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2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.6空间向量及其运算试题理

时间:2017-07-27

第八章 立体几何与空间向量 8.6 空间向量及其运算试题 理 北师 大版

1.空间向量的有关概念 名称 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 共线向量 共面向量 概念 模为 0 的向量 长度(模)为 1 的向量 方向相同且模相等的向量 方向相反且模相等的向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平 行或重合的向量 平行于同一个平面的向量 表示 0

a=b a 的相反向量为-a a∥b

2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量 a 与 b(b≠0)共线的充要条件是存在实数 λ ,使得 a=λ b. (2)空间向量基本定理 如果向量 e1, e2, e3 是空间三个不共面的向量, a 是空间任一向量, 那么存在唯一一组实数 λ 1, λ 2,λ 3,使得 a=λ e1+λ 2e2+λ 3e3.空间中不共面的三个向量 e1,e2,e3 叫作这个空间的一 个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 → → 已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作OA=a,OB=b,则∠AOB 叫作向量 a,b 的夹 π 角,记作〈a,b〉 ,其范围是 0≤〈a,b〉≤π ,若〈a,b〉= ,则称 a 与 b 互相垂直,记 2 作 a⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫作向量 a,b 的数量积,记作 a?b,
1

即 a?b=|a||b|cos〈a,b〉 . (2)空间向量数量积的运算律 ①λ (a?b)=(λ a)?b(λ ∈R); ②交换律:a?b=b?a; ③分配律:a?(b+c)=a?b+a?c. 4.空间向量的坐标表示及其应用 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 向量表示 数量积 共线 垂直 模 坐标表示

a?b a=λ b(b≠0,λ ∈R) a?b=0(a≠0,b≠0)
|a |

a1b1+a2b2+a3b3 a1=λ b1, a2=λ b2,a3=λ b3 a1b1+a2b2+a3b3=0
2 2 a2 1+a2+a3

cos〈a,b〉= 夹角 〈a,b〉(a≠0,b≠0)

a1b1+a2b2+a3b3 2 2 2 2 2 a +a2 +a3? b1+b2+b3
2 1

【知识拓展】 → → → 1.向量三点共线定理:在平面中 A、B、C 三点共线的充要条件是:OA=xOB+yOC(其中 x+y =1),O 为平面内任意一点. → → → → 2.向量四点共面定理:在空间中 P、A、B、C 四点共面的充要条件是:OP=xOA+yOB+zOC(其 中 x+y+z=1),O 为空间中任意一点.

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)空间中任意两非零向量 a,b 共面.( √ )

(2)在向量的数量积运算中(a?b)?c=a?(b?c).( ? ) (3)对于非零向量 b,由 a?b=b?c,则 a=c.( ? )

(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( ? ) → → → → (5)若 A、B、C、D 是空间任意四点,则有AB+BC+CD+DA=0.( √ )

→ → 1.已知正四面体 ABCD 的棱长为 a,点 E,F 分别是 BC,AD 的中点,则AE?AF的值为(

)

2

A.a

2

1 2 B. a 2

1 2 C. a 4

D.

3 2 a 4

答案 C → → → 解析 如图,设AB=a,AC=b,AD=c,则|a|=|b|=|c|=a,且 a,b,c 三向量两两夹角 → 1 → 1 为 60°.AE= (a+b),AF= c, 2 2 1 1 1 2 1 2 → → 1 2 ∴AE?AF= (a+b)? c= (a?c+b?c)= (a cos 60°+a cos 60°)= a . 2 2 4 4 4

2.(2016?大连模拟)向量 a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正 确的是( ) B.a∥b,a⊥c D.以上都不对

A.a∥b,a∥c C.a∥c,a⊥b 答案 C

解析 因为 c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a, 所以 a∥c. 又 a?b=(-2)?2+(-3)?0+1?4=0, 所以 a⊥b.故选 C. 3.与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是_________________. 答案 ? 解析 2? ? 3 2 2 2 2? ?3 2 2 2 , ,- ?和?- ,- , ? 5 2 ? ? 10 5 2 ? ? 10 因为与向量 a 共线的单位向量是±
2 2 2

a
|a |

, 又 因 为 向 量 ( - 3 , - 4,5) 的 模 为 1 5 2 (-3,

?-3? +?-4? +5 =5 2,所以与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是± 2 (-3,-4,5). 10

