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2013届江西省南昌外国语学校高三上学期11月月考数学(理)试卷

时间:

南昌外国语学校 2012—2013 学年上学期 高三(理科)数学 11 月份月考试卷

命题及审题人:邹向东 g3lsx(a11) 2012.11

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,选出

符合题目要求的一项)

? ? ? ? 1. 设集合 A ? x x2 ?1 ? 0 , B ? x log2 x ? 1 ,则 A ? B 等于( )

A.{x | x ? ?1} B.?x 0 ? x ? 2?

C.?x1 ? x ? 2?

D.{x |1 ? x ? 2或x ? ?1}

2. 已知角? 的终边经过点 (?3a, 4a)(a ? 0) ,则 sin 2? 等于( )

A. ? 7 25

B. ? 24 25

C. 24 25

3.已知数列{an} 的前 n 项和 Sn ? 2 ? 2n?1 ,则 a3 ?

A. ?1

B. ?2

C. ?4

D. ? 12 25
D. ?8

4.设函数 f (x) ? sin? x3 ? 3

3 cos? 2

x2

? tan?

,其中

θ∈??0,51π2??,则导数

f′(1)的取值范

围是( )

A.[-2,2]

B.[ 2, 3]

C.[ 3,2]

D.[ 2,2]

5.在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 3 ,点 P 在 AM 上,且满足 AP ? 2PM ,则

PA? (PB ? PC) 的值为( )

A. ?4

B. ?2

C. 2

D. 4

6.“ t ? 0 ”是“函数 f (x) ? x2 ? tx ? t 在 (??, ??) 内存在零点”的

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.已知函数

f

(x)

?

??1,

? ?

1,

x x

? ?

0, 0,

则不等式

xf

(x

?1)

?

1 的解集为

A.[?1, ??)

B. (??,1]

C.[1, 2]

D.[?1,1]

8.已知集合 M ? {(x, y) | y ? f (x)} ,若对于任意 (x1, y1) ? M ,存在 (x2 , y2 ) ? M ,

使得 x1x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“好集合”.给出下列 4 个集合:

① M ? {(x, y) | y ? 1} x

② M ? {(x, y) | y ? ex ? 2}

③ M ? {(x, y) | y ? cos x}

④ M ? {(x, y) | y ? ln x}

其中所有“好集合”的序号是

A.①②④

B.②③

C.③④

D.①③④

9.函数 f (x) 是定义域为 R 的可导函数,且对任意实数 x 都有 f (x) ? f (2 ? x) 成立.若当

x ? 1时,不等式 (x ?1) ? f ?(x) ? 0 成立,设 a ? f (0.5) ,b ? f ( 4) ,c ? f (3) ,则 a ,b , 3
c 的大小关系是( )

A. b ? a ? c B. a ? b ? c

C. c ? b ? a

D. a ? c ? b

10.已知数列?an? 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数 y ? f (x) ,若数列

?ln f (an )? 为等差数列,则称函数 f (x) 为“保比差数列函数”.现有定义在 (0, ??) 上的如下
函数:

① f (x) ? 1 , ② f (x) ? x2 , x

③ f (x) ? ex ,

④ f (x) ? x ,

则为“保比差数列函数”的所有序号为( )

A.①②

B.③④

C.①②④

D.②③④

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡上.

11.已知等比数列{an}的首项是1,公比为 2,等差数列{bn}的首项是1,公差为1,把{bn}

中 的 各 项 按 照 如 下 规 则 依 次 插 入 到 {an} 的 每 相 邻 两 项 之 间 , 构 成 新 数 列 {cn} :

a1, b1, a2 , b2 , b3, a3, b4 , b5 , b6 , a4 ,……,即在 an 和 an?1 两项之间依次插入{bn}中 n 个

项,则 c2013 ?



uuur uuur uuur uur uuur

12.在 ?ABC 中,点 M 为边 AB 的中点,若 OP ∥ OM ,且 OP ? xOA ? yOB(x ? 0) ,

则y?



y

x

13.已知函数 y ? g(x) 的图象由 f (x) ? sin 2x 的图象向右

平移?(0 ? ? ? ?) 个单位得到,这两个函数的部分图象

如图所示,则? ?



14.已知等差数列{an}的首项为1,公差为 2 ,若 a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ? ??? ?a2na2n?1 ? t ? n2 对 n ? N * 恒成立,则实数 t 的取值范围是 .



17π

x

8

24

15.设 x, y 是正实数,且 x ? y ? 1,则 x2 ? y2 的最小值是



x ? 2 y ?1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

16.(本小题满分 12 分)

已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? ?5 ,S5 ? ?20 . (Ⅰ)求数列{an} 的通项公式; (Ⅱ)求使不等式 Sn ? an 成立的 n 的最小值.

