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江苏省徐州市2013届高三模底考试数学试题

时间:2012-10-31


江苏省徐州市 2013 届高三质量抽测试卷


参考公式:

学 I

1 棱锥的体积 V=3Sh,其中 S 为底面积,h 为高. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1. 已知集合 A={1,3},B={1,2,m},若 A ? B,则实数 m= . 2. 若(1-2i)i=a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位) ,则 ab= . 3. 某工厂生产 A,B,C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2:3:5,现用分层抽 样方法抽出一个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号 开始 的产品有 16 件,那么此样本的容量 n= . 4. 在大小相同的 4 个小球中,2 个是红球,2 个是白球, x←1,y←1,n←1 若从中随机抽取 2 个球,则所抽取的球中至少有一个 红球的概率是 . n←n+2 5. 已知某算法的流程图如图所示,则程序运行结束时 输出的结果为 . x←3x π ?? 2 ) ? ,则 cos ? = 6. 已知 cos( . 2 3 y←y-2 7. 已知一个正六棱锥的高为 10cm,底面边长为 6cm, 则这个正六棱锥的体积为 cm3. n>4 N 8. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, Y 若 a3=18,S3=26,则{an}的公比 q= . 输出(x,y)
? x ? y ≥ 2, ? 9. 已知实数 x,y 满足 ? x ? y ≤ 2, 则 z ? 2 x ? y 的最大值 ? 0 ≤ y ≤ 3, ?

结束
(第 5 题图)



. .

10.在曲线 y ? x 3 ? 3 x ? 1 的所有切线中,斜率最小的切线的方程为

11.已知直线 y=a 与函数 f ( x ) ? 2 x 及函数 g ( x ) ? 3 ? 2 x 的图象分别相交于 A,B 两点, 则 A,B 两点之间的距离为 . . B C O .
(第 13 题图)

1 9 12.已知二次函数 f ( x ) ? ax 2 ? 4 x ? c ? 1 的值域是[1,+∞),则a+ c 的最小值是 13.如图,A,B 是半径为 1 的圆 O 上两点, π 且∠AOB=3.若点 C 是圆 O 上任意一点, → → 则 OA ? BC 的取值范围为

A

14.已知 a,b,c 是正实数,且 abc+a+c=b,设
p? 2 a ?1
2

?

2 b ?1
2

?

3 c ?1
2

,则 p 的最大值为


[来源:学#

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 .......
科#网 Z#X#X#K]

字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对 边分别为 a,b,c,已知 a cos C ? b cos C ? c cos B ? c cos A , 且 C=120 °. (1)求角 A; (2)若 a=2,求 c.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P‐ABCD 中 ,四边形 ABCD 为正方形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点.求证: P (1)PB∥平面 AEC; (2)平面 PCD⊥平面 PAD. E A B
(第 16 题图)

D C

17. (本小题满分 14 分) 在一个矩形体育馆的一角 MAN 内(如图所示) ,用长为 a 的围栏设置一个运动器材储 存区域,已知 B 是墙角线 AM 上的一点,C 是墙角线 AN 上的一点. (1)若 BC=a=10,求储存区域三角形 ABC 面积的最大值; (2)若 AB=AC=10,在折线 MBCN 内选一点 D, M 使 DB+DC=a=20,求储存区域 四边形 DBAC B 面积的最大值. D

A
(第 17 题图)

C

N

18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 E:
x ? y ?
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的左顶点为 A,左、右焦点分别为 F1、F2,且圆 C:

3 x ? 3 y ? 6 ? 0 过 A,F2 两点.

(1)求椭圆 E 的方程; 2π (2)设直线 PF2 的倾斜角为 α,直线 PF1 的倾斜角为 β,当 β-α= 3 时,证明:点 P 在一定圆上.

19. (本小题满分 16 分)

已知函数 f ( x ) ? x ?

2a x

2

? a ln x ( a ? R ) .