-4,5)=±

→ → → → 4.如图,在四面体 O-ABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,则OE =________.(用 a,b,c 表示)

3

答案

1 1 1 a+ b+ c 2 4 4

→ 1→ 1→ 1→ 1→ 1→ 解析 OE= OA+ OD= OA+ OB+ OC 2 2 2 4 4 1 1 1 = a+ b+ c. 2 4 4 5.(教材改编)正四面体 ABCD 的棱长为 2,E,F 分别为 BC,AD 中点,则 EF 的长为________. 答案 2

→ 2 →2 → → → 2 解析 |EF| =EF =(EC+CD+DF) →2 →2 →2 → → → → → → =EC +CD +DF +2(EC?CD+EC?DF+CD?DF) =1 +2 +1 +2(1?2?cos 120°+0+2?1?cos 120°) =2, → ∴|EF|= 2,∴EF 的长为 2.
2 2 2

题型一 空间向量的线性运算 例 1 (1)如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为 AC 的中点. → → → → → 用AB,AD,AA1表示OC1,则OC1=________________.

答案

1→ 1→ → AB+ AD+AA1 2 2

→ 1→ 1 → → 解析 OC= AC= (AB+AD), 2 2 → → → 1 → → → ∴OC1=OC+CC1= (AB+AD)+AA1 2 1→ 1→ → = AB+ AD+AA1. 2 2 → → → (2)三棱锥 O-ABC 中,M,N 分别是 OA,BC 的中点,G 是△ABC 的重心,用基向量OA,OB,OC → → 表示MG,OG.

4

→ → → 1→ 2→ 解 MG=MA+AG= OA+ AN 2 3 1→ 2 → → 1→ 2 1 → → → = OA+ (ON-OA)= OA+ [ (OB+OC)-OA] 2 3 2 3 2 1→ 1→ 1→ =- OA+ OB+ OC. 6 3 3 → → → 1→ 1→ 1→ 1→ OG=OM+MG= OA- OA+ OB+ OC 2 6 3 3 1→ 1→ 1→ = OA+ OB+ OC. 3 3 3 思维升华 用已知向量表示某一向量的方法 用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向 量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指 向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. (2016?青岛模拟)如图所示,在空间几何体 ABCD-A1B1C1D1 中,各面为平行四边 → → → 形,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 表示以 下各向量:

→ (1)AP; → → (2)MP+NC1. 解 (1)因为 P 是 C1D1 的中点, → → → → 所以AP=AA1+A1D1+D1P → 1→ =a+AD+ D1C1 2 1→ 1 =a+c+ AB=a+c+ b. 2 2 (2)因为 M 是 AA1 的中点, → → → 1→ → 所以MP=MA+AP= A1A+AP 2 1 1 =- a+(a+c+ b) 2 2

5

1 1 = a+ b+c. 2 2 → → → 1→ → 又NC1=NC+CC1= BC+AA1 2 1→ → 1 = AD+AA1= c+a, 2 2 1 1 1 → → 所以MP+NC1=( a+ b+c)+(a+ c) 2 2 2 3 1 3 = a+ b+ c. 2 2 2

题型二 共线定理、共面定理的应用 例 2 (2016?天津模拟)如图,已知 E,F,G,H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,

DA 的中点.

(1)求证:E,F,G,H 四点共面; (2)求证:BD∥平面 EFGH; → 1 → → → → (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点,求证:对空间任一点 O,有OM= (OA+OB+OC+OD). 4 证明 (1)连接 BG,

→ → → 则EG=EB+BG → 1 → → =EB+ (BC+BD) 2 → → → =EB+BF+EH → → =EF+EH, 由共面向量定理的推论知 E,F,G,H 四点共面. → → → 1→ 1→ (2)因为EH=AH-AE= AD- AB 2 2

6

1 → → 1→ = (AD-AB)= BD, 2 2 所以 EH∥BD. 又 EH?平面 EFGH,BD 平面 EFGH, 所以 BD∥平面 EFGH. (3)找一点 O,并连接 OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG.

