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(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 第70课 圆锥曲线综合问题 文

时间:2013-08-10


第 70 课
1. (2012 广州调研)设椭圆 M :

圆锥曲线综合问题
a2 a2 ? 2
与 x 轴交于点

A ,若 OF ? 2 AF ? 0 (其中 O 为坐标原点) . 1 1 (1)求椭圆 M 的方程;
2 (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点, EF 为圆 N : x ? ? y ? 2 ? ? 1 的任意一条直径( E 、 F 为直径 2

????

????

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 2) 的右焦点为 F1 ,直线 l : x ? a2 2

的两个端点) ,求 PE ? PF 的最大值. 【解析】 (1)由题设知, A(

??? ??? ? ?

a2
2

a ?2 ???? ???? ???? ???? ∵ OF ? 2 AF ? 0 ,∴ OF1 ? 2 AF1 1 1
∴ a 2 ? 2 ? 2(

, 0) , F1 ( a 2 ? 2, 0) ,

a2 a ?2
2

? a 2 ? 2) ,解得 a 2 ? 6 .

x2 y2 ? ?1. 6 2 2 2 (2)设圆 N : x ? ? y ? 2 ? ? 1 的圆心为 N , ??? ??? ? ? ??? ??? ???? ??? ? ? ? 则 PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP ???? ??? ???? ??? ? ? ? ? NF ? NP ? NF ? NP ??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? NP ? NF ? NP ?1 . ??? ??? ? ? ??? 2 ? 从而求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值. ∵ P 是椭圆 M 上的任意一点,设 P?x0 , y0 ? ,
∴椭圆 M 的方程为 M :

?

?

?? ??

?

?

x y 2 2 ∴ 0 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 . 6 2 ∵点 N ?0,2? ,
∴ NP ? x0 ? ? y 0 ? 2? ? ?2? y 0 ? 1? ? 12 .
2 2 2 2

2

2

∵ y0 ? ? ? 2, 2 ? ,

?

?

∴当 y0 ? ?1 时, NP 取得最大值 12 . ∴ PE ? PF 的最大值为 11 .

2

??? ??? ? ?

1

2. (2012 东城二模)已知椭圆 (1)求椭圆的方程;

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左焦点 F1 (?1,0) ,长轴长与短轴长的比是 2 : 3 . a 2 b2

(2)过 F 作两直线 m , n 交椭圆于 A , B , C , D 四点,若 m ? n ,求证: 1

1 1 为定值. ? AB CD

?2a : 2b ? 2 : 3 ? 【解析】 (1)由已知得 ?c ? 1 ,解得 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? x2 y 2 ? ? 1. 故所求椭圆方程为 4 3 证明: (2)由(1)知 F1 ? ?1,0 ? ,

?a ? 2 ? . ? ?b ? 3 ?

1 1 7 1 1 ? ? ? . ? AB CD 3 4 12 当直线 m 斜率存在时,设直线 m 的方程为 : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) . ? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 ,得 ? 3 ? 4k ? x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 . ?1 ? ? ?4 3 由于 ? ? 0 ,设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则有
当直线 m 斜率不存在时,此时 AB ? 3, CD ? 4 ,

8k 2 4k 2 ? 12 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

AB ? (1 ? k 2 )[? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ]
2

2 8k 2 2 4k 2 ? 12 12 ?1 ? k ? . ? ?1 ? k ? [(? ) ? 4? ]? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 12(1 ? k 2 ) 同理 CD ? . 3k 2 ? 4 7 ?1 ? k 2 ? 3 ? 4k 2 3k 2 ? 4 7 1 1 ? ? ? ? ∴ . ? 2 2 2 AB CD 12 ?1 ? k ? 12 ?1 ? k ? 12 ?1 ? k ? 12 2

综上,

7 1 1 为定值 . ? 12 AB CD

2

3. (2012 汕头一模)如图,已知椭圆 C : 圆 M : x2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的方程;

x2 ? y 2 ? 1 ( a ? 1 )的上顶点为 A ,右焦点为 F ,直线 AF 与 2 a

(2)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 P 、 Q 两点,且 AP ? AQ ? 0 , 求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 【解析】 (1)∵圆 M : x2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 ∴圆 M ( x ? 3) ? ( y ?1) ? 3 ,
2 2

