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2012学年第一学期浦东区高三数学质量调研卷(理)

时间:2013-03-20

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浦东新区 2012 学年度第一学期期末质量测试 高三数学试卷(理科)

2013.1

一、填空题: (本大题共 14 题,满分 56 分)只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零 分. 1.若集合 A ? { 0, m } , B ? { 0, 2} , A ? B ? { 0,1,2} ,则实数 m ? 2.已知二元一次方程组 ? .

?a1 x ? b1 y ? c1 ?1 ? 1 1 ? 的增广矩阵是 ? ?1 1 3 ? ,则此方程组的解是 ? ? ? ?a2 x ? b2 y ? c2
. .



3.函数 y ? log2 ( x ? 2) 的定义域为

4.已知 x, y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 5.函数 y ? 1 ? x ( x ? 0 )的反函数是 6.函数 f ( x) ? 2sin ? .

?? ? ?? ? ? x ? sin ? ? x ? 的最小正周期为 ?4 ? ?4 ?



7.等差数列 ?an ? 中, a6 ? a7 ? a8 ? 12 ,则该数列的前 13 项和 S13 ?



8.已知数列 ?an ? 是无穷等比数列,其前 n 项和是 Sn ,若 a2 ? a3 ? 2 , a3 ? a4 ? 1 ,则 lim Sn 的值
n??





9.若一个圆锥的轴截面是边长为 4 cm 的等边三角形,则这个圆锥的侧面积为 10.二项式 ? x ? 1 ? 的展开式前三项系数成等差数列,则 n ? ? ? 2 x? ?
n

cm2 .



11.已知甲射手射中目标的频率为 0.9 ,乙射手射中目标的频率为 0.8 ,如果甲乙两射手的射击相互独立, 那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击,目标被射中的频率为 .

? 12.已知向量 a 与向量 b , a ? 2 , b ? 3 , a 、 b 的夹角为 60 ,当 1 ? m ? 2, 0 ? n ? 2 时,

?

?

?? ?

?? ?

?

?

? ? ma ? nb 的最大值为



13.动点 P 在边长为 1 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 的对角线 BD1 上从 B 向 D1 移动,点 P 作垂直于 1 面 BB1D1D 的直线与正方体表面交于 M , N ,BP ? x, MN ? y , 则函数 y ? f ( x) 的解析式为 .

? 14 . 1, 2, ?, n 共 有 n ! 种 排 列 a1 , a2 , ?, an ( n ? 2, n ? N ) 其中 满 足 “对 所有 k ? 1, 2, ?, n 都 有 ,

1 精锐教育网站:www.1smart.org

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ak ? k ? 2 ”的不同排列有

种.

二、选择题: (本大题共有 4 题,满分 20 分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的, 选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知△ABC 两内角 A 、 B 的对边边长分别为 a 、 b ,则“ A ? B ”是“ a cos A ? b cos B ”的( )

A .充分非必要条件;

B .必要非充分条件; D .非充分非必要条件.

C .充要条件;
16.已知函数 f ( x ) ?
x

A .?

1 ; 2

1 1 ,若函数 y ? f ( x ? m) ? 为奇函数,则实数 m 为( ) 4 4 ?2 1 B .0 ; D .1 . C. ; 2

17.若 x1 , x2 , x3 , ?, x2013 的方差为 3 ,则 3 ( x1 ? 2) , 3 ( x2 ? 2) , 3 ( x3 ? 2), ?,

3 ( x2013 ? 2) 的方差为(
A .3 ;



D . 27 . ???? ??? ? ??? ? 18.定义域为 ? a, b? 的函数 y ? f ( x) 图象的两个端点为 A, B ,向量 ON ? ? OA ? (1 ? ? ) OB ,

B .9 ;

C . 18 ;

M ( x, y ) 是 f ( x) 图象上任意一点,其中 x ? ? a ? (1? ?) b, ? ??0,1? . 若不等式 MN ? k 恒成立,
则称函数 f ( x ) 在 ? a, b? 上满足“ k 范围线性近似”,其中最小的正实数 k 称为该函数的线性近似阀值.下 列定义在 ?1, 2? 上函数中,线性近似阀值最小的是( )

A . y ? x2 ;

B.y?

