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圆锥曲线中的最值和范围问题(高二)

时间:2012-12-14

圆锥曲线中最值和范围问题
班级________姓名___________学号_________ 【问题呈现】 x2 y2 ? ? 1 上一动点 M 满足: F1 MF2 为钝角, M 点横坐标的取值范围_______. 1. 椭圆 则 ? 9 4 2.已知点 A( , 0) ,P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点,则 PA 的最小值为___________. 3.椭圆
x2 ? y 2 ? 1 上一动点 P,则 P 到直线 l : x ? y ? 4 ? 0 的距离最小值为:________. 4

3 2

4.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线的右 a 2 b2 x2 ? y 2 ? 1交于 A,B 两不同点,则线段 AB 中点 M 的轨迹方 4

支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为__________. 5.斜率为 1 的直线 l 与椭圆

程为_______. 【方法小结】 求解范围问题的一般方法: (1)结合定义,利用图形找出几何量的有界性; (2)构造一个二次方程,利用判别式??0; (3)函数法是探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的有二次 函数等,把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函 数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围,值得注意的是函数自变量取值范围 的考察不能被忽视. (4)利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的 构思; (5)结合参数方程,利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程,它们的一个 共同特点是均含有三角式.因此,它们的应用价值在于: ① 通过参数 ? 简明地表示曲线上点的坐标; ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题. 【典题剖析】 例 1 已知圆⊙ C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 8 , C (?1, 0) 动圆与⊙ C 相切且过定点 B(1, 0) ; (1)求动圆圆心的轨迹 E 方程; (2)过点 D(0, t ) , ?1 ? t ? 1 倾斜角为 45? 的直线 l 与轨迹 E 交于 M , N 两点,求 B, C , M , N 四点围成的四边形面积的最大值。

1

例 2 已知定点 F(0,1)和直线 l1:y=-1,过定点 F 与直线 l1 相切的动圆圆心为点 C. (1)求动点 C 的轨迹方程; → → (2)过点 F 的直线 l2 交轨迹于两点 P、Q,交直线 l1 于点 R,求RP· 的最小值. RQ

2

课后练习
1. 已知 F1 (?c,0), F2 (c,0) 为椭圆 则此椭圆离心率的取值范围是 A. [
x a
2 2

?

y2 b
2

? 1 的两个焦点, P 在椭圆上且 PF ? PF2 ? c 2 , 点 1

( C. [



3 ,1) 3

B. [ , ]

1 1 3 2

3 2 , ] 3 2

D. (0,

2 ] 2

2.已知点 P 在圆 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 上, Q 在椭圆 点

x2 ? y 2 ? 1 上, PQ max =___________。 则 9

3.已知点 A,B 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,且 A,B 满足 AB ? 8 ,则线段 AB 的中点到 y 轴距离 的最小值为:___________。 4. 已知直线 l:y=kx-2 与抛物线 C:x2=-2py(p>0)交于 A,B 两点,O 为坐标原点, → → OA+OB=(-4,-12). (1)求直线 l 和抛物线 C 的方程; (2)抛物线上一动点 P 从 A 到 B 运动时,求△ABP 面积的最大值.

3

m2 ?0, 5. (2010 浙江)(21) (本题满分 15 分)已知 m>1,直线 l : x ? my ? 2
椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 , F1 , F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点. 2 m

(Ⅰ)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, ?AF F2 , ?BF F2 的重心分别为 G , H .若原点 1 1

O 在以线段 GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围.

4

答案
例1 (Ⅰ)解:设动圆圆心为 P ,则 PB ? PC ? 2 2 ,所以动圆圆心是以 B, C 为焦点的椭 圆,方程为

x2 ? y2 ? 1。 2 x2 ? y 2 ? 1 得: 3 x 2 ? 4tx ? 2t 2 ? 2 ? 0 ,设 M ( x1 , y1 ) , 2
y

(Ⅱ)设 l : y ? x ? t ,代入

N ( x2 , y2 )

? ? ? ? 16t 2 ? 12( 2t 2 ? 2) ? 0 ? 4t ? 则 ? x1 ? x 2 ? ? ,解得: t 2 ? 3 3 ? 2 ? 2t ? 2 ? x1 x 2 ? 3 ? (1) 若 ? 1 ? t ? 1 ,则 1 S MANB ? AB y1 ? y 2 ? x1 ? x 2 2

M

C

B
O

x

N

? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ,
? (? 4t 2 2t 2 ? 2 2 6 ? 2t 2 2 6 ( t ? 0 取等号。 ) ? ? ) ?4 3 3 3 3
y

(2)若 1 ? t ? 3 或 ? 3 ? t ? ?1 则

S MANB ?

1 (t ? 1) y1 ? (t ? 1) y 2 2

M

?