??? ???? ?

y
A Q l F

∴圆 M 的圆心为 M (3,1) ,半径为 3 . ∴ A(0,1) , F (c, 0) , a ? c ? 1 ,
2 2

x ∴直线 AF 的方程为 ? y ? 1 , c 即 x ? cy ? c ? 0 , ∵直线 AF 与圆 M 相切, 3? c ?c ∴ ? 3 ,∴ a ? 3 , 1 ? c2 x2 ? y 2 ? 1. ∴椭圆 C 的方程为 3 ??? ???? ? (2)由 AP ? AQ ? 0 ,知 AP ? AQ , ∴直线 AP 与坐标轴不垂直,由 A(0,1) , 可设直线 AP 的方程为 y ? kx ? 1 , 1 则直线 AQ 的方程为 y ? ? x ? 1(k ? 0) , k ? y ? kx ? 1 ? 2 2 由 ? x2 ,整理得: (1 ? 3k ) x ? 6kx ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?3 6k 解得 x ? 0 或 x ? ? , 1 ? 3k 2 6k 6k 2 ,? ? 1) , ∴ P 的坐标为 (? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 6k 1 ? 3k 2 , ). 即 (? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 6k k 2 ? 3 , ). 将上式中的 k 换成 ? ,得 Q( 2 k k ? 3 k2 ? 3 k 2 ? 3 1 ? 3k 2 ? 2 k 2 ? 3 1 ? 3k 2 ( x ? 6k ) ? k ? 3 , ∴直线 l 的方程为 y ? 6k 6k k2 ? 3 k2 ? 3 ? k 2 ? 3 1 ? 3k 2 4k 2 ? 1 1 x? , 化简得直线 l 的方程为 y ? 4k 2 1 因此直线 l 过定点 (0, ? ) . 2

O P

x

3

2 x2 y 2 4. (2012 广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? , a b 3
且椭圆 C 上的点到 Q (0, 2) 的距离的最大值为 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2 )在椭圆 C 上,是否存在点 M (m, n) 使得直线 l : mx ? ny ? 1 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1相交于不同的两 点 A, B ,且 ?OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应的 ?OAB 的面积;若不存在,请说 明理由. 【解答】 (1)∵ e ?

2 2 1 2 c 2 2 2 ,∴ c ? a ,∴ b ? a , ? 3 3 a 3 2 2 x y 设 P( x, y) 是椭圆 C 上任意一点,则 2 ? 2 ? 1 , a b 2 y 2 2 2 2 ∴ x ? a (1 ? 2 ) ? a ? 3 y , b
∴ | PQ |?

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? a 2 ? 3 y 2 ? ( y ? 2) 2

? ?2( y ? 1) 2 ? a 2 ? 6 ,
当 b ? 1 时,当 y ? ?1 时, | PQ | 有最大值 a ? 6 ? 3 ,
2

∴ a ? 3 ,∴ b ? 1, c ? 2 , 当 b ? 1 时, | PQ |? ∴椭圆 C 的方程为

a 2 ? 6 ? 3b2 ? 6 ? 3 ,不合题意,

x2 y 2 ? ? 1. 3 2 (2)在 ?AOB 中, OA ? OB ? 1 ,
1 1 1 OA ? OB ? sin ?AOB ? sin ?AOB ? , 2 2 2 1 ? 当且仅当 ?AOB ? 90 时, S?AOB 有最大值 , 2 2 ? ∵当 ?AOB ? 90 时,点 O 到直线 AB 的距离为 d ? , 2 1 2 2 2 ∴ ,即 m ? n ? 2 ,① ? 2 2 2 m ?n
∴ S ?AOB ?

m2 n2 ? ? 1 ,② ∵点 M (m, n) 在椭圆 C 上,∴ 3 2 3 1 6 2 2 2 由①②解得 m ? , n ? ,此时点 M (? ,? ). 2 2 2 2

