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4.1.2圆的一般方程----点的轨迹方程的求法

时间:2018-07-01


三穗民高 杨培菊

求曲线方程的步聚:
(1)建系:建立直角坐标系 (2)设点:设所求动点坐标P(x,y)

(3) 列式:根据条件列出动点P满足的关系式(方程式)
(4)化简:化简方程

(5)检验:多余的点要去掉,不足的点要补充

例1.已知点M到两个定点O(0,0)、B(3,0)的距离的比为 1:2,求动点M的轨迹方程。
解:设点M的坐标是( x, y),

?点M 到两个定点O(0,0)、B(3,0)的距离的比是1:2,
1 即 ? , BM 2 OM

1 ? ? ( x ? 3)2 ? y 2 2
平方化简得

x ?y
2

2

( x ? 1) ? y ? 4
2 2 2

点M的轨迹方程是 ( x ? 1)

?y ?4
2

1、直接法
动点P满足的等量关系容易(找到),题目中有明显 的等量关系

(1)先表示出动点P所满足的几何上的等量关系, (2)再用点P的坐标(x,y)表示该等量关系式, (3)化简即可得到轨迹方程。

例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆
分析:(1)设点M的坐标是( x, y), 点A的坐标是( x0 , y0 ).
(2)找出点M的坐标与A、B两点 的坐标的关系,

(x ? 1)2 ? y 2 ? 4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程

y

B M

A

即x0与x的关系,y0与y的关系

O

x

(3)把点A 的坐标用x,y表示出来,
(4)把点A的坐标代入圆的方程( x ? 1)2 ? y 2 ? 4,
(5)化简得点M的轨迹方程

解:设点M的坐标是( x, y),点A的坐标是( x0 , y0 ).

?点B的坐标是(4,3),且点M是线段AB的中点,

于是得 x0 ? 2x ? 4, y0 ? 2 y ? 3
又?点A在圆( x ? 1)2 ? y2 ? 4上运动,
?点A 的坐标满足方程( x ? 1)2 ? y 2 ? 4

x0 ? 4 y0 ? 3 ?x ? ,y? , 2 2

即( x0 ? 1)2 ? y02 ? 4

?(2x ? 4 ?1)2 ? (2 y ? 3)2 ? 4 3 2 3 2 整理,得( x ? ) ? ( y ? ) ? 1 2 2 3 2 3 2 ?点M的轨迹方程是 ( x ? ) ? ( y ? ) ? 1 2 2

2、转移代入法(相关点法)
动点P的运动是由另一点M的运动引起的,而 点M的运动规律已知,(点M坐标满足某已知曲 线方程),步骤:
(1)先设P( x, y),M ( x0 , y0 );
(2)根据P、M 两点的坐标关系,把点M的坐标用x, y表示

(3)把M的坐标代入已知曲线方程 (4)化简即可得到动点P的轨迹方程

合作探究
1.课本124页 B组 1

( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 10 (除去A、B两点)
2 2

2.导学案115变式3

4 2 64 2 ( x+ ) ? y ? 3 9

一、求动点的轨迹方程的常用方法
1.直接法: 2.转移代入法 (也称相关点法): 所求动点P的运 动依赖于一已知曲线上的一个动点M的运动, 将M的坐标用P的坐标表示,代入已知曲线,所 的方程即为所求.

预习:导学案117-118页,预学1-预学4


4.1.2圆的一般方程---点的轨迹方程的求法_图文.ppt

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