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黑龙江省哈三中2010-2011学年度上学期高三学年9月份月考数学试题(理工类)

时间:2013-06-14


哈三中 2010-2011 学年度上学期高三学年 9 月份月考数学试题(理工类)
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的班级、姓名、考号和序号填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂在机读卡上,请在各题目的答题区域内作答; (3)只交机读卡和答题卡.

第I卷

(选择题,共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.函数 y ? 1 ? x ? x 的定义域为( A.{ x | x ≤1} C.{ x | x ≥1 或 x ≤0} 2.下列命题中假命题的是( ). B. ?x ? ? 0, ). B.{ x | x ≥0} D.{ x |0≤ x ≤1}

A. ?x0 ? R , sin x0 ? cos x0 ? 2 C. ?x ? R , 2 ? 0
x

? ?? ? , x ? tan x ? 2?

D. ?x0 ? R , ln x0 ? 0 ). D.4

3.若 f ( x) ? ? A.1

? f ( x ? 3) ( x ? 6) , 则 f (?1) 的值为( ?log2 x ( x ? 6)
B.2 C.3

4.函数 y ? log 0.5 ( x ? A. (??, 2]

1 ? 1)( x ? 1) 的值域是( ). x ?1 B. (??, ?2] C. [2, ??)
x

D. [?2, ??)
x

5.若 lg a ? lg b ? 0 (其中 a ? 1, b ? 1 ),则函数 f ( x) ? a 与g ( x) ? b 的图象 ( A.关于直线 y ? x 对称 B.关于 x 轴对称 C.关于 y 轴对称 D.关于原点对称 6.下列函数中,在其定义域上是减函数的是( A. f ( x) ? ? x ? x ? 1
2

).

).

B. f ( x) ?

1 x

C. f ( x ) ? ( )

1 3

| x|

D. f ( x) ? ln(2 ? x)

7.若函数 f ( x) ? (a ? A. ? 1

1 ) cos x 是奇函数 ,则常数 a 的值等于( e ?1 1 1 B. 1 C. ? D. 2 2
x

).

? 2 1 x?0 ?x ? 2 x ? ? 2 8.函数 f ? x ? ? ? 的零点个数为( ? ? lg x ? 1 x ? 0 ?
A. 1 个 9. 若集合 A ? ?x, y ? y ? 数 k 的取值范围为( A. ? ?

).

?

B. 2 个

C. 3 个

? ? x 2 ? 4 x , B ? ? x, y? y ? k ?x ? 2??,若集合 A ? B 有两个元素,则实
). B. ? ?

?

D. 4 个

? ? ?

3 ? ,0 ? 3 ? ?

? ? ?

3 3? ? , 3 3 ? ?

C. ? ?

? ? ?

3 ? ,0 ? 3 ?
5 2

D. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

10.定义在 R 上的函数 y ? f (x) 满足 f (5 ? x) ? f (? x) , ( x ? ) f ( x) ? 0 ,已知 x1 ? x2 ,则
/

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 是 x1 ? x2 ? 5 的(
A.充分不必要 B.必要不充分

)条件. C.充分必要 D.既不充分也不必要 ).

11.已知函数 y ? f (x) 的图象如图①所示,则图②是下列哪个函数的图象(

A. y ? ? f x

? ?

B. y ? f ? x

? ?

C. y ? ? f ? x

? ?

D. y ? ? f ?? x?

12.已知函数 y ? f (x) , x ? R ,有下列 4 个命题: ①若 f (1 ? 2 x) ? f (1 ? 2 x) ,则 f (x) 的图象自身关于直线 x ? 1 对称; ② f ( x ? 1) 与 f (1 ? x) 的图象关于直线 x ? 1 对称; ③若 f (x) 为偶函数,且 f (1 ? x) ? ? f ( x) ,则 f (x) 的图象自身关于直线 x ? 1 对称; ④若 f (x) 为奇函数,且 f ( x) ? f (? x ? 2) ,则 f (x) 的图象自身关于直线 x ? 1 对称;

其中正确命题的序号为( A. ①③ B. ②④

). D. ①②③④ (非选择题,共 90 分)

C. ①②③

第Ⅱ卷

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡的相应位置) 13.当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x1.1 , g ( x) ? x 0.9 , h( x) ? x ?2 的大小关系是______________. 14.函数 f ( x) ?

x ? 1 的单调递增区间为

.

15. 已知一次函数 f (x) 满足:对任意的 x ? ?1 ,有 e x ? 1 ? f ( x) ? ln(x ? 1) 成立,则 f (x) 的 解析式为
2

.

16. 若对任意的 x ? 2 , x ? ax ? 3 ? a 恒成立,则 a 的取值范围是

.

