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2016届高三数学一轮总复习:专题12-圆锥曲线与方程(含解析)

时间:2016-04-14


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专题十二、圆锥曲线与方程 抓住 3 个高考重点
重点 1 椭圆及其性质 1.椭圆的定义:椭圆的第一定义:对椭圆上任意一点 M 都有 | MF 1 | ? | MF 2 |? 2a ?| F 1F 2 |? 2c 椭圆的第二定义:对椭圆上任意一点 M 都有 2.求椭圆的标准方程的方法 (1)定义法:根据椭圆定义,确定 a 2 , b 2 的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆的标准方程. (2) 待定系数法: 根据椭圆焦点是在 x 轴还是在 y 轴上, 设出相应形式的标准方程, 然后根据条件确定关于 a, b, c 的方程组,解出 a 2 , b 2 ,从而写出椭圆的标准方程. 3.求椭圆的标准方程需要注意以下几点?

| MF | ? e, (0 ? e ? 1) d

x2 y 2 ( 1)如果 椭圆的焦点位置不能确定,可设方程为 Ax ? By ? 1( A ? 0, B ? 0, A ? B) 或 2 ? 2 ? 1 m n
2 2

(2)与椭圆

x2 y 2 x2 y2 2 2 ? ? 1( m ? n ) ? ? 1(k ? ?m2 , k ? ?n 2 ) 共焦点的椭圆方程可设为 2 2 2 2 m n m ?k n ?k x2 y 2 x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? k1 ( k1 ? 0 ,焦点在 x 轴上)或 有相同离心率的椭圆方程可设为 a 2 b2 a 2 b2

(3)与椭圆

y 2 x2 ? ? k2 ( k2 ? 0 ,焦点在 y 轴上) a 2 b2
4.椭圆的几何性质的应用策略 (1)与几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也要联想到图形:若涉及顶点、焦点、 长轴、短轴等椭圆的基本量,则要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的联系,求解自然就不难了. (2) 椭圆的离心率 e ? 椭圆越接近于圆, 求椭圆的标准方程需要两个条件,而求椭圆的离心率只需要根据一个条件得到关于 a, b, c 的齐次方程,再结 合 a ? b ? c 即可求出椭圆的离心率
2 2 2

c b2 当 e 越接近于 1 时, 椭圆越扁, 当 e 越接近于 0 时, ? 1 ? 2 是刻画椭圆性质的不变量, a a

[高考常考角度]

1 x2 y2 ? 2 ? 1 的焦点在 x 轴上,过点 (1, ) 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的切线,切点分别为 A,B,直线 AB 恰好 2 2 a b 2 x y2 ? ?1 经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 . 5 4 1 1 解析:方法一:设过点 (1, ) 的直线方程为:当斜率存在时, y ? k ( x ? 1) ? ,即 2kx ? 2 y ? 1 ? 2k ? 0 2 2
角度 1 若椭圆
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3 ? 3 1 ? x? ? y ? ? ( x ? 1) ? 3 4 |1 ? 2k | 3 ? ? 5 由题意, ,切点为 B ( , ) , ? 1 ?? k ? ? ,由 ? 4 2 ?? ? 2 5 5 4 4k ? 4 ? x2 ? y2 ? 1 ?y ? 4 ? ? 5 ? 又当斜率不存在时,直线方程为 x ? 1 ,切点为 A(1, 0) ,故直线 AB : 2 x ? y ? 2 ? 0 , 则与 y 轴的交点即为上顶点坐标 (2, 0) ? b ? 2 ,与 x 轴的交点即为焦点 ? c ? 1 ,? a 2 ? b2 ? c 2 ? 5 , x2 y2 ? ?1 即椭圆方程 为 5 4 3 1 3 4 (说明:如果设切点 B( x0 , y0 ) ,则过切点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? 1 ,与 y ? ? ( x ? 1) ? ?? x ? y ? 1 比 4 2 5 5 3 4 较,也可求出切点 B ( , ) ) 5 5 1 1 方法二: (数形结合)设点 P (1, ) ,则有直线 OP : y ? x ,作图分析可得 k AB ? ?2 ,又切点 A(1, 0) 2 2 故直线 AB : y ? ?2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 , 则 AB 与 y 轴的交点即为上顶点坐标 (2, 0) ? b ? 2 ,与 x 轴的交点即为右焦点 ? c ? 1 ,? a 2 ? b2 ? c 2 ? 5 ,
故 椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 5 4

角度 2 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率为 于 A, B 两点,且 V ABF2 的周长为 16 ,那么 C 的方程为 .