→ 1→ 由(2)知EH= BD, 2 → 1→ 同理FG= BD, 2 → → 所以EH=FG,即 EH 綊 FG, 所以四边形 EFGH 是平行四边形, 所以 EG,FH 交于一点 M 且被 M 平分. → 1 → → 故OM= (OE+OG) 2 1→ 1→ = OE+ OG 2 2 1 1 → → 1 1 → → = [ (OA+OB)]+ [ (OC+OD)] 2 2 2 2 1 → → → → = (OA+OB+OC+OD). 4 思维升华 (1)证明空间三点 P,A,B 共线的方法 → → ①PA=λ PB(λ ∈R); → → → ②对空间任一点 O,OP=OA+tAB(t∈R); → → → ③对空间任一点 O,OP=xOA+yOB(x+y=1). (2)证明空间四点 P,M,A,B 共面的方法 → → → ①MP=xMA+yMB; → → → → ②对空间任一点 O,OP=OM+xMA+yMB; → → → → ③对空间任一点 O,OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1); → → → → → → ④PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM).
7

→ 1 → → 已知 A,B,C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,若点 M 满足OM= (OA+OB 3 → +OC). → → → (1)判断MA,MB,MC三个向量是否共面; (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内. → → → → 解 (1)由题意知OA+OB+OC=3OM, → → → → → → ∴OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC) → → → → → 即MA=BM+CM=-MB-MC, → → → ∴MA,MB,MC共面. → → → (2)由(1)知MA,MB,MC共面且基线过同一点 M, ∴M,A,B,C 四点共面. 从而点 M 在平面 ABC 内. 题型三 空间向量数量积的应用 例3 (2016?济南模拟)如图,已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 1 的

正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°.

(1)求线段 AC1 的长; (2)求异面直线 AC1 与 A1D 所成角的余弦值; (3)求证:AA1⊥BD. → → → (1)解 设AB=a,AD=b,AA1=c, 则|a|=|b|=1,|c|=2,a?b=0,c?a=c?b=2?1?cos 120°=-1. → → → → → → ∵AC1=AC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c, → ∴|AC1|=|a+b+c| = ?a+b+c?
2 2 2

= |a| +|b| +|c| +2?a?b+b?c+c?a? = 1 +1 +2 +2?0-1-1?= 2.
2 2 2

2

8

∴线段 AC1 的长为 2. (2)解 设异面直线 AC1 与 A1D 所成的角为 θ , → → ? ? AC 1?A1D ? → → 则 cos θ =|cos〈AC1,A1D〉|=? . → → ? ?|AC || A D | 1 1 ? ? → → ∵AC1=a+b+c,A1D=b-c, → → 2 2 2 2 ∴AC1?A1D=(a+b+c)?(b-c)=a?b-a?c+b -c =0+1+1 -2 =-2, → 2 2 2 |A1D|= ?b-c? = |b| -2b?c+|c| = 1 -2??-1?+2 = 7. → →? ? AC 1?A1D ? -2 14 ? ∴cos θ = =| |= . → →? ?|AC 7 2? 7 ? 1||A1D? 故异面直线 AC1 与 A1D 所成角的余弦值为 → → (3)证明 ∵AA1=c,BD=b-a, → → → → ∴AA1?BD=c?(b-a)=c?b-c?a=(-1)-(-1)=0,∴AA1⊥BD,∴AA1⊥BD. 思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系, 也可以利用垂直关系, 通过向量共 线确定点在线段上的位置; (2)利用夹角公式,可以求异面直线所成的角,也可以求二面角; (3)可以通过|a|= a ,将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解. 如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 1, 且两两夹角为 60°.
2 2 2

