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考点54坐标系与参数方程

时间:2014-07-16


考点 54 坐标系与参数方程
一、选择题 1.( 2013 ·安徽高考理科·T 7 )在极坐标系中,圆 ? =2cos ? 的垂直于极轴的 两条切线方程分别为 A. ? =0(? ? R )和? cos=2 C. θ = (ρ∈R)和ρcos =1
π 2



) B. θ = ( ? ∈R)和? cos = 2 D. θ = 0(ρ∈R)和ρcos =1
π 2

【解题指南】 将极坐标转化为平面直角坐标得出圆的方程。 【解析】选 B. 由 ρ =2cos θ 可得 x2 +y2=2x ? (x-1) 2+y2=1, 所以圆的圆心为 (1,0), 半径为 1,与 x 轴垂直的圆的切线方程分别是 x=0,x=2, 在以原点为极 点的极坐标系中 , 与之对应的方程是 θ = (ρ ∈ R)和 ρ cosθ =2. 二、填空题 2.( 2013 ·江西高考理科·T 15 )设曲线 C 的参数方程为 ?
?x=t
2 ? y=t

π 2

( t 为参数),

若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 _______. 【解题指南】将曲线 C 的参数方程化为普通方程,通过极坐标的定义建立曲 线 C 的参数方程将其代入直角坐标方程,化简整理可得极坐标方程 . 【解析】由 ?
?x=t ? y=t
2

? ? s, i? n代 入 y ? x 2 中 化 简 得 得 y ? x 2 , 将 x ? ? c o s? , y

. 0 ? c o 2s ? ? s i n ? ? 【答案】 ? cos2 ? ? sin ? ? 0 . 3.( 2013 ·北京高考理科·T 9 )在极坐标系中,点 (2 , )到直线 ρ sinθ =2 的距离等于 【解题指南】转化为直角坐标进行计算。
? 6

【解析】极坐标系中点 (2, ) 对应直角坐标系中坐标为 ( 3,1) ,极坐标系直线
6

?

? sin ? ? 2 对应直角坐标系中直线方程为 y ? 2 ,所以距离为 1.

【答案】 1. 4. ( 2013 ·湖南高考理科·T 9)
? x ? t, ? x ? 3 cos? , l :? (t为参数 )过椭圆 C :? 在平面直角坐标系 xoy 中,若 ? y ? t ? a ? y ? 2 sin? (?为参数)的 右

顶点,则常数 a的值为

.

【解题指南】先把直线和椭圆的参数方程化为普通方程 ,然后把椭圆的右顶 点坐标代入直线方程即可 . 【解析】直线 l 的普通方程是 x ? y ? a ? 0 ,椭圆 C 的普通方程是 右顶点为( 3,0),代入直线方程得 a ? 3 【答案】 3. 5. ( 2013 ·广东高考理科·T 14 )已知曲线 C 的参数方程为 ? ?
? x ? 2 cost , ? ? y ? 2 sint ,
x2 y2 ? ? 1 ,其 9 4

(t

为参数), C 在点 (1,1)处的切线为 l ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程为 _______. 【解题指南】本题考查参数方程与极坐标,可首先转化为直角坐标计算 . 【解析】曲线 C 是圆 x2 ? y2 ? 2 ,点 (1,1) 处的切线 l 为 x ? y ? 2 ,其极坐标方程为
? cos ? ? ? sin ? ? 2 ,化简得 r sin(q +
p )= 4 2

【答案】 r sin(q + ) = 2 . 6.( 2013 ·广东高考文科·T 14 )已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? .以 极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参数方程 为 .

p 4

【解题指南】本题考查参数方程与极坐标,可首先转化为直角坐标计算 . 【解析】曲线 C 是圆 ( x ?1)2 ? y2 ? 1 ,其参数方程为 ? 【答案】
? x ? cos ? ? 1, ( ? 为参数) . ? ? y ? sin ? , ? x ? cos ? ? 1, ( ? 为参数) . ? y ? sin ? ,

7. ( 2013 ·湖北高考理科·T 16)在直角坐标系 xOy 中 ,椭圆 C 的参数方程 为错误!未找到引用源。(φ 为参数 ,a>b>0),在极坐标系 (与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位 ,且以原点 O 为极点 ,以 x 轴正半轴为极轴 )中 ,直线 l 与圆
?? 2 O 的极坐标方程分别为 ? sin ? m (m 为非零数 ) 与 ρ =b. 若直线 l 经过 ?? ? ? ?
? 4? 2

椭圆 C 的焦点 ,且与圆 O 相切 ,则椭圆 C 的离心率为

.