2 l .过 F 1 的直线 交 C 2

解析:可设椭圆方程为

x2 y 2 c 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,? e ? ? , 2 a b a 2 x2 y 2 ? ?1 16 8

V ABF2 的周长为 4a ? 16 ?? a ? 4,?c ? 2 2 ?? b2 ? 8 , 故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 2 2 2 角度 3 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,直线 l 为圆 O : x ? y ? b 的一条切线,记椭圆 E 的离心率为 e .若 a b
直线 l 的倾斜角为

? ,且恰好经过椭圆的右顶点,则 e 的大小为__________. 3

解析:本题考查直线与圆的位置关系,椭圆的离心率等知识. 如图所示,设直线 l 与圆 O 相切于 C 点,椭圆的右顶点为 D,则 由题意,知△OCD 为直角三角形,且 | OC |? b,| OD |? a, ?ODC ?

?
3

,

?| CD |? | OD |2 ? | OC |2 ? a 2 ? b 2 ? c ?? e ?

c ? 1 ? cos ? a 3 2

重点 2 双 曲线及其性质

1.双曲线的定义:双曲线的第一定义:对双曲线上任意一点 M 都有 || MF 1 | ? | MF 2 ||? 2a ?| F 1F 2 |? 2c 双曲线的第二定义:对双曲线上任意一点 M 都有 2.求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法 (2)待定系数法 3.求双曲线方程需要注意以下几点: (1)双曲线与椭圆的标准方程均可记为 mx2 ? ny 2 ? 1(mn ? 0) ,其中, m ? 0 且 n ? 0 ,且 m ? n 时表示椭圆;

| MF | ? e, (e ? 1) d

mn ? 0 时表示双曲线,合理使用这种形式可避免讨论. (2)常见双曲线设法:
①已知 a ? b 的双曲线设为 x2 ? y 2 ? ? (? ? 0) ; ②已知过两点的双曲线可设为 Ax2 ? By 2 ? 1( AB ? 0) ;

③已知渐近线

x y x2 y 2 ? ? 0 的双曲线方程可设为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) m n m n

4.双曲线的几何性质的应用策略 (1)关于双曲缉的渐近线 ①求法:求双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) ? ? 0, 的渐近线的方法是令 a 2 b2 a 2 b2
x y ? ? 0 ?? bx ? ay ? 0 a b

即得两渐近线方程 ??

②两条渐近线的倾斜角互补,斜率互为相反数,且关于 x 轴、 y 轴对称. ③与

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) ? ? ? (? ? 0) . 共渐近线的双曲线方程可设为 a 2 b2 a 2 b2

(2)求双曲线的离心率

c b2 双曲线的离心率 e ? ? 1 ? 2 ,求双曲线的离心率只需根据一个条件得到关于 a, b, c 的齐次方程,再结合 a a
c 2 ? a 2 ? b2 即可求出.
[高考常考角度] 角度 1 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线均和圆 C : x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 相切,且双曲线的右焦 a 2 b2

2 2

点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为(

x y x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 C. D. 4 5 3 6 6 3 2 2 解析:由已知得,圆 C : ( x ? 3) ? y ? 4 , c ? 3, 双曲线的渐近线为 bx ? ay ? 0 ,
A.

x y ? ?1 5 4

2

2

B.

由已知得 d ?

3b a 2 ? b2

? 2, a 2 ? b2 ? 3 ??

3b ? 2 ,则 b ? 2, a2 ? 5 ,故选 A. c

角度 2 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别是 F1 、F2 ,P 为右支上一动点,点 Q(1, 4) ,则 | P Q | ?| P F1 | 的 4 12

最小值为___________. 解析:由双曲线的定义得 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a ??| PF 1 |? 2a? | PF2 | ,又 F 2 (4,0),| QF2 |? 5

? | PQ | ? | PF1 |?| PQ | ? | PF2 | ?2a ?| QF2 | ?2a ? 5 ? 4 ? 9 ,当且仅当 F2 , P, Q 共线时取等号,
故 | PQ | ? | PF 1 | 的最小值为 9 角度 3 设 F 1 、 F2 分 别 为 双 曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的 左 、右 焦 点 . 若 双 曲线 右 支 上存 在 点 P , 满 足 a 2 b2


PF 1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线 方程为( 2 ? F 1F 2 ,且 F2 到直线 PF
A.

3x ? 4 y ? 0

B. 3x ? 5 y ? 0

C. 4 x ? 3 y ? 0

D. 5x ? 4 y ? 0

解析:如图,过 F2 作 F2 A ? PF1 于 A ,由题意知 | F2 A |? 2a,| F 1F 2 |? 2c, 则 | AF | PF1 |? 4b, 1 |? 2b,?
2 2 而 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a,?4b ? 2c ? 2a ?? c ? 2b ? a ?? c ? (2b ? a)

b 4 ? a 3 4 则 双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,即 4 x ? 3 y ? 0 ,故选 C 3 ?? a 2 ? b 2 ? 4b 2 ? ab ? a 2 ??
重点 3 抛物线及其性质 1.求抛物线的标准方程的方法 (1)定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,从而确定 p 的值,得到抛物线的标准方程. (2)待定系数法:根据条件设出标准方程,再确定参数 p 的值,这里要注意抛物线的标准方程有四种形式.从简 单化角度出发,焦点在 x 轴上的,设为 y ? ax(a ? 0) ,焦点在 y 轴上的,设为 x ? by(b ? 0) .
2 2

