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第14讲+立体几何【范端喜】.docx

时间:2015-10-28


第十四讲 立体几何
自招重要考点: 1、 空间余弦定理 平面 M、N 相交于直线 l 。A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内,射线 DC 在平面 N 内。已知 ?BDC ? ? , ?BDA ? ? , ?CDA ? ? ,且 ?、?、 ? 都是锐角, ? 是二面角

M ? l ? N 的平面角,则 cos ? ?
2、 射影面积公式

cos ? ? cos ? cos ? 。 sin ? sin ?

在二面角的一个半平面上的任意凸多边形的面积为 S,此多边形在另一个半平面上射影 多边形的面积为 S ' ,又二面角的平面角度数为 ? ,则 S ' ? S ? cos ? 。 3、 欧拉公式 设 F、E 和 V 分别表示凸多边面体面、棱(或边) 、顶点的个数,则 F ? E ? V ? 2 。 利用欧拉公式可以导出正多面体只有以下五种:正四面体、正六面体(正方体) 、正八 面体、正十二面体、正二十面体。 真题讲解: 例 1、 (10 武大)有 4 条长为 2 的线段和 2 条长为 a 的线段,用这 6 条线段作为棱,构成一 个三棱锥。问 a 为何值时,可构成一个最大体积的三棱锥,最大值为多少?

a ? 2 2, V ?

2 3 3

例 2、 (10 同济)四面体 ABCD 中,AB 和 CD 为对棱。设 AB ? a , CD ? b ,且异面直线 AB 与 CD 间的距离为 d ,夹角为 ? 。 (1) 若 ? ? (2) 当 ? ?

? ?
2 2

,且棱 AB 垂直于平面 BCD,求四面体 ABCD 的体积; 时,证明:四面体 ABCD 的体积为一定值;

1 abd 6

(3) 求四面体 ABCD 的体积。

1 abd sin ? 6

例 3、 (09 华南)已知 A、B、C、D 是某球面上不共面的四点,且 AB ? BC ? AD ? 2,

BD ? AC ? 2, BC ? AD ,则此球的表面积等于

6?



例 4、 (08 复旦)三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,点 A、 BB 1 的中点 M 以及 B 1C1 的中点 N 所决定 的平面把三棱柱切割成体积不相同的两部分, 则小部分的体积和大部分的体积之比为 ( D ) (A)

1 3

(B)

4 7

(C)

11 17

(D)

13 23

例 5、 (09 清华)四面体 ABCD 中, AB ? CD, AC ? BD, AD ? BC 。 (1) 求证:这个四面体的四个面都是锐角三角形; (2) 设 底 面 为 BCD , 另 外 三 个 面 与 面 BCD 所 形 成 的 二 面 角 为 ? , ? , ? , 求 证 :

cos? ? cos ? ? cos ?? 。 1

例 6、 (09 复旦)半径为 R 的球内部装 4 个有相同半径 r 的小球,则小球半径 r 可能的最大 值是( B ) (A)

3 2? 3

R

(B)

6 3? 6

R

(C)

1 R 1? 3

(D)

5 2? 5

R

例 7、 ( 10 五校)正四棱锥 P ? ABCD 中, B1 为 PB 中点, D1 为 PD 中点,求两个棱锥

A ? B1CD1 、 P ? ABCD 的体积之比
1 8

VA? B1CD1 VP ? ABCD



例 8、 (09 南大)四面体 ABCD 中,平面 ? 截四面体所得截面为 EFGH,且 AB / / 平面 ? ,

CD / / 平面 ? ,AB 到平面 ? 的距离为 d1 ,CD 到平面 ? 的距离为 d2 ,
图形 ABEFGH 与四面体 ABCD 体积之比(用 k 表示) 。

d1 ? k 。求立方体 d2

k 3 ? 3k 2

? k ? 1?

3

练习巩固: 一、选择题 1、 (11 华约)两条异面直线互成 60? ,过空间中任一点 A 可以作出( B )平面与两异面 直线都成 45? 角。 (A)一个 (B)两个 (C)三个 (D)四个

2、 (11 卓越)在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,E 为棱 AA 1 的中点,F 是棱 A 1B 1 上的点,且

A1F : FB1 ? 1: 3 ,则异面直线 EF 与 BC1 所成角的正弦值为( B
(A)



15 3

(B)

15 5

(C)

5 3

(D)

5 5

3、 (01 复旦)全面积为定值 ? a 2 (其中 a ? 0 )的圆锥中,体积的最大值为( B )

(A)

2? a3 3

(B)

2 3 ?a 12

3 (C) ? a

1 6

(D)

3 3 ?a 6

4、 (06 复旦)若四面体的一条棱长为 x ,其余棱长均为 1,体积是 V ? x ? ,则 V ? x ? 在其定 义域上为( D ) (B)增函数且有最大值 (D)不是增函数但有最大值

(A)增函数但无最大值 (C)不是增函数且无最大值

?DAB ? 5、 (07 复旦) 已知四棱锥 P ? ABCD , 底面 ABCD 是菱形,
的余弦值为( (A) C ) (B)

PD ? 平面 ABCD , , 3 线段 PD ? AD ,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 PD 的中点,则二面角 P ? AB ? F 的平面角

?

