nbhkdz.com冰点文库

高考数学常用公式及结论200条(2)

时间:2011-01-07


高考数学常用公式及结论 200 条(2) )
y 101.抛物线 y = 2 px 上的动点可设为 P ( , y ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt )或 P ( x , y ) ,其中 2p 2 y = 2 px .
2 2

b 2 4ac ? b2 ) + (a ≠ 0) 的图象是抛物线: (1)顶 2a 4a b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 + 1 点坐标为 ( ? , ); (2)焦点的坐标为 ( ? , ); (3)准线方程是 2a 4a 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 y= . 4a
102.二次函数 y = ax + bx + c = a( x +
2

103.抛物线的内外部 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的内部 ? y 2 < 2 px ( p > 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的外部 ? y 2 > 2 px ( p > 0) . (2)点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = ?2 px ( p > 0) 的内部 ? y 2 < ?2 px ( p > 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = ?2 px ( p > 0) 的外部 ? y 2 > ?2 px( p > 0) . (3)点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的内部 ? x 2 < 2 py ( p > 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的外部 ? x 2 > 2 py ( p > 0) . (4) 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的内部 ? x 2 < 2 py ( p > 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = ?2 py ( p > 0) 的外部 ? x 2 > ?2 py ( p > 0) . 104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 y 2 = 2 px 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y = p ( x + x0 ) . (2) 过抛物线 y 2 = 2 px 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y = p(x + x0 ) . (3)抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是 pB 2 = 2 AC . 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 f1 ( x, y ) = 0 , f 2 ( x, y ) = 0 的交点的曲线系方程是

f1 ( x, y) + λ f2 ( x, y) = 0 ( λ 为参数). x2 y2 + 2 = 1 , 其 中 k < max{a 2 , b 2 } . 当 a2 ? k b ? k k > min{a 2 , b 2 } 时,表示椭圆; 当 min{a 2 , b 2 } < k < max{a 2 , b 2 } 时,表示双曲线.
(2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =

( x1 ? x2 )2 + ( y1 ? y2 ) 2 或

AB = (1 + k 2 )( x2 ? x1 ) 2 =| x1 ? x2 | 1 + tan 2 α =| y1 ? y2 | 1 + co t 2 α ( 弦 端 点
A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 由方程 ?

? y = kx + b 2 消去 y 得到 ax + bx + c = 0 ,? > 0 , α 为直线 ?F( x , y) = 0

AB 的倾斜角, k 为直线的斜率).
107.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y ) = 0 关于点 P ( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y ) = 0 . (2)曲线 F ( x, y ) = 0 关于直线 Ax + By + C = 0 成轴对称的曲线是

F (x ?

2 A( Ax + By + C ) 2 B ( Ax + By + C ) ,y? ) = 0. 2 2 A +B A2 + B 2
2 2
2 2

108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 , x0 x 代 x , y0 y 代 y , 用 用 用

x0 y + xy0 x +x y +y 代 xy ,用 0 代 x ,用 0 代 y 即得方程 2 2 2 x y + xy0 x +x y +y Ax0 x + B ? 0 + Cy0 y + D ? 0 +E? 0 + F = 0 ,曲线的切线,切点弦,中点 2 2 2

弦,弦中点方程均是此方程得到. 109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. a b b a (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). a b c a b c (3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb. a b a b 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和, 等于以这三个向量为棱的平行六面体的 以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ使 a=λb.

P、A、B 三点共线 ? AP || AB ? AP = t AB ? OP = (1 ? t )OA + tOB .

AB || CD ? AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线 ? AB = tCD 且 AB、CD 不共线.
118.共面向量定理

向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 ? 存在实数对 x, y ,使 p = ax + by . b 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 ? 存在有序实数对 x, y ,使 MP = xMA + yMB , 或对空间任一定点 O,有序实数对 x, y ,使 OP = OM + xMA + yMB . 119. 对 空 间 任 一 点 O 和 不 共 线 的 三 点 A 、 B 、 C , 满 足 OP = xOA + yOB + zOC (x+ y+ z = k) ,则当 k = 1 时,对于空间任一点 O ,总有 P、A、B、C 四点共面;当 k ≠ 1 时,若 O ∈ 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点共面;若 O ? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点不共 面.

