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09年高二理科数学下册第一次月考试卷1

时间:2016-06-16


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09 年高二理科数学下册第一次月考试卷 数学试题(理科)
第Ⅰ卷 命、审题:尹怀前 赵兴俊 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)在每小题给出的四个选项中,只有 一项是正确的,把正确的序号填在机读卡的指定位置上. 1.下列图形中不一定是平面图形的是( A.三角形 C.对角线相交的四边形 2.抛物线 y ? 2bx 的焦点坐标是(
2

) B.梯形 D.边长相等的四边形 ) C. (0,

A. ( , 0)

b 4

B. ( , 0)

b 2

1 ) 8b

D. (0, )

1 ) 4b

3.若 a、 b 为异面直线,直线 c∥a,则 c 与 b 的位置关系是( A.相交 B.异面 C.平行

D.异面或相交

4.下列命题:① 三个点确定一个平面;② 经过一条直线和一个点的平面有且只有一个; ③ 一条直线与两条平行直线都相交,则经过这三条直线的平面有且只有一个. 其中正确的命题的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3 D1 A1 下列向量中与 B1 M 相等的向量是( ) D A M B ) B1

5.如图,在平行六面体 ABCD–A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点.若 A1 B1 ? a , A1 D1 ? b , A1 A ? c ,则 C1

1 1 a? b?c 2 2 1 1 C. a ? b ? c 2 2
A. ?
2 2

B.

1 1 a? b?c 2 2 1 1 D. ? a ? b ? c 2 2

C

6.如果方程 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A.(0,2) B.(2,+∞) C.(0,1) D.(1,+∞)

7.空间四边形 ABCD 中, AC 、 BD 两异面直线成 30 ? 角且 AC ? BD ? 4 , E 、 F 、G 、

H 分别是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点,则四边形 FEGH 的面积是(
A.1 B.2
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C.4

D.不能确定

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8.给出下列命题: ①直线上有两点到平面的距离相等,则此直线与平面平行 ②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 ③直线 m ? ? ,直线 n ? m ,则 n // ? ④ a 、 b 是异面直线,则存在唯一平面 ? ,使它与 a 、 b 都平行且与 a 、 b 距离相等 其中正确的命题是( A.①② ) C.③④ D.②④

B.②③

9.设 a 、 b 是平面 ? 外的任意两条线段,则“ a 、 b 的长相等”是“ a 、 b 在平面 ? 内的 射影长相等”的( ) B.充分必要条件 D.充分不必要条件

A.既不充分也不必要条件 C.必要不充分条件

10.如右图,正方形 ABCD , PB ? BC , PB ? 平面 ABCD , 则 PC 与 BD 所成的角是( A. 30 ? B. 45 ? ) C. 60 ? D. 90 ?

11.如右图所示,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 、 G 、 H 、 M 、 N 分别是所在 棱的中点,则下列结论正确的是( )

A.直线 GH 和 MN 平行, GH 和 EF 相交 B.直线 GH 和 MN 平行, MN 和 EF 相交 C.直线 GH 和 MN 相交, MN 和 EF 异面 D.直线 GH 和 EF 异面, MN 和 EF 异面 12. 在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) . 若方程 1 ? (2 ? kx) ? ? ? x 2 ? 4 x ? 3 有解, 则k 的取值范围是( A. ?0, ? 3 ) B. ?0,1? C. ?0, ? 3

? 4? ? ?

? 1? ? ?

D. ? , ? 3 3

?1 4 ? ? ?

/ / / / / 线/ / / / / / / / / / / / / / / /



南充高中 2010 级高二(下)第一次月考 数学试题(理科)第Ⅱ卷

二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)将答案直接写在题中横线上. 13.已知向量 a ? (2,4), b ? (1,1) ,若向量 (a ? mb) ? (ma ? b) ,则正实数 m ? ________. 14.? ABC 的顶点 B 在平面 ? 内, A、 C 在 ? 的同一侧, AB、 BC 与 ? 所成的角分别是 30°和 45°, 若 AB ? 3, BC ? 4

2, AC ? 5 ,则 AC 与 ? 所成的角为________.

15.已知边长为 2 的正三角形 ABC 在平面 ? 内, PA ? a ,且 PA ? 1 ,则点 P 到直线 BC

考号

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_______

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的距离为 ①菱形

. ②有 3 条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形

16.连结抛物线上任意四点组成的四边形可能是_________(填写所有正确选项的序号). 17.线段 AB 的长为 6,直线 AB 与平面 ? 所成的角为

B 到平面 ? 的距离为_________. 18.设 a ,b 是两条异面直线,下列几个命题: ①有且仅有一条直线与 a ,b 都垂直; ②过 a 有且仅有一个平面与 b 平行; ③过空间中任一点必可作一条直线与 a ,b 都相交; ④若直线 c ,d 与 a ,b 都相交,则 c ,d 一定是异面直线.

