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5初三预习 一元二次方程认识与配方法 修改

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教学过程 (一)一元二次方程的认识 知识梳理 (一)一元二次方程的概念
1、一元二次方程的定义 一元二次方程是指只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是二次的整式方程,该方程式的一般形式是: ax? +bx+c=0(a≠0) ,其中,ax? 是二次项,bx 是一次项,c 是常数项,a、b 是常数。 注意:a≠0 是一个重要条件,否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。 2、一元二次方程满足的条件 一元二次方程必须同时满足三个条件: ①是整式方程,即等号两边都是整式,方程中如果有分母,那么分母中无未知数; ②只含有一个未知数; ③未知数的最高次数是 2。

例题精讲 【题型一、一元二次方程的判别】
【例 1】判断下列关于 x 的方程是不是一元二次方程.
2 ( 1 )2 ? 3; (2) x 2 ? 5 x ? 0; (3) x 2 ? 2 xy ? 3 ? 0; (4) x ? x ? 5; (5)2 x( x ? 3) ? 2 x 2 ? 1; x ?5 1 1 (6) ? 3 x ? x ? 3; (7) 2 ? 2 x; (8) abx 2 ? ( a ? b) x ? 1 ? 0; (9) x 2 ? 3 3 x ? 4 ? 0 : x x ?1 (10) px 2 ? qx ? m ? 0.( p ? 0)

是一元二次方程的有 变式练习: 判断下列方程是不是一元二次方程: ① 3x2-

1 5 x x2 ? 3 y=0;② 2 =1;③2xy-7=0;④3x=x2+4;⑤ +5= ; 3 x ?3 3 2
1 x=6 3

⑥(a-1)x2-

【例 2】方程 (m ? 5)(m ? 3) x

m? 2

? (m ? 3) x ? 5 ? 0.

(1)m 为何值时,此方程为一元二次方程? (2)m 为何值时,此方程为一元一次方程?

变式练习:1、已知方程 (k 2 ? 1) x 2 ? (k ? 1) x ? 7 ? 0 , (1)当 k 为何值时,是一元二次方程。 (2)当 k 为何值 时,是一元一次方程?

2、若 (m ? 2) x m

2

?2

? 3x ? 4 ? 0 是关于 x 的一元二次方程,则 m 的值是
a ?1

。 。 ,常数项是 .

3、已知关于 x 的方程 (a ? 3) x

? x 2 ? 2 ? 0 是一元二次方程,则 a=
,一次项系数是

【例 3】方程 2 x=-3x2+5 中二次项系数是 【变式练习】

把关于 x 的一元二次方程 (m+1) x2-2m (1-x) +1=0 化成一般形式是 一次项系数是 ,常数项是 .
2

, 二次项系数是



【方法技巧】归纳:1、一元二次方程的一般形式是 ax ? bx ? c ? 0 ,(a,b,c 是常数且 a≠0),其中 ax 叫做
2

二次项, bx 叫做一次项, c 叫做常数项,a 叫做二次项系数,b 叫做一次项系数,c 叫做常数项。 2、一元二次方程的条件: (1)二次项系数 a≠0, (2)未知数最高次数必须为 2

【题型二、一元二次方程的根】
【例 4】 例:已知 x=1 关于 x 的一元二次方程 2 x ? kx ? 1 ? 0 的根,求 k 的值。
2

变式练习(1):关于 x 的方程 mx ? 3x ? x ? mx ? 2 是一元二次方程的条件是
2 2

。 。
2

(2) :已知关于一元二次方程 (m ? 1) x ? 5x ? m ? 1 ? 0 有一个根为 0,则 m=
2 2

【方法技巧】 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根(也叫方程的解) 。若 x1 是 ax ? bx ? c ? 0 的 根,则 ax1 ? bx1 ? c ? 0
2

巩固训练
一:选择题 1、已知关于 x 的方程(k+3)x2-3kx+2k-1=0 它一定是( )

A.一元二次方程 B.一元一次方程 C.一元二次方程或一元一次方程 D.无法确定 2、方程(x-1) (x+3)=12 化为 ax2+bx+c=0 形式后,a、b、c 的值为( A.1,-2,-15 B.1,-2,-15 C.1,2,-15 D.-1,2,-15 3、下列方程中是一元二次方程的有( ) ⑴3x2=2x; ⑵y2-2x-8=0; ⑶



2 -x-1=0; ⑷2x(x-5)=x(3x+1) ; x2

⑸ 3 (x2+1)= 6 ;