2 ; x

C . y ? sin

?
3

x;

D. y ? x?

1 . x

三、解答题: (本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本小题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ? AA ? 2 , ?ABC ? 45 . 1 (1)求点 A 到平面 A BC 的距离; 1 (2)求二面角 A ? AC ? B 的大小. 1
B1 A1
?

c1

A

C

B

2 精锐教育网站:www.1smart.org

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精锐教育· 教学管理部

中国领先的中小学教育品牌 20. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形 ABC 的空地 上修建一个占地面积为 S 的矩形 AMPN 健身场地,如图点 M 在 AC 上,点 N 在 AB 上,且 P 点在斜边

BC 上,已知 ?ACB ? 60? 且 | AC |? 30 米, AM = x , x ? [10,20] . (1)试用 x 表示 S ,并求 S 的取值范围;
(2)设矩形 AMPN 健身场地每平方米的造价为

37k ,再把矩形 AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪, S

每平方米的造价为

12k ( k 为正常数) ,求总造价 T 关于 S 的函数 T ? f (S ) ;试问如何选取 | AM | 的长 S B

使总造价 T 最低(不要求求出最低造价) .

N

P

21. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 已知复数 z1 ? 2sin ? ? 3i , z2 ? 1 ? (2cos ? )i , ? ? [ (1)若 z1 ? z2 为实数,求角 ? 的值; (2)若复数 z1 , z2 对应的向量分别是 a , b ,存在 ? 使等式 (? a ? b ) ? ( a ? ? b ) ? 0 成立,求实数 ? 的 取值范围.

? ?
3 2
?

,

].

A

M

C

?

?

?

?

?

22. (本小题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 定义数列 {xn } ,如果存在常数 p ,使对任意正整数 n ,总有 ( xn?1 ? p)( xn ? p) ? 0 成立,那么我们 称数列 {xn } 为“ p ? 摆动数列”. (1)设 an ? 2n ? 1, bn ? q n ( ? 1 ? q ? 0 ) n ? N ,判断数列 {an } 、 {bn } 是否为“ p ? 摆动数列”, , 并说明理由; (2)已知“ p ? 摆动数列” {cn } 满足 cn ?1 ?
?

1 , c1 ? 1 ,求常数 p 的值; cn ? 1

n (3)设 dn ? (?1) ?( 2 n ? ,且数列 { d n } 的前 n 项和为 Sn ,求证:数列 { Sn } 是“ p ? 摆动数列”,并求 1)

出常数 p 的取值范围. 23. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 10 分)

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1 ? 0? x? ? 2x , ? 2 设函数 T ( x) ? ? . ?2(1 ? x), 1 ? x ? 1 ? ? 2
(1)求函数 y ? T ? sin(

? ?? ? x) ? 和 y ? sin? T ( x) ? 的解析式; 2 ? ?2 ? (2)是否存在非负实数 a ,使得 aT ( x) ? T (a x) 恒成立,若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由; ? ?

?

(3)定义 Tn?1 ( x) ? Tn (T ( x)) ,且 T1 ( x) ? T ( x) ① 当 x ? ? 0,

?n ? N ? .
?

1 ? 时,求 y ? Tn ( x) 的解析式; 2n ? ? i ? i ?1 i ? 1 ? ? n 已知下面正确的命题:当 x ? ? n , n ? ( i ? N ,? i ? 2 ? 1) 时,都有 Tn ( x) ? Tn ( n -1 ? x ) 恒 1 2 2 ? ? 2
m

? ?

成立. ② 对于给定的正整数 m ,若方程 Tm ( x) ? k x 恰有 2 个不同的实数根,确定 k 的取值范围;若将这些
m m 根从小到大排列组成数列 ?xn ? 1 ? n ? 2 ,求数列 ?xn ? 所有 2 项的和.

?

?