? .若点 A 到平面 ? 的距离为 1,则点 6

其中真命题有___________(填写所有正确选项的序号). 三、解答题:(本大题共 5 小题,每小题 12 分共 60 分)解答应写出文字说明、证明过程或 推演步骤 D1 C1 E 19.在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 、 A1 B1 F 各为 AD 和 BD 的中点.
1

(1)求证: EF 平行于侧面 DC1 ; (2)求证: EF ? BC ; (3)若 ?DD1C ? 45?, 求证: EF 垂直于面 BCD1 . A

D B

C

20.在抛物线 y ? ? x 上求一点,使它到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离最小.
2

z

21.在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 中, E , F 分别 1B 1C1D 1
A1

D1 B1

C1

E

H

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x

y

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是 D1D, BD 的中点, G 在棱 CD 方法求解下列问题. (1)求证: EF ? B1C ; (2)求 EF 与 C1G 所成的角的余弦; (3)求 FH 的长;

上,且 CG ?

1 CD ,H 为 C1G 的中点,应用空间向量 4

22.如图,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点, M 、 N 分别是 PC 、 AD 的 中点. (1)求证: MN ∥平面 PAB ; (2)若 MN ? BA ? 2, PA ? 2 3 ,求异面直线 PA 与 MN 所成角的大小.

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23.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, p 是棱 A1 B1 上的一动点, 设 A1 P ? ? ( 0 ? ? ? 1 ), E 是棱 CC1 的中点, AC与BD 相交于点 O . (1)试问直线 OP与BE 所成的角是否随 ? 的变化而变化?并说明理由; (2)设直线 OP与平面BED 所成的角为 ? ,令 f (? ) ? sin ? ,试写出函数的表达式并求出 该函数的最值. D1 A1 P B1 O D A B 南充高中 2010 级高二(下)第一次月考 数学试题参考答案 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.D 2.C 3.D 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B 二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 将答案直接写在题中横线上. 13. (理) C C1

3 ? 13 ; (文)垂直 2

14. (理)

300

; (文) [

? ? , ] ___ 6 2

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15. 2 16. ②③ 17. 2 或 4 18. ② 三、解答题:(本大题共 5 小题,每小题 12 分,共 60 分)解答应写出文字说明、证明过程或推 演步骤 19.证明:(1)延长 EF 交 B1C1 于点 G ,易知 G 为 B1C1 中点,连结 C1 D 由 ED // C1G, ED ? C1G 知 DEGC 1 是平行四边形 而 EF ? 平面 DC1 , DC1 ? 平面 DC1 (2)? BC ? 平面 DC1 , DC1 ? 平面 DC1 而 DC1 // EF

? EF // DC1
A1

D1 B1

? EF // 平面 DC1

C1

? BC ? DC1
A

D B

C

? EF ? BC

(3)? ?DD1C ? 45?

? CD ? D1 D

? CDD1C1 是正方形

? CD1 ? DC1

又 EF // DC1

? EF ? CD1
? EF ? 平面 BCD1 。(其余证法参照给分)
2

由(2)知 EF ? BC 且 BC ? CD1 ? C

20. 解 : 设 抛 物 线 y ? ? x2 上 一 点 为 P(m , - m ) , 该 点 到 直 线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的

d?

| 4m ? 3m 2 ? 8 | 1 2 4 1 2 2 20 2 = ? 3(m ? m) ? 8 ? ? 3(m ? ) ? ,当 m= 时,d 取得 3 5 3 5 3 3 5
z D1 A1 E B1 C1

4 ?2 4? 最小值为 ,此时 P? ,? ? 为所求的点 3 ?3 9?

1 1 1 21. 解:E(0,0, ) F( , ,0) C1 (0,1,1) 2 2 2 3 B1 (1,1,1) C(0,1,0) G(0, ,0) 4 1 1 1 EF =( , ,- ) 2 2 2
H(0,

H

7 1 , ) 8 2
A x

D F

G B

C

y

B1C =(-1,0,-1)

EF · B1C =0
3 2

? EF ? B1 C

(2)|EF|=

| C1G |=

17 4

cos< EF, C1G >=

51 17

(3) FH =(-

1 3 1 , , ) 2 8 2

? |FH|=

41 8
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22.(1)

23.(文科)法一:(1)连 AC,设 AC 与 BD 相交于点 O,AP 与平面

BDD1B1 相交于点,,连结 OG,因为 PC∥平面 BDD1B1 ,
D1

C1 B1
G O P

平面 BDD1B1 ∩平面 APC=OG, 故 OG∥PC,所以,OG=

A1

1 m PC= . 2 2
A

D

C

又 AO⊥BD,AO⊥BB1,所以 AO⊥平面 BDD1B1 , 故∠AGO 是 AP 与平面 BDD1B1 所成的角.
2 1 在 Rt△AOG 中,tan ? AGO= OA ? 2 ? 3 2 ,即 m= . 3 m GO 2