(1)讨论函数 y ? f ( x ) 的单调区间; (2)设 g ( x ) ? x 2 ? 2bx ? 4 ? ln 2 ,当 a=1 时,若对任意的 x1,x2∈[1,e](e 是自然对数 的底数) f ( x1 ) ≥ g ( x 2 ) ,求实数 b 的取值范围. ,
[来源:学科网]

20. (本小题满分 16 分)

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

设 f k ( n ) ? c0 ? c1 n ? c 2 n 2 ? ? ? ? ? c k n k ? k ? N ? ,其中 c0 , c1 , c2 , ? ? ?, ck 为非零常数, 数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,对于任意的正整数 n,an+Sn= f k ( n ) . (1)若 k=0,求证:数列{an}是等比数列; (2)试确定所有的自然数 k,使得数列{an}能成等差数列.

附加题

21. (选做题)本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在答题卡指定区域内作 答,若多做,则按作答的前两题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A.[选修 4—1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 已知△ABC 中,AB=AC,D 是△ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A,C 重合) , 延长 BD 至点 E。 求证:AD 的延长线平分∠CDE

B.[选修 4—2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)
?1 已知矩阵 A ? ? ? ?1 2? ? 4 ?


(1)求 A 的逆矩阵 A 1; (2)求 A 的特征值和特征向量。

C.[选修 4—4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)

已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建立
1 ? ? x ? 2 t, ? 平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ,求直线 l 被曲线 C 截 ( t 为参数) 3 ?y ? t ?1 ? ? 2

得的线段长度。

D.[选修 4—5,不等式选讲](本小题满分 10 分) 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? . 设 a , b , c均 为 正 实 数 , 求 证 : 2 a 2b 2 c b ? c c ? a a ? b

[必做题]第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分,请在答题卡指定区域内作答,解

答时应写也文字说明、证明过程或演算步骤。 22. (本小题满分 10 分) 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是 AC 的中点,E 是线段 D1O 上一点,且 D1E=λ EO (1)若λ =1,求异面直线 DE 与 CD1 所成的角的余弦值; (2)若平面 CDE⊥平面 CD1O,求λ 的值。
[来源:Z|xx|k.Com]

23. (本小题满分 10 分) 已知整数 n ? 4, 集 合 M ? {1, 2, 3, ? , n} 的所有 3 个元素的子集记为 A1,A2,…,AC。 (1)当 n=5 时,求集合 A1,A2,…,AC 中所有元素之和; (2)设 mi 为 Ai 中的最小元素,设 Pn ? m1 ? m 2 ? ? ? m C , 试 求 Pn ( 用 n 表 示 ).

参考答案
1、3 2、3 3、80 4、
13 28

5、 (27,-5) 6、

1 9

7、30 3

8、3 9、5

10、y=3x+1 11、 log 2 3

10 ? 3 1? 12、3 13、 ? ? , ? 14、 3 ? 2 2?

15、解:由余弦定理,得:sinAcosC-sinBcosC=sinCcosB-sinCcosA sinAcosC+sinCcosA=sinCcosB+sinBcosC sin(A+C)=sin(B+C) sin B=sinA ∴ B=A=30° a=2,则 b=2 1 c? +b? =a? -2abcosC=4+4-2×2×2×(- )=12 2 ∴ c=2 3 16、 (1)证明: 连 BD,AC 交于 O。 ∵ABCD 是正方形 1 ∴AO=OC, OC= AC 2 连 EO,则 EO 是三角形 PBD 的中位线。 EO∥PB EO ? 平面 AEC ∴PB∥平面 AEC (2) :∵PA⊥平面 ABCD ∴CD⊥PA ∵ABCD 是正方形 ∴AD⊥CD ∴CD⊥平面 PAD ∴平面 PAD⊥平面 PCD 1 17、(1)因为三角形的面积为 倍 AB· AC,所以当 AB=AC 时其值才最大,可求得为 25 2 (2)求四边形 DBAC 面积可分为 ABC 跟 BCD 两个三角形来计算,而 ABC 为定值可先不考虑, 进而只考虑三角形 BCD 的面积变化,以 BC 为底边,故当 D 点 BC 的距离最长时面积取得最 大值。因为 DB+DC=a=20 总成立,所 以点 D 的轨迹是一个椭圆,B、C 是其两交点,结合椭 圆的知识可以知道只有当 D 点在 BC 的中垂线上时点 D 到 BC 的距离才能取得最大值,再结 合题意四边形 DBAC 刚好是一个边长为 10 的正方形,其面积为 100 18. 解: (1)圆 x ? y ?
2 2