17.(本小题满分 12 分)
已知 ?ABC 的角 A, B,C 所对的边分别是 a,b, c ,设向量 m ? (a,b) , n ? (sin B, sin A), p ? (b ? 2, a ? 2) .
1.若 m // n ,试判断 ?ABC 的形状并证明;

2.若 m ⊥ p ,边长 c ? 2 , ?C ? ? ,求 ?ABC 的面积 . 3

18、(本小题满分 12 分)

已知函 f (x) ? sin(?x ? ?) (? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图象如图所示:

(1)求?,? 的值;

(2)设 g(x) ? 2 2 f ( x ) f ( x ? ? ) ?1,当 x ?[0, ? ] 时,求函数 g(x) 的值域.

2 28

2

19.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? 1 x3 ? 1 (2a ?1)x2 ? (a2 ? a)x . 32
(Ⅰ)若 f (x) 在 x ? 1 处取得极大值,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 ?m ? R ,直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f (x) 的切线,求 k 的取值范围; (Ⅲ)若 a ? ?1 ,求 f (x) 在区间[0,1] 上的最大值.

20.(本小题满分 13 分)
已知函数 f (x) ? ax ,且 f (1) ? 1, f (?2) ? 4 . x?b
(1)求 a 、 b 的值;
(2)已知定点 A(1, 0) ,设点 P(x, y) 是函数 y ? f (x)(x ? ?1) 图象上的任意一点,求

| AP | 的最小值,并求此时点 P 的坐标;

(3)当 x ?[1, 2]时,不等式 f (x) ?

2m

恒成立,求实数 a 的取值范围.

(x ?1) | x ? m |

21.(本小题满分 14 分)
设数列{an},对任意 n ? N * 都有 (kn ? b)(a1 ? an ) ? p ? 2(a1 ? a2

? an ) ,(其中 k 、

b 、 p 是常数)。

(1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 a1 ? a2 ? a3 ? ? an ;
(2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列{an}的通项公式;
(3)若数列错误!不能通过编辑域代码创建对象。中任意(不同)两项之和仍是该数
列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当 k ? 1 ,b ? 0 , p ? 0 时,设错误!不
能通过编辑域代码创建对象。是数列错误!不能通过编辑域代码创建对象。的前
错误!不能通过编辑域代码创建对象。项和, a2 ? a1 ? 2 ,试问:是否存在这样
的“封闭数列” 错误!不能通过编辑域代码创建对象。,使得对任意 n ? N * ,都

有 Sn

?

0 ,且 1 12

?

1 S1

?

1 S2

?

1 S3

?

? 1 ? 11 .若存在,求数列错误!不能 Sn 18

通过编辑域代码创建对象。的首项 a1 的所有取值;若不存在,说明理由.

高三(理科)数学 11 月份月考试卷参考答案

一、CBDDA ADBAC
二、11.1951 12.1

π 13. 3

14. (??, ?12] 15. 1 4

三、16.(本小题满分 12 分)

解:(I)设{an}的公差为 d ,

依题意,有 a2 ? a1 ? d ? ?5, S5 ? 5a1 ? 10d ? ?20

………………2 分

联立得

???5aa1 1??d1?0d?5?

?20

解得

??? ad1

? ?6 ?1

4分

所以 an ? ?6 ? (n ?1) ?1 ? n ? 7

………………6 分

(II)因为 an

?

n

?

7

,所以

Sn

?

a1

? 2

an

n

?

n(n

? 13) 2

令 n(n ?13) ? n ? 7 ,即 n2 ?15n ? 14 ? 0 2

解得 n ? 1或 n ? 14

又 n ? N* ,所以 n ? 14

所以 n 的最小值为uv15 v 17.证明:(1) Q m // n,?a sin A ? b sin B,

………………8 分 ………………10 分 ………………12 分

即 a ? a ? b ? b ,其中是 ?ABC 外接圆半径, a ? b 2R 2R

--------(5 分)

?

?ABC

为等腰三角形
uv uv

--------(6 分)

解(2)由题意可知 m // p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0 ,?a ? b ? ab --------(8 分)

由余弦定理可知, 4 ? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0 ?ab ? 4(舍去ab ? ?1) ---------(10 分)

? S ? 1 ab sin C ? 1 ? 4 ?sin ? ? 3

2

2

3

----------(12 分)

18.解:(1)由图象知:T ? 4(? ? ? ) ? ? ,则:? ? 2? ? 2 ,……………2 分

24

T

由 f (0) ? ?1得: sin? ? ?1,即:? ? k? ? ? (k ? z) ,……………4 分 2

∵| ? |? ?