2.抛物线定义的应用策略 抛物线是到定点和定直线(定点不在定直线上)距离相等的点的轨迹,利用该定义,可有效地实现抛物线上 的点到焦点和到准线的距离的转化,将有利于问题的解决. 3.抛物线几何性质的应用策略 (1)焦半径:抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 一点 P( x0 , y0 ) 到焦点 F (
2

p p , 0) 的距离 | PF |? x0 ? . 2 2

(2)通径:过焦点 F (
2

p , 0) 且与 x 轴垂直的弦 AB 叫做通径,且 | AB |? 2 p 2

(3)设过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的弦为 AB, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有

①弦长: | AB |? x1 ? x2 ? p ? ② y1 ? y2 ? ? p , x1 ? x2 ?
2

2p (? 为弦 AB 的倾斜角) sin 2 ?

p2 4



1 1 2 ? ? | AF | | BF | p
p ) ( k 不存在时弦 AB 为通径) 2

④ 以弦 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. ⑤直线 AB 的方程为 y ? k ( x ?

[高考常考角度] 角度 1 已知 F 是抛物线 y 2 ? x 的焦点, A, B 是该抛物线上的两点, | AF | ? | BF | =3 ,则线段 AB 的中点到 y 轴 的距离为( )

A.

3 4

B.1

C.

5 4

D.

7 4

解析:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由抛物线定义,得

x ?x 1 1 5 5 ? x2 ? ? 3 ?? x1 ? x2 ? ?? 1 2 ? , 4 4 2 2 4 5 故线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 .故选 C 4 | AF | ? | BF |? x1 ?
角度 2 设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方程是( )

A. y 2 ? ?8 x

B. y 2 ? 8x

C. y 2 ? ?4x

D. y 2 ? 4 x

点评:由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键. 解析:由题意可知,抛物线的方程为 y ? 2 px( p ? 0) ,由准线方程 x ? ?2 得
2

p ? 2 ,所以 y 2 ? 8x .故选 B 2

角度 3 设抛物线 y ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为垂足.如果直线 AF 的斜率
2

为 ? 3 ,那么 | PF |? (

B )

A. 4 3

B. 8

C. 8 3

D. 16

解析:方法一:抛物 线的焦点 F (2, 0) ,直线 AF 的方程为 y ? ? 3( x ? 2) , 所以得点 A(?2, 4 3) 、 P(6, 4 3) ,从而 | PF |? 6 ? 2 ? 8 ,故选 B 方法二: 如图,? PA ? l ,? PA // x 轴,又 ?AFO ? 60 ,??FAP ? 60 ,
0 0

又由抛物线定义得 | PA |?| PF |,??PAF 为等边三角形,令 l 与 x 轴的交点为 F ? ,则 F ?(?2, 0)

在 Rt ?AFF ? 中, | FF ? |? 4,? | AF |? 8,? | PF |? 8 ,故选 B

突破 10 个高考难点 难点 1 直线与圆锥曲线的 位置关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系 2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 典例 如图,设 P 是圆 x 2 ? y 2 ? 25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上投影, M 为 PD 上一点,且

| MD |?

4 | PD | . 5

(Ⅰ)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程;

4 的直线被 C 所截线段的长度. 5 点评: (Ⅰ)动点 M 通过点 P 与已知圆相联系,所以把点 P 的坐标用点 M 的坐标表示,然后代入已知圆的方程
(Ⅱ)求过点 (3, 0) 且斜率为 即可; (Ⅱ)直线方程和椭圆方程组成方程组,可以求解,也可以利用根与系数关系;结合两点的距离公式计算. 解析: (Ⅰ)设点 M 的坐标是 ( x, y ) , P 的坐标是 ( x p , y p ) ,因为点 D 是 P 在 x 轴上投影,

5 4 | PD | ,所以 x p ? x ,且 y p ? y , 4 5 2 2 5 2 x y 2 ? ?1, ∵ P 在圆 x2 ? y 2 ? 25 上,∴ x ? ( y ) ? 25 ,整理得 4 25 16 x2 y 2 ? ?1. 即 C 的方程是 25 16 4 4 (Ⅱ)过点 (3, 0) 且斜率为 的直线方程是 y ? ( x ? 3) ,设此直线与 C 的交点为 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) , 5 5
M 为 PD 上一点,且 | MD |?

4 ? y ? ( x ? 3) ? ? 5 2 2 2 由? 2 得 x ? ( x ? 3) ? 25 ?? x ? 3x ? 8 ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 3, x1 x2 ? ?8 2 ? x ? y ?1 ? ? 25 16

? | AB |? (1 ?

41 16 16 41 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? )[32 ? 4(?8)] ? ,直线被 C 所截线段的长度为 5 25 25 5
2

点评:如果直接解方程 x ? 3x ? 8 ? 0 ,∴ x1 ?
2

3 ? 41 3 ? 41 , x2 ? ,形式复杂,增加运算难度 2 2
2

所以线段 AB 的长度是 | AB |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? (1 ?

