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第3章扩频系统的伪随机序列

时间:2010-09-23


第3章 扩频系统的伪随机序列
在数学上是用自相关函数来表示信号与它自身相移以后的相似 性的。随机信号的自相关函数的定义为

f(t)为信号的时间函数,τ为时间延迟。上式的物理概念是f(t) 与其相对延迟的τ 的f( t - τ)来比较: 如二者不完全重叠,即τ ≠ 0,则乘积的积分 ψa(τ)为0; 如二者完全重叠,即τ=0;则相 乘积分后ψa(0)为一常数。因此,ψa(τ)的大小可用来表征 f(t)与 自身延迟后的f( t -τ)的相关性,故称为自相关函数。

第3章 扩频系统的伪随机序列
3.1 伪随机码的概念 50年代 哈尔凯维奇理论上证明了, 年代, 50年代,哈尔凯维奇理论上证明了,要克 服多径和窄带干扰, 服多径和窄带干扰,信道中传输的信号形 式应该具有白噪声统计特性的信号形式。 式应该具有白噪声统计特性的信号形式。 相关函数: 相关函数: 功率谱: 功率谱:
n0 Ra (τ ) = δ (τ ) (3 - 1) 2
n0 Gn (ω ) = 2
(3 - 2)

第3章 扩频系统的伪随机序列
但是,真正的白噪声不能重复再现和产生, 但是,真正的白噪声不能重复再现和产生,至今还无法实现 重复再现和产生 放大、 对白噪声的放大 调制、检测、同步及控制等 因此, 对白噪声的放大、调制、检测、同步及控制等,因此,只能 用具有类似于带限白噪声统计特性的伪随机码 PN码 伪随机码( 用具有类似于带限白噪声统计特性的伪随机码(PN码)来逼 近它,并作为扩频系统的扩频码。 近它,并作为扩频系统的扩频码。 为什么要选用随机信号或噪声性能的信号来传输信息呢? 为什么要选用随机信号或噪声性能的信号来传输信息呢?许 多理论研究表明, 多理论研究表明,在信息传输中各种信号之间的差别性能越 大越好。这样任意两个信号不容易混淆,也就是说, 大越好。这样任意两个信号不容易混淆,也就是说,相互之 间不易发生干扰,不会发生误判。 间不易发生干扰,不会发生误判。理想的传输信息的信号形 式应是类似噪声的随机信号, 式应是类似噪声的随机信号,因为取任何时间上不同的两段 噪声来比较都不会完全相似。用它们代表两种信号, 噪声来比较都不会完全相似。用它们代表两种信号,其差别 性就最大。 性就最大。

第3章 扩频系统的伪随机序列
伪随机码的具有良好的随机性(周期函数, 伪随机码的具有良好的随机性(周期函数, 良好的随机性 确定信号,可重复), ),其相关函数和功率谱 确定信号,可重复),其相关函数和功率谱 接近白噪声。 接近白噪声。 伪随机码的理论及应用研究大致分三阶段 纯粹理论阶段(1948年以前 年以前) 1. 纯粹理论阶段(1948年以前) 序列研究的黄金阶段(1948-1969) 2. m 序列研究的黄金阶段(1948-1969) 非线性序列的研究阶段(1969-至今) 3. 非线性序列的研究阶段(1969-至今)

3.1.1移位寄存器序列 3.1.1移位寄存器序列
简单型移位寄存器(SSRG) 简单型移位寄存器(SSRG)

1

2

3

4

5

6

输输

图 3 - 2 移位寄存器序列产生器

3.1.1移位寄存器序列 3.1.1移位寄存器序列
图3 - 2所示SSRG产生的序列为: 所示SSRG产生的序列为: SSRG产生的序列为 10 00 00 10 00 01 10 00 10 10 01 11 10 10 00 11 10 01 00 10 11 01 11 01 10 01 1010 10 11 11 1 63位 即其周期为63 63。 共63位, 即其周期为63。