A、B、 、D 四点共面 ? AD 与 AB 、 AC 共面 ? AD = x AB + y AC ? C OD = (1 ? x ? y )OA + xOB + yOC ( O ? 平面 ABC).
120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x, b c y,z,使 p=xa+yb+zc. a b c 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实 数 x,y,z,使 OP = xOA + yOB + zOC . 121.射影公式 已知向量 AB =a 和轴 l ,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点在 l 上的射影 A ,作 B e . 点在 l 上的射影 B ' ,则
'

A' B ' =| AB | cos 〈a,e〉=a·e e e
122.向量的直角坐标运算 设 a= ( a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) 则 b (1)a+b= ( a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) ; b (2)a-b= ( a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; b (3)λa= (λ a1 , λ a2 , λ a3 ) (λ∈R); (4)a·b= a1b1 + a2b2 + a3b3 ; b 123.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

AB = OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) .
124.空间的线线平行或垂直 设 a = ( x1 , y1 , z1 ) , b = ( x2 , y2 , z2 ) ,则

r

r

? x1 = λ x2 r r r r r r ? a P b ? a = λ b(b ≠ 0) ? ? y1 = λ y2 ; ?z = λ z 2 ? 1 r r r r a ⊥ b ? a ? b = 0 ? x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0 .
125.夹角公式 设 a= ( a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 b cos〈a,b〉= b

a1b1 + a2b2 + a3b3
2 2 a12 + a2 + a3 b12 + b22 + b32 2 2 2 2

.
2 2 2

推论 ( a1b1 + a2b2 + a3b3 ) ≤ ( a1 + a2 + a3 )(b1 + b2 + b3 ) ,此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角 四面体 ABCD 中, AC 与 BD 所成的角为 θ ,则

cos θ =

| ( AB 2 + CD 2 ) ? ( BC 2 + DA2 ) | . 2 AC ? BD

127.异面直线所成角

r r cos θ =| cos a, b | r r | a ?b | | x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 | = r r = 2 | a |?| b | x1 + y12 + z12 ? x2 2 + y2 2 + z2 2
o o

b b (其中 θ ( 0 < θ ≤ 90 )为异面直线 a, 所成角, a, b 分别表示异面直线 a, 的方向向量)
128.直线 AB 与平面所成角

r r

AB ? m ( m 为平面 α 的法向量). | AB || m | 129.若 ?ABC 所在平面若 β 与过若 AB 的平面 α 成的角 θ ,另两边 AC , BC 与平面 α 成的角分别是 θ1 、 θ 2 , A、B 为 ?ABC 的两个内角,则

β = arc sin

sin 2 θ1 + sin 2 θ 2 = (sin 2 A + sin 2 B ) sin 2 θ . sin 2 θ1 + sin 2 θ 2 = sin 2 θ . 130.若 ?ABC 所在平面若 β 与过若 AB 的平面 α 成的角 θ ,另两边 AC , BC 与平面 α
成的角分别是 θ1 、 θ 2 , A 、B 为 ?ABO 的两个内角,则
' '

特别地,当 ∠ACB = 90 时,有

tan 2 θ1 + tan 2 θ 2 = (sin 2 A' + sin 2 B ' ) tan 2 θ .
特别地,当 ∠AOB = 90 时,有

sin 2 θ1 + sin 2 θ 2 = sin 2 θ . 131.二面角 α ? l ? β 的平面角

θ = arc cos

m?n m?n 或 π ? arc cos ( m , n 为平面 α , β 的法向量). | m || n | | m || n |

132.三余弦定理 设 AC 是α内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 θ1 ,AB 与 AC 所成的角为 θ 2 ,AO 与 AC 所成的角为 θ .则 cos θ = cos θ1 cos θ 2 . 133. 三射线定理 若夹在平面角为 ? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 θ1 , θ 2 ,与二面 角的棱所成的角是θ,则有 sin ? sin θ = sin θ1 + sin θ 2 ? 2sin θ1 sin θ 2 cos ? ;
2 2 2 2

