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曲线轨迹方程求法(理科数学)

时间:2015-09-29


高中数学复习专题讲座 曲线的轨迹方程的求法

高考要求

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求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一

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求符合某种条件

的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其 转化为寻求变量间的关系
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这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义,性

质等基础知识的掌握, 还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和 运算能力,因此这类问题成为高考命题的热点,也是同学们的一大难点
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重难点归纳

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求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法

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(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标 化,列出等式化简即得动点轨迹方程
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(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、 双曲 线、抛物线、圆等),可用定义直接探求 (3)相关点法 程
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根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方

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(4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的 x,y 分别随另一变量的变化而变 化,我们可以以这个变量为参数,建立轨迹的参数方程 求轨迹方程,一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 与“轨迹方程”是两个不同的概念
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要注意区别“轨迹”

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典型题例示范讲解

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y
2 2

例 1 如图所示,已知 P(4,0)是圆 x +y =36 内的一 点, A、 B 是圆上两动点, 且满足∠APB=90°, 求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程 命题意图
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B

Q

R A

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o

P

x

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本题主要考查利用“相关点代入法”求
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曲线的轨迹方程 知识依托
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利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段 AB
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中点的轨迹方程 错解分析
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欲求 Q 的轨迹方程,应先求 R 的轨迹方程,若学生思考不
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深刻,发现不了问题的实质,很难解决此题 技巧与方法
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对某些较复杂的探求轨迹方程的问题,可先确定一个较

易于求得的点的轨迹方程, 再以此点作为主动点, 所求的轨迹上的点为相关 点,求得轨迹方程 解
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设 AB 的中点为 R,坐标为(x,y),则在 Rt△ABP 中,|AR|=|PR|
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又因为 R 是弦 AB 的中点,依垂径定理 |OR| =36-(x +y ) 又|AR|=|PR|= ( x ? 4) 2 ? y 2
2 2 2

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在 Rt△OAR 中,|AR| =|AO| -

2

2

所以有(x-4) +y =36-(x +y ),即 x +y -4x-10=0 因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上 运动
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2

2

2

2

2

2

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设 Q(x,y),R(x1,y1),因为 R 是 PQ 的中点,所以 x1= 代入方程 x +y -4x-10=0,得
2 2

x?4 y ?0 , , y1 ? 2 2

(

x?4 2 y x?4 -10=0 ) ? ( )2 ? 4 ? 2 2 2

整理得

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x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程
2

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例 2 设点 A 和 B 为抛物线 y =4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知

OA⊥OB,OM⊥AB,求点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线
命题意图 知识依托
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本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程 直线与抛物线的位置关系
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错解分析

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当设 A 、B 两点的坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2) 时,注意对
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“x1=x2”的讨论 技巧与方法

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将动点的坐标 x、y 用其他相关的量表示出来,然后再消
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掉这些量,从而就建立了关于 x、y 的关系 解法一
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设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0)
y A

直线 AB 的方程为 x=my+a

y 由 OM⊥AB,得 m=- x
由 y =4px 及 x=my+a,消去 x,得 y -4pmy-4pa=0 所以 y1y2=-4pa, x1x2=
2 2

o

N
M B

x

( y1 y2 ) 2 ? a2 2 (4 p)

所以,由 OA⊥OB,得 x1x2 =-y1y2 所以 a ? 4 pa ? a ? 4 p
2

故 x=my+4p,用 m=-

y 2 2 代入,得 x +y -4px=0(x≠0) x
2 2

故动点 M 的轨迹方程为 x +y -4px=0(x≠0),它表示以(2p,0)为圆心, 以 2p 为半径的圆,去掉坐标原点 解法二
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设 OA 的方程为 y ? kx ,代入 y =4px 得 A(
2

2p 2p , ) k2 k

1 x ,代入 y2=4px 得 B(2 pk 2 , ?2 pk ) k k ( x ? 2 p) ,过定点 N (2 p, 0) , ∴AB 的方程为 y ? 1? k 2
则 OB 的方程为 y ? ?

由 OM⊥AB,得 M 在以 ON 为直径的圆上(O 点除外) 故动点 M 的轨迹方程为 x +y -4px=0(x≠0),它表示以(2p,0)为圆心, 以 2p 为半径的圆,去掉坐标原点 解法三
2
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设 M(x,y) (x≠0),OA 的方程为 y ? kx ,

2p 2p , ) k2 k 1 则 OB 的方程为 y ? ? x ,代入 y2=4px 得 B(2 pk 2 , ?2 pk ) k
代入 y =4px 得 A( 由 OM⊥AB,得 M 既在以 OA 为直径的圆 又在以 OB 为直径的圆 外) , ① ?k +②得 x +y -4px=0(x≠0)
2
2 2
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x2 ? y 2 ?