?⑹

y2 5


A.⑴⑸⑹ B.⑴⑷⑸ C.⑴⑶⑷ D.⑵⑷⑸ 2 2 4、若方程(m -1)x +x+m=0 是关于 x 的一元二次方程,则 m 的取值范围是( A.m≠0 B.m≠1 C.m≠1 或 m≠-1 D.m≠1 且 m≠-1 5、已知关于一元二次方程 x ? kx ? 6 ? 0 的一个根为 x=3,则实数 k 的值为(
2



A、1

B、-1

C、2

D、-2 )

6、关于 x 的一元二次方程 (m ? 1) x 2 ? x ? m 2 ? 1 ? 0 的根是 x=0,则 m=( A、m=1 B、m=-1
2

C、m≠-1

D、.m=±-1 )

7、若 n(n≠0)是关于 x 的方程 x ? mx ? 2n ? 0 的根,则 m ? n 的值为( A、1 B、2
2

C、-2

D、-1 )

8、已知方程 x ? bx ? a ? 0 的一个根是-a( a≠0),则下列代数式的值恒为常数的是( A、ab B、

a b

C、a+b

D、a-b

二、填空题 1、关于 x 的方程(m2-4)x2-(m-2)x-1=0,当 m 程. 2、把关于 x 的一元二次方程 ( x ?

时是一元二次方程;当 m

时是一元一次方

1 2 ) ? 1 化成一般形式是 2

,二次项系数是

,一次项系数

是 ,常数项是 . 3、关于 x 的方程 ax2-2m-3=x(2-x)是一元二次方程,则 a 的取值范围是 . 2 4、方程(x+4) =2x-3 化为一般式,二次项是 ,一次项是 ,常数项是 5、若方程 x ? ax ? a ? 0 的一个根为 x=3,则实数 k 的值为
2



。 。

2 6、关于 x 的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根为 1 和-1,则 a ? b ? c ?

a?b?c ?



7、若方程 (a ? 4) x 2 ? x ? 3 ? 0 为一元二次方程,则 a=
2 2

。 。

8、已知 x=1 是一元二次方程 x ? m x ? n ? 0 的一个根,则 m ? 2m n ? n 的值为 三、解答题:

1、把方程 a( x 2 ? x) ? b( x 2 ? x) ? 1 ? c 写成关于 x 的一元二次方程的一般形式,再写出他的二次项系数、一次 项系数和常数项,并求出它是一元二次方程的条件。

2、已知 x ? x ? 1 ? 0 ,求 ? x ? 2 x ? 2012? 0 的值。
2 3 2

3、已知 m 是关于 x 的一元二次方程 mx ? 2 x ? m ? 0 的一个根,求 m 的值。
2

4、已知关于 x 的方程 (m ? 2) x m

2

?2

? 2mx ? 3m ? 5 ? 0

(1) 、当 m 为何值时,该方程是一元二次方程?(2) 、当 m 为何值时,该方程是一元一次方程?

5、已知 x=1 是一元二次方程 ax ? bx ? 40 ? 0 的一个解,且 a≠b,求
2

a2 ? b2 的值。 2a ? 2b

6、要在一个长 16cm、宽 12cm 的矩形荒地中心建造一个花园,使花园占地面积为荒地面积的一半,并且在四周 留下宽度相同的小路 (1)求出小路的宽(列出方程,并把所列的方程化成一般形式) (2)若所列的方程左边可以分解为( x-12) (x-2) ,则符合题意的解应为多少?

(二)直接开平方法与配方法解一元二次方程 知识梳理
1、开平方法 形如 x2=p 或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。 ①如果方程化成 ②如果方程能化成 注意: ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。 ②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。 ③方法是根据平方根的意义开平方。 的形式,那么可得 。 ,进而得出方程的根。

(p≥0)的形式,那么

2、配方法 将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法。 用配方法解一元二次方程的步骤: ①把原方程化为一般形式; ②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为 1,并把常数项移到方程右边; ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方; ④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数; ⑤如果右边是非负数, 即可进一步通过直接开平方法求出它的解, 如果右边是一个负数, 则判定此方程无实数解。 注意: 配方法的理论依据是完全平方公式 a? +b? ± 2ab=(a± b)? 配方法的关键是:先将一元二次方程的二次项系数化为 1,然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

例题精讲 【题型一、直接开方法解一元二次方程】
【例 1】 若 x ? 36 ,由平方根定义可知 x=
2

。即 x1 ? 6 ,即 x-1=

x2 ? -6
,x-1= ;从而可以得到方程

变式练习:若 ( x ? 2) 2 ? 7 ,那么 x-2=± 的两根为 x1 ?

x2 ?