3 x ? 3 y ? 6 ? 0 与 x 轴交点坐标为 A ( ? 2 3, 0) , F2 ( 3 , 0) ,
x
2

故 a ? 2 3, c ? 3 ,所以 b ? 3 ,∴椭圆方程是:

?

y

2

?1.

12

9

(2)设点 P(x,y) ,因为 F1 (- 3,0) F2 ( 3,0) , ,

设点 P(x,y) ,则 k P F =tanβ=
1

y y , k PF =tanα= , x+ 3 x- 3
2

2π 因为 β-α= 3 ,所以 tan(β-α)=- 3. tanβ-tanα -2 3y 因为 tan(β-α)= = , 1+tanαtanβ x2+y2-3 -2 3y 所以 2 2 = - 3.化简得 x2+y2-2y=3. x +y -3 所以点 P 在定圆 x2+y2-2y=3 上. 19、解: f '( x ) = 1 ?
2a x
2 2

?

a x



x ? ax ? 2 a
2

2

x

2

=0,得 x1 ? 2 a , x 2 ? ? a

(a)当 a=0 时,f(x)=x,在(- ? ,+ ? )上是增函数。 (b)当 a>0 时,f(x)在(- ? ,-a)(2a,+ ? )上是增函数,在(-a,2a)上是减 , 函数。 (c)当 a<0 时,f(x)在(- ? ,2a)(-a,+ ? )上是增函数,在(2a,-a)上是减 , 函数。 20、 【证】 (1)若 k ? 0 ,则 f k ( n ) 即 f 0 ( n ) 为常数,不妨设 f 0 ( n ) ? c (c 为常数) . 因为 a n ? S n ? f k ( n ) 恒成立,所以 a1 ? S1 ? c ,即 c ? 2 a1 ? 2 . 而且当 n≥ 2 时, a n ? S n ? 2 , ①

a n ?1 ? S n ?1 ? 2 , ②

①-②得 2 a n ? a n ?1 ? 0( n ? N,n≥ 2) . 若 an=0,则 a n ?1 = 0 ,…,a1=0,与已知 矛盾,所以 a n ? 0( n ? N * ) . 故数列{an}是首项为 1,公比为 1 的等比数列.
2

【解】 (2)(i) 若 k=0,由(1)知,不符题意,舍去. (ii) 若 k=1,设 f1 ( n ) ? bn ? c (b,c 为常数) , 当 n≥ 2 时, a n ? S n ? bn ? c ,
a n ?1 ? S n ?1 ? b ( n ? 1) ? c ,

③ ④

③-④得 2 a n ? a n ?1 ? b ( n ? N,n≥ 2) . 要使数列{an}是公差为 d 为常数) (d 的等差数列, 必须有 a n ? b ? d (常数) , 而 a1=1,故{an}只能是常数数列,通项公式为 an =1 ? n ? N * ? , 故当 k=1 时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为 an =1 ? n ? N * ? ,此时 f1 ( n ) ? n ? 1 . (iii) 若 k=2,设 f 2 ( n ) ? an 2 ? bn ? c ( a ? 0 ,a,b,c 是常数) , 当 n≥ 2 时, a n ? S n ? an 2 ? bn ? c ,
2



a n ?1 ? S n ?1 ? a ( n ? 1) ? b ( n ? 1) ? c , ⑥

⑤-⑥得 2 a n ? a n ?1 ? 2 an ? b ? a ( n ? N,n≥ 2) , 要使数列{an}是公差为 d(d 为常数)的等差数列,必须有
a n ? 2 an ? b ? a ? d ,且 d=2a,