16 41 41 ) )( x1 ? x2 )2 ? ? 41 ? 25 25 5

难点 2 中点弦问题的处理 1. 解决圆锥曲线中与弦的中点有关的问题的常规思路有三种: (1)通过方程组转化为一元一次方程,结合一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式进行求解; (2)点差法,设出弦的两端点,利用中点坐标公式求解; (3)中点转移法,先得出一个端点的坐标,再借助于中点坐标公式得出另一个端点的坐标,而后消二次项. 2.对于中点弦问题,常用的解题方法是点差法,其解题步骤为:

(1)设点:设出弦的两端点坐标; (2)代入:代入圆锥曲线方程; (3)作差:两式相减,再用平方差公式把式子展开; (4)整理:转化为斜率与中点坐标的关系式,最后求解.

x2 y 2 6 典例已知椭圆 G : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为 (2 2,0) .斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 a b 3 A, B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(?3, 2) 。 (Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)求 ?PAB 的面积。
解析: (Ⅰ)由已知得 c ? 2 2,

c 6 ? . 解得 a ? 2 3. 又 b2 ? a2 ? c2 ? 4. a 3 x2 y 2 ? ? 1. 所以椭圆 G 的方程为 12 4 ?y ? x ? m ? (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? x ? m. 由 ? x 2 y 2 得 4x 2 ? 6mx ? 3m2 ? 12 ? 0. ?1 ? ? ?12 4 设 A 、 B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),( x1 ? x2 ), AB 中点为 E( x0 , y0 ) , x ? x2 m 3m y 0 ? x0 ? m ? ?? , 则 x0 ? 1 4 2 4 因为 AB 是等腰 ?PAB 的底边,所以 PE ? AB . m 2? 4 ? ?1. 解得 m ? 2 ,此时方程①为 4x 2 ? 12x ? 0. 所以 PE 的斜率 k ? 3m ?3? 4 解得 x1 ? ?3, x2 ? 0. 所以 y1 ? ?1, y 2 ? 2. 所以 | AB |? 3 2 .
此时,点 P(?3, 2) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ? 所以 S ?PAB ?



| ?3 ? 2 ? 2 | 2

?

3 2 , 2

1 9 | AB | ?d ? . 2 2

难点 3

圆锥曲线中的分点弦

x2 y 2 3 典例 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a>b>0) 的 离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k (k>0) 的直线与 C 相交于 a b 2

??? ? ??? ? A、B 两点.若 AF ? 3FB ,则 k ? (
A. 1 B.



2

C.

3

D. 2

解析:设 l 为椭圆的右准线, e 为离心率,过 A, B 分别作 AA1 , BB1 垂直于 l , A1 , B1 为垂足,过 B 作 BE ? AA 1于

E ,由椭圆的第二定义得

| AF | | AF | | BF | | BF | , ? e ??| AA1 |? ? e ??| BB1 |? | AA1 | e | BB1 | e

由 AF ? 3FB ,令 | FB |? t ,则 | AF |? 3t ,| AB |? 4t , | AE |?| AA1 | ? | BB1 |?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

2t e
即k ?

2t | AE | e 1 3 6 ? cos ?BAE ? ? ? ? ?? sin ?BAE ? ,? tan ?BAE ? 2 | AB | 4t 2e 3 3
难点 4 圆锥曲线上点的对称问题 典例 1 已知椭圆 C :

2 ,故选 B.

x2 y 2 ? ? 1, 在椭圆上是否存在两点 A、B 关于直线 y ? 4 x ? m 对称, 若存在, 求出实数 m 4 3
设椭圆上存在两点 A、B 关于直线 y ? 4 x ? m 对称,由题意,设 AB : y ? ?

的取值范围,若不存在,说明理由. 解析:方法一:(方程组法)

1 x?n 4

1 ? y ?? x?n ? ? 4 ?? 13x2 ? 8nx ? 16n2 ? 48 ? 0 ,设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) , 由? 2 2 ?x ? y ?1 ? 3 ?4
13 8n 16(n 2 ? 3) 2 2 2 , x1 x2 ? 则 x1 ? x2 ? , ? ? 64n ? 4 ?13 ?16(n ? 3) ? 0 ?? n ? ① 4 13 13 ? x0 ? 4n 1 12n , y0 ? ? x0 ? n ? , 13 4 13 12n 4n 13 ? 4 ? ? m ?? n ? ? m 代入①解得 13 13 4

又点 M ( x0 , y0 ) 在直线 y ? 4 x ? m 上,?

?

2 13 2 13 2 13 2 13 ,? m ? (? ?m? , ) 为所求 13 13 13 13

方法二:(点差法) 设椭圆上存在两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 关于直线 y ? 4 x ? m 对称, AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) , 则

1 1 x12 y12 x2 y2 y ?y 1 1 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 ?? ( x12 ? x2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ) ? 0 ?? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) 1 2 ? 0 4 3 4 3 4 3 4 3 x1 ? x2
x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 , 2 2

又 x0 ?