【解题指南】 先将参数方程 ,极坐标方程转化成普通方程 ,再利用相切找到关 系.
x2 y 2 【解析】椭圆的方程 2 ? 2 ? 1, 焦点 ? ?c,0? , a b

2 ? ?? 由? sin ?? + ? ? m, 可得? sin ? ? ? cos? ? m, 4? 2 ?

即直线 l 的普通方程为 x+y-m=0, 经过焦点错误!未找到引用源。 ,m= ±c,圆 O 的方程为 x2+y2=b 2 ,直线与圆相切 , 【答案】
6 . 3

m 2

? b, m2 ? 2b2 , c 2 ? 2a 2 ? 2c 2 ,

c2 2 6 ? ,e ? . 2 a 3 3

8. ( 2013 ·陕西高考理科·T 15 )如图 , 以过原点的直线的倾斜角 ? 为参 数 , 则圆 x2 ? y2 ? x ? 0 的参数方程为 .

【解题指南】利用普通方程化为参数方程的公式,将圆的普通方程化为参数 方程 .
1 (x ? ) 2 ? y 2 ? ( ) 2 ? 圆的半径 r ? 【解析】 圆的方程 ?

1 2

1 2

2

? OP ? cos ?? 2r ? cos ? ? x ? OP ? cos ? ? cos2 ?, y ? OP ? sin ? ? cos ?? sin ?
x ? cos ? 所以圆的参数方程为 ? ?
2

( , ?为参数) ? y ? cos? ? sin ?

? x ? cos2 ? ( , ?为参数) 【答案】 ? . ? y ? cos? ? sin ?

9. ( 2013 ·湖 南 高 考 文 科 ·T 11 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 若 直 线
? x ? 2s ? 1, ? x ? at , ( s 为参数)和直线 l2 : ? ( t 为参数)平行,则常数 a 的值 l1 : ? ?y ? s ? y ? 2t ? 1

为 ________ 【解题指南】本题先把两直线的参数方程化成普通方程,然后利用两直线的 平行关系求出参数 a 【 解 析 】 先 把 两 直 线 的 参 数 方 程 化 成 普 通 方 程 . 直 线 l1 : x ? 2 y ? 1 ? 0 , 直 线
l 2 : 2 x ? ay ? a ? 0 . 因为两直线平行,所以 1? (?a) ? ?2 ? 2 ,故 a ? 4 ,经检验,符

合题意。 【答案】 4. 10. ( 2013·重庆高考理科·T 15 )在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为 ? cos ? ? 4 的直线与曲线

?x ? t2 ( t 为参数)相交于 A 、 B 两点,则 AB ? ? 3 ?y ? t

【解题指南】 可将极坐标转化为平面直角坐标系下的坐标进行计算 . 【解析】极 坐标 方程为 ? cos ? ? 4 的直线为 x ? 4 , 所以 x ? t 2 ? 4 , 解得 t ? ?2 , 又
?x ? t2 所以直线与曲线 ? ( 的两个交点 A 、 y ? t3, t 为参数) B 的坐标为 (4,?8),(4,8) , 3 ?y ? t

故 AB ? 16. 【答案】 16 . 11.( 2013 ·上海高考理科·T7 )在极坐标系中,曲线 ? ? cos ? ? 1与 ? cos ? ? 1 的 公共点到极点的距离为 __________ 【解析】联立得 ? ( ? ? 1) ? 1 ? ? ? 【答案】
1? 5 . 2 1? 5 1? 5 ,又 ? ? 0 ,故所求为 . 2 2

12.(2013 ·天津高考理科· T11) 已知圆的极坐标方程为 ρ =4cos θ , 圆心为
?? C,点 P 的极坐标为 ? ? 4, ? 错误!未找到引用源。 , 则 CP=
? 3?

.