1 2

2 5 5

(C)

5 7 14

(D)

3 7 14

6、 (08 复旦)棱长为 1 的正四面体 ABCD 中,点 M 和 N 分别是边 AB 和 CD 的中点,则线 段 MN 的长度为( A ) (A)

1 2

(B) 2

(C)

1 3

(D) 2

7、 (08 复旦) 若空间三条直线 a、b、c 两两成异面直线, 则与 a、b、c 都相交的直线有 ( D ) (A)0 条 (B)1 条 (C)多于 1 的有限条 (D)无穷多条

8、 (07 武大)下列命题不正确的是( B )

(A)过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直 (B)如果平面的一条斜线在平面内的射影与某条直线垂直,则这条斜线必与这条直线垂直 (C)两异面直线的公垂线有且只有一条 (D)如果两个平行平面同时与第三个平面相交,则它们的交线平行 9、 (10 复旦)设一个多面体从前面、后面、左面、右面、上面看到的图形为:

则该多面体的体积为( D ) (A)

2 3

(B)

3 4

(C)

4 5

(D)

5 6

10、 (10 复旦)在一个底面半径为

1 ,高为 1 的圆柱内放入一个直径为 1 的实心球后,在圆 2

柱内空余的地方放入和实心球、 侧面以及两个底面之一都相切的小球, 最多可以放入这样的 小球个数是( B (A)32 个 ) (B)30 个 (C)28 个 (D)26 个

11、 (10 复旦)设 ABC ? A ' B ' C ' 是正三棱柱,底面边长和高都是 1,P 是侧面 ABB ' A ' 的 中心点,则 P 到侧面 ACC ' A ' 的对角线的距离是( C ) (A)

1 2

(B)

3 4

(C)

14 8

(D)

3 2 8

12、 (09 复旦)三棱柱 ABC ? A ' B ' C ' 的底是边长为 1 的正三角形,高 AA ' ? 1 ,在 AB 上 取一点 P,设 ?PA ' C ' 与底的二面角为 ? , ?PB ' C ' 与底的二面角为 ? ,则 tan ?? ? ? ? 的 最小值是( C (A) ? ) (B) ?

3 3 4

6 3 15

(C) ?

8 3 13

(D) ?58 3

13、 (07 复旦)棱长为 a 的正方体内有两球互相外切,且两球各与正方体的三个面相切,则 两球半径之和为( C ) (A)无法确定 (B) a (C)

3? 3 a 2

(D)

5? 5 a 2

14、 (06 武大)已知一个简单多面体的每一个面均为五边形且它共有 30 条棱,则多面体的

面数 F 和顶点数 V 分别等于( A ) (A) F ? 12, V ? 20 (C) F ? 8, V ? 24 二、填空题 15、 (10 同济) 已知平面 ? ? ? , 点 A ?? , 点 B?? , AB 与平面 ? , ? 所成角分别为 (B) F ? 6, V ? 26 (D) F ? 208, V ? 12

? ?

, , 4 6

点 A 、 B 在平面 ? , ? 的交线 l 上的垂足分别为 A '、B ' ,则线段 AB 与 A ' B ' 的比值为 2 三、解答题 16、 (00 复旦)正六棱锥的高等于 h ,相邻侧面的二面角等于 2 arcsin 棱锥的体积。 。

1 3 2 ? 6 ,求该 2

?

?

3? 3 3 h 4

AB ? AC ,上底面的顶点 A1 17、 (01 复旦)已知棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的底面是等腰三角形,
在下底面的射影是 ?ABC 外接圆圆心,设 BC ? a, ?A1 AB ?