| θ1 ? θ 2 |≤ ? ≤ 180 ? (θ1 + θ 2 ) (当且仅当 θ = 90 时等号成立).
134.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

d A, B = | AB |= AB ? AB = ( x2 ? x1 )2 + ( y2 ? y1 ) 2 + ( z2 ? z1 ) 2 . 135.点 Q 到直线 l 距离 1 h= (| a || b |) 2 ? (a ? b) 2 ( 点 P 在 直 线 l 上 , 直 线 l 的 方 向 向 量 a= PA , 向 量 |a|
b= PQ ). 136.异面直线间的距离

d=

| CD ? n | ( l1 , l2 是两异面直线, 其公垂向量为 n ,C、D 分别是 l1 , l2 上任一点,d 为 |n|

l1 , l2 间的距离). 137.点 B 到平面 α 的距离 | AB ? n | d= ( n 为平面 α 的法向量, AB 是经过面 α 的一条斜线, A ∈ α ). |n|
138.异面直线上两点距离公式

d = h 2 + m2 + n 2 ? 2mn cos θ .
d = h 2 + m 2 + n 2 ? 2mn cos EA' , AF .
d = h 2 + m2 + n 2 ? 2mn cos ? ( ? = E ? AA' ? F ).
(两条异面直线 a、b 所成的角为θ,其公垂线段 AA 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两 点 E、F, A E = m , AF = n , EF = d ). 139.三个向量和的平方公式
'

'

(a + b + c) 2 = a + b + c + 2a ? b + 2b ? c + 2c ? a

2

2

2

= a + b + c + 2 | a | ? | b | cos a, b + 2 | b | ? | c | cos b, c + 2 | c | ? | a | cos c, a
140. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分 别为 θ1、θ 2、θ 3 ,则有
2 l 2 = l12 + l2 + l32 ? cos2 θ1 + cos2 θ 2 + cos2 θ3 = 1 ? sin 2 θ1 + sin 2 θ 2 + sin 2 θ 3 = 2 .

2

2

2

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 141. 面积射影定理

S=

(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ,它们所在平面所成锐二面角的为 θ ). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S斜棱柱侧 和 V斜棱柱 ,它的直截面的周长和
'

S' . cos θ

面积分别是 c1 和 S1 ,则 ① S斜棱柱侧 = c1l . ② V斜棱柱 = S1l . 143.作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 144.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截, 那么所得的截面与底面相似, 截面面积与底面面积 的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 (对应角相等, 对应边对应成比例的多边形是相 似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方) ;相应小棱锥与小棱锥的侧面积的 比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. 145.欧拉定理(欧拉公式) V + F ? E = 2 (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). (1) E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n 的多边形,则面数 F 与棱数 E 的关系: E =

1 nF ; 2

(2)若每个顶点引出的棱数为 m ,则顶点数 V 与棱数 E 的关系: E = 146.球的半径是 R,则 其体积 V =

1 mV . 2

4 3 πR , 3 2 其表面积 S = 4π R .

147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线 长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 148.柱体、锥体的体积

6 6 a ,外接球的半径为 a. 12 4

1 V柱体 = Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3 1 V锥体 = Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3
149.分类计数原理(加法原理) N = m1 + m2 + ? + mn . 150.分步计数原理(乘法原理) N = m1 × m2 × ? × mn . 151.排列数公式

Anm = n(n ? 1) ? (n ? m + 1) =
注:规定 0! = 1 . 152.排列恒等式 (1) An = ( n ? m + 1) An
m m ?1

n! * .( n , m ∈N ,且 m ≤ n ). N (n ? m)!

;

(2) An =
m

n Anm?1 ; n?m m m ?1 (3) An = nAn ?1 ;
(4) nAn = An +1 ? An ;
n n n +1 m

(6) 1!+ 2 ? 2!+ 3 ? 3!+ ? + n ? n ! = ( n + 1)!? 1 . 153.组合数公式
m Cn =

(5) An +1 = An + mAn
m

m ?1

.

