第14讲+立体几何【范端喜】.docx
第十四讲 立体几何
自招重要考点： 1、 空间余弦定理 平面 M、N 相交于直线 l 。A、D 为 l 上两点，射线 DB 在平面 M 内，射线 DC 在平面 N 内。已知 ?BDC ? ? , ?BDA ? ? , ?CDA ? ? ，且 ?、?、 ? 都是锐角， ? 是二面角
M ? l ? N 的平面角，则 cos ? ?
2、 射影面积公式
cos ? ? cos ? cos ? 。 sin ? sin ?
在二面角的一个半平面上的任意凸多边形的面积为 S，此多边形在另一个半平面上射影 多边形的面积为 S ' ，又二面角的平面角度数为 ? ，则 S ' ? S ? cos ? 。 3、 欧拉公式 设 F、E 和 V 分别表示凸多边面体面、棱（或边） 、顶点的个数，则 F ? E ? V ? 2 。 利用欧拉公式可以导出正多面体只有以下五种：正四面体、正六面体（正方体） 、正八 面体、正十二面体、正二十面体。 真题讲解： 例 1、 （10 武大）有 4 条长为 2 的线段和 2 条长为 a 的线段，用这 6 条线段作为棱，构成一 个三棱锥。问 a 为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？
a ? 2 2, V ?
2 3 3
例 2、 （10 同济）四面体 ABCD 中，AB 和 CD 为对棱。设 AB ? a ， CD ? b ，且异面直线 AB 与 CD 间的距离为 d ，夹角为 ? 。 （1） 若 ? ? （2） 当 ? ?
? ?
2 2
，且棱 AB 垂直于平面 BCD，求四面体 ABCD 的体积； 时，证明：四面体 ABCD 的体积为一定值；
1 abd 6
（3） 求四面体 ABCD 的体积。
1 abd sin ? 6
例 3、 （09 华南）已知 A、B、C、D 是某球面上不共面的四点，且 AB ? BC ? AD ? 2,
BD ? AC ? 2, BC ? AD ，则此球的表面积等于
6?
。
例 4、 （08 复旦）三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中，点 A、 BB 1 的中点 M 以及 B 1C1 的中点 N 所决定 的平面把三棱柱切割成体积不相同的两部分， 则小部分的体积和大部分的体积之比为 （ D ） （A）
1 3
（B）
4 7
（C）
11 17
（D）
13 23
例 5、 （09 清华）四面体 ABCD 中， AB ? CD, AC ? BD, AD ? BC 。 （1） 求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形； （2） 设 底 面 为 BCD ， 另 外 三 个 面 与 面 BCD 所 形 成 的 二 面 角 为 ? , ? , ? ， 求 证 ：
cos? ? cos ? ? cos ?? 。 1
例 6、 （09 复旦）半径为 R 的球内部装 4 个有相同半径 r 的小球，则小球半径 r 可能的最大 值是（ B ） （A）
3 2? 3
R
（B）
6 3? 6
R
（C）
1 R 1? 3
（D）
5 2? 5
R
例 7、 （ 10 五校）正四棱锥 P ? ABCD 中， B1 为 PB 中点， D1 为 PD 中点，求两个棱锥
A ? B1CD1 、 P ? ABCD 的体积之比
1 8
VA? B1CD1 VP ? ABCD
。
例 8、 （09 南大）四面体 ABCD 中，平面 ? 截四面体所得截面为 EFGH，且 AB / / 平面 ? ，
CD / / 平面 ? ，AB 到平面 ? 的距离为 d1 ，CD 到平面 ? 的距离为 d2 ，
图形 ABEFGH 与四面体 ABCD 体积之比（用 k 表示） 。
d1 ? k 。求立方体 d2
k 3 ? 3k 2
? k ? 1?
3
练习巩固： 一、选择题 1、 （11 华约）两条异面直线互成 60? ，过空间中任一点 A 可以作出（ B ）平面与两异面 直线都成 45? 角。 （A）一个 （B）两个 （C）三个 （D）四个
2、 （11 卓越）在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中，E 为棱 AA 1 的中点，F 是棱 A 1B 1 上的点，且
A1F : FB1 ? 1: 3 ，则异面直线 EF 与 BC1 所成角的正弦值为（ B
（A）
）
15 3
（B）
15 5
（C）
5 3
（D）
5 5
3、 （01 复旦）全面积为定值 ? a 2 （其中 a ? 0 ）的圆锥中，体积的最大值为（ B ）
（A）
2? a3 3
（B）
2 3 ?a 12
3 （C） ? a
1 6
（D）
3 3 ?a 6
4、 （06 复旦）若四面体的一条棱长为 x ，其余棱长均为 1，体积是 V ? x ? ，则 V ? x ? 在其定 义域上为（ D ） （B）增函数且有最大值 （D）不是增函数但有最大值
（A）增函数但无最大值 （C）不是增函数且无最大值
?DAB ? 5、 （07 复旦） 已知四棱锥 P ? ABCD ， 底面 ABCD 是菱形，
的余弦值为（ （A） C ） （B）
PD ? 平面 ABCD ， ， 3 线段 PD ? AD ，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 PD 的中点，则二面角 P ? AB ? F 的平面角
?