考虑到 a1=1,所以 a n ? 1 ? ( n ? 1) ? 2 a ? 2 an ? 2 a ? 1 ? n ? N * ? . 故当 k=2 时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为 a n ? 2 an ? 2 a ? 1 ? n ? N * ? , 此时 f 2 ( n ) ? an 2 ? ( a ? 1) n ? 1 ? 2 a (a 为非零常数) (iv) 当 k≥ 3 时,若数列{an}能成等 . 差数列,则 a n ? S n 的表达式中 n 的最高次数为 2,故数列{an}不能成等差数列. 综上得,当且仅当 k=1 或 2 时,数列{an}能成等差数列. 21、曲线 C 为:x2+y2-4y=0,圆心(0,2) ,半径为 2, | ?2 ? 1 | 1 ? 直线 l 为: 3 x-y+1=0,圆心到直线的距离为:d= 2 2 直线被曲线 C 载得的线段 长度为:2 4 ?
1 4 ? 17

22. 【解】(1)不妨设正方体的棱长为 1,以 DA, DC , DD1

??? ???? ????? ?

为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz . 则 A(1,0,0), O 1 ,1 ,0 , C ? 0,1,0 ? ,D1(0,0,1),E 1 ,1 ,1 ,
2 4 2

?2
?

?

?4

?

???? ???? ? 于是 DE ? 1 , 1 , 1 , CD1 ? ? 0,? 1,1 ? . 4 2
???? ???? ? ???? ???? ? D E ? C D1 3 ????? ???? = ? 由 cos ? DE,CD1 ? = . 6 | D E |? | C D1 |

?4

所以异面直线 AE 与 CD1 所成角的余弦值为

3 6

.
????
???? ?

(2)设平面 CD1O 的向量为 m=(x1,y1,z1),由 m· C O =0,m· CD1 =0 得 ?2
1 ?1 ? x1 ? y1 ? 0, 2 取 x1=1,得 y1=z1=1,即 m=(1,1,1) . ? ? y1 ? z1 ? 0, ?

[来源:学科网 ZXXK]

由 D1E=λ EO,则 E ? ?

? 2(1 ? ? )

?



???? 1 ? ? ? 1 ? ? , ? , DE = ? 2(1 ? ? ) , 2(1 ? ? ) ,1 ? ? ? . 2(1 ? ? ) 1 ? ? ? ? ?

?

又设平面 CDE 的法向量为 n=(x2,y2,z2),由 n· C D =0,n· DE =0.

????

????

? y 2 ? 0, ? 得 ? ? x2 取 x2=2,得 z2=-λ ,即 n=(-2,0,λ ) . ? y2 z2 ? 2(1 ? ? ) ? 2(1 ? ? ) ? 1 ? ? ? 0, ?

因为平面 CDE⊥平面 CD1F,所以 m·n=0,得 λ =2.
23、 (1)当 n=5 时,含元素 1 的子集中,必有除 1 以外的两个数字,两个数字的选法有 C 4 =6 个,所以 含有数字 1 的几何有 6 个.同理含 2,3,4,5 的子集也各有 6 个, 于是所求元素之和为(1+2+3+4+5)×C 4 =6×15=90…(5 分) (2)证明:不难得到 1≤mi≤n-2,mi∈Z,并且以 1 为最小元素的子集有 C n ?1 个,以 2 为最小元素的子集 有 C n ? 2 个,以 3 为最小元素的子集有 C n ? 3 ,…,以 n-2 为最小元素的子集有 C 2 个。则
2 2 2 2 2 2


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