14 . 7

→ (1)求AC1的长; → → (2)求BD1与AC夹角的余弦值. → → → 解 (1)记AB=a,AD=b,AA1=c, 则|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, 1 ∴a?b=b?c=c?a= . 2

9

1 1 1 → 2 2 2 2 2 |AC1| =(a+b+c) =a +b +c +2(a?b+b?c+c?a)=1+1+1+2?( + + )=6, 2 2 2 → ∴|AC1|= 6,即 AC1 的长为 6. → → (2)BD1=b+c-a,AC=a+b, → → ∴|BD1|= 2,|AC|= 3,

BD1?AC=(b+c-a)?(a+b)
=b -a +a?c+b?c=1, → → BD1?AC 6 → ∴cos〈BD1,AC〉= = . → → 6 |BD1||AC| → 6 → → 即BD1与AC夹角的余弦值为 . 6
2 2





18.坐标法在立体几何中的应用

典例 (12 分)

如图,已知直三棱柱 ABC-A1B1C1,在底面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA

=90°,棱 AA1=2,M,N 分别是 A1B1,A1A 的中点.

→ (1)求BN的模; → → (2)求 cos〈BA1,CB1〉的值; (3)求证:A1B⊥C1M. 思想方法指导 利用向量解决立体几何问题时,首先要将几何问题转化成向量问题,通过建 立坐标系利用向量的坐标进行求解. 规范解答 (1)解 如图,建立空间直角坐标系.

10

依题意得 B(0,1,0),N(1,0,1), → 2 2 2 所以|BN|= ?1-0? +?0-1? +?1-0? = 3.[2 分] (2)解 依题意得 A1(1,0,2),

B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2).
→ → 所以BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2),

BA1?CB1=3,|BA1|= 6,|CB1|= 5,
所以 cos〈BA1,CB1〉= → → 30 = .[6 分] 10 |BA1||CB1| → →









BA1?CB1





1 1 (3)证明 依题意得 C1(0,0,2),M( , ,2), 2 2

A1B=(-1,1,-2),C1M=( , ,0).[9 分]
1 1 → → 所以A1B?C1M=- + +0=0, 2 2 → → 所以A1B⊥C1M,即 A1B⊥C1M.[12 分]





1 2

1 2

1.在下列命题中: ①若向量 a,b 共线,则向量 a,b 所在的直线平行; ②若向量 a,b 所在的直线为异面直线,则向量 a,b 一定不共面; ③若三个向量 a,b,c 两两共面,则向量 a,b,c 共面; ④已知空间的三个向量 a,b,c,则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x,y,z 使得 p =xa+yb+zc. 其中正确命题的个数是( )
11

A.0 B.1 C.2 D.3 答案 A 解析 a 与 b 共线,a,b 所在的直线也可能重合,故①不正确;根据自由向量的意义知,空 间任意两向量 a,b 都共面,故②不正确;三个向量 a,b,c 中任意两个一定共面,但它们 三个却不一定共面,故③不正确;只有当 a,b,c 不共面时,空间任意一向量 p 才能表示为

p=xa+yb+zc,故④不正确,综上可知四个命题中正确的个数为 0,故选 A.
2.(2016?郑州模拟)已知 a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ ),若 a,b,c 三向 量共面,则 λ 等于( )

A.9 B.-9 C.-3 D.3 答案 B 解析 由题意知 c=xa+yb, 即(7,6,λ )=x(2,1,-3)+y(-1,2,3), 2x-y=7, ? ? ∴?x+2y=6, ? ?-3x+3y=λ ,

解得 λ =-9.

3.已知 a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若 a⊥(a-λ b),则实数 λ 的值为( 14 A.-2 B.- 3 答案 D 解析 由题意知 a?(a-λ b)=0,即 a -λ a?b=0, 所以 14-7λ =0,解得 λ =2.
2

)

14 C. 5

D.2

4.如图,在大小为 45°的二面角 A-EF-D 中,四边形 ABFE,CDEF 都是边长为 1 的正方形, 则 B,D 两点间的距离是( )

A. 3 C.1 答案 D → → → → 解析 ∵BD=BF+FE+ED,

B. 2 D. 3- 2

→ 2 → 2 → 2 → 2 → → → → → → ∴|BD| =|BF| +|FE| +|ED| +2BF?FE+2FE?ED+2BF?ED =1+1+1- 2=3- 2, → 故|BD|= 3- 2.

