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高考数学思想方法专题:第三讲 分类讨论思想

时间:2011-10-17


高考数学思想方法专题:第三讲 分类讨论思想
【思想方法诠释】 思想方法诠释】
1.分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题, 通过基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略. 对问题实行分类与整合, 分类标准等 于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础 性问题) ,优化解题思路,降低问题难度. 2.分类讨论的常见类型: (1)由数学概念引起的分类讨论:有的概念本身就是分类的,如绝对值、直线斜率、 指数函数、对数函数等. (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有定理、公式、性质是分类给出的, 在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等. (3)由数学运算引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数 真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数 的定义域等. (4)由图形的不确定性引起的分类讨论:有的图形类型、位置需要分类,如角的终边 所在的象限,点、线、面的位置关系等. (5)由参数的变化引起的分类讨论:某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式, 由于参数的取值不同会导致所得结果不同, 或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方 法. 3.分类讨论的一般流程:

【核心要点突破】 核心要点突破】
要点考向 1:根据数学概念的要求分类讨论(概念型) :根据数学概念的要求分类讨论(概念型) 例 1:设 0<x<1,a>0 且 a≠1,比较|log a (1-x)|与|log a (1+x)|的大小。

注:本例是由对数函数的概念内涵引发的分类讨论,我们称为概念分类型.由概念内涵

分类的还有很多,如绝对值:|a|的定义分为 a>0、a<0、a=0 三种情况;直线的斜率分为: 倾斜角 ,斜率 k 存在,倾斜角 与 ,斜率不存在;指数、对数函数: ,可分为 等. 两种类型;直线的

截距式分:直线过原点时为 y=kx,不过原点时为

要点考向 2:根据运算的要求或性质、定理、公式的条件分类讨论 :根据运算的要求或性质、定理、 例 2:设等比数列{a n}的公比为 q ,前 n 项和 S n>0(n =1 , 2 , 3 ,…). : (1)求 q 的取值范围; (2)设 b n= a n+2 -

3 a n+1 ,记{b n}的前 n 项和为 T n ,试比较 S n 与 T n 的大小 . 2

思路精析: 思路精析:要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形;再应用比较法而求解。其 中在应用等比数列前 n 项和的公式时,由于公式的要求,分 q=1 和 q≠1 两种情况

注: (1)一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,均值定理、等比数列的 求和公式等性质、 定理与公式在不同的条件下有不同的结论, 或者在一定的限制条件下才成 立,这时要小心,应根据题目条件确定是否进行分类讨论. (2)分类讨论的许多问题有些是由运算的需要引发的.比如除法运算中分母能否为零 的讨论;解方程及不等式两边同乘以一个数是否为零,是正数,还是负数的讨论;二次方程 运算中对两根大小的讨论;求函数单调性时,导数正负的讨论;排序问题、差值比较中的正 负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等. (3)在构建数学模型解决实际问题的过程中,往往由于实际问题中存在的诸多情况而 引起分类讨论, 特别在近几年高考中概率的计算有很多题目渗透了分类讨论的思想, 解题目 时要注意分类的原则是“不重不漏” . 要点考向 3:根据字母的取值情况分类讨论 :

例 3:设函数 f(x)=ax -2x+2,对于满足 1<x<4 的一切 x 值都有 f(x)>0,求实数 a 的取值范围。 【解析】当 a>0 时,f(x)=a(x-

2

1 2 1 ) +2- a a

? 1 ?1 ?1 ?1 < a < 4 ≤1 ? ? ≥4 ? ∴ ?a 或? 或 ?a ? f (1)=a ? 2 + 2 ≥ 0 ? f ( 1 )= 2 ? 1 > 0 ? f ( 4)=16a ? 8 + 2 ≥ 0 ? ? ? a a ?
∴ a≥1 或

1 <a<1 或φ 2

即 a>

1 ; 2
[来源:Z&xx&k.Com]

当 a<0 时, ?

? f (1)=a ? 2 + 2 ≥ 0 ? f ( 4 )=16a ? 8 + 2 ≥ 0

,解得φ;

当 a=0 时,f(x)=-2x+2, f(1)=0,f(4)=-6, ∴不合题意 注:题目中含有参数的问题(含参数型) ,主要包括: (1)含有参数的不等式的求解; (2)含有参数的方程的求解; (3)对于解析式系数是参数的函数,求最值与单调性问题; (4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.求解这类问题的一般思路是:结合参数的意义 及对结果的影响而进行分类讨论.讨论时,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数 有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想. 要点考向 4:根据图形位置或形状变动分类讨论 : 例 4:在 xoy 平面上给定曲线 y 2 =2x,设点 A(a,0),a∈R,曲线上的点到点 A 的距离 的最小值为 f(a),求 f(a)的函数表达式。

注:一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括:二次函数对称轴位置的变动;函数 问题中敬意的变动;函数图象形状的变动;直线由斜率引起的位置变动;圆锥曲线由焦点引 起的位置变动或由离心率引起的形状变动;立体几何中点、线、面的位置变动等.

