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题型最全的递推数列求通项公式的习题

时间:2011-03-16


高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决 数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。 类型 1
a n ?1 ? a n ? f ( n )

解法:把原递推公式转化为 a n ?1 ? a n ? f ( n ) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 例 1. 已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ?
1 2

, a n ?1 ? a n ?

1 n ?n
2

,求 a n 。 a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,…….

变式: 已知数列 { a n }中 a 1 ? 1 ,且 a2k=a2k-1+(-1)K, (I)求 a3, a5; (II)求{ an}的通项公式. 类型 2
a n ?1 ? f ( n ) a n
a n ?1 an

解法:把原递推公式转化为 例 1:已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 例 2:已知 a 1 ? 3 , a n ?1 ?

? f ( n ) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。

2

3 3n ? 1

, a n ?1 ?

n n ?1

a n ,求 a n 。

3n ? 2

a n ( n ? 1) ,求 a n 。
n ?1 n? 2

?1 变式:(2004,全国 I,理 15. )已知数列{an},满足 a1=1, a n ? a 1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? ? ? ( n ? 1) a n ?1 (n≥2),则{an}的通项 a n ? ? ? ___

类型 3

。 a n ?1 ? pa n ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq ( p ? 1) ? 0 ) )
q 1? p

解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: a n ?1 ? t ? p ( a n ? t ) ,其中 t ? 例:已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 , a n ?1 ? 2 a n ? 3 ,求 a n . 变式:(2006,重庆,文,14)

,再利用换元法转化为等比数列求解。

在数列 ? a n ? 中,若 a1 ? 1, a n ?1 ? 2 a n ? 3( n ? 1) ,则该数列的通项 a n ? _______________ 变式:(2006. 福建.理 22.本小题满分 14 分) 已知数列 ? a n ? 满足 a1 ? 1, a n ? 1 ? 2 a n ? 1( n ? N ).
*

(I)求数列 ? a n ? 的通项公式; (II)若数列{bn}滿足 4 (Ⅲ)证明:
n 2 ? 1 3 ?
b1 ? 1

4

b2 ? 1

?4

bn ? 1

? ( a n ? 1) n ( n ? N ), 证明:数列{bn}是等差数列;
b *

a1 a2
n

?

a2 a3

? ... ?

an a n ?1

?

n 2

( n ? N ).
*

类型 4

a n ?1 ? pa n ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq ( p ? 1)( q ? 1) ? 0 ) ) 。
n ?1

(或 a n ? 1 ? pa n ? rq ,其中 p,q, r 均为常数) 。
n

解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以 q 系数法解决。 例:已知数列 ?a n ? 中, a 1 ?
5 6

,得:

a n ?1 q
n ?1

?

p q

?

an q
n

?

1 q

引入辅助数列 ?b n ? (其中 b n ?

an q
n

) ,得: b n ?1 ?

p q

bn ?

1 q

再待定

, a n ?1 ?

1

1 n ?1 a n ? ( ) ,求 a n 。 3 2

变式:(2006,全国 I,理 22,本小题满分 12 分) 设数列 ? a n ? 的前 n 项的和 S n ?
4 3 a n? 1 3 ?2
n ?1

?

2 3

, n ? 1, 2, 3, ???

(Ⅰ)求首项 a1 与通项 a n ; (Ⅱ)设 Tn ?

2

n

Sn

, n ? 1, 2, 3, ???,证明: ? Ti ?
i ?1

n

3 2

类型 5 递推公式为 a n ? 2 ? pa n ?1 ? qa n (其中 p,q 均为常数) 。 解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为 a n ? 2 ? sa n ?1 ? t ( a n ?1 ? sa n )
?s ? t ? p 其中 s,t 满足 ? ? st ? ? q

解法二(特征根法):对于由递推公式 a n ? 2 ? pa n ?1 ? qa n , a 1 ? ? , a 2 ? ? 给出的数列 ?a n ? ,方程 x 2 ? px ? q ? 0 ,叫做数列 ?a n ? 的特征方程。 若 x 1 , x 2 是特征方程的两个根,当 x 1 ? x 2 时,数列 ?a n ? 的通项为 a n ? Ax 1 代入 a n ? Ax 1 n ? 1, 2 ,
n ?1 n ?1 n ?1

? Bx 2 ,其中 A,B 由 a 1 ? ? , a 2 ? ? 决定(即把 a 1 , a 2 , x 1 , x 2 和
n ?1

n ?1

? Bx 2 , 得到关于 A、 的方程组) 当 x 1 ? x 2 时, B ; 数列 ?a n ? 的通项为 a n ? ( A ? Bn ) x1
n ?1

, 其中 A, 由 a 1 ? ? , a 2 ? ? B

决定(即把 a 1 , a 2 , x 1 , x 2 和 n ? 1, 2 ,代入 a n ? ( A ? Bn ) x 1 解法一(待定系数——迭加法):

,得到关于 A、B 的方程组) 。

数列 ?a n ? : 3 a n ? 2 ? 5 a n ?1 ? 2 a n ? 0 ( n ? 0 , n ? N ) , a 1 ? a , a 2 ? b ,求数列 ?a n ? 的通项公式。 例:已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 , a 2 ? 2 , a n ? 2 ? 变式: 1.已知数列 ? a n ? 满足 a1 ? 1, a 2 ? 3, a n ? 2 ? 3 a n ? 1 ? 2 a n ( n ? N ).
*

2 3

a n ?1 ?