三、解答题(本题共 6 小题,总分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 2 x ? 2 x?1 ? 3 ,求 f (x) 的值域。

18.(本小题满分 12 分)在调查的 480 名上网的学生中有 38 名学生睡眠不好, 520 名不上网的学 生中有 6 名学生睡眠不好,利用独立性检验的方法来判断是否能以 99 % 的把握认为“上网和 睡眠是否有关系”.

n(ad ? bc) 2 附: K ? ; (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

参考数据
P K 2 ? k0

?

?

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025 0.010

0.005

0.001

k0

1.323 2.072

2.706 3.841 5.024 6.635

7.879 10 .828

2 42064 ? 2496 ? 104991744 , 1688 ? 2849344 .

19.(本小题满分 12 分)如图:在矩形 ABCD 内,两个圆 M 、 N 分别 与矩形两边相切,且两圆互相外切。若矩形的长和宽分别为 9 和 8 , 试把两个圆的面积之和 S 表示为圆 M 半径 x 的函数关系式,并求

S 的最大值和最小值。

20. 本小题满分 12 分) ( 设向量 a ? ( x ? 1, y),b ? ( x ? 1, y) , P ( x, y ) 为动点, 已知 a ? b ? 4 。 点 (1)求点 p 的轨迹方程; (2)设点 p 的轨迹与 x 轴负半轴交于点 A ,过点 F (1,0) 的直线交点 P 的轨迹于 B 、C 两点, 试推断 ?ABC 的面积是否存在最大值?若存在,求其最大值;若不存在,请说明理由。

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) , g ( x ) ? (1)求 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间;

x 。 x ?1

(2)求证:当 ? 1 ? x1 ? 0 ? x2 时, f ( x1 ) g ( x2 ) ? f ( x2 ) g ( x1 ) ? 0 ; (3)求证: f ( x) ? xg( x) ? 0 恒成立。
2

请考生在第 22、23、两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,试题答在答题卡 22 题位置,并注明题号。 22.(本小题满分 10 分)从⊙ O 外一点 P 引圆的两条切线 PA , PB 及一条割线 PCD , A 、 B 为 切点.求证:

AC AD ? . BC BD
D

A

O C
B P

23.(本小题满分 10 分)在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极

? 3 t, ? x ? ?3 ? ? 2 ( t 为参 坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4 cos? ,直线 l 的参数方程是 ? ? y ? 1t. ? 2 ?
数)。 (1) 求极点在直线 l 上的射影点 P 的极坐标; (2) 若 M 、 N 分别为曲线 C 、直线 l 上的动点,求 MN 的最小值。

哈三中 2010-2011 学年度上学期高三学年 9 月份月考

数学试题答案(理工类)
一.选择题:1---12 DACBC DDDCC CD 二.填空题: 13. f ( x) ? g ( x) ? h( x) 14. [1,??) 15. f ( x) ? x 16. (?7,2) 三.解答题:
x 17.解:令 t ? 2 ,则 t ? 0 ,

f ( x) ? 2 x

? ?

2

? 2 ? 2 x ? 3 ? t 2 ? 2t ? 3 ,

2 令 g (t ) ? t ? 2t ? 3 (t ? 0) ,

则 g (t ) 在 [?1,??) 上单调递增, 故 f ( x) ? g (t ) ? g (0) ? 3 , 故 f (x) 的值域为 (3,??) 。

18.解:由题中数据列表如下:

睡眠好 不上网 上网 总计 514 442 956

睡眠不好 6 38 44

总计 520 480 1000

由上表: a ? 514, b ? 6, c ? 442, d ? 38, 则K ?
2

1000 514? 38 ? 442? 6) 2 ( ? 27.14 520? 480? 44 ? 956

由参考数据得 P( K 2 ? 6.635 ? 0.010 ) 而 27 .14 ? 6.635 , 故可以以 99 %的把握认为“上网和睡眠有关系”。 19.解:设圆 N 的半径为 r , 过点 M , N 分别作矩形两边的平行线,易知:

?9 ? ?x ? r ??2 ? ?8 ? ?x ? r ??2 ? ( x ? r) 2 ,
解得: x ? r ? 5 或 x ? r ? 29 (舍) 因而 S ? ?x ? ?r ? ? (2 x ? 10x ? 25) 。
2 2 2

? 2x ? 8 ? 又 ? 2r ? 8 ,则 1 ? x ? 4 , ?r ? 5 ? x ?
易知:当 x ?

5 25 ?; 时, S min ? 2 2

当 x ? 1 或 x ? 4 时, S max ? 17? 。 故 S min ?

25 ? , S max ? 17? 。 2

2 2 2 20 解:(1)由已知, ( x ? ) ? y ? ( x ? 1) ? 1 ? 4 ,所以动点 P 的轨迹 M

是以点 E (?1,0), F (1,0) 为焦点,长轴长为 4 的椭圆。因为 c ? 1, a ? 2 ,则 b ? a ? c ? 3 。故
2 2 2

动点 P 的轨迹 M 方程是

x2 y2 ? ? 1 ---------------4 分 4 3

(2)

设直线 BC 的方程 x ? m y ? 1 (1)

x2 y2 ? ? 1 (2) 可得 (3m 2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 , 4 3
设点 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 则 y1 ? y 2 ? ? 所以 | BC |?