2p 2p x? y ? 0 ??①上, 2 k k

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(O 点除 x2 ? y 2 ? 2 pk 2 x ? 2 pky ? 0 ??②上

故动点 M 的轨迹方程为 x +y -4px=0(x≠0),它表示以(2p,0)为圆心, 以 2p 为半径的圆,去掉坐标原点
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例 3 某检验员通常用一个直径为 2 cm 和一个直径为 1 cm 的标准圆柱, 检测一个直径为 3 cm 的圆柱,为保证质量,有人建议再插入两个合适的同 号标准圆柱,问这两个标准圆柱的直径为多少? 命题意图
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本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程,及将实际问题转
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化为数学问题的能力 知识依托
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圆锥曲线的定义,求两曲线的交点

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错解分析

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正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺
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利解答此题的关键 技巧与方法
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研究所给圆柱的截面,建立恰当的坐标系,找到动圆圆

心的轨迹方程 解
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设直径为 3,2,1 的三圆圆心分别为 O、A、B,问题转化为求两等圆
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P、Q,使它们与⊙O 相内切,与⊙A、⊙B 相外切

y
P

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建立如图所示的坐标系,并设⊙P 的半径为 r,则 |PA|+|PO|=(1+r)+(1
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5-r)=2

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5
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A

o
Q

B

x

∴点 P 在以 A、O 为焦点,长轴长 2 其方程为

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5 的椭圆上,

1 16( x ? ) 2 2 4 ? 2 y =1 25 3



同理 P 也在以 O、B 为焦点,长轴长为 2 的椭圆上,其方程为 (x-

1 2 4 2 ) + y =1 2 3



由①、②可解得 P(

9 12 9 12 , ), Q( ,? ) , 14 14 14 14

∴r=

3 9 12 3 ? ( )2 ? ( )2 ? 2 14 14 7

故所求圆柱的直径为

6 cm 7

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例 4 已知 A、B 为两定点,动点 M 到 A 与到 B 的距离比为常数λ ,求点 M 的轨迹方程,并注明轨迹是什么曲线 解
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y
M(x,y)

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建立坐标系如图所示,
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设|AB|=2a,则 A(-a,0),B(a,0) 设 M(x,y)是轨迹上任意一点 则由题设,得
2 2
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A(-a,0)

o

B(a,0)

x

( x ? a) 2 ? y 2 | MA | =λ ,坐标代入,得 =λ ,化简得 | MB | ( x ? a) 2 ? y 2
2 2 2 2 2

(1-λ )x +(1-λ )y +2a(1+λ )x+(1-λ )a =0

(1)当λ =1 时,即|MA|=|MB|时,点 M 的轨迹方程是 x=0,点 M 的轨迹是 直线(y 轴)
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(2)当λ ≠1 时,点 M 的轨迹方程是 x +y +

2

2

2a(1 ? ?2 ) x+a2=0 1 ? ?2

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点 M 的轨

迹是以(-

a (1 ? ?2 ) 2 a? ,0)为圆心, 为半径的圆 2 1? ? | 1 ? ?2 |

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学生巩固练习 1
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已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 ) D
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Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点 Q 的轨迹是(
A 2
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B

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椭圆

C

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双曲线的一支

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抛物线

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设 A1、A2 是椭圆

x2 y2 ? =1 的长轴两个端点,P1、P2 是垂直于 A1A2 9 4
)

的弦的端点,则直线 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程为( A
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y2 x2 ? ?1 9 4 y2 x2 ? ?1 C D 9 4 a a 3 △ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B(- ,0),C( ,0),且满足 2 2 1 条件 sinC-sinB= sinA,则动点 A 的轨迹方程为_________ 2
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x2 y2 ? ?1 9 4 x2 y2 ? ?1 9 4

B

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4

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高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距 10 m,如果把
E F
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两旗杆底部的坐标分别确定为 A(-5,0)、B(5,0),则地 面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________ 5
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O' D A B C

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已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,且|AB|=|BC|=6,

⊙O′切直线 l 于点 A,又过 B、C 作⊙O′异于 l 的两切线,设这两切线交 于点 P,求点 P 的轨迹方程
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6

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双曲线

x2 y2 ? =1 的实轴为 A1A2,点 P 是双曲线上的一个动点,引 a 2 b2
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A1Q⊥A1P,A2Q⊥A2P,A1Q 与 A2Q 的交点为 Q,求 Q 点的轨迹方程
7 已知双曲线

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x2 y2 ? =1(m > 0,n > 0) 的顶 m2 n2

y M A1 o A2

P

点为 A1、A2,与 y 轴平行的直线 l 交双曲线于点 P、

Q

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x

(1)求直线 A1P 与 A2Q 交点 M 的轨迹方程;
Q

(2)当 m≠n 时,求所得圆锥曲线的焦点坐标、 准线方程和离心率 8 已知椭圆
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x2 y2 ? =1(a>b>0),点 P 为其上一点,F1、F2 为椭圆的 a 2 b2
y P Q R

焦点, ∠F1PF2 的外角平分线为 l, 点 F2 关于 l 的对称点为 Q,

F2Q 交 l 于点 R

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(1)当 P 点在椭圆上运动时,求 R 形成的轨迹方程; (2)设点 R 形成的曲线为 C,直线 l
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F1

o

F2

x

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y=k(x+ 2 a)与曲
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线 C 相交于 A、B 两点,当△AOB 的面积取得最大值时,求 k 的值