1 3

a n ,求 a n 。

(I)证明:数列 ? a n ?1 ? a n ? 是等比数列; (II)求数列 ? a n ? 的通项公式; (III)若数列 ? b n ? 满足 4
b1 ? 1

4

b2 ? 1

...4

bn ?1

? ( a n ? 1) n ( n ? N ), 证明 ? b n ? 是等差数列
b *

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2.已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 , a 2 ? 2 , a n ? 2 ?

2 3

a n ?1 ?

1 3

a n ,求 a n

3.已知数列 ?a n ? 中, S n 是其前 n 项和,并且 S n ?1 ? 4 a n ? 2( n ? 1, 2, ? ), a1 ? 1 , ⑴设数列 b n ? a n ?1 ? 2 a n ( n ? 1, 2 , ? ? ) ,求证:数列 ?b n ? 是等比数列;

⑵设数列 c n ?

an 2
n

, ( n ? 1, 2 , ? ? ) ,求证:数列 ?c n ? 是等差数列;⑶求数列 ?a n ? 的通项公式及前 n 项和。

类型 6 递推公式为 S n 与 a n 的关系式。(或 S n ? f ( a n ) )
? S 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( n ? 1) 解法:这种类型一般利用 a n ? ? 与 a n ? S n ? S n ?1 ? f ( a n ) ? f ( a n ?1 ) 消去 S n ( n ? 2 ) 或与 S n ? f ( S n ? S n ?1 ) ( n ? 2 ) 消 ? S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? ( n ? 2 )

去 a n 进行求解。 例:已知数列 ?a n ? 前 n 项和 S n ? 4 ? a n ?
1 2
n?2

.

(1)求 a n ?1 与 a n 的关系; (2)求通项公式 a n . (2)应用类型 4( a n ?1 ? pa n ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq ( p ? 1)( q ? 1) ? 0 ) ) )的方法,上式两边同乘以 2
n

n ?1

得: 2

n ?1

a n ?1 ? 2 a n ? 2
n

由 a1 ? S 1 ? 4 ? a1 ?

1 2
1? 2
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? a 1 ? 1 .于是数列 ?2 a n ? 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,所以 2 a n ? 2 ? 2 ( n ? 1) ? 2 n ? a n ?
n n
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n 2
n ?1

变式:(2006,陕西,理,20 本小题满分 12 分) 已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列,求数列{an}的通项 an 变式: (2005,江西,文,22.本小题满分 14 分) 1 n ?1 3 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-2=3 ( ? ) ( n ? 3 ), 且 S 1 ? 1, S 2 ? ? , 求数列{an}的通项公式. 2 2
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类型 7 a n ?1 ? pa n ? an ? b ( p ? 1、0,a ? 0 ) 解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令 a n ?1 ? x ( n ? 1) ? y ? p ( a n ? xn ? y ) ,与已知递推式比较,解出 x, y ,从而转化为

?a n

? xn ? y ? 是公比为 p 的等比数列。

例:设数列 ?a n ? : a 1 ? 4 , a n ? 3 a n ?1 ? 2 n ? 1, ( n ? 2 ) ,求 a n . 变式:(2006,山东,文,22,本小题满分 14 分) 1 已知数列{ a n }中, a1 ? 、 点 ( n、 a n ? 1 ? a n) 在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3… 2 2 (Ⅰ)令 b n ? a n ?1 ? a n ? 3, 求证数列 ?b n ?是等比数列; (Ⅲ)设 S n 、 T n 分别为数列
r

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(Ⅱ)求数列 ?a n ?的通项;
? S n ? ? Tn ? ? 为等差数列?若存在试求出 ? n ? ?

?a n ?、?b n ? 的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得数列 ?

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不存在,则说明理由.

类型 8 a n ?1 ? pa n ( p ? 0 , a n ? 0 ) 解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为 a n ?1 ? pa n ? q ,再利用待定系数法求解。 例:已知数列{ a n }中, a 1 ? 1, a n ?1 ?
1 a ? a n ( a ? 0 ) ,求数列 ?a n ?的通项公式 .
2

变式:(2005,江西,理,21.本小题满分 12 分) 已知数列 { a n }的各项都是正数 (1)证明 a n ? a n ?1 ? 2 , n ? N ;
, 且满足 : a 0 ? 1, a n ?1 ?
1 2 a n ( 4 ? a n ), n ? N .