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高三数学试卷(理科)参考答案
一、填空题 1.1; 6. ? ; 2. ?

?x ? 2 ; ? y ?1
8.

3. [3,??) ;

4.

1 ; 16
10. 8 ;

5. y ? ( x ?1)2 ( x ? 1 ) ;

7. 52 ;

16 ; 3

9. 8? ;

11. 0.98 ;

12. 2 19 ;

? ? 2 6 x, x ? ?0, ? 3 ? ? 13. y ? ? ? 2 6 ? 2 2? x, x ? ? ? ? 3 ? ?
二、选择题

3? ? 2 ? ? 3 , 3? 2 ?

或 2? | 2 ?

2 6 x | x ?[0, 3] ; 3

14. 2 ? 3

n? 2



15. A ; 16. C ; 17. D ; 18. D ; 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本小题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 解: (1)? AB ? AC ? 2, ?ABC ? 45? ,??BAC ? 90? ,?VA1 ? ABC ?

A1

c1

4 . 3

B1

? A1B ? BC ? AC ? 2 2,? S?A1BC ? 2 3 . …3 分 1
1 2 3 设点 A 到平面距离为 h ,由 h ? S?A1BC ? VA1 ? ABC , ? h ? . 3 3
B A C

2 3 . ……………………………………………………6 分 ? 点 A 到平面距离为 3
(2)设 AC 的中点为 M ,连结 BM , AM .? BA ? BC, AA ? AC, ? BM ? AC, AM ? AC . 1 1 1 1 1

??AMB 是二面角 A ? AC ? B 的平面角.……………………………………8 分 1

tan ?AMB ? 2,??AMB ? arctan 2 ? 二面角 A ? AC ? B 的大小为 arctan 2 .……12 分 1
20. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 解: (1)在 Rt?PMC 中,显然 | MC |? 30 ? x , ?PCM ? 60 ,
?

? | PM |?| MC | ? tan?PCM ? 3(30 ? x) ,……………………………………2 分
矩形 AMPN 的面积 S ?| PM | ? | MC |? 3x(30 ? x) , x ?[10, 20] …………4 分 于是 200 3 ? S ? 225 3 为所求.………………………………………………6 分 5 精锐教育网站:www.1smart.org 5 精锐教育· 教学管理部

中国领先的中小学教育品牌 (2) 矩形 AMPN 健身场地造价 T1 ? 37k S ………………………………………7 分 又 ?ABC 的面积为 450 3 ,即草坪造价 T2 ?

12k (450 3 ? S ) ,……………8 分 S

由总造价 T ? T1 ? T2 ,? T ? 25k ( S ?

216 3 ) , 200 3 ? S ? 225 3 .…10 分 S

? S?

216 3 ? 12 6 3 ,……………………………………………………11 分 S 216 3 即 S ? 216 3 时等号成立,……………………………12 分 S

当且仅当 S ?

此时 3x(30 ? x) ? 216 3 ,解得 x ? 12 或 x ? 18 , 所以选取 | AM | 的长为 12 米或 18 米时总造价 T 最低.………………………14 分 21. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 解: (1) z1 ? z 2 ? (2 sin ? ? 3i)? ? (2 cos? )i? ? (2sin ? ? 2 3 cos? ) ? (2sin 2? ? 3)i ? R ,……2 分 1

? sin 2? ?

3 ,…………4 分; 2



2? 2 ? ? 2? ? ? ,? 2? ? ? ,即 ? ? .…………6 分 3 3 3

(2) a ? b ? 8 ,…………………8 分;
? ? ? ?

?2

?2

? ? a ? b ? 2sin ? ? 2 3 cos? ,……………10 分
? ?