【解题指南】 根据圆的极坐标方程及点 P 的坐标确定 OP,OC 的长度 , 在△ POC 中利用余弦定理计算 . 【解析】如图 ,

由圆的极坐标方程为 ρ =4cosθ 知 OC=2, 又因为点 P 的极坐标为错误!未找 到引用源。,所以 OP=4,∠ POC= 错误!未找到引用源。,在△ POC 中 ,由余弦定

理得 CP2=OP2+OC2-2OP ·OC·cos 错误!未找到引用源。 =16+4-2×4 ×2×错 误!未找到引用源。 =12, 所以 CP= 2 3 . 【答案】 2 3 . 13. ( 2013 ·陕西高考文科·T 15 ) 圆锥曲线 ? x ? t 标是 .
?
2

? y ? 2t

(t 为参数 ) 的焦点坐

【解题指南】消去参数 t 即可得抛物线方程,求其焦点坐标 . 【解析】 ?
?x ? t 2 ? y ? 2t . ? y 2 ? 4 x ? 抛物线的焦点F (1,0) .

【答案】 (1, 0). 二、解答题 14.( 2013 ·辽宁高考文科·T 23 )与( 2013 ·辽宁高考理科·T 23 )相同 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。圆 C1 , 直线 C2 的极坐标方程分别为 ? ? 4sin ? , ? cos(? ? ) ? 2 2.
4

?

(?) 求 C1 与 C2 的交点的极坐标;(?? ) 设 P 为 C1 的圆心,Q 为 C1 与 C2 的交点连线的

? x ? t 3 ? a, 中点,已知直线 PQ 的参数方程为 ? ? b 3 (t ? R为参数). 求 a , b 的值。 ? y ? t ?1 ? 2

【解题指南】 利用极坐标和直角坐标的互化关系, 将不熟悉的极坐标转化 为熟悉的直角坐标来探究 . 【解析】 (?) 由 ? ? x 2 ? y 2 , ? cos ? ? x, ? sin ? ? y 得, 圆 C1 的直角坐标方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 直线 C2 的直角坐标方程分别为 x ? y ? 4 ? 0 由?
? x2 ? ( y ? 2)2 ? 4, ? x ? 0, 解得 ? 1 ? y1 ? 4, ? x ? y ? 4 ? 0. ? x2 ? 2, ? ? y2 ? 2,

所以圆 C1 ,直线 C2 的交点直角坐标为 (0, 4),(2, 2) 再 由 ? ? x 2 ? y 2 , ? cos ? ? x, ? sin ? ? y , 将 交 点 的 直 角 坐 标 化 为 极 坐 标
(4, ), (2 2, ) 所以 C1 与 C2 的交点的极坐标 (4, ), (2 2, ) 2 4 2 4

?

?

?

?

(?? ) 由 (?) 知,点 P , Q 的直角坐标为 (0, 2), (1,3)

故直线 PQ 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 由于直线 PQ 的参数方程为
? x ? t 3 ? a, ? ? b 3 (t ? R为参数). y ? t ?1 ? ? 2



消去参数 y ? b x ? ab ? 1
2 2



?b ? 2 ? 1, 对照①②可得 ? ? ?? ab ? 1 ? 2. ? ? 2

解得 a ? ?1,b ? 2. 15. ( 2013 ·新课标Ⅰ高考文科·T 23 )与( 2013 ·新课标Ⅰ高考理科·T 23 )相同 已知曲线 C 1 的参数方程为 ?
? x ? 4 ? 5cos t , ( t 为参数),以坐标原点为极点, x ? y ? 5 ? 5sin t ,

轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? . (Ⅰ)把 C 1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C 1 与 C2 交点的极坐标( ρ ≥ 0,0≤ θ < 2π )。 【解析】将 ?
? x ? 4 ? 5 cost 消去参数 t ,化为普通方程 ( x ? 4) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 25 , y ? 5 ? 5 sin t ?

即 C1 : x 2 ? y 2 ? 8x ? 10y ? 16 ? 0 . 将?
? x ? ? cos? 代入 x 2 ? y 2 ? 8x ? 10y ? 16 ? 0 得 ? y ? ? sin ?

? 2 ? 8? cos? ? 10? sin ? ? 16 ? 0 .