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参考答案 1
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∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,

∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a, 即|F1Q|=2a,∴动点 Q 到定点 F1 的距离等于定长 2a,故动点 Q 的轨迹是圆 答案 2
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A
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设交点 P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0)

∵A1、P1、P 共线,∴

y ? y0 y ? x ? x0 x ? 3 y ? y0 y ? x ? x0 x ? 3
2 2

∵A2、P2、P 共线,∴

x y 9 3y x2 y2 , 代入得 0 ? 0 ? 1,即 ? ?1 解得 x0= , y0 ? x x 9 4 9 4
答案 3
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C
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由 sinC-sinB=

1 1 sinA,得 c-b= a, 2 2
16 x 2 16 y 2 a a ? 1( x ? ) ,故方程为 2 ? 2 4 a 3a 2
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∴应为双曲线一支,且实轴长为

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答案

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16 x 2 16 y 2 a ? ? 1( x ? ) 2 2 4 a 3a
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设 P(x,y) ,依题意有

5 ( x ? 5) ? y
2
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2

?

3 ( x ? 5) 2 ? y 2

,化简得 P

点轨迹方程为 4x +4y -85x+100=0 答案 5
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2

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4x +4y -85x+100=0
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设过 B、C 异于 l 的两切线分别切⊙O′于 D、E 两点,两切线交于 由切线的性质知
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点 P

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|BA|=|BD| , |PD|=|PE| , |CA|=|CE| , 故

|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC|, 故由椭圆定义知, 点 P 的轨迹是 以 B、C 为两焦点的椭圆,以 l 所在的直线为 x 轴,以 BC 的中点为原点,建 立坐标系,可求得动点 P 的轨迹方程为 6
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x2 y2 ? =1(y≠0) 81 72

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设 P(x0,y0)(x≠±a),Q(x,y)
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∵A1(-a,0),A2(a,0)

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y0 ? y ? x0 ? ? x ( x0 ? ? a ) ? x ? a ? x ? a ? ?1 ? ? 0 得? 由条件 ? x2 ? a2 y y y ? 0 ? ? 0 ? ? ?1 y ? ? x ? a x ? a 0 ?
而点 P(x0,y0)在双曲线上,∴b x0 -a y0 =a b 即 b (-x )-a (
2 2 2 2 2 2 2 2 2
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x2 ? a2 2 2 2 ) =a b y
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化简得 Q 点的轨迹方程为 7
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a2x2-b2y2=a4(x≠±a)

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(1)设 P 点的坐标为(x1,y1),则 Q 点坐标为(x1,-y1),又有 A1(-
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m,0),A2(m,0),则 A1P 的方程为

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y=

y1 ( x ? m) x1 ? m



A2Q 的方程为

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y=-

y1 ( x ? m) x1 ? m



①?②得

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y2=-

y1
2

2 2

x1 ? m

(x 2 ? m2 )
2 2



又因点 P 在双曲线上,故

x1 y1 n2 2 2 ? ? 1 , 即 y ? ( x1 ? m 2 ). 1 m2 n2 m2
此即为 M 的轨迹方程

代入③并整理得

x2 y2 ? =1 m2 n2

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(2)当 m≠n 时,M 的轨迹方程是椭圆

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(ⅰ)当 m>n 时, 焦点坐标为(± m2 ? n2 ,0), 准线方程为 x=±

m2 m2 ? n2

,

离心率 e=

m2 ? n2 ; m

(ⅱ)当 m<n 时, 焦点坐标为(0,± m2 ? n2 ),准线方程为 y=±

n2 n2 ? m2

,

离心率 e= 8 解

n2 ? m2 n

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(1)∵点 F2 关于 l 的对称点为 Q,连接 PQ,

∴∠F2PR=∠QPR,|F2R|=|QR|,|PQ|=|PF2| 又因为 l 为∠F1PF2 外角的平分线,故点 F1、P、Q 在同一直线上,设存在

R(x0,y0),Q(x1,y1),F1(-c,0),F2(c,0)

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|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c) +y1 =(2a)

2

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x1 ? c ? ? x0 ? 2 ? 又? ? y ? y1 0 ? 2 ?
得 x1=2x0-c,y1=2y0
2 2
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∴(2x0) +(2y0) =(2a) ,∴x0 +y0 =a 故 R 的轨迹方程为
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x2+y2=a2(y≠0)

a2 1 |OA|?|OB|?sinAOB= sinAOB 2 2 1 2 当∠AOB=90°时,S△AOB 最大值为 a 2
(2)如右图,∵S△AOB=
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y C A

B

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此时弦心距|OC|=

| 2ak |
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o

x

1? k

2

在 Rt△AOC 中,∠AOC=45°,

?

| OC | | 2ak | 2 3 ? ? cos 45? ? ,? k ? ? . | OA | a 1 ? k 2 2 3


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