(? a ? b ) ? ( a ? ? b ) ? ? ( a ? b ) ? (1 ? ?2 ) a? b ? 0 .
2? ? ? ? sin(? ? ) .……12 分 2 1? ? 3 ? ? ? 1 1 2? ? 0 即可,……………13 分 因为 ? ? ? [0, ] ,所以 sin(? ? ) ? [0, ] . 只要 ? ? 3 6 3 2 2 1 ? ?2
得 8? ? (1 ? ?2 )(2 sin? ? 2 3 cos? ) ? 0 ,整理得 解得 ? ? ?2 ? 3 或 ? 2 ? 3 ? ? ? 0 .……………………………………………14 分 22. (本小题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 解: (1)假设数列 {an } 是“ p ? 摆动数列”,即存在常数 p ,总有 2n ? 1 ? p ? 2n ? 1 对任意 n 成立, 不妨取 n ? 1 时则 1 ? p ? 3 ,取 n ? 2 时则 3 ? p ? 5 ,显然常数 p 不存在, 所以数列 {an } 不是“ p ? 摆动数列”; ……………………………………………2 分 由 bn ? q ,于是 bnbn ?1 ? q
n 2 n ?1

?2

?2

? 0 对任意 n 成立,其中 p ? 0 .
1 , 2
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所以数列 {bn } 是“ p ? 摆动数列”. ………………………………………………4 分 (2)由数列 {cn } 为“ p ? 摆动数列”, c1 ? 1 ? c2 ? 6 精锐教育网站:www.1smart.org 6

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1 ? p ? 1 ,使对任意正整数 n ,总有 (cn ?1 ? p)(cn ? p) ? 0 成立; 2 即有 (cn ? 2 ? p)(cn ?1 ? p) ? 0 成立.则 (cn ? 2 ? p)(cn ? p) ? 0 ,………………6 分
即存在常数 所以 c1 ? p ?? c3 ? p ? ? ? c2n ?1 ? p .……………………………………7 分 同理 c2 ? p ? c4 ? p ? ? ? c2n ? p .…………………………………………8 分 所以 c2n ? p ? c2n ?1 ? 同理

1 c2 n ?1 ? 1

? c2 n ?1 ,解得 c2 n ?1 ?

5 ?1 5 ?1 即p? .…9 分 2 2

1 5 ?1 5 ?1 5 ?1 ;即 p ? .……10 分; 综上 p ? .…11 分 ? c2 n ,解得 c2 n ? c2 n ? 1 2 2 2

(3)证明:由 dn ? (?1)n ? (2n ? 1) ? Sn ? (?1)n ? n ,…………………………………13 分 显然存在 p ? 0 ,使对任意正整数 n ,总有 Sn Sn ?1 ? (?1)2n ?1 ? n(n ? 1) ? 0 成立, 所以数列 {Sn } 是“ p ? 摆动数列”; …………………………………………………14 分 当 n 为奇数时 Sn ? ?n 递减,所以 Sn ? S1 ? ?1,只要 p ? ?1即可 当 n 为偶数时 Sn ? n 递增, Sn ? S2 ? 2 ,只要 p ? 2 即可 综上 ? 1 ? p ? 2 , p 的取值范围是 (?1,2) .………………………………………16 分 (取 (?1,2) 中的任意一个值,并给予证明均给分)

1 1 1 1 1 n n ?1 时, ( S n ? )( S n ?1 ? ) ? [( ?1) n ? ][( ?1) (n ? 1) ? ] 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ? (?1) 2 n ?1 ? n(n ? 1) ? (?1) n ? ? ?n(n ? 1) ? (?1) n ? . 2 4 2 4 1 1 1 3 1 1 1 n 因为 ? ? (?1) ? ? , ? n(n ? 1) ? ?2 ,存在 p ? ,使 ( S n ? )( S n ?1 ? ) ? 0 成立. 4 2 4 4 2 2 2 所以数列 {Sn } 是“ p ? 摆动数列”.
如取 p ? 23. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 10 分)

? ?? ? ?2sin ? 2 x ? ? ? ? ? ? ? 解: (1)函数 y ? T ?sin( x) ? ? ? 2 ? ? ? ?? 2 ? 2sin ? ? ?2 ? ? ? ?sin ? 2x ? ?? ? ? 2 函数 y ? sin ? T ( x) ? ? ? ?2 ? ? ? sin ? 2-2x ? ? 2 ?

