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第二章 3节 条件概率与独立事件 (2)

时间:2015-01-14


独立事件
教学目标 (1)理解两个事件相互独立的概念; (2)能进行一些与事件独立有关的概率的计算. 教学重点,难点:理解事件的独立性,会求一些简单问题的概率. 教学过程 一.问题情境 1.情境:抛掷一枚质地均匀的硬币两次. 在第一次出现正面向上的条件下,第二次出现正面向上的概率是多少? 2.问题:第一次出现正面向上的条件,对第二次出现正面向上的概率是否产生影响. 二.学生活动 设 B 表示事件“第一次正面向上” , A 表示事件“第二次正面向上” ,由古典概型知

P ? A? ?

1 1 1 , P ? B ? ? , P ? AB ? ? , 2 2 4

所以 P A B ?

?

?

P ? AB ? 1 ? . P ? B? 2

即 P ? A ? ? P A B ,这说明事件 B 的发生不影响事件 A 发生的概率. 三.建构数学 1.两个事件的独立性 一般地,若事件 A , B 满足 P A B ? P ? A ? ,则称事件 A , B 独立. 当 A , B 独立时,若 P ? A? ? 0 ,因为 P A B ?

?

?

?

?

?

?

P ? AB ? ? P ? A? , P ? B? P ? AB ? ? P ? B? , P ? A?

所以 P ? AB? ? P ? A? P ? B? ,反过来 P B A ?

?

?

即 B , A 也独立.这说明 A 与 B 独立是相互的,此时事件 A 和 B 同时发生的概率等于 事件 A 发生的概率与事件 B 发生的概率之积,即 (*) P ? AB? ? P ? A? P ? B? . 若我们认为任何事件与必然事件相独立,任何事件与不可能事件相独立,那么两个事件

A , B 相互独立的充要条件是 P ? AB? ? P ? A? P ? B? .今后我们将遵循此约定.
事实上,若 B ? ? ,则 P( B ) ? 0 ,同时就有 P( AB) ? 0 ,此时不论 A 是什么事件,都 -1-

有(*)式成立,亦即任何事件都与 ? 独立.同理任何事件也与必然事件 ? 独立. 2. 个事件的独立性可以推广到 n(n ? 2) 个事件的独立性, 且若事件 A1 , A2 , 则这 n 个事件同时发生的概率 P ? A 1A 2

, An 相互独立,

An ? ? P ? A1 ? P ? A2 ?

P ? An ? .

3. 对立与互斥 回顾:不可能同时发生的两个事件叫互斥事件;如果两个互斥事件有一个发生时另 一个必不发生,这样的两个互斥事件叫对立事件. 区别:互斥事件和相互独立事件是两个不同概念: 两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生; 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 事实上,当

P ? A? ? 0



P ? B? ? 0

时,若 A, B 互斥,则 AB ? ? ,从而

P ? AB? ? 0



但 P ? A? P ? B ? ? 0 ,因而等式 P ? AB? ? P ? A? P ? B? 不成立,即互斥未必独立.若

A, B 独立,则 P ? AB? ? P ? A? P ? B? ? 0 ,从而 A, B 不互斥(否则, P ? AB? ? 0 ,导
致矛盾) . C ? “抽 例如从一副扑克牌 (52张) 中任抽一张, 设 A ? “抽得老K” B ? “抽的红牌”, 到J”,判断下列事件是否相互独立?是否互斥,是否对立? ① A与B ; ② A 与C 4.讨论研究 概率 意义

P ? AB?
P AB

A 、 B 同时发生的概率 A 不发生 B 发生的概率 A 发生 B 不发生的概率 A 、 B 都不发生的概率

? ?

P AB P AB

? ? ? ?
? ? ?
-2-

P AB ? AB 1 ? P AB

?

A 、 B 中恰有一个发生的概率

A 、 B 中至少有一个发生的概率
A 、 B 中至多有一个发生的概率

1 ? P ? AB ?

四.数学运用 例题: 例 1.求证:若事件 A 与 B 相互独立,则事件 A 与 B 也相互独立. 证:因为 P ? AB ? ? P AB ? P ? A?

? ?

所以 P AB ? P ? A ? ? P ? AB ? .

? ?

因为 A , B 相互独立,所以 P ? AB? ? P ? A? P ? B? , 于是 P AB ? P ? A? ? P ? A? P ? B ?

? ?

? P ? A? ?1? P ? B??
? P ? A? P B .
因此,事件 A 与 B 相互独立. 结论:若事件 A 与 B 独立则 A 与 B , B 与 A , A 与 例 2.如图 2 ? 3 ? 2 ,用 X , Y , Z 三类不同的元 件连接成系统 N .当元件 X , Y , Z 都正常工作 时,系统 N 正常工 作.已知元件 X , Y , Z 正常工作的概率依次为 0.80 , 0.90 , 0.90 ,求系统 N 正常工作 的概率 P . 解: 若将元件 X , Y , Z 正常工作分别记为事件 A, B, C , 则系统 N 正常工作为事件 ABC . 根据题意,有 P ? A? ? 0.80 , P ? B ? ? 0.90 , P ?C ? ? 0.90 . 因为事件 A, B, C 是相互独立的,所以系统 N 正常工作的概率 图 2-3-2

? ?

B 都独立.

P ? P ? ABC ? ? P ? A? P ? B? P ?C ?
? 0.80 ? 0.90 ? 0.90 ? 0.648 , 即系统 N 正常工作的概率为 P ? 0.648 .
例 3.加工某一零件共需两道工序,若第一、二道工序的不合格品率分别为 3﹪,5﹪ , -3-

假定各道工序是互不影响的,问:加工出来的零件是不合格品的概率是多少? 分析:解决问题的过程可用流程图表示: (图 2 ? 3 ? 4 )

图 2-3-4 解法 1 设 A 表示事件“加工出来的零件是不合格品” ,A 1, A 2 分别表示事件“第一道工 序出现不合格品”和“第二道工序出现不合格品” .因为依常理,第一道工序为不合格 品,则该产品为不合格品,所以

A ? A1 ? A1 A2 ,
因为各道工序互不影响,所以

P ? A ? ? P A1 ? A1 A2 ? P ? A1 ? ? P A1 A2 ? P ? A1 ? ? P A1 P ? A2 ?
? 0.03 ? 0.97 ? 0.05 ? 0.0785 .
解法 2 因为 A ? A 1A 2 ,所以

?

?

?

?

? ?

P A ? P A1 A2 ? P A1 P A2

? ?

?

?

? ? ? ?

?? ?1 ? P ? A1 ? ? ?? ?1 ? P ? A2 ? ? ?

? ?1 ? 0.03??1 ? 0.05? ? 0.9215 ,
P ? A? ? 1 ? P A ? 1 ? 0.9215 ? 0.0785 .
答:加工出来的零件是不合格品的概率是 7.85 ﹪. -4-

? ?

思考:如果 A 和 B 是两个相互独立的事件,那么 1 ? P ? A? P ? B? 表示什么? 五.回顾小结: 1.当 A , B 独立时, B , A 也是独立的,即 A 与 B 独立是相互的. 2.当 A , B 独立时

P ? A B ? ? P ? A? ; P ? B A? ? P ? B ? ;
或 P ? AB? ? P ? A? P ? B? 或 A 事件的发生不影响事件 B 的发生概率

-5-


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