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人教版--解直角三角形知识点总结与例题

时间:2018-08-04


知识点总结: 一、锐角三角函数的定义 锐角角 A 的正弦( sin ) , 余弦( cos )和正切( tan ) , 余切( cot )以及正割( sec ) , (余割 csc )都叫做角 A 的锐角三角函数。 正弦( sin )等于对边比斜边, 余弦( cos )等于邻边比斜边 正切( tan )等于对边比邻边; 余切( cot )等于邻边比对边 正切与余切互为倒数,互余角的三角函数间的关系。 sin (90° - α )=cos α , cos(90° - α )=sin α , tan (90° - α )=cot α , cot(90° - α )=tan α . 同角三角函数间的关系 平方关系: tanα=sinα/cosα,sin2α+cos2α=1 ·积的关系: ·倒数关系: tan α ·cot α =1 ; sin α ·csc α =1 ; cos α ·sec α =1 直角三角形 ABC 中 , 角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边 , 余弦等于角 A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边 , 余切等于邻边比对边 三角函数值 ( 1 )特殊角三角函数值 ( 2 )0°~90°的任意角的三角函数值,查三角函数表。 ( 3 )④tanA的值越大,梯子越陡,∠A越大;∠A越大,梯子越陡,tanA的值越大。 ( i )锐角三角函数值都是正值 ( ii )当角度在 0°~90°间变化时, 正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) 正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) ( iii ) 当角度在 0°≤ α ≤90°间变化时, 0≤sin α ≤1, 1≥cos α ≥0, 当角度在 0°< α <90°间变化时, tan α >0, cot α >0. 特殊的三角函数值 二、解直角三角形 勾股定理,只适用于直角三角形(外国叫“毕 达哥拉斯定理”) a^2+b^2=c^2, 其中 a 和 b 分别为直角三 角形两直角边, c 为斜边。 勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如: 3 , 4 , 5 。他们 分别是 3 , 4 和 5 的倍数。 常见的勾股弦数有: 3 , 4 , 5 ; 6 , 8 , 10 ;等等 . 直角三角形的特征 ⑴直角三角形两个锐角互余; ⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; ⑶直角三角形中 30°所对的直角边等于斜边的一半; ⑷勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方,即:

在 Rt△ABC 中,若∠C=90°,则 a +b =c ; ⑸勾股定理的逆定理: 如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和, 则这个三 2 2 2 角形是直角三角形,即:在△ABC 中,若 a +b =c ,则∠C=90°; 2 2 2 ⑹射影定理:AC =AD AB,BC =BD AB,CD =DA DB. A 锐角三角函数的定义: A D 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°, ∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c, b a 则 sinA= ,cosA= ,tanA= , c c b 解直角三角形(Rt△ABC,∠C=90°) 2 2 2 ⑴三边之间的关系:a +b =c . ⑵两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°. . ⑶边角之间的关系:sinA=

2

2

2

a

C

B

b

c

C

a

B

?A 的对边 a ?A 的邻边 b = ,cosA= = . 斜边 c 斜边 c ?A 的对边 a ?A 的邻边 b = ,cotA= = . ?A 的邻边 b ?A 的对边 a

tanA=

⑷解直角三角形中常见类型: ① 知一边一锐角.②已知两边.③解直角三角形的应用. 三、例题讲解: 选择题 1.已知 ? A 是锐角,且 sin A ?

1 ,那么 tan A ? ( 2
C.



A.

2 2

B.

3 2

3 3

D. 3

2.若把一个直角三角形的两条直角边都扩大 n 倍, ( n 是大于 1 的自然数) ,则两个锐角的三 角函数值( ) B.都缩小为原来的

A.都变大为原来的 n 倍 C.不变化

1 n


D.各个函数值变化不一致

3.如图, 在△ABC 中, CD⊥AB, 垂足为 D.下列条件中, 能证明 △ABC 是直角三角形的有 ( ①∠A+∠B=90° A. ①②③ ② AB ? AC ? BC
2 2 2



AC CD ? AB BD

④ CD ? AD ? BD
2

B. ②③④

C. ①②④

D. ①②③④

4、sinA= A.30°

,∠A=( B.60°

) C.20° D.45°

5、如图,在△ABC 中,∠C=90°,若 AB=5,AC=4, 则 sin∠B= A. 3 5 B. 4 5 C. 3 4 D. 4 3

6.如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB 的坡度 i=1: 3 ,则坡角的大小为( A.60° 填空题 B.30° C.45° D.无法确定



1.如图 3,已知在直角三角形 ABC 中,∠C=90°,AC= 5 3 ,BC=5,则∠B=________度.

