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课堂新坐标2016_2017学年高中数学4.1坐标系1直角坐标系学业分层测评

时间:2017-04-22

【课堂新坐标】 2016-2017 学年高中数学 4.1 坐标系 1 直角坐标系 学业分层测评 苏教版选修 4-4
(建议用时:45 分钟) 学业达标] 1.已知点 Q(1,2),求 Q 点关于 M(3,4)的对称点. 【解】 设点 P 的坐标为(x,y), 由题意知,M 是 PQ 的中点, 因此?
?x+1=6, ? ?y+2=8, ?

∴?

?x=5, ? ?y=6, ?

∴点 P 的坐标为(5,6).

2.设△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(3,-1),B(8,2),C(4,6),求△ABC 的面积. 【解】 如图,作直线 l:y=-1,过点 B、C 向 l 引垂线,垂足分别为 B1、C1,则△ABC 的面积为

S=S△AC1C+S 梯形 C C1B1B-S△AB1B= ×1×7+ (7+3)×4- ×5×3=16.
3.已知点 P(0,4),求 P 点关于直线 l:3x-y-1=0 的对称点. 【解】 设 P 点关于 l 的对称点 Q 的坐标为(a,b),由题意得

1 2

1 2

1 2

b-4 ? ?3· a =-1, ? a b+4 ? ?3×2- 2 -1=0,
即?
?a+3b-12=0, ? ? ?3a-b-6=0, ?a=3, ? ?b=3, ?

解之得?

∴P 点关于直线 l 的对称点坐标为(3,3). 4.已知一条长为 6 的线段两端点 A,B 分别在 x,y 轴上滑动,点 M 在线段 AB 上,且

AM∶MB=1∶2,求动点 M 的轨迹方程.
【导学号:98990002】

1

【解】 如图,设 A(xA,0),B(0,yB),M(x,y),∵AB=6,

∴ xA+yB=6,即 xA+yB=36,① 又∵AM∶MB=1∶2, 1 yB 2 xA ∴x= ,y= , 1 1 1+ 1+ 2 2 3 ? ?xA= x, 2 即? ? ?yB=3y, 9 2 2 代入①得 x +9y =36, 4 即 x +4y =16. 得动点 M 的轨迹方程为 x +4y =16. 5.设点 P 是矩形 ABCD 所在平面上任意一点,试用解析法证明:PA +PC =PB +PD . 【证明】 如图,以(矩形的)顶点 A 为坐标原点,边 AB、AD 所在直线分别为 x 轴与 y 轴建立平面直角坐标系,并设 B(b,0)、D(0,d),则点 C 的坐标为(b,d).又设 P(x,y),
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

则 PA +PC =x +y +(x-b) +(y-d) ,

2

2

2

2

2

2

PB2+PD2=(x-b)2+y2+x2+(y-d)2.
比较两式,可知 PA +PC =PB +PD . 6.有相距 1 400 m 的 A、B 两个观察站,在 A 站听到爆炸声的时间比在 B 站听到时间早 4 s.已知当时声音速度为 340 m/s,试求爆炸点所在的曲线. 【解】 由题知:爆炸点 P 到 B 的距离比到 A 的距离多 340×4=1 360 米. 即 PB-PA=1 360<1 400,PB>PA. 故 P 在以 A、B 为焦点的双曲线上,且离 A 近的一支. 以 A、B 两点所在直线为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,由题意得, 2a=1 360,2c=1 400,故 a=680,c=700,b =700 -680 =27 600,故爆炸点所在曲线为
2 2 2 2 2 2 2

2

- =1(x<0). 462 400 27 600 7. 在黄岩岛海域执行渔政执法的渔政 310 船发现一艘不明船只从离小岛 O 正东方向 80 海里的 B 处,沿东西方向向 O 岛驶来.指挥部立即命令在岛屿 O 正北方向 40 海里的 A 处的 我船沿直线前往拦截,以东西方向为 x 轴,南北方向为 y 轴,岛屿 O 为原点,建立平面直角 坐标系并标出 A,B 两点,若两船行驶的速度相同,在上述坐标系中标出我船最快拦住不明 船只的位置,并求出该点的坐标. 【解】 A,B 两点如图所示,A(0,40),B(80,0),

x2

y2

∴OA=40(海里),OB=80(海里). 我船直行到点 C 与不明船只相遇, 设 C(x,0), ∴OC=x,BC=OB-OC=80-x. ∵两船速度相同, ∴AC=BC=80-x. 在 Rt△AOC 中,OA +OC =AC ,即 40 +x =(80-x) ,解得 x=30. ∴点 C 的坐标为(30,0). 能力提升] 8.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图 4?1?2,航天器 运行(按顺时针方向)的轨迹方程为 + =1, 变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线) 100 25
2 2 2 2 2 2

x2

y2

64 后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴, M(0, )为顶点的抛物线的实线部分, 降落点为 D(8,0). 观 7 测点 A(4,0),B(6,0).

图 4?1?2 (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; (2)试问:当航天器在 x 轴上方时,航天器离观测点 A、B 分别为多远时,应向航天器发 出变轨指令? 64 2 【解】 (1)设曲线方程为 y=ax + , 7
3

1 ∵ 点 D(8,0)在抛物线上,∴a=- , 7 1 2 64 ∴曲线方程为 y=- x + . 7 7 (2)设变轨点为 C(x,y),根据题意可知

? ?100+25=1, ? 1 64 ?y=-7x + 7 , ?
2

x2

y2

① ②

得 4y -7y-36=0.

2

y=4 或 y=- (舍去),∴y=4.
得 x=6 或 x=-6(舍去). ∴C 点的坐标为(6,4),AC=2 5,BC=4. 所以当航天器离观测点 A、B 的距离分别为 2 5、4 时,应向航天器发出变轨指令.

9 4

4


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