12

5.已知 a,b 是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b 且 AB=2,CD=1,则异面直线

a,b 所成的角等于(
A.30° 答案 C

) D.90°

B.45° C.60°

→ → → → 解析 如图,设AC=a,CD=b,DB=c,则AB=a+b+c,

?a+b+c??b 1 → → 所以 cos〈AB,CD〉= = , |a+b+c||b| 2 所以异面直线 a,b 所成的角等于 60°, 故选 C. → 1→ 6.(2016?深圳模拟)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在 AC1 上且AM= MC1,N 为 B1B 2 → 的中点,则|MN|为( A. 21 a 6 ) B. 6 a 6 C. 15 a 6 D. 15 a 3

答案 A 解析 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则 A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a, ). 2 → 1→ 设 M(x,y,z),∵点 M 在 AC1 上且AM= MC1, 2 1 ∴(x-a,y,z)= (-x,a-y,a-z), 2 2 a a ∴x= a,y= ,z= . 3 3 3 2a a a ∴M( , , ), 3 3 3 → ∴|MN|= 2 a 2 a a 2 2 ?a- a? +?a- ? +? - ? 3 3 2 3

a

13



21 a. 6

→ → → → → → 7.A,B,C,D 是空间不共面四点,且AB?AC=0,AC?AD=0,AB?AD=0,则△BCD 的形状 是________三角形.(填锐角、直角、钝角中的一个) 答案 锐角 → → → → → → 解析 因为BC?BD=(AC-AB)?(AD-AB) → → → → → → →2 =AC?AD-AC?AB-AB?AD+AB →2 =AB >0, 所以∠CBD 为锐角. 同理∠BCD,∠BDC 均为锐角. → → 8.设 O-ABC 是四面体,G1 是△ABC 的重心,G 是 OG1 上的一点,且 OG=3GG1,若OG=xOA+

yOB+zOC,则 x,y,z 的值分别为______________.
答案 1 1 1 , , 4 4 4





解析 如图所示,取 BC 的中点 E,连接 AE.



OG= OG1= (OA+AG1)
3→ 1→ = OA+ AE 4 2 3→ 1 → → = OA+ (AB+AC) 4 4 3→ 1 → → → → = OA+ (OB-OA+OC-OA) 4 4 1 → → → = (OA+OB+OC), 4 1 ∴x=y=z= . 4 9.(2016?合肥模拟)已知 a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c, 则 c=________. 答案 (3,-2,2)

3→ 4

3 → 4



14

解析 因为 a∥b,所以 解得 x=2,y=-4,

4 1 = = , -2 y -1

x

此时 a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1), 又因为 b⊥c,所以 b?c=0, 即-6+8-z=0,解得 z=2,于是 c=(3,-2,2). 10.(2016?天津模拟)已知 ABCD-A1B1C1D1 为正方体, → → → 2 →2 ①(A1A+A1D1+A1B1) =3A1B1 ; → → → ②A1C?(A1B1-A1A)=0; → → ③向量AD1与向量A1B的夹角是 60°; ④正方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 → → → |AB?AA1?AD|. 其中正确的序号是________. 答案 ①② → → → 2 →2 → 2 → 2 →2 → → → 解析 ①中,(A1A+A1D1+A1B1) =A1A +A1D1 +A1B1 =3A1B1 ,故①正确;②中,A1B1-A1A=AB1, → → 因为 AB1⊥A1C,故②正确;③中,两异面直线 A1B 与 AD1 所成的角为 60°,但AD1与A1B的夹角 → → → 为 120°,故③不正确;④中,|AB?AA1?AD|=0,故④也不正确. 11.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 M,P,Q 分别为棱 AB,CD,BC 的中点,若平 行六面体的各棱长均相等,则