3.1.1移位寄存器序列 3.1.1移位寄存器序列
模件抽头码序列发生器( 模件抽头码序列发生器(MSRG)

1

2

3

4

5

MSRG的例子 图 3 - 3 MSRG的例子

3.1.2序列序列的相关特性 3.1.2序列序列的相关特性
设有两条长为N的序列{a} {a}和 设有两条长为N的序列{a}和{b}, 序列中的 元素分别为a 元素分别为 ai 和 bi, i = 0, 1, 2, 3, 4 , …, N-1
N 1 i =0

自相关函数: 自相关函数:

Ra ( j ) = ∑ ai ai + j

(3 - 3)

3.1.2序列序列的相关特性 3.1.2序列序列的相关特性
自相关系数: 自相关系数:
1 ρa ( j ) = N

∑a a
i =0

N 1

i i+ j

(3 - 4)

互相关函数: 互相关函数:

Rab ( j ) = ∑ ai bi + j
i =0 N 1 i =0

N 1 1

(3 - 5)

互相关系数: 互相关系数:

1 ρ ab ( j ) = N

∑a b

i i+ j

(3 - 6)

3.1.2序列序列的相关特性 3.1.2序列序列的相关特性
互相关系数: 互相关系数:
A D ρ ab ( j ) = N
(3 - 7)

{a}和 {b}的对应码元相同数目 的对应码元相同数目; A 为 {a} 和 {b} 的对应码元相同数目 ; D 为 {a}和{b}的对应码元不相同数目 {a}和{b}的对应码元不相同数目 (j)=0 则定义序列{a}与序列{b} {a}与序列 若ρab(j)=0, 则定义序列{a}与序列{b} 正交。 正交。

3.1.3伪噪声码的定义 3.1.3伪噪声码的定义
1)狭义伪随机码: 狭义伪随机码:
1 N ρa ( j ) = 1 N ai2 = 1 ∑
i =0 N 1 1

j=0

(3 - 12)

∑ ai ai+ j
i =0

N 1

1 = N

j≠0

3.1.3伪噪声码的定义 3.1.3伪噪声码的定义
2)第一类广义伪随机码伪随机码: 第一类广义伪随机码伪随机码:
1 N ρa ( j ) = 1 N ai2 = 1 ∑
i =0 N 1

j=0

∑a a
i =0 i

N 1

(3 - 13)
i+ j

= c <1

j≠0

3.1.3伪噪声码的定义 3.1.3伪噪声码的定义
3)第二类广义伪随机码伪随机码: 第二类广义伪随机码伪随机码: ρab(j)≈0 (3 - 14) 4)满足上述上条之一的伪随机码: 满足上述上条之一的伪随机码: 统称为随机 码

3.1.3伪噪声码的定义 3.1.3伪噪声码的定义
扩频伪随机码的特点

尖锐的自相关函数, 尖锐的自相关函数,而互相关函数接近 以利于接收时的截获与跟踪。 于0,以利于接收时的截获与跟踪。 随机性要好。 随机性要好。 足够长的码周期,以抗侦破、抗干扰。 足够长的码周期,以抗侦破、抗干扰。 足够多的独立地址数, 足够多的独立地址数,以实现码分多址 。 工程上易于产生、加工、复制和控制。 工程上易于产生、加工、复制和控制。

3.2

m序列的产生方法 m序列的产生方法

3.2.1 反馈移位寄存器

c0 a n-1

c1 a n-2

c2 a n-3

c3 … …

c r-1 a n-(r-1) a n-r

cr

输输

图 3 - 5 反馈移位寄存器结构 移位寄存器+ 移位寄存器+反馈

3.2

m序列的产生方法 m序列的产生方法

3.2.2循环序列发生器 3.2.2循环序列发生器 序列多项式
G ( x ) = a0 + a1 x + a 2 x 2 + L + a n x n + L = ∑ a n x n
n =0 ∞

(3 - 16)