Anm n(n ? 1) ? (n ? m + 1) n! * = = ( n ∈N , m ∈ N ,且 m ≤ n ). N m Am 1× 2 × ?× m m!(n ? m)! ?
m n?m

154.组合数的两个性质 (1) C n = C n (2) C
m n + 0

;
m C n +1 .

C

m ?1 = n

注:规定 C n = 1 . 155.组合恒等式

(1) Cn =
m

n ? m + 1 m ?1 Cn ; m n m Cnm?1 ; (2) Cn = n?m n m ?1 m (3) Cn = Cn ?1 ; m
(4)

∑C
r =0 r
0

n

r n

= 2n ;
r r r r +1

(5) C r + C r +1 + C r + 2 + ? + C n = C n +1 . (6) C n + C n + C n + ? + C n + ? + C n = 2 .
1 2 r n n

(7) C n + C n + C n + ? = C n + C n + C n + ? 2
1 3 5 0 2 4

n ?1

.

(8) C n + 2C n + 3C n + ? + nC n = n 2
1 2 3 n r 0 r ?1 1 0r r

n ?1

.

(9) C m C n + C m C n + ? + C m C n = C m + n .
r

(10) (C n ) + (C n ) + (C n ) + ? + (C n ) = C 2 n .
0 2 1 2 2 2 n 2 n

156.排列数与组合数的关系

Anm = m ? Cn . ! m
157.单条件排列 以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列. (1) “在位”与“不在位” ①某(特)元必在某位有 An ?1 种;②某(特)元不在某位有 An ? An ?1 (补集思想)
m 1 m m 1 m = An ?1 An ??1 (着眼位置) = An ?1 + Am ?1 An ??1 (着眼元素)种. 1 1 m ?1 m ?1

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻) ①定位紧贴: k ( k ≤ m ≤ n) 个元在固定位的排列有 Ak An ? k 种.
k m?k

②浮动紧贴: n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 An ? k +1 Ak 种.注:此类问题 常用捆绑法; ③插空:两组元素分别有 k、h 个( k ≤ h + 1 ) ,把它们合在一起来作全排列,k 个的一 组互不能挨近的所有排列数有 Ah Ah +1 种. (3)两组元素各相同的插空 m 个大球 n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法? 当 n > m + 1 时,无解;当 n ≤ m + 1 时,有
n Am +1 n = C m +1 种排法. n An n h k

n ? k +1

k

(4) 两组相同元素的排列: 两组元素有 m 个和 n 个, 各组元素分别相同的排列数为 Cm + n . 158.分配问题 (1)(平均分组有归属问题)将相异的 m 、 n 个物件等分给 m 个人,各得 n 件,其分配 方法数共有 N = C mn ? C mn ? n ? C mn ? 2 n ? ? ? C 2 n ? C n =
n n n n n

(mn)! . (n!) m

(2)(平均分组无归属问题)将相异的 m · n 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆,其 分配方法数共有

n n n n n Cmn ? Cmn ? n ? Cmn ? 2 n ... ? C2 n ? Cn (mn)! = . m! m!(n!) m (3)(非平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + ? +n m ) 个物体分给 m 个人,物件 必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,…, nm 件,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数彼此不相等,则

N=

nm n n 其分配方法数共有 N = C p1 ? C p 2 n1 ...C n m ? m!= ?

p!m! . n1!n2 !...nm !

(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + ? +n m ) 个物体分给 m 个人, 物件必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,…, nm 件,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数中分别有 a、 b、c、…个相等,则其分配方法数有 N =

p !m ! . a!b!c!... n1 !n2 !...nm !(a !b !c !...) (5)(非平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + ? +n m ) 个物体分为任意的 n1 , =

nm n n C p1 ? C p 2? n1 ...Cnm ? m!

n2 ,…, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配方法数 p! 有N = . n1!n2!...nm! (6) (非完全平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + ? +n m ) 个物体分为任意的 n1 , n2 ,…, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、…个相等, p! 则其分配方法数有 N = . n1!n2!...nm !(a!b!c!...) (7) (限定分组有归属问题)将相异的 p p = n1 +n2 + ? +nm ) ( 个物体分给甲、 丙, 乙、 ……
等 m 个人,物体必须被分完,如果指定甲得 n1 件,乙得 n2 件,丙得 n3 件,…时,则无论 n1 ,

n2 ,…, nm 等 m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
n n nm N = C p1 ? C p 2? n1 ...Cnm =

p! . n1!n2!...nm!