1 2
2 5 5
（C）
5 7 14
（D）
3 7 14
6、 （08 复旦）棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，点 M 和 N 分别是边 AB 和 CD 的中点，则线 段 MN 的长度为（ A ） （A）
1 2
（B） 2
（C）
1 3
（D） 2
7、 （08 复旦） 若空间三条直线 a、b、c 两两成异面直线， 则与 a、b、c 都相交的直线有 （ D ） （A）0 条 （B）1 条 （C）多于 1 的有限条 （D）无穷多条
8、 （07 武大）下列命题不正确的是（ B ）
（A）过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直 （B）如果平面的一条斜线在平面内的射影与某条直线垂直，则这条斜线必与这条直线垂直 （C）两异面直线的公垂线有且只有一条 （D）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行 9、 （10 复旦）设一个多面体从前面、后面、左面、右面、上面看到的图形为：
则该多面体的体积为（ D ） （A）
2 3
（B）
3 4
（C）
4 5
（D）
5 6
10、 （10 复旦）在一个底面半径为
1 ，高为 1 的圆柱内放入一个直径为 1 的实心球后，在圆 2
柱内空余的地方放入和实心球、 侧面以及两个底面之一都相切的小球， 最多可以放入这样的 小球个数是（ B （A）32 个 ） （B）30 个 （C）28 个 （D）26 个
11、 （10 复旦）设 ABC ? A ' B ' C ' 是正三棱柱，底面边长和高都是 1，P 是侧面 ABB ' A ' 的 中心点，则 P 到侧面 ACC ' A ' 的对角线的距离是（ C ） （A）
1 2
（B）
3 4
（C）
14 8
（D）
3 2 8
12、 （09 复旦）三棱柱 ABC ? A ' B ' C ' 的底是边长为 1 的正三角形，高 AA ' ? 1 ，在 AB 上 取一点 P，设 ?PA ' C ' 与底的二面角为 ? ， ?PB ' C ' 与底的二面角为 ? ，则 tan ?? ? ? ? 的 最小值是（ C （A） ? ） （B） ?
3 3 4
6 3 15
（C） ?
8 3 13
（D） ?58 3
13、 （07 复旦）棱长为 a 的正方体内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切，则 两球半径之和为（ C ） （A）无法确定 （B） a （C）
3? 3 a 2
（D）
5? 5 a 2
14、 （06 武大）已知一个简单多面体的每一个面均为五边形且它共有 30 条棱，则多面体的
面数 F 和顶点数 V 分别等于（ A ） （A） F ? 12, V ? 20 （C） F ? 8, V ? 24 二、填空题 15、 （10 同济） 已知平面 ? ? ? ， 点 A ?? ， 点 B?? ， AB 与平面 ? , ? 所成角分别为 （B） F ? 6, V ? 26 （D） F ? 208, V ? 12
? ?
, ， 4 6
点 A 、 B 在平面 ? , ? 的交线 l 上的垂足分别为 A '、B ' ，则线段 AB 与 A ' B ' 的比值为 2 三、解答题 16、 （00 复旦）正六棱锥的高等于 h ，相邻侧面的二面角等于 2 arcsin 棱锥的体积。 。
1 3 2 ? 6 ，求该 2
?
?
3? 3 3 h 4
AB ? AC ，上底面的顶点 A1 17、 （01 复旦）已知棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的底面是等腰三角形，
在下底面的射影是 ?ABC 外接圆圆心，设 BC ? a, ?A1 AB ?
?