? x1 ? x2 ? 2x0 , y1 ? y2 ? 2 y0 ,

y1 ? y2 1 ? ? ,? 3x0 ? y0 ? 0 ① x1 ? x2 4
解得 x0 ? ?m, y0 ? ?3m, ? M (?m, ?3m)

又点 M ( x0 , y0 ) 在直线 y ? 4 x ? m 上, ? y0 ? 4x0 ? m ②

? M 在椭圆 C 内,

?

(?m)2 (?3m)2 2 13 2 13 2 13 2 13 ? ? 1 ?? ? ?m? , ] 为所求 ,? m ? [? 4 3 13 13 13 13

难点 5 求轨迹(曲线)方程 典例

A,B 两点.若动 已知双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的左、右焦点分别为 F 1 、 F2 ,过点 F2 的动直线与双曲线相交于

O 为坐标原点) 点 M 满足 F ,求点 M 的轨迹方程. 1M ? F 1A ? F 1B ? FO 1 (其中
解析:由条件知 F1 (?2,0) , F2 (2,0) ,设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . 方法一:设 M ( x,y) ,则 F ,y) , F1 A ? ( x1 ? 2,y1 ) , F1B ? ( x2 ? 2,y2 ), FO ? (2, 0) , 1M ? ( x ? 2 1 由F 1M ? F 1A ? F 1B ? FO 1 得?

????? ???? ???? ????

?????

????

????

????

????? ???? ???? ????

? x ? 2 ? x1 ? x2 ? 6, ? y ? y1 ? y2

即?

? x1 ? x2 ? x ? 4, x?4 y ,) . 于是 AB 的中点坐标为 E ( 2 2 ? y1 ? y2 ? y


当 AB 不与 x 轴垂直时, k AB

y y ?y y y 2 ( x1 ? x2 ) . ,即 y1 ? y2 ? ? ? kEF2 ,即 1 2 ? x ?8 x1 ? x2 x ? 4 ? 2 x ? 8 2

2 2 2 又因为 A,B 两点在双曲线上,所以 x1 ? y12 ? 2 , x2 ? y2 ? 2 ,两式相减得(点差法)

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,即 ( x1 ? x2 )( x ? 4) ? ( y1 ? y2 ) y .
将 y1 ? y2 ?

y ( x1 ? x2 ) 代入上式,化简得 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 . x ?8

当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (8, 0) ,也满足上述方程. 所以点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 . 方法二:同解法一,有 ?
2 2

? x1 ? x2 ? x ? 4 , 当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) . y ? y ? y ? 1 2
2 2 2 2

代入 x ? y ? 2 有 (1 ? k ) x ? 4k x ? (4k ? 2) ? 0 .则 x1,x2 是上述方程的两个实根, 所以 x1 ? x2 ?

4k 2 4k 4k 2 y ? y ? k ( x ? x ? 4) ? k ( ? 4) ? 2 . . 1 2 1 2 2 k ?1 k ?1 k ?1

4k 2 x?4 4k 4k ? k ,将其代入 y ? 2 从而 x ? 4 ? 2 . y? 2 .相除得 得 k ?1 k ?1 k ?1 y

x?4 4 y ( x ? 4) y 2 2 y? ? .整理得 ( x ? 6) ? y ? 4 . 2 ( x ? 4) ( x ? 4) 2 ? y 2 ?1 y2 4?

当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (8, 0) ,也满足上述方程.故点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 . 难点 6 圆锥曲线中的定点问题 典例 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1, 若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是左右顶点) ,且以 4 3

AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直 线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

? y ? kx ? m ? 解析:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4

? ? 64m2k 2 ?16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 ?? 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0
x1 ? x2 ? ? 8mk 4(m2 ? 3) , x ? x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

(1)

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m2 ?

3(m2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2

? 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), ? k AD ? kBD ? ?1 ,

?

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk y1 y ? ? ? 4 ? 0, ? 2 ? ?1 ?? y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , 即 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 x1 ? 2 x2 ? 2
2k 2 2 ,且满足 3 ? 4k ? m ? 0 . 7

即 7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ?? (7m ? 2k )(m ? 2k ) ? 0 ,解得 m1 ? ?2k , m2 ? ? 当 m ? ?2k 时,有 l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2,0), 与已知矛盾;

2 2k 2 时,有 l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0). 7 7 7 2 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). 7
当m ? ? 难点 7 圆锥曲线中的定值问题 典例 已知椭圆的中心为坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A 、 B 两点,

??? ? ??? ? ? OA ? OB 与 a ? (3, ?1) 共线.
(Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设 M 为椭圆上任意一点,且 OM ? ?OA ? ?OB , (? , ? ? R) ,证明 ? ? ? 为定值.
2 2

???? ?

??? ?

??? ?