159. “错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题:信 n 封信与 n 个信封全部错位的组合数为

1 1 1 1 ? + ? ? + (?1)n ] . 2! 3! 4! n! 推广: n 个元素与 n 个位置,其中至少有 m 个元素错位的不同组合总数为 f (n) = n ![
1 2 3 4 f (n, m) = n !? Cm (n ? 1)!+ Cm (n ? 2)!? Cm (n ? 3)!+ Cm (n ? 4)! p m ? ? + (?1) p Cm (n ? p)!+ ? + (?1)m Cm (n ? m)! 1 2 3 4 p m Cm C m C m Cm p Cm m Cm = n ![1 ? 1 + 2 ? 2 + 4 ? ? + (?1) + ? + (?1) m ] . An An An An Anp An

160.不定方程 x1 +x2 + ? +xn = m 的解的个数 (1)方程 x1 +x2 + ? +xn = m ( n, m ∈ N ? )的正整数解有 C m?1 个. (2) 方程 x1 +x2 + ? +xn = m ( n, m ∈ N ? )的非负整数解有 C n+m?1 个. (3) 方程 x1 +x2 + ? +xn = m ( n, m ∈ N ? )满足条件 xi ≥ k ( k ∈ N , 2 ≤ i ≤ n ? 1 ) 的非负整数解有 C m+1 ? ( n ? 2)( k ?1) 个.
n ?1
?

n ?1

n ?1

(4) 方程 x1 +x2 + ? +xn = m ( n, m ∈ N )满足条件 xi ≤ k ( k ∈ N , 2 ≤ i ≤ n ? 1 )
n? n? n? 的正整数解有 C nn+?1?1 ? C 1?2 C m+n1?k ?2 + C n2?2 C m+n1?2 k ?3 ? ? + (?1) n ? 2 C nn?? 2C m+11( n?2) k 个. m n 2 ?

?

?

161.二项式定理
0 1 2 r n (a + b) n = C n a n + C n a n ?1b + C n a n ? 2 b 2 + ? + C n a n ? r b r + ? + C n b n ;

二项展开式的通项公式
r Tr +1 = C n a n ? r b r (r = 0,2 ?,n) . 1,

162.等可能性事件的概率

P ( A) =

m . n

163.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). 164. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 165.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An). 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率

Pn (k ) = Cnk P k (1 ? P ) n ? k .
168.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) Pi ≥ 0(i = 1, 2,?) ; (2) P + P2 + ? = 1 . 1 169.数学期望

Eξ = x1 P + x2 P2 + ? + xn Pn + ? 1
170.数学期望的性质 (1) E ( aξ + b) = aE (ξ ) + b . (2)若 ξ ~ B ( n, p ) ,则 Eξ = np . (3) 若 ξ 服从几何分布,且 P (ξ = k ) = g (k , p ) = q k ?1 p ,则 Eξ = 171.方差