4

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点 F 与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点重合,且截 a 2 b2 ? 抛物线的准线所得弦长为 2 ,倾斜角为 45 的直线 l 过点 F .
5. (2012 韶关质检)已知椭圆 (1)求该椭圆的方程; (2)设椭圆的另一个焦点为 F1 ,问抛物线 y 2 ? 4 x 上是否存在一点 M ,使得 M 与 F1 关于直线 l 对称, 若存在,求出点 M 的坐标,若不存在,说明理由. 【解析】 (1)抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F (1,0) , 准线方程为 x ? ?1 , ∵ 椭圆的一个焦点 F 与抛物线的焦点重合, ∴ F (1,0) , c ? 1 .∴ a ? b ? 1
2 2



∵椭圆截抛物线的准线所得弦长为 2 , ∴抛物线的准线与椭圆的交点为 (?1, ?
2 由①、②解得 b ? 1 或 b ? ?
2

2 ) ,∴ 2

1 1 ? 2 ? 1, ② a2 b2

1 2 2 (舍去) ,从而 a ? b ? 1 ? 2 . 2

x2 ? y 2 ? 1. 2 ? (2)∵ 倾斜角为 45 的直线 l 过点 F , ∴ 直线 l 的方程为 y ? x ? 1 , 由(1)知椭圆的另一个焦点为 F1 (?1,0) , 设 M ( x0 , y0 ) 与 F1 关于直线 l 对称,
∴椭圆的方程为

? y0 ? 0 ? x ? 1 ? 1 ? ?1 ? x0 ? 1 ? 则得 ? 0 , 解得 ? ,即 M (1,?2) . y 0 ? 0 x0 ? (?1) ? y 0 ? ?2 ? ?1 ? 2 ? 2 ? 2 又 M (1,?2) 满足 y ? 4 x ,故点 M 在抛物线上. 2 ∴抛物线 y ? 4 x 上存在一点 M (1,?2) ,使得 M 与 F1 关于直线 l 对称.

5

6. (2012 广州二模)已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线 C2 : x2 ? 4 y 有一个相同的焦点 F ,直 1 线 l : y ? 2 x ? m 与抛物线 C2 只有一个公共点. (1)求直线 l 的方程; (2)若椭圆 C1 经过直线 l 上的点 P ,当椭圆 C1 的长轴长取得最小值时,求椭圆 C1 的方程及点 P 的坐 标. 【解析】(1)由 ?

? y ? 2 x ? m,
2

?x ? 4 y ∵直线 l 与抛物线 C2 只有一个公共点,
2

,得 x ? 8x ? 4m ? 0 .
2

y

∴ ? ? 8 ? 4 ? 4m ? 0 ,解得 m ? ?4 . ∴直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 4 . (2)∵抛物线 C2 的焦点为 F1 (0,1) , ∴椭圆 C1 的两个焦点为 F1 (0,1), F2 (0,?1) . 设点 F1 (0,1) 关于直线 l 的对称点为 F1? ( x0 , y0 ) ,
F1

P

F2

O
P0

F1?

x

? y0 ? 1 ? x ? 2 ? ?1, ? 则? 0 ? y0 ? 1 ? 2 ? x0 ? 4. ? 2 2 ? ?x0 ? 4, 解得 ? ∴点 F1? (4, ?1) . ? y0 ? ?1.
∴直线 l 与直线 F1? F2 : y ? ?1 的交点为 P0 ( ,?1) . 由椭圆的定义及平面几何知识得:椭圆 C1 的长轴长

3 2

2a ?| PF1 | ? | PF2 |?| PF1? | ? | PF2 |?| F1? F2 |? 4 ,
其中当点 P 与点 P 重合时,上面不等式取等号. 0 ∴当 a ? 2 时,椭圆 C1 的长轴长取得最小值,其值为 4. 此时椭圆 C1 的方程为

y2 x2 ? ? 1, 4 3

点 P 的坐标为 ( ,?1) .

3 2

6


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