{ an }中, a1 =13 ,且前 n 项的算术平均数等于第 n 项的 2 n -1 倍( n ∈N*).

(1)写出此数列的前 5 项;

(2)归纳猜想{ an }的通项公式,并用数学归纳法证明.

【分析】(1)利用数列{ an }前 n 项的算术平均数等于第 n 项的 2 n -1 倍,推出关系式,通过 n =2,3,4,5
求出此数列的前 5 项;

(2)通过(1)归纳出数列{ an }的通项公式,然后用数学归纳法证明.第一步验证 n =1 成立;第二步,假设

n = k 猜想成立,然后证明 n = k ?1 时猜想也成立.

【解】

( 1 ) 由 已 知 a1 =

1 , a1 ? a2 ? a3 ?

3

n

? an = ( 2 n - 1 ) an , 分 别 取 n = 2 , 3 , 4 , 5 , 得

a2

?

1 5

a1

?

1 3?5

?

1 15

, a3

?

1 14

?

a1

?

a2 ?

?

1 5?7

?

1 35



a4

?

1 27

? a1

?

a2

?

a3

?

?

1 7?9

?

1 63



a5

?

1 44

? a1

?

a2

?

a3

?

a4

?

?

1 9 ?11

?

1 99



所以数列的前

5

项是: a1

?

1 3



a2

?

1 15



a3

?

1 35

, a4

?

1 63



a5

?

1 99

.

(2)由(1)中的分析可以猜想 an

?

(2n

1 ?1)(2n

? 1)

(n

∈N*).

下面用数学归纳法证明:
①当 n =1 时,猜想显然成立.

②假设当 n = k

(k

≥1

且k

∈N*)时猜想成立,即 ak

?

(2k

1 ?1)(2k

? 1)



那么由已知,得

a1

?

a2

? a3 ? ? k ?1

ak

?

ak ?1

?

(2k

?1)ak?1 ,

即 a1 ? a2 ? a3 ? ? ak ? (2k 2 ? 3k )ak?1 .所以 (2k 2 ? k)ak ? (2k 2 ? 3k)ak?1 ,

即 (2k

?1)ak

?

(2k

? 3)ak?1 ,又由归纳假设,得 (2k

?1)

(2k

1 ?1)(2k

?1)

?

(2k

? 3)ak?1 ,

所以

ak ?1

?

(2k

1 ? 1)(2k

?

3)

,即当

n

?

k

?1时,猜想也成立.

综上①和②知,对一切 n

∈N*,都有 an

?

(2n

1 ?1)(2n

? 1)

成立.

【点评】 本题考查数列的项的求法,通项公式的猜想与数学归纳法证明方法的应用,注意证明中必须用上假 设,考查计算能力,分析问题解决问题的能力.正是体现了概括归纳的思想方法.

方法五 化归与等价变换的思想方法
在解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,需将原问题转化成一个新问题(相对来说,对自己 较熟悉的),通过对新问题的求解,达到解决原问题的目的.这一思想方法我们称之为“转换化归思想”.而转换化 归思想的基本原则就是:化难为易,化生为熟,化繁为简,化未知为已知.
1.利用转换化归思想解决数学问题时必须明确三个问题: (1)把什么东西进行转换化归,即化归对像; (2)化归转换到何处,即化归转换的目的; (3)如何进行转换化归,即转换化归的方法. 2. 化归与转化常遵循以下几个原则. (1)目标简单化原则:将复杂的问题向简单的问题转化; (2)和谐统一性原则:即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐,在量、形关系上趋于统一的方向 进行,使问题的条件和结论更均匀和恰当; (3)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决; (4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决; (5)正难则反原则:即当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题 获解. 3.转化与化归常用到的方法 (1)直接转化法:把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. (2)换元法:运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转 化为易于解决的基本问题. (3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解式)与空间形式(图形)关系,通过互相变换获得转化途径. (4)构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题. (5)坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题,是转化方法的一个重要途径. (6)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定转化途径. (7)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的结论适合原问题. (8)等价问题法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到转化目的. (9)加强命题法:在证明不等式时,原命题难以得证,往往把命题的结论加强,即命题的结论加强为原命题