1 (t ? 1)( x1 ? t ) ? (t ? 1)( x 2 ? t ) 2 1 ? t ( x1 ? x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ? 2t ) 2 2 t 2 3 2 6 ? 2t 2 ( 6 ? 2t 2 ) ? ? ? ? 6 3 2 3 3 2 t 2 3 2 6 ? 2t 2 ( 6 ? 2t 2 ) ? ? ? ? 6 3 2 3 3
B, C , M , N 四点围成的四边形面积的最大值为

N
C

O

B

x

2 6 。 3

例2 解 (1)由题设点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离, ∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点,l1 为准线的抛物线. ∴所求轨迹的方程为 x2=4y. (2)由题意直线 l2 的方程为 y=kx+1,
5

与抛物线方程联立消去 y,得 x2-4kx-4=0. 记 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4. 2 ∵直线 PQ 的斜率 k≠0,易得点 R 的坐标为(- ,-1), k 2 2 → → RP· =(x1+ ,y1+1)· 2+ ,y2+1) RQ (x k k 2 2 =(x1+ )(x2+ )+(kx1+2)(kx2+2) k k 2 4 2 =(1+k )x1x2+( +2k)(x1+x2)+ 2+4 k k 2 4 1 =-4(1+k2)+4k( +2k)+ 2+4=4(k2+ 2)+8, k k k 1 ∵k2+ 2≥2,当且仅当 k2=1 时取到等号. k → → → → RP· ≥4×2+8=16,即RP· 的最小值为 16. RQ RQ 练习 4 → → 分析 (1)根据根与系数关系和OA+OB=(-4,-12)列方程组,利用待定系数法求解; (2)线段 AB 的长度为定值,只要求点 P 到直线 AB 的最大值即可. ?y=kx-2, ? 解析 (1)由? 2 得 x2+2pkx-4p=0. ? ?x =-2py, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-2pk,y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk2-4. → → 因 为 OA + OB = (x1 + x2 , y1 + y2) = ( - 2pk , - 2pk2 - 4) = ( - 4 , - 12) , 所 以 ?-2pk=-4, ?p=1, ? ? ? 解得? 2 ? ? ?-2pk -4=-12. ?k=2. 所以直线 l 的方程为 y=2x-2,抛物线 C 的方程为 x2=-2y. (2)解法一:设 P(x0,y0),依题意,抛物线过点 P 的切线与 l 平行时,△ABP 的面积最 1 2 大,y′=-x,所以-x0=2? x0=-2,y0=- x0=-2,所以 P(-2,-2). 2 ? ?y=2x-2, |2·?(-2?)-?(-2?)-2| 4 4 5 此时点 P 到直线 l 的距离 d= = = ,由? 2 得 x2+ 2 2 5 5 ? 2 +?(-1?) ?x =-2y, 4x-4=0, |AB|= 1+k2· (?x1+x2?)2-4x1·2 x 2 2 = 1+2 · ?(-4)? -4?(-4)?=4 10. 4 5 4 10· 5 ∴△ABP 的面积最大值为 =8 2. 2 ?y=2x-2, ? 解法二:由? 2 得 x2+4x-4=0, ? ?x =-2y, |AB|= 1+k2· (?x1+x2?)2-4x1·2= 1+22· ?(-4)?2-4?(-4)?=4 10, x 12 设 P(t,- t )(-2-2 2<t<-2+2 2), 2

6

因为 AB 为定值, 当点 P 到直线 l 的距离 d 最大时, △ABP 的面积最大, d= 1 | ?(t+2)?2-4| 2 = , 5 因为-2-2 2<t<-2+2 2,所以当 t=-2 时,dmax= 4 5 4 10· 5 ∴△ABP 的面积最大值为 =8 2. 2 练习 5 解: (Ⅰ)由题设知 | EF | ? | EF2 |? 2 2 ?| F F2 | , 1 1 根据椭圆的定义, E 的轨迹是焦点为 F , F2 ,长轴长为 2 2 的椭圆, 1 设其方程为

1 |2t+ t2-2| 2 22+?(-1?)2

4 5 ,此时 P(-2,-2). 5

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a 2 b2
2 , b ? 1 ,所以 C 的方程为
x2 ? y 2 ? 1. 2
……5 分

则 c ? 1, a ?

x2 ? y 2 ? 1并整理得, (II)依题设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .将 y ? k ( x ? 1) 代入 2

(2k 2 ? 1) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 . ? ? 8k 2 ? 8 ? 0 .
设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

…6 分

4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x2 ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

……7 分

k 2k 2 设 MN 的中点为 Q ,则 xQ ? ,即 , yQ ? k ( xQ ? 1) ? ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1

Q(

2k 2 ?k , 2 ). 2 2k ? 1 2 k ? 1

……8 分

因为 k ? 0 ,
7

1 2k 2 所以直线 MN 的垂直平分线的方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 2 ) ,…9 分 2k ? 1 k 2k ? 1 k
令 x ? 0 解得, yP ?

k 2k ? 1
2

?

1 1 2k ? k



……10 分

当 k ? 0 时,因为 2k ?

1 2 ? 2 2 ,所以 0 ? yP ? ; k 4 1 2 ? ?2 2 ,所以 ? ? yP ? 0 . k 4

…12 分

当 k ? 0 时,因为 2k ?

……13 分

综上得点 P 纵坐标的取值范围是 [?

2 2 , 0) ? (0, ]. 4 4

……14 分

8


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