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选修4-4同步课件:1.1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换 课后作业(共28张PPT)

时间:2013-06-14


课后作业

1.将Y=sinX图象沿x轴均匀压缩为y=sin3x,则坐标变换公式 是( )
? Y ? y, ? B. ? 1 ?X ? 3 x ? 1 ? ?Y ? y, D. ? 3 ? X ?x ?

? Y ? y, A. ? ? X ? 3x ?Y ? 3 y, C. ? ? X ?x

答案:A

解析 : Y ? sinX变为y ? sin3x,即纵坐标保持不变, 横坐标 1 压缩为原来的 . 3 ? y ? Y, ? Y ? y, ? 即? 1 ?? ? x ? 3 X , ? X ? 3 x. ?

2.将曲线F(x,y)=0上的点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标 1 缩短到原来的 ,得到的曲线方程为( ) 3

x A.F ( ,3 y ) ? 0 2 y C.F (3x, ) ? 0 2

y B.F (2 x, ) ? 0 3 x D.F ( , 2 y ) ? 0 3

答案:A

解析 : 设P ? x, y ? 是F ? x, y ? ? 0上的任一点, 变换后的对应点P? ? x?, y? ?. x? ? 2 x, ? x? ? ? hx(h ? 0), ? ?x ? ?x ? , 由题意, 知 ? ?? 2 1 ?? ? ? kx(k ? 0) ?? y ? ?y ?y 3 ? y ? 3 y, ? x? x 代入F ? x, y ? ? 0, 得F( ,3 y?) ? 0,即F( ,3 y ) ? 0. 2 2

? x? ? 2 x, 3.将曲线C按伸缩变换公式 ? ? y? ? 3 y 变换得到曲线方程为x′2+y′2=1,则曲线方程为(

)

x2 y 2 A. ? ?1 4 9
C.4x2+9y2=36 答案:D

x2 y 2 B. ? ?1 9 4
D.4x2+9y2=1

? x? ? 2 x , 解析 : ? ? 代入x?2 ? y?2 ? 1,即可得到关于x, y的式子, ? y? ? 3 y 即为曲线C方程, ? x?2 ? y?2 ? 4x 2 ? 9y 2 ? 1为所求.

4.在平面直角坐标系中,方程3x-2y+1=0所对应的直线经过伸 ? ? 1 缩变换 ? x ? x, 3 ? ? y? ? 2 y ? 后的直线方程为( )

A.3x-4y+1=0
C.9x-y+1=0

B.3x+y-1=0
D.x-4y+1=0

答案:C

解析 : 设P ? x, y ? 是3x ? 2y ?` ? 0上的任一点, P? ? x?, y? ? 1 是变换后P ? x, y ?的对应点. ? ? 1 ? x ? 3 x?, ? x ? x, ? ?? 3 ?? 1 y ? y?, ? y? ? 2 y, ? 2 ? ? 1 即(3x?, y?)在直线3x ? 2y ? 1 ? 0上, 2 ? 9x? ? y? ? 1 ? 0,即9x ? y ? 1 ? 0为所求.

5.在同一坐标中,将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx的伸缩变 换是( )

? x ? 3x?, ? A. ? 1 ? y ? 2 y? ? ? x ? 3x?, C. ? ? y ? 2 y?

? x? ? 3 x, ? B. ? 1 ? y? ? 2 y ? ? x? ? 3 x, D. ? ? y? ? 2 y

答案:B

解析 : 设P ? x, y ? 是y ? 2sin3x上的任一点, ? x? ? hx(h ? 0), P?(x?, y?)是变换后P ? x, y ?的对应点, 令 ? ? y? ? ky (k ? 0), 1 ? ? x ? h x?, 1 1 ? 可得 ? 将其代入y ? 2sin3x, 则有 y? ? 2 sin3 x? k h ? y ? 1 y?, ? k ? ? x? ? 3 x, 1 ? 应与y ? sinx是同一曲线, 得h ? 3, k ? ,即 ? 1 2 ? y? ? y. 2 ?

6.在平面直角坐标系内,y=tanx经过怎样的伸缩变换可得到 y=3tan2x( )

? x? ? 2 x, ? A. ? 1 y? ? y ? 3 ? ? x? ? 2 x, C. ? ? y? ? 3 y

? ? 1 ? x ? x, B. ? 2 ? ? y? ? 3 y ? ? 1 ? x ? 2 x, ? D. ? ? y? ? 1 y ? 3 ?

答案:B

? x? ? ? x(? ? 0), 解析 : 令y? ? 3tan2x?, 变换为 ? ? y? ? ? y ( ? ? 0), 将其代入y? ? 3tan2x?, 得? y ? 3tan2? x, 与y ? tanx比较, 可得 ? ? ? 3, ? ? 1 ? ? x ? x, 2 ? 1 ?? ?? ? 2 , ? y? ? 3 y. ? ?

7.将对数曲线y=log3x的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线
x y ? log 3 2 方程为________.