的充分条件,反而能将原命题转化为一个较易证明的命题,比如在证明不等式时:原命题往往难以得证,这时常 把结论加强,使之成为原命题的充分条件,从而易证.
(10)补集法:如果下面解决原问题有困难,可把原问题结果看作集合 A,而包含该问题的整体问题的结果 类比为全集 U,通过解决全集 U 及补集 使原问题得以解决.
化归与等价变换的思想方法所涉及到的具体问题很多很多,如果不断努力地用这种方法去解决一些数学问题 或数学范畴以外的问题时,往往会出现事半功倍的奇特效果.
【例 1】 设 x 、 y ∈R 且 3x2 ? 2 y2 ? 6x ,求 x2 ? y2 的范围.
【解】 方法一:等价转化法(转化为函数问题)
由 6x ? 2 y2 ? 3x2 ≥0 得 0≤ x ≤2.

设 k ? x2 ? y2 ,则 y2 ? k ? x2 ,代入已知等式得: x2 ? 6x ? 2k ? 0 ,

即 k ? ? 1 x2 ? 3x ,其对称轴为 x =3. 2
由 0≤ x ≤2 得 k ∈[0,4].

所以 x2 ? y2 的范围是:0≤ x2 ? y2 ≤4.
方法二:数形结合法(转化为解几何问题):

由 3x2

? 2y2

?

6x 得 ? x ?1?2

?

y2 3

? 1 ,即表示如图所示椭圆,其一个顶点在坐标原点. x2

?

y2

的范围就是

2

椭圆上的点到坐标原点的距离的平方.由图可知最小值是 0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点.

设圆方程为 x2 ? y2 ? k ,代入椭圆中消 y 得 x2 ? 6x ? 2k ? 0 .由判别式 ? ? 36 ?8k ? 0得 k ? 4 ,所以 x2 ? y2 的

范围是: 0 ? x2 ? y2 ? 4 .

方法三: 三角换元法,对已知式和待求式都可以进行三角换元(转化为三角问题):

由 3x2

? 2y2

? 6x 得 ? x ?1?2

?

y2 3 2

?x ?1 ? cos?

?

1

,设

? ?

?? y ?

6 sin? 2

,则

x2 ? y2 ? 1? 2 cos? ? cos2 ? ? 3 sin2 ? ? 1? 3 ? 2 cos? ? 1 cos2 ?

2

2

2

? ? 1 cos2 ? ? 2cos? ? 5 ??0, 4?

2

2

所以 x2 ? y2 的范围是: 0 ? x2 ? y2 ? 4 .

【点评】本题运用多种方法进行解答,实现了多种角度的转化,联系了多个知识点,有助于提高发散思维能 力.而且各种方法的运用,分别将代数问题转化为了其它问题,属于问题转换题型,正是体现了熟悉化原则,将不 熟悉的知识转化为自己熟悉的知识.
【例 2】设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1、Sn、Sn+2 成等差数列,则 q=___________. 【答案】-2
【解】 S2 ? a1 ? a1q , S1 ? a1 , S3 ? a1 ? a1q ? a1q2 ∵ S2 ? S3 ? 2S1 ∴ 2a1 ? 2a1q ? a1q 2 ? 2a1(a1≠0) ∴ q ? ?2 或 q ? 0 (舍去).

【点评】 由于该题为填空题,我们不防用特殊情况来求 q 的值.如: S2 , S1, S3 成等差,求 q 的值.这样就避
免了一般性的复杂运算.既体现简单化原则,也是特殊化方法的使用,正是转化与化归的思想方法的典型体现。
【例 4】 对于满足 p ? 2 的所有实数 p ,求使不等式 x ? px ?1 ? 2x ? p 恒成立的 x 取值范围.

【解】 原不等式化为 (x ?1) p ? (x ? 1)2 ? 0 ,令 f ( p) ? (x ?1) p ? (x ? 1)2 ,它是关于 p 的一次函数,定

义域为[?2,2]

。由依次函数的单调性知

? ? ?

f f

(?2) ? ( (2) ? (x

x ?1)(x ? 3) ?1)(x ?1) ?