2、课外活动小组测量学校旗杆的高度,如图 4,当太阳光线与地面成 30°角时,测得旗杆 AB 在地面上的投影 BC 长为 24 米,则旗杆 AB 的高度是___________米.(保留根号形式)

3. 一人乘雪橇沿坡比 1∶ 3 的斜坡笔直滑下,滑下的距离 s (米) 与时间 t (秒)间的关系为 s ? 10 t ? 2t ,若滑到坡底的时间为 4 秒,
2

则坡角的度数是

0

, 此人下降的高度为

米。

4、计算:sin30°=_________.

5. (1) 2sin 30 ? cot 45 ?
0 0



5 ,那么 cos B ? 12 ,AB ? 3,BC ? 2 ,则 cos A 的值是 6、在 Rt△ ABC 中, ?C ? 90°
(2)在△ABC 中,∠C=90° ,如果 tan A ? 7.已知,如下图,在 Rt△ ABC 中, ?BAC ? 90° ,AD ? BC,AC ? 2, BD ? 3 则 AB ? AC ? AD ?
2 2 2

8.如图,一水库迎水坡 AB 的坡度 i ? 1 ︰ 3 ,则该坡的坡角 ? =

.

9. 如图:在 Rt△ABC 中, ?C ? 90 , ?A ? 30 ,在 AC 上取一点 D,使得 CD ? BC ,
0 0

则 sin ?ABD ?
A D E B C F



A

第 16 题图

D

第 17 题图

B

C

解答题 1、计算: sin 30? ? cos 45? ?
2

1 tan 2 60? 3

2、(8 分)已知:∠A 是锐角,且 sin A ?

3 ,求 tan 2 A ? cot 2 A 的值 5

3、(8 分)某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象,已知废墟一侧地面上 探测点 A、B 相距 4m,探测线与地面的夹角分别是 30? 和 60?,试确定生命所在点 C 的深 度(结果精确到 0.1m,参考数据: 2≈1.414, : 3≈1.732).

B 60? A C

30?

4、如图 6,厦门海关缉私艇在点 0 出发现正北方向 30 3 海里的 A 处有一艘可疑船只,测 得它正以 60 海里/时的速度向正东方向航行,随即调整方向,按北偏东 60°的方向追赶,准 备在 B 处迎头拦截.问经过多少时间能赶上?缉私艇的速度为多少?(保留根号形式) (7 A 分) 北 O 图6

B

5、 (本题满分 8 分)我市准备在相距 2 千米的 A、B 两工厂间修一条笔直的公路,但在 B 地北偏东 60°方向、A 地北偏西 45°方向的 C 处,有一个半径为 0.6 千米的住宅小区 (见下图) , 问修筑公路时, 这个小区是否有居民需要搬迁? (参考数据: 2 ? 1.41,

3 ? 1.73)

第 22 题图

6、. (本题满分 8 分) 如图,海上有一灯塔 P,在它周围 4 千米内有暗礁,一艘轮船以每小时 9 千米的速 度由东向西行驶,行至 A 处测得灯塔 P 在它的北偏西 75?,继续行驶一小时到达 B 处, 又测得灯塔 P 在它的北偏西 60?,试问:若客轮不改变航向,是否有触礁的危险? (参考数据: sin 15? ? , cos15? ? 2 ? 3 , 6? 2 6? 2

1

t an15? ?

1 2? 3

, cot15? ? 2 ? 3 ;

2 ? 1.4 , 3 ? 1.7 , 6 ? 2.4 )

P





60 0
B

750
A

7.(本题满分 10 分) ? 第 9 题图 如图,格点图中的每个小方格都是边长为 1 的正方形. 在建立平面直角坐标系后,点 A(-2,0) ,B(2,0) .(下列画图要求均为格点图形且不得超出已给格点图) (1)画出 Rt△ABC,使得 tan ?CAB ?

y

x

1 ,并写出 C 点坐标___________; 2

(2)把(1)中 Rt△ABC 以点 A 为位似中心放大,使放大前后对应边长的比为 2:3,?画 出△ AB ?C ? 的图形; (3)是否存在点 D,使得在 Rt△ACD 中满足 tan ?CAD ? ___________;若不存在,说明理由.

1 ,若存在,请写出 D 点坐标 2

y

A

O

B

x


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