①A1M∥D1P; ②A1M∥B1Q; ③A1M∥平面 DCC1D1; ④A1M∥平面 D1PQB1. 以上正确说法的个数为________. 答案 3 → → → → 1→ 解析 A1M=A1A+AM=A1A+ AB, 2

D1P=D1D+DP=A1A+ AB,









1→ 2

15

→ → ∴A1M∥D1P, ∴A1M∥D1P,由线面平行的判定定理可知,

A1M∥平面 DCC1D1,A1M∥平面 D1PQB1.
①③④正确. 12.如图所示,已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1,点 E,F,G 分别是 AB,

AD,CD 的中点,计算:

→ → → → (1)EF?BA;(2)EF?DC; (3)EG 的长; (4)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值. → → → 解 (1)设AB=a,AC=b,AD=c, 则|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, →

EF= BD= c- a,BA=-a,DC=b-c.

1→ 1 2 2

1 2





→ → ?1 1 ? EF?BA=? c- a??(-a) ?2 2 ? 1 2 1 1 = a - a?c= . 2 2 4 → → 1 (2)EF?DC= (c-a)?(b-c) 2 1 1 2 = (b?c-a?b-c +a?c)=- . 2 4 1 1 → → → → 1 (3)EG=EB+BC+CG= a+b-a+ c- b 2 2 2 1 1 1 =- a+ b+ c, 2 2 2 1 1 1 2 → 2 1 2 1 2 1 2 1 → |EG| = a + b + c - a?b+ b?c- c?a= ,则|EG|= . 4 4 4 2 2 2 2 2 1 → 1 1 → → → (4)AG= b+ c,CE=CA+AE=-b+ a, 2 2 2 → → AG?CE 2 → → cos〈AG,CE〉= =- , → → 3 |AG||CE|

16

? π? 由于异面直线所成角的范围是?0, ?, 2? ?
2 所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为 . 3 13.(2016?沈阳模拟)如图, 在直三棱柱 ABC—A′B′C′中, AC=BC=AA′, ∠ACB=90°,

D、E 分别为 AB、BB′的中点.

(1)求证:CE⊥A′D; (2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值. → → → (1)证明 设CA=a,CB=b,CC′=c, 根据题意得,|a|=|b|=|c|, 且 a?b=b?c=c?a=0, 1 — 1 1 → — — — — — — — — — — — — → ∴CE=b+ c, A′D =-c+ b- a. 2 2 2 1 2 1 2 → — — — — — — — — — — — — — — → ∴CE? A′D =- c + b =0. 2 2 → — — — — — — — — — — — — — — → ∴CE⊥ A′D ,即 CE⊥A′D. 5 — — — — — — — — — — — — → → → (2)解 ∵ AC′ =-a+c,|AC′|= 2|a|,|CE|= |a|. 2 → → ? ? AC′?CE=(-a+c)??b+ c?= c2= |a|2,

?

1 2 ?

1 2

1 2

→ → ∴cos〈AC′,CE〉=

1 2 |a| 2 2?

5 2 |a| 2



10 . 10

即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为

10 . 10

→ → → 14.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=a,AB=b,AD=c,点 M,N 分别是 A1D,B1D1 的中 点.

17

→ (1)试用 a,b,c 表示MN; (2)求证:MN∥平面 ABB1A1. → → → (1)解 ∵A1D=AD-AA1=c-a, → 1→ 1 ∴A1M= A1D= (c-a). 2 2 → 1 同理,A1N= (b+c), 2 1 → → → 1 ∴MN=A1N-A1M= (b+c)- (c-a) 2 2 1 1 1 = (b+a)= a+ b. 2 2 2 → → → (2)证明 ∵AB1=AA1+AB=a+b, → 1→ ∴MN= AB1,即 MN∥AB1, 2 ∵AB1?平面 ABB1A1,MN ∴MN∥平面 ABB1A1. 平面 ABB1A1,

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