解析 : 设P ? x, y ? 为对数曲线y ? log 3 x上的任意一 点, 变换后的对应点为P?(x?, y?).由题意, 知伸缩变换为 1 ? x? ? 2 x, ? 1 ? x ? x?, 从而 ? 2 代入y ? log 3 x, 得y? ? log 3 x?, ? 2 ? y? ? y, ? y ? y?, ? x 即y ? log 3 . 2

8.已知平面上三点A(2,0)?B(0,3)?C(0,0),经过伸缩变换

? X ? 2 x, ? ? Y ? 2y
后变为A′、B′、C′.则△A′B′C′的面积为________. 12

解析:经过伸缩变换 A(2,0)→A′(4,0), B(0,3)→B′(0,6), C(0,0)→C′(0,0), ∴△A′B′C′面积为

? X ? 2 x, ? ? Y ? 2 y,

1 ? 4 ? 6 ? 12. 2

x2 y 2 9.对曲线 ? ? 1 向y轴进行伸缩变换,伸缩系数为 8 4 x2 y 2 ? ?1 1 2 4 k? ,所得的曲线方程为________. 2
? ? 1 ? x ? x, ? x ? 2 x?, 解析 : 伸缩变换为 ? 2 故? ? y? ? y, ? y ? y?, ? (2 x?) 2 y?2 x?2 y '2 ? ? ? 1,即 ? ? 1. 8 4 2 4

10.设M1是A1(x1,y1)与B1(x2,y2)的中点,经过伸缩变换后,它们 分别为M2,A2,B2,求证:M2是A2B2的中点.

证明 :由题意, M1的坐标为(

x1 ? x2 y1 ? y2 , ). 2 2

? k1 x ? x?, 设给定的变换为 ? ?k2 y ? y?, 则有A 2 ? k1x1 , k 2 y1 ? , B2 ? k1x 2 , k 2 y 2 ? , k1 ( x1 ? x2 ) k2 ( y1 ? y2 ) M2( , ). 2 2 k1 x1 ? k1 x2 k2 y1 ? k2 y2 又A 2 B2的中点坐标为( , ), 2 2 k1 ( x1 ? x2 ) k2 ( y1 ? y2 ) 即( , ),因此M 2是A 2 B2的中点. 2 2

11.圆C:x2+y2=4向着x轴均匀压缩,伸缩系数为 (1)求压缩后的曲线方程; (2)过圆C上一点

1 . 2

的切线,经过压缩后的直线与压缩 P( 2, 2)

后的曲线有何关系?

解析 : 设圆上一点P ? x, y ? , 压缩后的点为P? ? x?, y? ? , ? x? ? x, ? x ? x?, ? 则? 1 ?? ? y? ? 2 y, ? y ? 2 y?. ?

?1?由x?2 ? ? 2y? ? ? 4,即x?2 ? 4y?2 ? 4,
2

即压缩后的曲线方程为x 2 ? 4y 2 ? 4.

? 2 ? ? P(

2, 2)满足( 2) 2 ? ( 2) 2 ? 4,

?点P在圆上. 故过P点的切线方程为 2 x ? 2 y ? 4. 压缩后变为 2 x' ? 2 ? 2 y' ? 4, 即x? ? 2y? ? 2 2. 即切线压缩后的方程为x ? 2y ? 2 2. ?x ? 2 y ? 2 2, 故? 2 ? x 2 ? (2 2 ? x) 2 ? 4, x ? 4 y2 ? 4 ? 即x 2 ? 2 2 x ? 2 ? 0, ? ? 8 ? 4 ? 2 ? 0, ? 直线x ? 2y ? 2 2与曲线x 2 ? 4y 2 ? 4相切.

12.在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:
1 (1)求点A( ,-2)经过φ变换所得的点A′的坐标; 3 1 (2)点B经过φ变换得到点B′(-3, ),求点B的坐标; 2 (3)求直线l:y=6x经过φ变换后所得直线l′的方程;

? x' ? 3 x, ? ?2 y' ? y.

(4)求双曲线C:x2-

y2 =1经过φ变换后所得曲线C′的焦点坐标. 64

解析 : ?1? 设A? ? x?, y? ? ,由伸缩变换? : ? x' ? 3x, x' ? 3x, ? ? 得到 ? ? 1 2 y' ? y, y' ? y. ? ? 2 ? 1 由于A ? x, y ? 为( , ?2), 3 1 1 于是x? ? 3 ? ? 1, y' ? ? (?2) ? ?1, 3 2 即A? ?1, ?1? 为所求.

1 ? x' ? 3 x, x ? x', ? ? 得到 ? ? 2 ? 设B ? x, y ? ,由伸缩变换? : ? 3 ?2 y' ? y, ? y ? 2 y'. ? 1 由于B(x?, y?)为( ?3, ), 2 1 1 于是x ? ? ? ?3? ? ?1, y ? 2 ? ? 1, 3 2 即B ? ?1,1? 为所求.

? 3? 设直线l?上任意一点P? ? x?, y? ? ,
1 ? ? x ? x', 由上述可知, 将 ? 3 代入y ? 6x, 得 ? y ? 2 y', ? 1 2y? ? 6 ? ( x'), 3 所以y? ? x?,即y ? x为所求.

1 ? ? x ? x', ? 4 ? 设曲线C?上任意一点P? ? x?, y? ? ,由上述可知, 将 ? 3 ? y ? 2 y', ? y2 x'2 4 y'2 x'2 y'2 2 代入x ? ? 1, 得 ? ? 1, 化简得 ? ? 1, 64 9 64 9 16 x2 y 2 即 ? ? 1为曲线C?的方程, 可见仍是双曲线, 9 16 且焦点F1 ? 5,0 ? , F2 ? ?5,0 ? 为所求.


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