B

所以,当 m=

1 时,直线 AP 与平面 BDD1B1 所成的角的正切值为 3 2 . 3

(2)可以推测,点 Q 应当是 AICI 的中点 O1,因为

D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ,所以 D1O1⊥平面 ACC1A1,
又 AP ? 平面 ACC1A1,故 D1O1⊥AP. 那么根据三垂线定理知,D1O1 在平面 APD1 的射影与 AP 垂直。

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法二:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),

B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1), D1(0,0,1) 所以
??? ? ???? ??? ? ??? ? BD ? (?1, ?1,0), BB1 ? (0,0,1), AP ? (?1,1, m), AC ? (?1,1,0). 又 由
D1
z

C1
j

O1 A1 D B1

P

?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? 知, A C ? B ? D 0 , A? 1 C B ? 0B AC 为
平面 BB1D1D 的一个法向量.
x

C

y

A

B



AP

与 平 面 BB1D1D 所 成 的 角 为 ?

, 则

s i? n ?

??? ? ???? AP ? AC ? 2 依题意有 c ? o ?s ? ( ??? ) ? ? ???? 2 AP ? AC 2 ? 2 ? m2
2 ? 3 2 1 ? (3 2) 2 , 解得 m ?
1 1 . 故当 m ? 时, 直线 AP 与平面 BB1D1D 所 3 3

2 ? 2 ? m2

成的角的正切值为 3 2 . ( 2 ) 若 在 A1C1 上 存 在 这 样 的 点 Q , 设 此 点 的 横 坐 标 为 x , 则 Q(x , 1 - x , 1) ,

???? ? D1Q ? ( x,1 ? x,0) 。依题意,对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP,等价于
D1Q⊥AP ? AP ? D1Q ? 0 ? ? x ? (1 ? x ) ? 0 ? x ?
23.(理科)解: (1)直线 OP与BE 所成的角不随 ? 而变化,恒为 90°。理由如下:

??? ? ???? ?

1 . 即 Q 为 A1C1 的中点时,满足题设要求. 2

(法一)取 BC 的中点 F ,连结 B1 F 和 OF

D1 A1 B1

C1

? ABCD ? A1 B1C1 D1 为正方体 ?OF ? 平面BC1 , PB1 ? 平面BC1 ? B1 F是OP在平面BC1内的射影。

D A B

C

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在Rt?B1 BF与Rt?BCE中 1 tan?BB1 F ? tan?CBE ? ,且?BB1 F和?CBE均为锐角 2 ? ?BB1 F ? ?CBE ? ?BB1 F ? ?B1 FB ? 90?, ? ?CBE ? ?B1 FB ? 90?,? B1 F ? BE 由三垂线定理知: OP ? BE
(法二) 以 D 为原点,DA, DC, DD1 所在直线分别为 x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则 D(0,0,0)

B(1,1,0)

1 1 Op ? ( , ? ? ,1) 2 2 ? OP ? BE
(2)由(1)

1 1 1 E (0,1, ) O( , ,0) P(1, ? ,1) 2 2 2 1 1 1 1 BE ? (?1,0, ) ? OP ? BE ? ? (?1) ? (? ? ) ? 0 ? 1 ? ? 0 2 2 2 2
1 1 Op ? ( , ? ? ,1) 2 2 1 BE ? (?1,0, ) 2

DB ? (1,1,0)

设n

? ( x, y, z) 是平面 DBE 的一个法向量,则由

n ?DB ? 0 ? x ? y ? 0 1 n ?BE ? 0 ? ? x ? z ? 0 2

令 x ? 1, 得n ? (1,?1,2)
1 1 ? (? ? ) ? 2 2 2 ? 1 1 2 ? (? ? ) ? 1 ? 6 4 2 ( 3 ? ?) 2

? f (? ) ? sin ? ?

OP ? n OP ? n

?

?2 ? 6? ? 9 ? 6?2 ? 6? ? 9

1 5 ? ? 6 6

(? 2 ? ? ?

3 ) 2

(0 ? ? ? 1)



3 3 1 3 1 5 ? ? ? t,则? ? ? t , ( ? t ? ) ? f (? ) ? ? ? 2 2 2 2 6 6
g (t ) ? t ? 9 1 3 在[ , ]上单调递减, 4t 2 2 当t ? 1 , 即? ? 1时, 2

1 9 t ? ?2 4t

易知

?当t ?

3 , 即? ? 0时, f (? ) max ? 1; 2

f (? ) min ?

2 3

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