1 . p

Dξ = ( x1 ? Eξ ) ? p1 + ( x2 ? Eξ ) ? p2 + ? + ( xn ? Eξ ) ? pn + ?
2 2 2

172.标准差

σξ = Dξ .
173.方差的性质 (1) D ( aξ + b ) = a Dξ ;
2

(2)若 ξ ~ B ( n, p ) ,则 Dξ = np (1 ? p ) .
(3) 若 ξ 服从几何分布,且 P (ξ

= k ) = g (k , p ) = q k ?1 p ,则 Dξ =

q . p2

174.方差与期望的关系

Dξ = Eξ 2 ? ( Eξ ) .
2

175.正态分布密度函数
? 1 f ( x) = e 2π 6

( x ? ? )2
262

, x ∈ ( ?∞, +∞ ) ,式中的实数μ, σ ( σ >0)是参数,分别表

示个体的平均数与标准差. 176.标准正态分布密度函数
x ? 1 f ( x) = e 2 , x ∈ ( ?∞, +∞ ) . 2π 6 2 177.对于 N ( ? , σ ) ,取值小于 x 的概率 ? x?? ? F ( x) = Φ ? ?. ? σ ? P ( x1 < x0 < x 2 ) = P ( x < x 2 ) ? P ( x < x1 )
2

= F ( x2 ) ? F ( x1 )

? x ?? ? ? x1 ? ? ? = Φ? 2 ? ?Φ? ?. ? σ ? ? σ ?
178.回归直线方程
n ? ∑ ( xi ? x )( yi ? y ) ? i =1 = n ? = a + bx ,其中 ?b = 2 y ? ∑ ( xi ? x ) ? i =1 ? ?a = y ? bx

∑ x y ? nx y
i =1 n i i

n

∑x
i =1

2

i

? nx 2

.

179.相关系数

r=

∑ ( xi ? x )( yi ? y )
i =1

n

∑ (x ? x ) ∑ ( y ? y )
2

n

n

=
2

∑ ( x ? x )( y ? y )
i =1 i i

n

.
n
2 2 2

i =1

i

i =1

i

(∑ xi ? nx )(∑ yi ? ny )
2

n

i =1

i =1

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小. 180.特殊数列的极限

?0 ? (1) lim q = ?1 n →∞ ? ?不存在
n

| q |< 1 q =1 | q |< 1或q = ?1
(k < t ) (k = t ) . (k > t )
.

?0 ? ak n k + ak ?1n k ?1 + ? + a0 ? at (2) lim =? n →∞ b n t + b n t ?1 + ? + b t t ?1 0 ? bk ?不存在 ?
(3) S = lim

a1 1 ? q n 1? q
x → x0

(

n →∞

)=

a1 1? q

( S 无穷等比数列

{a q }
n ?1 1

( | q |< 1 )的和).

181. 函数的极限定理
x → x0

lim f ( x) = a ? lim? f ( x) = lim+ f ( x) = a .
x → x0

182.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) ; (2) lim g ( x) = a, lim h( x) = a (常数),
x → x0 x → x0

则 lim f ( x) = a .
x → x0

本定理对于单侧极限和 x → ∞ 的情况仍然成立. 183.几个常用极限

1 = 0 , lim a n = 0 ( | a |< 1 ) ; n →∞ n →∞ n 1 1 (2) lim x = x0 , lim = . x → x0 x → x0 x x0
(1) lim 184.两个重要的极限 (1) lim
x →0

sin x =1; x

(2) lim ? 1 +

? x →∞ ?

1? ? = e (e=2.718281845…). x?
x → x0

x

185.函数极限的四则运算法则 若 lim f ( x) = a , lim g ( x) = b ,则
x → x0

(1) lim ? f ( x ) ± g ( x ) ? = a ± b ; ? ?
x → x0 x → x0

(2) lim ? f ( x ) ? g ( x ) ? = a ? b ; ? ? (3) lim

x → x0

g ( x)

f ( x)

=

a (b ≠ 0) . b

186.数列极限的四则运算法则 若 lim an = a, lim bn = b ,则 (1) lim ( an ± bn ) = a ± b ; (2) lim ( an ? bn ) = a ? b ;
n →∞ n →∞ n →∞ n →∞