解析: (Ⅰ)设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), 则右焦点为 F (c, 0) ,直线 AB 的方程为 y ? x ? c , a 2 b2

?y ? x ?c ? 由 ? x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 ?a b

整理得

(a2 ? b2 ) x2 ? 2a2cx ? a2c2 ? a2b2 ? 0 ,

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

2a 2 c a 2 c 2 ? a 2b 2 , x x ? 1 2 a 2 ? b2 a 2 ? b2

由 OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? (3, ?1) 共线,得

??? ? ??? ?

?

3 3( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0, y1 ? x1 ? c, y2 ? x2 ? c, ? 3( x1 ? x2 ? 2c) ? ( x1 ? x2 ) ? 0 ?? x1 ? x2 ? c 2

2a 2 c 3 c2 2 c 6 2 2 2 2 2 ? 2 ? c ?? a ? 3b ?? a ? 3(a ? c ) ?? 2 ? ,? e ? ? 2 a ?b 2 a 3 a 3
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 a ? 3b ,故椭圆
2 2

???? ? x2 y 2 ? 2 ? 1 可化为 x2 ? 3 y 2 ? 3b2 ,设 OM ? ( x, y) 由 2 a b
? M ( x, y) 在椭圆上,

???? ? ??? ? ??? ? ? x ? ? x1 ? ? x2 OM ? ?OA ? ?OB ?? ( x, y) ? ? ( x1, y1 ) ? ? ( x2 , y2 ), ? ? ? y ? ? y1 ? ? y2 ?(? x1 ? ? x2 )2 ? 3(? y1 ? ? y2 )2 ? 3b2 ,
由(Ⅰ)知 x1 ? x2 ?

即 ? 2 ( x12 ? 3 y12 ) ? ? 2 ( x22 ? 3 y22 ) ?2??( x1x2 ? 3 y1 y2 ) ? 3b2 ①

3 3 1 a 2 c 2 ? a 2b 2 3 2 c , a 2 ? c 2 , b 2 ? c 2 ,? x1 x2 ? ? c 2 2 2 a 2 ? b2 8

3 9 x1x2 ? 3 y1 y ? x1x2 ? 3( x1 ? c)( x2 ? c) ? 4x1x2 ? 3( x1 ? x2 )c ? 3c2 ? c 2 ? c 2 ? 3c 2 ? 0 2 2
又 x12 ? 3 y12 ? 3b2 , x22 ? 3 y22 ? 3b2 ,代入①得 难点 8 圆锥曲线中的最值问题和范围问题 典例 设 F1 、 F2 分别是椭圆

?2 ? ?2 ? 1

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点. 4

(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF 1 ? PF2 的 最大值和最小值; (Ⅱ)设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ,且∠ AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直 线 l 的斜率 k 的取值范围. 解析: (Ⅰ)方法一:由已知得 a ? 2, b ? 1, c ? 3 ,所以 F 1 (? 3,0), F 2 ( 3,0) ,设 P( x, y ) ,则

???? ???? ?

???? ???? ? x2 1 2 2 2 ? x ? 1 ? ? 3 ? (3x 2 ? 8) PF1 ? PF2 ? (? 3 ? x, ? y) ? ( 3 ? x, ? y) ? x ? y ? 3 4 4
?2 因为 x ? [?2, 2] ,故当 x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF 1 ? PF2 有最小值

???? ???? ?

1 当 x ? ?2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF 1 ? PF2 有最大值
方法二:由已知得 a ? 2, b ? 1, c ? 3 ,所以 F 1 (? 3,0), F 2 ( 3,0) ,设 P( x, y ) ,则

???? ???? ?

???? ???? ? ???? ? ???? ???? ? | PF |2 ? | PF |2 ? | F F |2 ???? ???? ? ???? ???? ? 1 ???? 2 ???? ? 1 2 PF1 ? PF2 ?| PF1 | ? | PF2 | ? cos ?F1PF2 ?| PF1 | ? | PF2 | ? 2 | PF1 | ? | PF2 |
1 ? [( x ? 3) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 12] ? x 2 ? y 2 ? 3 (以下同方法一) 2
(Ⅱ)显然直线 x ? 0 不满足题设条件,可设直线 l : y ? kx ? 2, A( x1 , y2 ), B( x2 , y2 ) ,

? y ? kx ? 2 1 2 4k 3 ? 2 由 ? x2 ,消去 y ,整理得 (k ? ) x ? 4kx ? 3 ? 0 ,∴ x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? 2 1 1 4 ? ? y ?1 k2 ? k2 ? ?4 4 4
3 3 或k ? ① 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 0 0 又 0 ? ?AOB ? 90 ? cos ?AOB ? 0 ? OA ? OB ? 0 ,∴ OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0
由 ? ? (4k ) ? 4(k ? ) ? 3 ? 4k ? 3 ? 0
2 2

1 4

得 k??