【跟踪模拟训练】 跟踪模拟训练】

一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 选择题( 1.已知双曲线的渐近线方程为 ,则双曲线的离心率为( )

2.已知函数

的定义域的 R,则实数 a 的取值范围是(



3.正三棱柱的侧面展开图是两边长分别为 2 和 4 的矩形,则它的体积为(



4.“直线 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍”是“直线 l 的斜率等于-2”的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件



5 . 对 任 意 两 实 数 a 、 b, 定 义 运 算 “ * ” 如 下 : a*b= 的值域为( )

,则函数

6.如图所示,在△AOB 中,点 A(2,1) ,B(3,0) ,点 E 在射线 OB 上自 O 开始移动.设 OE=x, 过 E 作 OB 的垂线 l, 记△AOB 在直线 l 左边部分的面积为 S, 则函数 S=f (x) 的图象是 ( )

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 填空题( 7.设 为椭圆 的两个焦点.P 为椭圆上一点.已知 P, ,则 的值为 是一个直角

三角形的三个顶点,且

8.过点 M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1 作切线,所得切线方程是__________. 9.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b、c,则方程 x2+bx+c=0 有实根的概率为 ________. 解答题(10、 三、解答题(10、11 题每题 15 分,12 题 16 分,共 46 分) 10.已知函数 域为[-5,1],求常数 a,b 的值。 11.已知函数 (1)求 f(x)的单调区间; (2)若方程 f(x)=0 有三个不等实根,求 a 的取值范围. 12.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=2·3n+k(k∈R,n∈N*), (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足 4(n+1)bn+1 的大小,并证明你的结论. Tn 为数列{bn}的前 n 项和,试比较 3-16Tn 与 (a≠0)定义域为 ,值

参考答案

1 解析:选 D.因为渐近线方程为

.∴当

即:

,得:





,即:

,得

,综上



2【解析】 C.当 a=0 时,f(x)有意义, a≠0 时, ax2+ax-3≠0,得Δ=a2+12a<0,即-12 选 当 由 <a<0.综合得-12<a≤0.

3【解析】选 D.分两种情况分别计算得:



4【解析】选 B.若直线 l 的斜率等于-2,则直线 l 在 y 轴上的截距一定是它在 x 轴上的截距 的 2 倍;但当直线 l 在 y 轴上的截距是它在 x 轴上的截距的 2 倍时,其斜率不一定等于-2, 因为直线 l 可以经过原点,其斜率可以为任意值.所以“直线 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上 的截距的 2 倍”是“直线 l 的斜率等于-2”的必要不充分条件. 5 解析:选 A.根据题目给出的情境可得,

由于

的图象在定义域上为增函数,可得 f(x)的值域为(-∞,0].

6 解析】 D. 0<x≤2 时, 【 选 当 当<x≤3 时,

=

,是开口向上的抛物线,且 f(2)=1;

是开口向下,以

为顶点的抛物线.

当 x>3,f(x)是确定的常数,图象为直线.

7【解析】若 则 解得 若 则

,

综上知, 答案: 8【解析】 (1)当斜率 k 不存在时,x=2 符合题意; (2)当斜率 k 存在时,则切线方程为 y-4=k(x-2),

即 kx-y-2k+4=0,圆心(1,-3)到切线的距离为

解得 k=

,

即切线方程为 24x-7y-20=0. 综上,切线方程为 x=2 或 24x-7y-20=0. 答案:x=2 或 24x-7y-20=0

9【解析】一枚骰子掷两次,其基本事件总数为 36,方程有实根的充要条件为 b2≥4c.

由此可见,使方程有实根的基本事件个数为 1+2+4+6+6=19,于是方程有实根的概率为 P=

.

答案:

10 解析:

11【解析】(1) f′(x)=x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1). 当 a=1 时,f′(x)=(x-1)2≥0,f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞); 当 a<1 时,f′(x)>0 的解集是(-∞,a)∪(1,+∞),f(x)的单调递增区间是(-∞,a)和(1,+ ∞),单调递减区间是(a,1); 当 a>1 时,f′(x)>0 的解集是(-∞,1)∪(a,+∞),f(x)的单调递增区间是(-∞,1)和(a,+ ∞),单调递减区间是(1,a). (2)方法一:
2

有一个根是 0,∴f(x)有三个不等实

根等价于方程 2x -3(a+1)x+6a=0 有两个不等于 0 的相异实根. 由此得 ∴a 的取值范围是 方法二:由(1)知,当 a=1 时,f(x)在(-∞,+∞)上递增,f(x)=0 只有一个实根; 当 a<1 时, 根知 , 且 ,解得 ; ,由 f(x)=0 有 3 个实 解得

当 a>1 时,

,由 f(x)=0 有 3 个

实根知

<0 且

,解得 a>3;

综上:a 的取值范围是



12【解析】 (1)由 Sn=2·3n+k(k∈R,n∈N*)得 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4×3n-1,

∵{an}是等比数列,∴a1=S1=6+k=4, ∴k=-2,得 an=4×3n-1(n∈N*).

【备课资源】 备课资源】
1.已知集合 A={2,3,4},B={2,4,6,8},C={(x,y)|x∈A,y∈B,且 logxy∈N*},则 C 中元 素个数是( ) (A)9 (B)8 (C)3 (D)4

【解析】选 D.由题意,x 可取的值有 2,3,4 三种可能. 当 x=2 时,y 可以取 2,4,8 三个数,得到 C 中元素 3 个;当 x=3 时,没有 y 的值满足题意; 当 x=4 时,y 可以取 4,得 C 中元素 1 个.故 C 中元素的个数为 3+0+1=4 个.

3.将长为 15 的木棒截成长度为整数的三段,使它们构成一个三角形,求得到的不同三角形 的个数. 【解析】可采用分类讨论的方法,若最小段长为 1,则三角形三边长可为 1,7,7;若最小 段长为 2,则有 2,6,7;若最小段长为 3,则有 3,5,7;3,6,6;若最小段长为 4,则 有 4,4,7;4,5,6;若最小段长为 5,则有 5,5,5.共 7 种不同情况. ∴得到的不同的三角形的个数为 7.


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