∴ ? ??? 。 2

………………………………………6 分

(2)由(1)知: f (x) ? sin(2x ? ? ) ? ? cos 2x ,……………………………7 分 2

∴ g(x) ? 2 2 f ( x) f ( x ? ? ) ?1 ? 2 2(? cos x)[? cos(x ? ? )] ?1

2 28

4

? 2 2 cos x[ 2 (cos x ? sin x)] ?1 ? 2 cos2 x ? 2sin x cos x ?1 2
? cos 2x ? sin 2x ? 2 sin(2x ? ? ) ,………………………………………10 分 4

当 x ?[0, ? ] 时, 2x ? ? ?[? , 5? ] ,则 sin(2x ? ? ) ?[? 2 ,1],

2

4 44

4

2

∴ g(x) 的值域为[?1, 2] 。………………………………………………12 分

19.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)因为 f ?(x) ? x2 ? (2a ? 1)x ? (a2 ? a)
? (x ? a)[x ? (a ? 1)] 令 f ?(x) ? 0 ,得 x1 ? (a ? 1) , x2 ? a
所以 f ?(x) , f (x) 随 x 的变化情况如下表:

………………1 分

x f '(x) f (x)
所以 a ? 1

(??, a) ?

a
0 极大值

(a, a ? 1) ?

a ?1
0 极小值

(a ? 1, ??) ?
………………3 分 ………………4 分

(II)因为 f ?(x) ? (x ? 2a ? 1)2 ? 1

2

4

因为 ?m ? R ,直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f (x) 的切线

………………5 分

所以 f ?(x) ? (x ? 2a ? 1)2 ? 1 ? k 对 x ? R 成立

2

4

………………6 分

只要 f ?(x) 的最小值大于 k 所以 k ? ? 1
4

………8 分

(III) 因为 a ? 0, 所以 a ? 1 ? 0, 当 a ? 1时, f ?(x) ? 0 对 x ?[0,1] 成立

所以当 x ? 1时, f (x) 取得最大值 f (1) ? a2 ? 1 6
当 0 ? a ? 1 时, 在 x ?(0, a) 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 单调递增

………………9 分

在 x ?(a,1) 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 单调递减

所以当 x ? a 时, f (x) 取得最大值 f (a) ? 1 a3 ? 1 a2 32
当 a ? 0 时, 在 x ?(0,1) 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 单调递减

………………10 分

所以当 x ? 0 时, f (x) 取得最大值 f (0) ? 0

………………11 分

综上所述,当 a ? 1时, f (x) 取得最大值 f (1) ? a2 ? 1
6
当 0 ? a ? 1 时, f (x) 取得最大值 f (a) ? 1 a3 ? 1 a2
32
当 a ? 0 时, f (x) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0 .………………12 分

20.

解:(1)由

? ?

?

f f

(1) ? (?2)

1 ?

4

,得

? ? ?

a ? b?1



解得:

? ?

a ?2.

············3 分

?2a ? b ? 2

? b ?1

(2)由(1) f (x) ? 2x ,所以| AP |2 ? (x ?1)2 ? y2 ? (x ?1)2 ? 4( x )2 ,

x ?1

x ?1



x

?1

?

t

,t

?

0

,则 |

AP

|2 ?

(t

?

2)2

?

4(1? 1)2 t

?

t2

?

4 t2

?

4(t

?

2) t

?8

? (t ? 2)2 ? 4(t ? 2) ? 4 ? (t ? 2 ? 2)2 因为 x ? ?1,所以 t ? 0 ,

t

t

t

所以,当 t ? 2 ? ?2 2 ,所以| AP |2 ? (?2 2 ? 2)2 , ···································6 分 t

即 AP 的最小值是 2 2 ? 2 ,此时 t ? ? 2 , x ? ? 2 ?1

点 P 的坐标是 (? 2 ?1, 2 ? 2) 。 ·····························································7 分

(3)问题即为 2x ?

2m

对 x ?[1, 2]恒成立,

x ?1 (x ?1) | x ? m |

也就是 x ? m 对 x ?[1, 2] 恒成立, ······················································8 分 |x?m|

要使问题有意义, 0 ? m ? 1 或 m ? 2 .