? 0

0

解得: x ? ?1或 x ? 3
【点评】 本题正是利用主元与参变量的关系,视参变量为主元(即变量与主元的角色换位),简化问题在求解, 正是转化与化归思想的典型体现.

人生中每一次对自己心灵的释惑,都是一种修行,都是一种成长。相信生命中的每一次磨砺,都会让自己的人生折射出异常的光芒,都会让自己的身心焕发出不一样的香味。 我们常常用人生中的一些痛,换得人生的一份成熟与成长,用一些不可避免的遗憾,换取生命的一份美丽。在大风大雨,大风大浪,大悲大喜之后,沉淀出一份人生的淡然与淡泊,静好与安宁,深邃与宽厚,慈悲与欣然……

生活里的每个人,都是我们的一面镜子,你给别人什么,别人就会回待你什么。当你为一件事情不悦的时候,应该想想你给过人家怎样负面的情绪。 世界上的幸福,没有一处不是来自用心经营和珍惜。当你一味的去挑剔指责别人的时候,有没有反思过自己是否做得尽善尽美呢? 假如你的心太过自我,不懂得经营和善待,不懂得尊重他人的感受,那么你永远也不会获得真正的爱和幸福…… 人生就像一场旅行,我们所行走的每一步都是在丰富生命的意义。我们一边穿越在陌生的吸引里,一边咀嚼回味着一抹远走光阴的旧味,一切都是不可预料,一切又似在预料之中。 人生看的多了,走的多了,经历的多了,也就懂得多了。每一份深刻的感悟大多来自一个人深刻的经历。 人生总有那么一两件重大的事情让你成熟和改变。这份错失,会让你反思自己,检讨自己,叩问自己,也让你意识到了自己真正的缺失,这或许就是一份痛苦的领悟吧! 人生可以平平淡淡,亦可以异彩纷呈。相信只要自己的德馨足够善美,上天就会把最好的一切赐予你。予人快乐,收获快乐;予人幸福,收获幸福;予人真情,收获厚意。人生的一切往来皆有因果,生活只善待有心人…… 假如你有一颗计较的心,你就会很难获得一份幸福。当一个人放下了自己内心的那份累心的奢求,你的心空就会变得更加蔚蓝干净。 宽容,不仅是一种豁达的态度,更是一种心灵的品德,是一种处事的修行,宽容别人不是低矮了自己,而是释放了自己,升华了自己。你把世界宽待在心中,世界也同样装饰了你的一份美丽。 当你简约、释然了自己的时候,你会发现另一份生命中的快乐。那快乐是发自一颗简单的心,那快乐是从心灵的草地里欢快的迸发出来,通过你温柔的眼眸和开心的笑声来传递。 所以,心宽便心悦,你人生的天空是什么颜色,往往取决于你对人生的态度和对于自己情绪的驾驭…… 世界上美好的东西那么多,有缘来到你的身旁,被你握到掌心的却又那么少。所以一切在的时候请学会珍惜,因为大多美丽的东西只会为你来过一次。你一不小心就会失落,无处找寻,增加了你人生的又一次遗憾…… 过往,终是回不去的曾经。人总是在失去的时候才懂得珍惜,人总是在回味的时候才知道甜美。往事已矣,该放下的终归要放下,该忘记的一定要学会忘记。 其实这个世界上什么都不是我们的,在人间,我们只是一场心灵的路过而已……或许唯一属于过我们的,只是生命刹那的快乐与悲伤,以及自己一颗思索的灵魂…… 站在时光的路口回望曾经,盘点每一份经历过的心情,人生有太多得不到的美好,有太多想不到的结局。终有一天,我们热望过的,贪念过的,彷徨过的,握紧过的,放手过的,都将化作尘埃随风飞去…… 人生渺如尘埃,小如露珠,寻常如泥土,从不可知处而来,到不可知处而去。我们用灵魂结伴身体,走过这短暂的一朝一夕的寒暖,踏过流年的坎坷与花香,便是在世间真正的来过了。


高中数学常见思想方法总结.doc

高中数学常见思想方法总结 - 高中常见数学思想方法 方法一 函数与方程的思想方法

高中数学解题思想方法总结(含典例分析).doc

高中数学解题思想方法总结(含典例分析) - 目 录 2 3 3 7 14 19 23 28 32 前言 ??? 第一章 高中数学解题基本方法 ???...