?8 k 2 ?k 2 ? 1 ? ?4 ? 又 y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 1 1 1 k2 ? k2 ? k2 ? 4 4 4
2

3k 2



3 1 k ? 4
2

?

?k 2 ? 1 ? 0 ,即 k 2 ? 4 1 k2 ? 4

∴ ?2 ? k ? 2



综合 ①、②得 ?2 ? k ? ?

3 3 或 ?k?2 2 2 3 3 ) ? ( , 2) 2 2

故直线 l 的斜率 k 的取值范围为 (?2, ?

难点 9 圆锥曲线中的探索问题 典例 已知直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C : 2 x ? y ? 1 的右支交于不同的两点 A, B.
2 2

(Ⅰ)求实数 k 的取值范围 (Ⅱ)是否存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F ?若存在,求出 k 的值;若不存在, 说明理由. 解: (Ⅰ)由 ?

? y ? kx ? 1 ?2 x ? y ? 1
2 2

得 (k ? 2) x ? 2kx ? 2 ? 0 ①
2 2

依题意,直线与双曲线的右支交于不同的两点,

?k 2 ? 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? (2k ) ? 8(k ? 2) ? 故 ? ? 2k ? 0 ? k2 ? 2 ? 2 ?0 ? 2 ?k ? 2

解得 ?2 ? k ? ? 2

? k ? (?2, ? 2)

(Ⅱ)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则由①可得 x1 ? x2 ? ?

2k 2 , x1 ? x2 ? 2 k ?2 k ?2
2



假设存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F (c, 0) ,则 FA ? FB

??? ?

??? ?

( x1 ? c)( x2 ? c) ? y1 y2 ? 0 ?? ( x1 ? c)( x2 ? c) ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? 0

?? (k 2 ? 1) x1x2 ? (k ? c)( x1 ? x2 ) ? c2 ? 1 ? 0
解得 k ? ?

将c ?

6 2 及②代入,得 5k ? 2 6k ? 6 ? 0 2

6? 6 6? 6 或k ? ? (?2, ? 2) (舍去) 5 5 6? 6 ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F . 5
规避 5 个易失分点

因此存在 k ? ?

易失分点 1 焦点位置考虑不全 典例 已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上, 点 P 到两焦点的距离分别为 恰好过椭圆的一个焦点,则该椭圆的方程为______ _______. 易失分提示:焦点没有确定,所以有两种情况。 解析: | PF1 |?

4 5 2 5 和 , 过点 P 作长轴的垂线 3 3

4 5 2 5 4 5 2 5 , | PF2 |? ,由椭圆的定义得 | PF1 | ? | PF2 |? ? ? 2 5 ? 2a ?? a ? 5 , 3 3 3 3
0

又 | PF 1 ? 90 ,sin ?PF 1 F2 ? 1 |?| PF 2 |, ??PF2 F

| PF2 | 1 ? ,??PF1F2 ? 300 , | PF1 | 2

? 2c ?| F1F2 |?| PF1 | cos300 ?

2 15 15 10 ?? c ? ,? b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 3 3

x2 3 y 2 y 2 3x 2 ? ? 1 ,当焦点在 y 轴上时,椭圆的方程为 ? ?1 当焦点在 x 轴上时,椭圆的方程为 5 10 5 10
易失分点 2 忽视圆锥曲线定义的条件 典例 1 动点 P 与定点 F (1,1) 和直线 3x ? y ? 4 ? 0 的距离相等,则动点 P 的轨迹是( D ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线

易失分提示:容易忽视点 F 在直线上,而误选 C. 解析: 点 F (1,1) 在直线 l : 3x ? y ? 4 ? 0 , 所以到点 F (1,1) 和直线 l : 3x ? y ? 4 ? 0 的距离相等的点一定在过点 P , 且与直线 l 垂直的直线上.故选 D 典例 2 已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 和圆 C2 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 9 , 动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切, 则动圆圆心

M 的轨迹方程为(
A. x 2 ?



y2 ?1 8

B. x 2 ?

y2 ?1 8

C. x 2 ?

y2 ? 1( x ? 0) 8

D. x 2 ?

y2 ? 1( x ? 0) 8

易失分提示:容易因错误运用双曲线定义而出错, | MC2 | ? | MC1 |? 2 ,与双曲线定义相比,左边少了外层绝对 值,因此只能是双曲线的一支.如果不注意,就会出现错误的结果,即点 M 的轨迹方程为 x ?
2

y2 ? 1. 8

解析:如图所示,设动圆 M 半径为 r , 动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B 根据两圆外切的条件,得 | MC1 |? r ? 1,| MC2 |? r ? 3 ,? | MC2 | ? | MC1 |? 2 ?| C1C2 |? 6 所以动点 M 的轨迹为双曲线的左支, 其中 c ? 3, a ? 1,?b2 ? c2 ? a 2 ? 8 故点 M 的轨迹方程为 x ?
2

y2 ? 1( x ? 0) , 故选 D 8

易失分点 3 离心率范围求解错误 典例 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0)、F2 (c,0) ,若椭圆上存在点 P (异于长轴 a 2 b2