3
，棱柱的侧面积为 2 3a 。
2
（1）证明：侧面 A 1 ACC1 都是菱形， B 1BCC1 是矩形； 1 ABB 1和 A （2）求棱柱的侧面所成的三个二面角的大小； （3）求棱柱的体积。
? 3
1 3 a 2
18、 （04 复旦）已知 E 为棱长为 a 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱 AB 的中点，求点 B 到 平面 A 1EC 的距离。
6 a 6
19、 （04 同济）设四棱锥 P ? ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 PA ? 平面
ABCD 。
（1）求证：直线 PC ? BD ； （2）过直线 BD 垂直于直线 PC 的平面交 PC 于点 E，如果三棱锥 E ? BCD 的体积取到最 大值，求此时四棱锥 P ? ABCD 的高。
1 12 2
20、 （05 复旦） 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A E、 F、 G 分别为 AD、AA 1B 1C1D 1 中， 1、A 1B 1 中点，求： （1）B 到面 EFG 的距离；
3 2 3 3
（2）二面角 G ? EF ? D1 的平面角 ? 。 arccos
21、 （10 五校）正四棱锥的体积为 4
2 ，求正四棱锥表面积的最小值。 3
22、 （10 五校）平面 ? / / 平面 ? ，直线 m ? ? , n ? ? ，点 A ? m, B ? n ， AB 与 ? 面平角 为
? 4
? ? ， AB ? n ， AB 与 m 夹角为 ，求 m 与 n 的夹角。 4 3
23、 （05 武大）在边长为 3 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中，M 在棱 CC1 上， C1M ? 1 。 （1）求点 B 到平面 AMB1 的距离；
9 19 19 2 6
（2）求 BC 和平面 AMB1 所成角的正切值。
24、 （06 武大）已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 2 的菱形，且 ?BAD ? 60? ， PA ? 平面 ABCD ，且 PA ? 1 ， E、F 分别是 BC、PA 的中点。 （1）求证： BF / / 平面 PED ； （2）求二面角 P ? DE ? A 的大小； arctan
1 2
（3）求点 C 到平面 PED 的距离。
5 5
ABCD 的边长为 4，侧棱 CC1 长为 25、 （07 武大）在正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中，底面
3，又 E 为 CC1 上一点，且 CE ? 1 。 （1）求 B1D 与平面 BDE 所成角的正弦值； （2）求四面体 A ? BED1 的体积。
2 82 41
16 3
26 、 （ 07 武 大 ） 在 棱 长 为
E、 F、 M 分 别 是 棱 ? 1A 1 BC a 的 正 方 体 ABCD 1 D 1中 ，
AB、BB1、A1D1 的中点。
（1）求证： CM ? 面 DEF ； （2）求点 M 到平面 DEF 的距离。
5 a 6
E、 F、 P 分 别 是 棱 27 、 （ 07 武 大 ） 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD ? 1 A1 BC 1 D 1中 ，
的中点。 AA 、 B 1、 C D 1 C 1 （1）求证： BE ? PF ； （2）求四面体 B ? PEF 的体积。
3 16
28、 （08 武大）在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中，E 为棱 AB 的中点。 （1）求二面角 B1 ? EC ? B 的正切值； 5 （2）求四面体 E ? B1D1C 的体积。
1 3 a 4
29、 （08 武大）在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中，E 为棱 CD 的中点。 （1）求证：四面体 A ? AC 1 1 E 与四面体 C ? AC 1 1E 的体积相等； （2）求点 A 到平面 AC 1 1 E 的距离。 a
1 3
30、 （08 浙大）有一个圆锥正放，它的高为 h ，圆锥内水面高为 h1 ， h1 ? 置，求倒置的水面高度 h2 。
3
2 h ，现将圆锥倒 3
26 h 3
31、 （09 南大）有一个圆柱杯子，底面周长为 12 cm ，高为 8 cm ，A 点在内壁距杯口 2 cm 处， A 对面外壁距杯底 2 cm 处有一只小虫， 问： 小虫至少走多长的路才能到 A 处饱餐一顿？ 10
32、 （10 五校） （1）一个正三棱锥的体积为
2 ，求它的表面积的最小值； 3 ? 3 16 3
（2）一个正 n 棱锥，体积为 V，求一个与 n 无关的充分必要条件，使得正 n 棱锥的表面积 取最小值。侧面与底面所成二面角为
? 1 时，取最小值 2 ? 3 3 ? n 3 ? V 3 ? tan 3 3 n
2 1 2 1
33、 （05 交大）有 3 个 12 cm ? 12 cm 的正方形，如图 a 所示，连结相邻两边的中点，把每 一个正方形分割成 A 与 B 两块，然后如图 b 所示，将这 6 块粘附于一个正六边形上，再折 叠成一个多面体，这个多面体的体积是多少？864
EF ? PA 34、 （09 华南） 正三棱锥 P ? ABC 中， 侧棱长为 3， 底面边长为 2， E 为 BC 的中点，
于 F。 （1）求证：EF 为异面直线 PA 与 BC 的公垂线； （2）求异面直线 PA 与 BC 的距离；
23 3
（3）求点 B 到面 APC 的距离。
46 4