1? ? 5 ? ? x ? ? 4k , k + ? ? ? 4k + , k +2 ? k ? Z 4 4 3? ? 3 ? ? 1 5? ? ? x ? x ? ? 4k + , k + ? k ? Z 4 3 3? ? ?
? 1? x ? ?0, ? ? 2? = sin ?? x ? x ? ?0,1? ……4 分 ?1 ? x ? ? ,1? ?2 ?

1 ? 1 ? 2ax, 0? x? 0 ? ax ? ? ?2ax, ? 2 ? 2 (2) y ? aT ( x ) ? ? , y ? T (ax) ? ? ……6 分 ?2a(1 ? x), 1 ? x ? 1 ?2(1 ? ax), 1 ? ax ? 1 ? ? ? 2 ? 2 当 a ? 0 时,则有 a(T ( x)) ? T (ax) ? 0 恒成立.
当 a ? 0 时,当且仅当 a ? 1 时有 a(T ( x)) ? T (ax) ? T ( x) 恒成立. 综上可知当 a ? 0 或 a ? 1 时, a(T ( x)) ? T (ax) 恒成立;………………………8 分 7 精锐教育网站:www.1smart.org 7 精锐教育· 教学管理部

中国领先的中小学教育品牌 (3)① 当 x ? ? 0,

1 ? 1 ? j 时,对于任意的正整数 j ? N ?,? i ? n ?1 ,都有 0 ? 2 x ? 1 n ? 2 ? 2 ? 故有 y ? Tn ( x) ? Tn?1 (2x) ? Tn?2 (22 x) ? ? ? Tn? j (2 j x) ? ? ? T (2n?1 x) ? 2n x …13 分
② 由① 可知当 x ? ? 0, 当 x??

? ?

1 ? 时,有 Tn ( x) ? 2n x ,根据命题的结论可得, n ? 2 ?
时,有

? 1 2 ? ? 0 2 ? , n ? n, n n ?2 2 ? ?2 2 ? ? ? ?

1 ? 0 1 ? ? 0 2 ? ? x?? n , n ? ? ? n , n ? , n ?1 2 ?2 2 ? ?2 2 ?

1 1 ? x)=2n ( n ?1 ? x) ? ?2n x ? 2 . n ?1 2 2 ? i i ?1 ? 因此同理归纳得到,当 x ? ? n , n ? ( i ? N, ? i ? 2n ?1) 时, 0 ?2 2 ?
故有 Tn ( x) ? Tn (
n 1 1 ?2 x ? i, i 是偶数 ? Tn ( x) ? (?1) (2 x ? i ? ) ? = ? n ……………………15 分 2 2 ??2 x ? i ? 1,i 是奇数 ? i n

对于给定的正整数 m , x ? ? 解方程 Tm ( x) ? kx 得, x ?

? i i ?1 ? , ( i ? N, ? i ? 2m ?1) 时, 0 2m 2m ? ? ? ? 2i ? 1? ? (?1)i


2m?1 ? (?1)i 2k m 要使方程 Tm ( x) ? kx 在 x?? 0,1 ? 上恰有 2 个不同的实数根,

? 2i ? 1? ? (?1)i ? i ? 1 恒成立, i 对于任意 i ? N, ? i ? 2 ?1,必须 m ? m?1 0 2 2 ? (?1)i 2k 2m 2m ) , 若将这些根从小到大排列组成数列 ?xn ? , 解得 k ? ( 0 , m 2 ?1 ? 2n ?1? ? (?1)n n ? N ?, ? i ? 2m .……………………17 分 1 由此可得 xn ? m?1 ? ? 2 ? (?1)n 2k m 故数列 ?xn ? 所有 2 项的和为:
m

S ? x1 ? x2 ?? x2m ?1 ? x2m
0 ? 2 ? 4 ? ? ? (2m ? 2) 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2m 2m ?1 (4m ? 2k ) ? ? ? .……18 分 2m ? k 2m ? k 4m ? k 2

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松江区2012学年第一学期高三质量调研考试试卷(理).doc

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