在 0 ? m ? 1或 m ? 2 下,问题化为| x ? m |? m 对 x ?[1, 2]恒成立, x

即 m ? m ? x ? m ? m 对 x ?[1, 2]恒成立, mx ? m ? x2 ? mx ? m 对 x ?[1, 2] 恒成立,

x

x

①当 x ? 1 时, 1 ? m ? 1或 m ? 2 ,②当 x ? 1时, m ? x2 且 m ? x2 对 x ? (1, 2]

2

x ?1

x ?1

恒成立,对于

m

?

x2 x ?1



x ? (1, 2]

恒成立,等价于

m

?

x2 ( x ?1)max

,令 t

?

x ?1,

x ? (1, 2] ,则 x ? t ?1, t ? (2,3] , x2 ? (t ?1)2 ? t ? 1 ? 2 , t ? (2,3] 递增,

x ?1 t

t

?

(

x2 x?

) 1

max

?

4 3



m

?

4 3

,结合 0

?

m

?1或m

?

2

,? m

?

2

对于 m

?

x2 x ?1



x ? (1, 2] 恒成立,等价于 m

?

(

x2 x?

) 1

min

令 t ? x ?1, x ? (1, 2] ,则 x ? t ?1, t ? (0,1], x2 ? (t ?1)2 ? t ? 1 ? 2 ,t ? (0,1]

x ?1 t

t

递减,

?

(

x2 x?

1)min

?

4

,? m

?

4 ,?0

?

m

? 1或2

?

m

?

4

,综上: 2

?

m

?

4 13



21. 解:(1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,

3(a1 ? an ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ? an ) , ① 用 n ? 1去代 n 得, 3(a1 ? an?1 ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ? an ? an?1 ) , ②
②-①得, 3(an?1 ? an ) ? 2an?1 , an?1 ? 3an , ··············································2 分

在①中令 n

? 1得, a1

? 1,则 an

? 0,∴ an?1 an

? 3 ,∴数列{an } 是以首项为

1,公比为

3

的等比数列,∴ a1 ? a2 ? a3 ?

?

an

=

3n

? 2

1



················································· 4



(2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时, n(a1 ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? an ) ,



用 n ? 1去代 n 得, (n ? 1)(a1 ? an?1 ) ? 2(a1 ? a2 ? an ? an?1 ) ,



④-③得,

(n ? 1)an?1 ? nan ? a1 ? 0 , ⑤ ······································6 分

用 n ? 1去代 n 得, nan?2 ? (n ? 1)an?1 ? a1 ? 0 , ⑥

⑥-⑤得, nan?2 ? 2nan?1 ? nan ? 0 ,即 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ,·····················8 分

∴数列{an } 是等差数列。∵ a3

? 3 , a9

? 15 ,∴公差 d

?

a9 ? a3 9?3

? 2 ,∴ an

? 2n ? 3 。

·················································································································9 分

(3)由(2)知数列{an } 是等差数列,∵ a2 ? a1 ? 2 ,∴ an ? a1 ? 2(n ? 1) 。

又错误!不能通过编辑域代码创建对象。是“封闭数列”,得:对任意错误!不能通过编辑域

代码创建对象。,必存在错误!不能通过编辑域代码创建对象。使

a1 ? 2(n ?1) ? a1 ? 2(m ?1) ? a1 ? 2( p ?1) , 得 a1 ? 2( p ? m ? n ? 1) ,故 a1 是偶数, ····················································10 分

又由已

知,

1? 12

1 S1

? 11 18





18 11

?

a1

? 12

。一方面,当

18 11

?

a1

? 12





Sn

?

n(n ?

a1

? 1)

?

0 ,对任意 n ? N * ,都有

1 S1

?

1 S2

?

1 S3

?

? 1 ? 1 ? 1 。另一方 Sn S1 12

面,当 a1

? 2 时,Sn

? n(n ? 1) , 1 Sn

?

1 ? 1 ,则 1 n n ? 1 S1

?1 S2

?

1 S3

?

? 1 ? 1? 1 ,

Sn

n ?1

取 n ? 2 ,则 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 11 ,不合题意。 ·········································12 分

S1 S2

3 3 18

当 a1

? 4 时, Sn

? n(n ? 3) , 1 Sn

? 1 (1 ? 1 ) ,则 3 n n?3

1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 11 ? 1 ( 1 ? 1 ? 1 ) ? 11 ,

S1 S2 S3

Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18

当 a1

? 6 时, Sn

? n(n ? a1

? 1)

?

n(n ? 3) , 1 Sn

?

1 (1 3n

? 1 ), n?3

1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 11 ? 1 ( 1 ? 1 ? 1 ) ? 11 ,

S1 S2 S3

Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18

又 18 11

?

a1

? 12 ,∴ a1

?

4 或 a1

?

6 或 a1

?

8 或 a1

? 10 。

····························14




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