的端点) ,使得 c sin ?PF 1F 2 ? a sin ?PF 2F 1 ,则该椭圆离心率的取值范围是___ ( 2 ?1,1) __________. 易失分提示: 求离心率 e 的范围关键是构建关于 e (或 a , c )的不等式.本题容易出现的错误:一是不会利用正 弦定理进行边角转化;二是不会利用椭圆的定义或性质建立不等关系,根据题意利用正弦定理,将已知条件转化 为关于离心率 e 的不等式,进而求出其取值范围. 解析:由已知 c sin ?PF1 F2 ? a sin ?PF2 F1 ??

| PF1 | 2a ? | PF2 | c sin ?PF 2a 1 2F 1 ? ? ? ? ?1 a sin ?PF1F2 | PF2 | | PF2 | | PF2 |

由椭圆的几何性质知, | PF2 |? a ? c ,所以 结合 0 ? e ? 1 ,可解得 e ? ( 2 ?1,1) .

a ? c 1? e 2a 2a a?c ? ?? e2 ? 2e ? 1 ? 0 ,即 e ? ?1 ? ?1 ? a ? c 1 ? e | PF2 | a?c a?c

本题容易出错的地方是忽略“点 P 异于长轴端点”这一隐含条件,导致在建立不等式时误带等号而出错.在 平时的训练中应该加强对解题过程的监控,多注意所要解决问题的特殊情况,仔细阅读,深入挖掘隐含条件,形 成全面思考 ,周密解答的良好习惯,这对考生来说是非常重要的.

易失分点 4 弦长公式使用不合理 典例 已知椭圆 C : 面积的最大值. 易失分提示: 本题的实质就是求直线 l 被椭圆 C 所截得 的弦长 | AB | 的最大值, 易错之处在于对弦长公式的使用不 合理,致使运算繁杂,导致最后结果错误或是解题半途而废. 解析:设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), (1)当 AB ? x 轴时, | AB |? 3 (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .由已知

x2 3 O B ? y 2 ? 1, 设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点, 坐标原点 O 到直线 l 的距离为 , 求 ?A 3 2

| m| 1? k 2

?

3 3 ?? m2 ? (k 2 ? 1) 2 4

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 ?? x 2 ? 3(kx ? m)2 ? 3 ,整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 2 ? ? y ?1 ?3
6km 3(m2 ? 1) ? x1 ? x2 ? ? 2 , x1 x2 ? 3k ? 1 3k 2 ? 1

| AB |2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? k 2 )[
? 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) 12k 2 ? 3 ? (3k 2 ? 1)2 9k 4 ? 6k 2 ? 1

36k 2 m2 3(m2 ? 1) ? 4 ? ] (3k 2 ? 1)2 3k 2 ? 1

当 k ? 0 时,上式 ? 3 ?

12k 2 12 12 ? 3? ? 3? ?4 4 2 1 9k ? 6k ? 1 2?3 ? 6 9k 2 ? 2 ? 6 k

当且仅当 9 k ?
2

1 3 ,即 k ? ? 时等号成立 2 k 3

当 k ? 0 时, | AB |? 3 ,综上所述, | AB |max ? 2 ,此时, S?AOB |max ?

1 3 3 ? 2? ? 2 2 2

易失分点 5 焦点三角形问题忽视细节

x2 y 2 P使 典例 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F 1 (?c,0)、F 2 (c,0) .若双曲线上存在点 a b
sin ?PF1 F2 sin ?PF2 F1 ? c a
,则该双曲线的离心率的取值范围是____________

易失分提示:本题容易出现的一个致命的错误就是忽视了隐含条件“ ?PF1 F2 , ?PF2 F1 都不能等于 0 '’ ,这样会导 致在最后的答案中含有离心率等于 2 ? 1 .解答数学题要注意对隐含条件的挖掘,确保答案准确无误. 解析:由已知点 P 不会是双曲线的顶点,否则

sin ?PF1 F2 c ? 无意义. sin ?PF2 F1 a

因为在 ?PF1F 中,由正弦定理,得

| PF2 | | PF1 | ? , sin ?PF1 F2 sin ?PF2 F1

则由已知得

| PF2 | sin ?PF1F2 c c ? ? ??| PF1 |? | PF2 | ,且知点 P 在双曲线的右支上, | PF1 | sin ?PF2 F1 a a

c 2a 2 | PF2 | ? | PF2 |? 2a ??| PF2 |? 由双曲钱的定义知 | PF 1 | ? | PF2 |? 2a, 则 a c?a
由双曲线的几何性质,知 | PF2 |? c ? a ,则

2a 2 ? c ? a ?? c 2 ? 2ac ? a 2 ? 0 ?? e2 ? 2e ? 1 ? 0 c?a

?? 1 ? 2 ? e ? 1 ? 2 ,又 e ? 1 ,所以离心率的取值范围是 (1,1 ? 2)


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