【方法技巧】归纳:(1)从上面的解法可知,解一元二次方程实际上就是把一个一元二次方程“降次”,转化 为两个一元一次方程后再求出两个根。上面是运用了直接开平方法 法。(2)如果一元二次方程能化成 进行降次,是化解一元二次方程的一种方

2 x 2 ? p或(mx ? n) ? p( p ? 0) 的 形 式 , 那 么 可 以 得 到

x ? ? p或mx ? n ? ? p 的形式,从而通过解一元二次方程得到一元二次方程的两根。
【题型二、用配方法解一元二次方程】
【例 2】1、在横线上填一个数,使左边变成一个完全平方式

x 2 ? 4x ? x 2 ? bx ?
2

= (x ? = (x ?

)2 )2

x 2 ? 6x ?

= (x ?

)2

2、解方程: x ? 4 x ? 5 ? 0

变式练习:

1、用配方法解关于 x 的一元二次方程: x2 ? px ? q ? 0

2、用配方法解方程 (1) x 2 ? 6x ? 5 ? 0 ; (2) 4x 2 ? 7x ? 2 ? 0 ; (3)x ( x+8 ) =16

的值总大于x ? 2 x ? 4的值. 3、试证:不论 x 为何实数,多项式 2 x ? 4 x ?1
4 2 4 2

【方法技巧】这种解一元二次方程的方法叫配方法,用配方法解一元二次方程的一般步骤为: (1) 整理:整理成二次系数为 1 的一般形式 (2) 移项:把常数项移到方程的右边 (3) 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 (4) 两边同时开平方:把原方程转化为 ( x ? m) 2 ? n 的形式后,两边同时开平方 (5) 答案:写出答案

巩固训练
一、选择题 1、下列方程可以用直接开平方法求解的是( A、 3 (x-1)2= 27 2、方程 2x2=1 的解为 ( A.x=±
2

) C、 x ? 3x ? 0
2

B、 4 x ? 4 x ? 3 ? 0 )

D、 x ? 2 x ? 1 ? 0
2

1 2

B.x=±
2

2 2

C.x=

1 2

D.x= 2

3、一元二次方程 ax ? bx ? 0(a ? 0) 有解,则必须满足( A、a、b 同号 B、b 是 a 的整倍数 C、b=0



D、a、b 同号或 b=0 ( )

4、对于形如(x+m)2=n 的方程,它的解的正确表达式为

A.都可以用直接开平方法求解,且 x=± n B.当 n≥0 时,x=m± n C.当 n≥0 时,x=± n -m D.当 n≥0 时,x=± n ? m 5、用配方法解方程 x ? 4 x ? 1 ? 0 ,经过配方,得(
2

) D、 ( x ? 2) 2 ? 3

A、 ( x ? 2) 2 ? 5
2

B、 ( x ? 2) 2 ? 5 )

C、 ( x ? 2) 2 ? 3

6、方程 x ? x ? 1 ? 0 的一个根是( A、 1 ? 5 二、填空题 1、一元二次方程 2 x ? 6 ? 0 的解为
2

B、

1? 5 2

C、 ? 1 ? 5

D、

?1? 5 2

。 。 。 。
2

2、若 ( x 2 ? y 2 ) 2 ? 36 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 = 3、关于 x 的方程 ( x ? b) 2 ? a 有实数解的条件是 4、 x ? mx ? 9 ? 0 为完全平方式,则 m=
2

5、已知三角形的两边长分别为 2 和 4,第三边是方程 x ? 6 x ? 5 ? 0 的根,则这个三角形的周长是
2 2 2 6、已知 a ? b ? c ? 2a ? 4b ? 6c ? 14 ? 0 ,则 a ? b ? c ?



三、解答题 1、用直接开平方法或配方法解下列方程: 4(1-x)2-9=0 4x2-256=0

3 (x-1)2= 27

x2-10x+24=0

x2-8x+15=0

y2+5y+2=0;

2、已知直角三角形的一条直角边的长是另外一条直角边长的 2 倍,斜边长为 10 5 ,求较短直角边的长。

3、 (1)已知分式

x2 ? 4 的值是 0,求 x 的值; 2 x 2 ? 5x ? 2

(2)已知分式

4 的值是 1,求 x 的值。 x ? 2x ? 1
2

4、利用配方法求代数式 4 x ? 2 x ? 5 的最小值
2

5、 .如图,在△ABC 中,∠B=90°,点 P 从点 B 开始,沿 AB 边向点 B 以 1cm/s?的速度移动,点 Q 从点 B 开 始,沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动,如果 AB=6cm,BC=12cm,?P、Q 都从 B 点同时出发,几秒后△PBQ 的面积等于 8cm2?