?
3

,棱柱的侧面积为 2 3a 。

2

(1)证明:侧面 A 1 ACC1 都是菱形, B 1BCC1 是矩形; 1 ABB 1和 A (2)求棱柱的侧面所成的三个二面角的大小; (3)求棱柱的体积。

? 3

1 3 a 2

18、 (04 复旦)已知 E 为棱长为 a 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱 AB 的中点,求点 B 到 平面 A 1EC 的距离。

6 a 6

19、 (04 同济)设四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,且 PA ? 平面

ABCD 。
(1)求证:直线 PC ? BD ; (2)过直线 BD 垂直于直线 PC 的平面交 PC 于点 E,如果三棱锥 E ? BCD 的体积取到最 大值,求此时四棱锥 P ? ABCD 的高。

1 12 2

20、 (05 复旦) 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A E、 F、 G 分别为 AD、AA 1B 1C1D 1 中, 1、A 1B 1 中点,求: (1)B 到面 EFG 的距离;

3 2 3 3

(2)二面角 G ? EF ? D1 的平面角 ? 。 arccos

21、 (10 五校)正四棱锥的体积为 4

2 ,求正四棱锥表面积的最小值。 3

22、 (10 五校)平面 ? / / 平面 ? ,直线 m ? ? , n ? ? ,点 A ? m, B ? n , AB 与 ? 面平角 为

? 4

? ? , AB ? n , AB 与 m 夹角为 ,求 m 与 n 的夹角。 4 3

23、 (05 武大)在边长为 3 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,M 在棱 CC1 上, C1M ? 1 。 (1)求点 B 到平面 AMB1 的距离;

9 19 19 2 6

(2)求 BC 和平面 AMB1 所成角的正切值。

24、 (06 武大)已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 2 的菱形,且 ?BAD ? 60? , PA ? 平面 ABCD ,且 PA ? 1 , E、F 分别是 BC、PA 的中点。 (1)求证: BF / / 平面 PED ; (2)求二面角 P ? DE ? A 的大小; arctan

1 2

(3)求点 C 到平面 PED 的距离。

5 5

ABCD 的边长为 4,侧棱 CC1 长为 25、 (07 武大)在正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,底面
3,又 E 为 CC1 上一点,且 CE ? 1 。 (1)求 B1D 与平面 BDE 所成角的正弦值; (2)求四面体 A ? BED1 的体积。

2 82 41

16 3

26 、 ( 07 武 大 ) 在 棱 长 为

E、 F、 M 分 别 是 棱 ? 1A 1 BC a 的 正 方 体 ABCD 1 D 1中 ,

AB、BB1、A1D1 的中点。
(1)求证: CM ? 面 DEF ; (2)求点 M 到平面 DEF 的距离。

5 a 6

E、 F、 P 分 别 是 棱 27 、 ( 07 武 大 ) 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD ? 1 A1 BC 1 D 1中 ,
的中点。 AA 、 B 1、 C D 1 C 1 (1)求证: BE ? PF ; (2)求四面体 B ? PEF 的体积。

3 16

28、 (08 武大)在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,E 为棱 AB 的中点。 (1)求二面角 B1 ? EC ? B 的正切值; 5 (2)求四面体 E ? B1D1C 的体积。

1 3 a 4

29、 (08 武大)在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,E 为棱 CD 的中点。 (1)求证:四面体 A ? AC 1 1 E 与四面体 C ? AC 1 1E 的体积相等; (2)求点 A 到平面 AC 1 1 E 的距离。 a

1 3

30、 (08 浙大)有一个圆锥正放,它的高为 h ,圆锥内水面高为 h1 , h1 ? 置,求倒置的水面高度 h2 。
3

2 h ,现将圆锥倒 3

26 h 3

31、 (09 南大)有一个圆柱杯子,底面周长为 12 cm ,高为 8 cm ,A 点在内壁距杯口 2 cm 处, A 对面外壁距杯底 2 cm 处有一只小虫, 问: 小虫至少走多长的路才能到 A 处饱餐一顿? 10

32、 (10 五校) (1)一个正三棱锥的体积为

2 ,求它的表面积的最小值; 3 ? 3 16 3

(2)一个正 n 棱锥,体积为 V,求一个与 n 无关的充分必要条件,使得正 n 棱锥的表面积 取最小值。侧面与底面所成二面角为

? 1 时,取最小值 2 ? 3 3 ? n 3 ? V 3 ? tan 3 3 n
2 1 2 1

33、 (05 交大)有 3 个 12 cm ? 12 cm 的正方形,如图 a 所示,连结相邻两边的中点,把每 一个正方形分割成 A 与 B 两块,然后如图 b 所示,将这 6 块粘附于一个正六边形上,再折 叠成一个多面体,这个多面体的体积是多少?864

EF ? PA 34、 (09 华南) 正三棱锥 P ? ABC 中, 侧棱长为 3, 底面边长为 2, E 为 BC 的中点,
于 F。 (1)求证:EF 为异面直线 PA 与 BC 的公垂线; (2)求异面直线 PA 与 BC 的距离;

23 3

(3)求点 B 到面 APC 的距离。

46 4


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