(2)求数列 { a n } 的通项公式 an.

变式:(2006,山东,理,22,本小题满分 14 分) 已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中=1,2,3,… (1) 证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2) 设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项; 记 bn=
1 an ? 1 an ? 2

,求{bn}数列的前项和 Sn,并证明 Sn+

2 3T n ? 1

=1

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类型 9 a n ? 1 ?

f (n)a n g (n)a n ? h(n)

解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 a n ?1 ? pa n ? q 。

例:已知数列{an}满足: a n ?

a n ?1 3 ? a n ?1 ? 1

, a 1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。

变式:(2006,江西,理,22,本大题满分 14 分) 1.已知数列{an}满足:a1=
3 2

,且 an=

( n ? 2, n ? N ) 2a n - 1+ n -1

3 n a n -1

?

(1) 求数列{an}的通项公式; (2) 证明:对于一切正整数 n,不等式 a1?a2?……an?2?n!
2、若数列的递推公式为 a1 ? 3,

1 a n ?1

?

1 an

? 2 ( n ? ? ) ,则求这个数列的通项公式。

3、已知数列{ a n }满足 a 1 ? 1, n ? 2 时, a n ?1 ? a n ? 2 a n ?1 a n ,求通项公式。

4、已知数列{an}满足: a n ?

a n ?1 3 ? a n ?1 ? 1
2a n an ? 2

, a 1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。

5、若数列{a n }中,a 1 =1,a n ? 1 =

n∈N ? ,求通项 a n .

类型 10

a n ?1 ?

pa n ? q ra n ? h pa n ? q ra n ? h

解法:如果数列 { a n } 满足下列条件:已知 a 1 的值且对于 n ? N ,都有 a n ?1 ?
px ? q

(其中 p、q、r、h 均为常数,且 ph ? qr , r ? 0 , a 1 ? ?

h r

) ,

那么, 可作特征方程 x ? 等比数列。

? 1 ? ? a ? x1 ? ,当特征方程有且仅有一根 x 0 时,则 ? 则 n ? 是等差数列;当特征方程有两个相异的根 x 1 、x 2 时, ? ?是 rx ? h ? a n ? x0 ? ? an ? x2 ?

例:已知数列 { a n } 满足性质:对于 n ? N , a n ?1 ?

an ? 4 2an ? 3

, 且 a 1 ? 3 , 求 { a n } 的通项公式.

例:已知数列 { a n } 满足:对于 n ? N , 都有 a n ? 1 ?

13 a n ? 25 an ? 3

.

(1)若 a 1 ? 5 , 求 a n ; (2)若 a 1 ? 3 , 求 a n ; (3)若 a 1 ? 6 , 求 a n ; (4)当 a 1 取哪些值时,无穷数列 { a n } 不存在? 变式:(2005,重庆,文,22,本小题满分 12 分) 数列 { a n }满足 a 1 ? 1且 8 a n ?1 a n ? 16 a n ?1 ? 2 a n ? 5 ? 0 ( n ? 1). 记 b n ?
1 an ? 1 2 ( n ? 1).

(Ⅰ)求 b1、b2、b3、b4 的值;

(Ⅱ)求数列 {b n } 的通项公式及数列 { a n b n } 的前 n 项和 S n .

类型 11 a n ?1 ? a n ? pn ? q 或 a n ?1 ? a n ? pq

n

解法:这种类型一般可转化为 ?a 2 n ?1 ? 与 ?a 2 n ? 是等差或等比数列求解。 例: (I)在数列 { a n } 中, a 1 ? 1, a n ?1 ? 6 n ? a n ,求 a n (II)在数列 { a n } 中, a 1 ? 1, a n a n ?1 ? 3 ,求 a n
n

类型 12 归纳猜想法 解法:数学归纳法 变式:(2006,全国 II,理,22,本小题满分 12 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n=1,2,3,… (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) n}的通项公式 {a 类型 13 双数列型 解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 1 1 例:已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 ;数列 ?b n ? 中, b1 ? 0 。当 n ? 2 时, a n ? ( 2 a n ?1 ? b n ?1 ) , b n ? ( a n ?1 ? 2 b n ?1 ) ,求 a n , b n . 3 3
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类型 14 周期型

解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。
1 ? ?2 a n , (0 ? a n ? 2 ) 6 ? ,若 a 1 ? ,则 a 20 的值为___________。 ?? 7 ? 2 a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n ? n 2 ?

例:若数列 ?a n ? 满足 a n ?1

变式:(2005,湖南,文,5) 已知数列 { a n } 满足 a 1 ? 0 , a n ?1 ?
an ? 3 ( n ? N ) ,则 a 20 =
*

3a n ? 1





A.0

B. ?

3

C. 3

D.

3 2


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