C

Q A

6、证明:无论 x 取任何值,代数式 x ? 4 x ? 9 的值总大于 0.
2

P

B

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回顾小结
( 一、方法小结: 一日悟一理,日久而成学)

二、本节课我做的比较好的地方是:

三、我需要努力的地方是:

【课后练习】
1.选择题 (1)下列方程中是一元二次方程的是( ) 2 x x 2 4 ? =0 A. 2 ? =0 B. 2 3 x x (2)下列方程不是一元二次方程的是( A. )
2

C.x +2xy+1=0

2

D.5x=3x-1

1 2 x =1 2
2

B.0.01x +0.2x-0.1=0 D.

C. 2 x -3x=0

1 2 1 x -x= (x2+1) 2 2

(3)方程 3x -4=-2x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( ) A.3,-4,-2 B.3,2,-4 C.3,-2,-4
2

2

D.2,-2,0 )

(4)一元二次方程 2x -(a+1)x=x(x-1)-1 的二次项系数为 1,一次项系数为-1,则 a 的值为( A.-1 B.1 C.-2 D.2 (5)若方程(m -1)x +x+m=0 是关于 x 的一元二次方程,则 m 的取值范围是( A.m≠0 B.m≠1 C.m≠1 且 m≠-1
2 2

) D.m≠1 或 m≠-1

(6)方程 x(x+1)=0 的根为( A.0 (7)方程 3x -75=0 的解是( A.x=5
2 2

) B.-1 ) B.x=-5 )

C.0,-1

D.0,1

C.x=±5

D.无实数根

(8)方程(x-5) =6 的两个根是( A.x1=x2=5+ 6 C.x1=-5+ 6 ,x2=-5- 6

B.x1=x2=-5+ 6 D.x1=5+ 6 ,x2=5- 6

(9)若代数式 x -6x+5 的值等于 12,那么 x 的值为( A.1 或 5 B.7 或-1
2

2

) C.-1 或-5 ) D. D.-7 或 1

(10)关于 x 的方程 3x -2(3m-1)x+2m=15 有一个根为-2,则 m 的值等于( A.2 B.-

1 2

C.-2

1 2

2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项: 2 (1)4x+1=9x ; (2)(x+1)(x-3)=2x-3;

(3)(x+3)(x-3)=2(x-3) ;
2

2

(4) 3 y - 2 y= 2 y - 3 y+ 5 .

2

2

3.当 m 满足什么条件时,方程(m+1)x -4mx+4m-2=0 是一元二次方程?当 x=0 时,求 m 的值.

4.用直接开平方法解下列方程: (1)x =
2 2

9 ; 4

(2)x =1.96; (5)(x-1) =144;
2

2

(3)3x -48=0; (6)(6x-7) -9=0.
2

2

(4)4x -1=0;

5.用配方法解下列方程: 2 (1)x +12x=0;

(2)x +12x+15=0

2

(3)x -7x+2=0;

2

(4)9x +6x-1=0;

2

(5)5x -2=-x;

2

(6)3x -4x=2.

2

6.用公式法解下列方程: 2 (1)x -2x+1=0;

(2)x(x+8)=16;

(3)x -

2

5 x=2; 3

(4)0.8x +x=0.3;

2

(5)4x -1=0;

2

(6)x =7x;

2

(7)3x +1=2 3 x;

2

(8)12x +7x+1=0.

2

7.(1)当 x 为何值时,代数式 2x +7x-1 与 4x+1 的值相等?

2

(2)当 x 为何值时,代数式 2x +7x-1 与 x -19 的值互为相反数?

2

2

8.已知 a,b,c 均为实数,且 a 2 ? 2a ? 1 +|b+1|+(c+3) =0,解方程 ax +bx+c=0.
2 2

9.已知 a+b+c=0.求证:1 是关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=0 的根.

2

10.用配方法证明: 2 (1)3y -6y+11 的值恒大于零;

(2)-10x -7x-4 的值恒小于零.

2

11.证明:关于 x 的方程(a -8a+20)x +2ax+1=0,不论 a 为何实数,该方程都是一元二次方程.

2

2


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