6m ?9 , y1 y 2 ? ,-----------3 分 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

m 2 ? 1 ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 =

12(m 2 ? 1) 3m 2 ? 4

------------1 分

点 A 到直线 BC 的距离 d ?

3 1 ? m2

----------1 分

S ?ABC ?

1 18 1 ? m 2 -------------1 分 | BC | d ? 2 3m 2 ? 4

令 1 ? m2 ? t

S ?ABC ?

1 18t 18 9 | BC | d ? 2 ? ? 1 2 2 3t ? 1 3t ? t
9 ----------------2 分 2 x , x ? ?1 , x ?1

故三角形的面积最大值为

21.解:(1) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln( x ? 1) ?

h / ( x) ?

1 1 x , ? ? 2 x ? 1 ?x ? 1? ?x ? 1?2

/ 令 h ( x) ? 0 ,得: ? 1 ? x ? 0 ,则 h(x) 在 (?1,0) 上单调递减; / 令 h ( x) ? 0 ,得: x ? 0 ,则 h(x) 在 (0,??) 上单调递增。

故增区间为 (0,??) ,减区间为 (?1,0) 。 (2)由(1)知 h( x) min ? h(0) ? 0 ,则当 x ? ?1 时 f ( x) ? g ( x) 恒成立。

f / ( x) ?

1 1 ? 0 , g / ( x) ? ? 0, x ?1 ( x ? 1) 2

则 f (x) 、 g (x) 在 (?1,??) 上均单调递增。 易知: 0 ? f ( x1 ) ? g ( x1 ) , f ( x2 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,

则 ? f ( x2 ) g ( x1 ) ? ? f ( x1 ) g ( x2 ) , 即: f ( x1 ) g ( x2 ) ? f ( x2 ) g ( x1 ) ? 0 。 (3) f ( x) ? xg ( x) ? ln ( x ? 1) ?
2 2

x2 , x ?1

令 F ( x) ? ln ( x ? 1) ?
2

x2 , x ?1

则 F / ( x) ?

2 ln(x ? 1) x 2 ? 2 x 2( x ? 1) ln(x ? 1) ? ( x 2 ? 2 x) , ? ? x ?1 ?x ? 1?2 ?x ? 1?2

令 G( x) ? 2( x ? 1) ln(x ? 1) ? ( x 2 ? 2 x) , 则 G / ( x) ? 2 ln(x ? 1) ? 2x , 令 H ( x) ? 2 ln(x ? 1) ? 2 x , 则 H ( x) ?
/

2 ? 2x ?2? 。 x ?1 x ?1

当 ? 1 ? x ? 0 时, H / ( x) ? 0 ,则 H (x ) 在 ?? 1,0? 上单调递增;
/ 当 x ? 0 时, H ( x) ? 0 ,则 H (x ) 在 ?0,??? 上单调递减, / 故 H ( x) ? H (0) ? 0 ,即 G ( x) ? 0 ,

则 G (x) 在 ?? 1,??? 上单调递减。
/ 当 ? 1 ? x ? 0 时, G( x) ? G(0) ? 0 ,即 F ( x) ? 0 ,则 F (x) 在 ?? 1,0? 上单调递增; / 当 x ? 0 时, G( x) ? G(0) ? 0 ,即 F ( x) ? 0 ,则 F (x) 在 ?0,??? 上单调递减,

故 F ( x) ? F (0) ? 0 , 即 f ( x) ? xg( x) ? 0 。
2

22.证明:

?CAP ? ?ADP? AC AP ? ,① ? ? △ CAP ∽△ ADP ? AD DP ?CPA ? ?APD?

?CBP ? ?BDP? BC BP ? ,② ? ? △ CBP ∽△ BDP ? DB DP ?CPB ? ?BPD?

又 AP ? BP ,③ 由①②③知:

AC BC AC AD ? ? ,故 。 AD BD BC BD

23.解:(1)由直线的参数方程消去参数 t 得 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 , 则 l 的一个方向向量为 a ? (3, 3) , 设 P(?3 ?

3 1 3 1 t , t ) ,则 OP ? (?3 ? t, t ) , 2 2 2 2
3 3 3 3, t) ? t ? 0 ,得: t ? 2 2 2

又 OP ? a ,则 3(?3 ? 将t ?

3 3 3 3 2 3 代入直线 l 的参数方程得 P(? , 3 ) ,化为极坐标为 P ( , ? ) 。 2 4 4 2 3

(2) ? ? 4 cos? ? ? 2 ? 4? cos? , 由 ? 2 ? x 2 ? y 2 及 x ? ? cos? 得 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 , 设 E (2,0) ,则 E 到直线 l 的距离 d ? 则 MN

5 , 2

min

? d ?r ?

1 。 2


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