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北大附中高考数学专题复习数列、极限、数学归纳法(上)

时间:2011-03-10


学科: 学科:数学 教学内容:数列、极限、数学归纳法 上 教学内容:数列、极限、数学归纳法(上)

【考点梳理】 考点梳理】 一、考试内容 1.数列,等差数列及其通项公式,等差数列前 n 项和公式。 2.等比数列及其通项公式,等比数列前 n 项和公式。 3.数列的极限及其四则运算。 4.数学归纳法及其应用。 二、考试要求 1.理解数列的有关概念,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出 数列的前 n 项和。 2.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能够应用这些知 识解决一些问题。 3.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能够运用这些知 识解决一些问题。 4.了解数列极限的定义,掌握极限的四则运算法则,会求公比的绝对值小于 1 的无穷等 比数列前 n 项和的极限。 5.了解数学归纳法的原理,并能用数学归纳法证明一些简单的问题。 三、考点简析 1.数列及相关知识关系表

2.作用地位 (1)数列是函数概念的继续和延伸,是定义在自然集或它的子集{1,2,…,n}上的函数。 对于等差数列而言,可以把它看作自然数 n 的“一次函数” ,前 n 项和是自然数 n 的“二次 函数” 。等比数列可看作自然数 n 的“指数函数” 。因此,学过数列后,一方面对函数概念加 深了了解, 拓宽了学生的知识范围; 另一方面也为今后学习高等数学中的有关级数的知识和

解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。 (2)数列的极限这部分知识的学习,教给了学生“求极限”这一数学思路,为学习高 等数学作好准备。另一方面,从数学方法来看,它是一种与以前学习的数学方法有所不同的 全新方法,它有着现代数学思想,它把辩证唯物主义的思想引进了数学领域,因而,学习这 部分知识不仅能接受一种新的数学思想方法, 同时对培养学生唯物主义的世界观也起了一定 的作用。 (3)数学归纳法是一种数学论证方法,学生学习了这部分知识后,又掌握了一种新的 数学论证方法,开拓了知识领域,学会了新的技能;同时通过这部分知识的学习又学到一种 数学思想。学好这部分知识,对培养学生逻辑思维的能力,计算能力,熟悉归纳、演绎的论 证方法,提高分析、综合、抽象、概括等思维能力,都有很好的效果。 (4)数列、极限、数学归纳法这部分知识,在高考中占有相当的比重。这部分知识是 必考的内容,而且几乎每年有一道综合题,其中 1999 年高考有两道综合题。 3.等差数列 (1)定义:an+1-an=d(常数 d 为公差) (2)通项公式:an=a1+(n-1)d (3)前 n 项和公式:Sn=

n(a1 + a n ) n(n ? 1) =na1+ d 2 2

(4)通项公式推广:an=am+(n-m)d 4.等差数列{an}的一些性质 (1)对于任意正整数 n,都有 an+1-an=a2-a1 (2){an}的通项公式:an=(a2-a1)n+(2a1-a2) (3)对于任意正整数 p,q,r,s,如果 p+q=r+s,则有 ap+aq=ar+as (4)对于任意正整数 p,q,r,如果 p+r=2q,则有 ap+ar=2aq (5)对于任意正整数 n>1,有 2an=an-1+an+1 (6)对于任意非零实数 b,若数列{ban}是等差数列,则数列{an}也是等差数列 (7)已知数列{bn}是等差数列,则{an±bn}也是等差数列 (8){a2n},{a2n-1},{a3n},{a3n-1},{a3n-2}等都是等差数列 (9)S3m=3(S2m-Sm) (10)若 Sn=Sm(m≠n),则 Sm+n=0 (11)若 Sp=q,Sq=p,则 Sp+q=-(p+q)(p≠q) (12)Sn=an2+bn,反之亦成立 5.等比数列 (1)定义:

a n +1 =q(常数 q 为公比) an
-1

(2)通项公式:an=a1qn (3)前 n 项和公式

?na1 ? Sn= ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?

q =1 q ≠1

特别注意 q=1 时,Sn=na1 这一特殊情况。 - (4)通项公式推广:an=am·qn m

6.等比数列{an}的一些性质 (1)对于任意正整数 n,均有

a n +1 a 2 = a n a1

(2)对于任意正整数 p、q、r、s,只要满足 p+q=r+s,则 ap·aq=ar·as (3)对于任意正整数 p、q、r,如果 p+r=2q,则 ap·ar=aq2 (4)对任意正整数 n>1,有 an2=an-1·an+1 (5)对于任意非零实数 b,{ban}也是等比数列 (6)已知{an}、{bn}是等比数列,则{anbn}也是等比数列 (7)如果 an>0,则{logaan}是等差数列 (8)数列{logaan}成等差数列,则 an 成等比数列 (9){a2n},{a2n-1},{a3n-1},{a3n-2},{a3n}等都是等比数列 7.数列极限 (1)极限的定义“ε—N” (2)极限的四则运算 若 lim an=A, lim bn=B,则
n →∞ n →∞