下一时刻状态: 下一时刻状态:
an = c1an 1 + c2nc 2 + c3nc 3 + L + cr nc r = ∑ ci an i
i =1 r

3.2

m序列的产生方法 m序列的产生方法

把an移到等式的右边并考虑到c0=1

cn an + ∑ ci an i = ∑ ci an i
i =1 i =0

r

r

(3 - 17)

3.2

m序列的产生方法 m序列的产生方法
a( n +1)1 a( n +1)2 a n +1= a( n +1)3 M a ( n +1) r

an 1 a n 2 a n = an 3 M an r
an+1=Aan

(3 - 19)

(3 - 20)

3.2

m序列的产生方法 m序列的产生方法
c3 L cr 1 1 0 L 0 0 0 L 0 0 M M M 0 L 1 0

c1 c2 1 0 A = 0 1 M M 0 0

(3 - 18)

A矩阵, 称为状态转移矩阵 矩阵,

3.2

m序列的产生方法 m序列的产生方法

A的第一行元素正是移位寄存器的反 馈逻辑。 其中c 馈逻辑。 其中cr=1。 除了第一行和第r 除了第一行和第 r 列以外的子矩阵 为一(r (r(r- 的单位矩阵。 为一(r-1)×(r-1)的单位矩阵。 A 矩阵与移位寄存器的结构是一一 对应的。 对应的。

3.2

m序列的产生方法 m序列的产生方法

a n-1

a n-2

a n-3

a n-4

输输

图 3 - 6 反馈移位寄存器例子

3.2

m序列的产生方法 m序列的产生方法
1 1 A= 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0

图 3 - 6 所示的反 馈 移 位寄 存 器 , 其A矩阵为
a( n +1)1 1 a( n +1)2 = 1 a 0 ( n +1)3 a( n +1)4 0

(3 - 21)

0 1 1 an 1 a 0 0 0 n 2 1 0 0 a n 3 0 1 0 a n 4

(3 - 22)

3.2

m序列的产生方法 m序列的产生方法

3. 特征多项式与序列多项式的关系 设线性移位寄存器序列为 {an}=a0, a1, a2, …, an … 相应的序列多项式为

G ( x ) = ∑ an x
n =0



n

(3 - 39)

{an}的线性递归反馈函数为

G ( x ) = ∑ ci an i
n =1



(3 - 40)

3.2


m序列的产生方法 m序列的产生方法
(3 - 41)

r n G ( x ) = ∑ ∑ ci an i x n =0 i =1
G (x) = = = = =

∑ ∑ ∑ ∑
r r r r



n=0

r ci ∑ cia n i x n i =1 ∞ ni ci x ∑ a ni x i=0
i

交换求和次序并进 行变量代换, 可得

i =1

i =1

∞ ci x ∑ a m x m m=i
i

i =1

∞ ci x ∑ a m x m + m =0
i

∑ i a m x m=
m

1



i =1

ci x G ( x ) +
i

am xm ∑ m=i

1

3.2

m序列的产生方法 m序列的产生方法

经整理后, 并考虑c0=1, 有
1 i m ∑ ci x m∑iam x = G ( x ) = i =1 r = ci x i + 1 ∑
r i =1

1 i m ∑ ci x m∑iam x i =1 =
r

ci x i ∑
i =0

r

(3 - 43)

3.2

m序列的产生方法 m序列的产生方法

选择移位寄存器的初始状态为a-r=1, a-r+1=…=a-2=a-1=0, 则式(3 - 43)的分子

1 i m ∑ ci x m∑iam x = cr i =1 =
r

(3 - 44)

3.2

m序列的产生方法 m序列的产生方法

由此可得
G( x) = cr ci x i ∑
i =0 r

cr = f ( x)

(3 - 45)

cr只有取1时才有意义。 故可得序列多项式与特 征多项式之间的关系为

1 G( x) = f ( x)

(3 - 46)

3.2

m序列的产生方法 m序列的产生方法

例3 - 1 一个三级移位寄存器如图3 - 8所示, 求该反馈移位寄存器序列。(p44)

0

0

1

输输

图 3 - 8 r=3的移位寄存器


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