(Ⅱ) C 2 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 . 由? ?
? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 ? ?x ? y ? 2 y ? 0
2 2

,解得 ?

?x ? 1 ?x ? 0 或? . ?y ? 1 ?y ? 2

所以 C1 与 C 2 交点的极坐标分别为 ( 2 , ) , (2, )
4 2

?

?

16.( 2013 ·江苏高考数学科·T 21)在平面直角坐标系 xOy 中 , 直线 l 的
? x ? 2 tan 2 ? ?x ? t ?1 参数方程为 ? (t 为参数 ),曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数 ). y ? 2 t y ? 2 tan ? ? ?

试求直线 l 和曲线 C 的普通方程 , 并求出它们的公共点的坐标 . 【解题指南】选把参数方程转化为普通方程再利用普通方程求解,主要考查 参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识 , 考 查转化问题的能力 【解析】因为直线 l 的参数方程为 ?
?x ? t ?1 (t 为参数 ), 由 x = t+1 得 t = ? y ? 2t

x-1, 代入 y = 2t, 得到直线 l 的普通方程为 2x-y-2 = 0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y 2 = 2x. 联立方程组 ?
? y ? 2( x ?1)
2 ? y ? 2x

,
1 2

解得公共点的坐标为 (2, 2), ( , -1). 17.( 2013 ·江苏高考数学科·T 21)已知 a ? b>0, 求证 : 2a3 ? b3 ? 2ab2 ? a 2b 【解题指南】本小题主要考查利用比较法证明不等式 , 利用作差法分解因式 与 0 比较 . 【证明】 2a3-b3-(2 ab2-a2b)= 2a(a 2-b2)+b(a 2-b2)= (a 2-b2)(2a+b) = (a-b)(a+b)(2a+b). 因为 a ? b>0, 所以 a-b ? 0, a+b>0, 2a+b>0, 从而 (a-b)(a+b)(2a+b) ? 0,

即 2a3 ? b3 ? 2ab2 ? a 2b 18.( 2013·福建高考理科·T 21 )在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 . 已知点 A 的极坐标为 ? ?
? 2,

??

? ,直线 l 的极 4?

坐标方程为 ? cos(? ? ? ) ? a ,且点 A 在直线 l 上。
4

(Ⅰ)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)圆 C 的参数方程为 ? 系.
?? 【解析】(Ⅰ)由点 A( 2 , )在直线 ? cos(
4
? x ? 1 ? cos a, (a为参数) ,试判断直线 ? y ? sin a

l 与圆 C 的位置关

?

?
4

)? a 上,可得 a ? 2

所以直线 l 的方程可化为 ? cos? ? ? sin ? ? 2 从而直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 (Ⅱ)由已知得圆 C 的直角坐标方程为 ( x ?1)2 ? y2 ? 1 所以圆心为 (1, 0) ,半径 r ? 1 以为圆心到直线的距离 d ?
2 ? 1 ,所以直线与圆相交 2

19.( 2013 ·新课标全国Ⅱ高考文科·T 23)与( 2013 ·新课标全国Ⅱ高考 理科·T 23 )相同 已知动点 P, Q 都在曲线 C: ?
? x ? 2cos t ? y ? 2sin t

?t为参数? 上,对应参数分别为 t=α

与 t =2α ( 0< α < 2 π ) ,M 为 PQ 的中点 . ( 1)求 M 的轨迹的参数方程 . ( 2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐 标原点 . 【解题指南】 (1) 借助中点坐标公式,用参数 ? 表示出点 M 的坐标,可得参

数方程 . (2)利用距离公式表示出点 M 到原点的距离 d,判断 d 能否为 0,可得 M 的轨迹 是否过原点 . 【解析】( 1)依题意有 P ? 2cos? ,2sin ? ? , Q ? 2cos2?,2sin 2? ? , 因此
M ? cos ? ? cos 2? ,sin ? ? sin 2? ? .

M 的轨迹的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? cos 2? ??为参数,0 ? ? ? 2? ? ? y ? sin ? ? sin 2?

( 2) M 点到坐标原点的距离
d ? x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos ? , ? 0 ? ? ? 2? ? .

当 ? ? ? 时, d ? 0 ,故 M 的轨迹过坐标原点 .


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