lim (an±bn)= lim an± lim bn=A±B
n →∞ n →∞ n →∞

lim (an·bn)= lim an· lim bn=A·B
n →∞ n →∞ n →∞

lim (an/bn)= lim an/ lim bn=
n →∞ n →∞ n →∞

A (B≠0) B

(3)两个重要极限

?0 1 ? ① lim c = ?1 n →∞ n ?不存在 ? ?0 ? ② lim r = ?1 n →∞ ?不存在 ?
n

c>0 c=0 c<0

| r |< 1 r =1 | r |> 1或r = ?1

中学数学中数列求极限最终都化成这两类的极限问题。 由①我们可以得到多项式除多项 式的极限。

? a0 ? b     p = q p p ?1 a 0 n + a1 n + … + a p ? 0 ? lim = ?0      p < q n →∞ b n q + b n q ?1 + … + a 0 1 q ?不存在   p > q ? ? ?
其中 p,q∈N,a0≠0,b0≠0。 (4)无穷递缩等比数列各项和公式 S= lim Sn=
n →∞

a1 (|q|<1) 1? q

应用:化循环小数为分数。 8.递归数列 数列的连续若干项满足的等量关系 an+k=f(an+k-1,an+k-2,…,an)称为数列的递归关系。由递 归关系及 k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由 an+1=2an+1,及 a1=1,确定的 数列 {2 ? 1} 即为递归数列。
n

递归数列的通项的求法一般说来有以下几种: (1)归纳、猜想、数学归纳法证明。 (2)迭代法。 (3)代换法。包括代数代换,对数代数,三角代数。 (4)作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。 9.数列求通项与和 (1)数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式: an= ?

?s n ? s n ?1 ?s1

n≥2 n =1

(2)求通项常用方法 ①作新数列法。作等差数列与等比数列。 ②累差叠加法。最基本的形式是:an=(an-an-1)+(an-1+an-2)+…+(a2-a1)+a1 ③归纳、猜想法。 (3)数列前 n 项和 ①重要公式

1 n(n+1) 2 1 12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1) 6 1 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2= n2(n+1)2 4
1+2+…+n= ②等差数列中,Sm+n=Sm+Sn+mnd ③等比数列中,Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn ④裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和,即 an=f(n+1)-f(n),然后累加抵消掉中间的许多 项,这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和,需要掌握一些常见的裂项,如:

1 1 1 = - n(n + 1) n n + 1
n·n!=(n+1)!-n!

1 =cotα-cot2α sin 2 α
Cn-1r 1=Cnr-Cn-1r


n 1 1 = - 等。 (n + 1)! n! (n + 1)!
⑤错项相消法

对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项和,常用错项相消法。 ⑥并项求和 把数列的某些项放在一起先求和,然后再求 Sn。 数列求通项及和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法。 10.数学归纳法 (1)数学归纳法的基本形式 设 P(n)是关于自然数 n 的命题,若 1°p(n0)成立(奠基) ; 2°假设 P(k)成立(k≥n0),若可以推出 P(k+1)成立(归纳) ,则 P(n)对一切大于等于 n0 的自然数 n 都成立。 (2)数学归纳法的应用 数学归纳法适用于有关自然数 n 的命题。具体来讲,数学归纳法常用来证明恒等式,不 等式,数的整除性,几可中计数问题,数列的通项与和等。 四、思想方法 数列、极限、数学归纳法中,主要注意如下的基本思想方法: 1.分类讨论思想。如等比数列的求和分公比等于 1 和不等于 1 两种情形;已知数列前 n 项和求通项分 n=1 和 n≥2 两种情形;求极限时对两个参数进行大小比较的讨论等。 2.函数思想。将数列视为定义域为自然数或其子集的函数。 3.数形结合思想。如等差数列的通项公式和前 n 项和公式分别视为直线、二次曲线的方 程。 4.转化思想。如将非等差数列、非等比数列转化为等差数列、等比数列。 5.基本量思想。如把首项及公差、公比视为等差数列、等比数列的基本量。 6.构造思想。如由旧数列构造新数列。 7.特殊化思想。为研究一般问题可先退化到特殊问题的研究。在这部分内容中,处处充 满了由具体到抽象,由特殊到一般,由有限到无限的辩证法,这就要求我们在思考问题时要 用辩证的观点, 由具体认识抽象, 由特殊窥见一般, 由有限逼近无限。 其中, 我们常用的 “归 纳——猜想——证明”法就体现了这一点。 8.一般化思想。 为研究一个特殊问题, 我们先研究一般的情形。 我们采用的数学归纳法, 就主要体现一般化思想,先证命题对一般值成立,然后再证对每一个特殊的 n 值也成立。


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