高中数学思想方法总结、快速记忆.doc

高中数学思想方法总结、快速记忆 - 高中数学思想方法总结、快速记忆 数学思想方法

高中数学思想方法总结.doc

高中数学思想方法总结 - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 高中数学思想方法总结 作者:孟宪涛 来源:《知识文库》2016 年第 04 期 常言道:劈柴不照纹累死...

高中数学:数学七大基本思想方法汇总_图文.doc

高中数学:数学七大基本思想方法汇总 - 高中数学:数学七大基本思想方法汇总 第一

高中数学四大思想方法.doc

高中数学四大思想方法 - 高中数学四大思想方法 读《什么是数学》笔记 《什

高中数学思想方法专题.doc

高中数学思想方法专题 - 高中数学思想方法专题(一) 函数与方程的思想方法 一、知识要点概述 函数与方程的思想是中学数学的基本思想, 高考数学题中函数与方程的...

高中数学中常用的数学思想方法.doc

高中数学常用的数学思想方法 - 文章结合高考题讲述了常见的四种数学思想方法... 高中数学常用的数学思想方法专题一 专题...三、总结提炼 函数与方程的思想是解答...

高考数学知识点总结及高中数学解题思想方法全部内容精华版.doc

高考数学知识点总结高中数学解题思想方法全部内容精华版 - 高考数学知识点总结高中数学解题思想方法 全部内容精华版 高中数学第一章-集合 榆林教学资源网 http:/...

高中数学,高考中数学解题思想方法总结(高三复习资料)(....doc

高中数学,高考中数学解题思想方法总结(高三复习资料)(共77页) - 目 录 2

高考数学知识点总结及高中数学解题思想方法全部_图文.doc

高考数学知识点总结高中数学解题思想方法全部 - 高考数学知识点总结高中数学解题思想方法全部内容精华版 高中数学第一章-集合 考试知识要点 一、知识结构: 本章...

高考数学考前必看重要知识点汇总:思想方法篇.doc

高考数学考前必看重要知识点汇总:思想方法篇_高三数学_数学_高中教育_教育专区。...4 ac ? b 4a 2 (a ? 0) .高考中常见的基本配方形式有: (1) a2+b2=...

高中数学解题常用的11种方法 高中数学解题思维归纳.doc

高中数学解题常用的 11 种方法 参数法 参数法是指在解题过程中, 通过适当引入

高中数学思想方法渗透策略.doc

高中数学思想方法渗透策略 - 浅议高中数学思想方法渗透策略 dlong 【摘要】 高中数学课程目标指出,学生要获得必要的 数学基础知识和基本技能,理解基本的数学概念、...

高中数学解题方法归纳总结.doc

高中数学解题方法归纳总结 - 高中数学解题方法归纳总结 一、换元法 “换元”的思想方法,在数学中有着广泛的应用,灵活运用换元法解题, 有助于数量关系明朗化,...

高中数学思想方法专题.doc

高中数学思想方法专题 - 优秀学习资料 欢迎下载 高中数学思想方法 及解题策略 数学能力就是数学的思想方法。数学思想方法是策略性知识,发展学生智力最经济、有 效的...

高中数学思想方法及其教学策略.doc

高中数学思想方法及其教学策略 - 高中数学思想方法及其教学策略 无锡市第六高级中学 卢笛 俗话说“授人予鱼不如授人予渔” ,学习的最高境界是学会学习,应对各种...

...122页高考数学知识点总结及高中数学解题思想方法全....doc

2019010319精华经典版122页高考数学知识点总结高中数学解题思想方法全部内容精华版 - 高考数学知识点 高中数学第一章-集合 榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.co...

学好高中数学的基本方法总结.doc

学好高中数学的基本方法总结 - 学好高中数学的基本方法总结 学好高中数学的基本方

最新高中数学学习方法总结【经典篇】.doc

最新高中数学学习方法总结【经典篇】 - pC-q:O1M justonlykwfr,exvigabc.Thdm 高中数学学习方法总结【经典篇】 数学是高考科目之一,故从初一开始就要认真地学 ...