(3) lim

(4) lim ( c ? an ) = lim c ? lim an = c ? a ( c 是常数).
n →∞ n →∞ n →∞

an a = (b ≠ 0) n →∞ b b n

187. f (x ) 在 x0 处的导数(或变化率或微商)

f ′( x0 ) = y′
188.瞬时速度

x = x0

= lim

?x → 0

f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim . ?x → 0 ?x ?x

υ = s′(t ) = lim
a = v′(t ) = lim

?s s (t + ?t ) ? s (t ) = lim . ?t → 0 ?t ?t → 0 ?t

189.瞬时加速度

?v v(t + ?t ) ? v(t ) = lim . ?t →0 ?t ?t →0 ?t 190. f ( x) 在 (a, b) 的导数 dy df ?y f ( x + ?x) ? f ( x) = f ′( x) = y′ = = lim = lim . dx dx ?x →0 ?x ?x →0 ?x 191. 函数 y = f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义

函 数 y = f ( x) 在 点 x0 处 的 导 数 是 曲 线 y = f ( x) 在 P ( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 的 斜 率

f ′( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 = f ′( x0 )( x ? x0 ) .
192.几种常见函数的导数

(1) C ′ = 0 (C 为常数). (2) ( xn ) = nx
'

(3) (4) (5)

(6) 193.导数的运算法则
' ' ' '

(n ∈ Q) . (sin x)′ = cos x . (cos x)′ = ? sin x . 1 1 e (ln x)′ = ; (log a x )′ = log a . x x x x x x (e )′ = e ; (a )′ = a ln a .
'

n ?1

(1) (u ± v) = u ± v . (2) (uv) = u v + uv .
'

u ' u 'v ? uv ' (3) ( ) = (v ≠ 0) . v v2
194.复合函数的求导法则 设函数 u = ? ( x) 在点 x 处有导数 u x = ? ( x) ,函数 y = f (u ) 在点 x 处的对应点 U 处有
' '

导 数 yu = f (u ) , 则 复 合 函 数 y = f (? ( x)) 在 点 x 处 有 导 数 , 且 yx = yu ? u x , 或 写 作
' ' ' ' '

f x' (? ( x)) = f ' (u )? ' ( x) .
195.常用的近似计算公式(当 x 充小时)

1 n 1 x ; 1+ x ≈1+ x ; 2 n 1 (2) (1 + x)α ≈ 1 + α x(α ∈ R ) ; ≈ 1? x ; 1+ x x (3) e ≈ 1 + x ; (4) ln (1 + x) ≈ x ; ; (5) sin x ≈ x ( x 为弧度) (6) tan x ≈ x ( x 为弧度) ; (7) arctan x ≈ x ( x 为弧度) 196.判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法 当函数 f (x ) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ′( x ) > 0 ,右侧 f ′( x ) < 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ′( x ) < 0 ,右侧 f ′( x ) > 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值.
(1) 1 + x ≈ 1 + 197.复数的相等

a + bi = c + di ? a = c, b = d .( a , b, c, d ∈ R ) 198.复数 z = a + bi 的模(或绝对值) | z | = | a + bi | = a 2 + b 2 .
199.复数的四则运算法则 (1) (a + bi ) + (c + di ) = ( a + c ) + (b + d )i ; (2) (a + bi ) ? (c + di ) = ( a ? c ) + (b ? d )i ; (3) ( a + bi )(c + di ) = ( ac ? bd ) + (bc + ad )i ; (4) ( a + bi ) ÷ (c + di ) =

ac + bd bc ? ad + i (c + di ≠ 0) . c2 + d 2 c2 + d 2

200.复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z2 , z3 ∈ C ,有

交换律: z1 ? z2 = z2 ? z1 . 结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 = z1 ? ( z2 ? z3 ) . 分配律: z1 ? ( z2 + z3 ) = z1 ? z2 + z1 ? z3 . 201.复平面上的两点间的距离公式

d =| z1 ? z2 |= ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 = x1 + y1i , z2 = x2 + y2i ).
202.向量的垂直 非零复数 z1 = a + bi , z2 = c + di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ 2 ,则

OZ1 ⊥ OZ 2 ? z1 ? z2 的实部为零 ?

z2 2 2 2 为纯虚数 ? | z1 + z2 | =| z1 | + | z2 | z1

? | z1 ? z2 |2 =| z1 |2 + | z2 |2 ? | z1 + z2 |=| z1 ? z2 | ? ac + bd = 0 ? z1 = λ iz2 (λ为非
零实数). 203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax + bx + c = 0 ,
2

①若 ? = b ? 4ac > 0 ,则 x1,2 =
2

?b ± b2 ? 4ac ; 2a b 2 ②若 ? = b ? 4ac = 0 ,则 x1 = x2 = ? ; 2a 2 ③若 ? = b ? 4ac < 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭
?b ± ?(b 2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac < 0) . 2a

复数根 x =


高考数学常用公式及结论200条2.doc

高考数学常用公式及结论200条2 - 高考数学常用公式及结论 200 条(2) y 101.抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P ( ? , y? ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt...

高考数学常用公式及结论200条(一)【天利】.doc

高考数学常用公式及结论200条(一)【天利】_高三数学_数学_高中教育_教育专区。...f ( x) N M N 8.方程 f ( x ) = 0 在 ( k1 , k 2 ) 上有且...

高考数学常用公式及结论200条.doc

高考数学常用公式及结论200条 - 高考数学常用公式及结论 200 条 集合 ?

高考数学常用公式及结论200条(共27页).doc

高考数学常用公式及结论200条(共27页) - 高考数学常用公式及结论 200

高考数学常用公式及结论200条(二)【天利】.doc

高考数学常用公式及结论200条(二)【天利】_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考数学常用公式及结论200条(二)天利考试信息网 www.tl100.com 天时地利 考无不胜...

高考数学常用公式及结论200条.doc

高考数学常用公式及结论 200 条(一)湖北省黄石二中 杨志明 1. 元素与集合

高考数学常用公式及结论200条(二).doc

高考数学常用公式及结论200条(二) - 高考数学常用公式及结论 200 条(二) 75.无理不等式 (1) ? f ( x) ≥ 0 ? f ( x) > g ( x) ? ? g ( ...

高考数学常用公式及结论200条.doc

高考数学常用公式及结论200条 - 高考数学常用公式及结论 200 条 湖北省黄

高考数学常用公式及结论200条.doc

高考数学常用公式及结论200条 - 高考数学常用公式及结论 200 条 1. 元

高考数学常用公式及结论200条.doc

高考数学常用公式及结论 200 条 1. 元素与集合的关系 x ∈ A x CU

高考数学常用公式及结论200条111.doc

高考数学常用公式及结论200条111 - 李金柱整理制作 1. 元素与集合的关系

高考数学必备秘笈--常用公式及结论200条.pdf

高考数学必备秘笈--常用公式及结论200条_高三数学_数学_高中教育_教育专区。

高考数学常用公式及结论200条.doc

高考数学常用公式及结论200条高考数学常用公式及结论200条隐藏>>

高考数学常用公式及结论200条.doc

高考数学常用公式及结论200条 - 高考数学常用公式及结论 200 条 1. 元

高考数学常用公式及结论200条.doc

高考数学常用公式及结论200条 - 高考数学常用公式及结论 200 条 1. 元

高考数学常用公式及结论200条(迄今为止最全的).doc

高考数学常用公式及结论 200 条湖北省黄石二中 杨志明 1. 元素与集合的关系

高考数学常用公式及结论200条.doc

高考数学常用公式及结论200条 - 高考数学常用公式及结论 200 条.txt

高考数学常用公式及结论200条圆锥曲线.doc

高考数学常用公式及结论200条圆锥曲线 - 高考数学常用公式及结论 200 条八.圆锥曲线 92.椭圆 93.椭圆 ? x = a cos θ x2 y2 + 2 = 1(a > b ...

1.高考数学常用公式及结论200条(全).doc

2a 高考数学常用公式及结论 200 条第 1 页共 31 页 2010-1-16 (2) 当 a<0 时 , 若 x = f ( x) max b b ∈ [ p, q ] , 则 f ( x) ...

高考数学常用公式及结论203条2.doc

高考数学常用公式及结论203条2 - 高考数学常用公式及结论203条(二)高考数学常用公式及结论 41.等比数列的通项公式 ; 其前 n 项的和公式为 或 42.等比...