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高中数学第一章导数及其应用1.2.2导数公式及运算法则练习含解析

时间:2017-12-02


1.2.2 导数公式及运算法则
一、选择题 1.若函数 f(x)=e sinx,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为( A. π 2 B.0 D.锐角
x

)

C.钝角 【答案】 C

π x x 4 4 【解析】 y′|x=4=(e sinx+e cosx)|x=4=e (sin4+cos4)= 2e sin(4+ )<0,故倾斜角为钝角,选 C. 4 2.二次函数 y=f(x)的图象过原点,且它的导函数 y=f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线, 则函数 y=f(x)的图象的顶点在( A.第一象限 C.第三象限 【答案】 C 【解析】 由题意可设 f(x)=ax +bx,f′(x)=2ax+b,由于 f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条 直线,故 2a>0,b>0,则 f(x)=a?x+ ? - ,顶点?- ,- ?在第三象限,故选 C. 4a? ? 2a? 4a ? 2a 3. f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数, 若 f(x)、 g(x)满足 f′(x)=g′(x), 则 f(x)与 g(x)满足( A.f(x)=g(x) C.f(x)=g(x)=0 【答案】 B 【解析】 令 F(x)=f(x)-g(x),则 F′(x)=f′(x)-g′(x)=0,∴F(x)为常数. 1 4.已知曲线 y= -3lnx 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 4 2 A. 3 C. 1 【答案】 A B.2 D. 1 2 B.f(x)-g(x)为常数 D.f(x)+g(x)为常数 )
2

)

B.第二象限 D.第四象限

?

b ?2

b2

?

b

b2 ?

x2

)

x 3 1 【解析】 由 f′(x)= - = 得 x=3. 2 x 2
5.若曲线 y=x 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为( A.4x-y-3=0 C.4x-y+3=0 【答案】 A 【解析】 ∵直线 l 的斜率为 4,而 y′=4x ,由 y′=4 得 x=1 而 x=1 时,y=x =1,故直线 l 的方程
3 4 4

)

B.x+4y-5=0 D.x+4y+3=0

1

为:y-1=4(x-1)即 4x-y-3=0. 6.设函数 f(x)是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y=f(x)在 x=5 处的切线的斜率为( 1 A.- 5 C. 1 5 B.0 D.5 )

【答案】 B 【解析】 由题设可知 f(x+5)=f(x)∴f′(x+5)=f′(x),∴f′(5)=f′(0) 又 f(-x)=f(x),∴f′(-x)(-1)=f′(x)即 f′(-x)=-f′(x),∴f′(0)=0 故 f′(5)=f′(0)=0.故应选 B. 二、填空题 7.设函数 f(x)=cos( 3x+φ )(0<φ <π ),若 f(x)+f′(x)是奇函数,则 φ =________. 【答案】 π 6

【解析】 f′(x)=- 3sin( 3x+φ ),

? f(x)+f′(x)=cos( 3x+φ )- 3sin( 3x+φ )=2sin? 3x+φ + ?

5π ? ?. 6 ?

5π ? 5π ? 若 f(x)+f′(x)为奇函数,则 f(0)+f′(0)=0,即 0=2sin?φ + ?,∴φ + =kπ (k∈Z). 6 6 ? ? π 又∵φ ∈(0,π ),∴φ = . 6 8.已知函数 f(x)=ax+be 图象上在点 P(-1,2)处的切线与直线 y=-3x 平行,则函数 f(x)的解析式是 ____________. 5 1 x+1 【答案】 f(x)=- x- e 2 2 【解析】 由题意可知,f′(x)|x=-1=-3, 5 1 -1 -1 ∴a+be =-3,又 f(-1)=2,∴-a+be =2,解之得 a=- ,b=- e, 2 2 5 1 x+1 故 f(x)=- x- e . 2 2 三、解答题 9.已知曲线 C1:y=x 与 C2:y=-(x-2) .直线 l 与 C1、C2 都相切,求直线 l 的方程. 【解析】 设 l 与 C1 相切于点 P(x1,x1),与 C2 相切于点 Q(x2,-(x2-2) ). 对于 C1:y′=2x,则与 C1 相切于点 P 的切线方程为 y-x1=2x1(x-x1),即 y=2x1x-x1.① 对于 C2:y′=-2(x-2),与 C2 相切于点 Q 的切线方程为 y+(x2-2) =-2(x2-2)(x-x2), 即 y=-2(x2-2)x+x2-4.
2 2 2 2 2 2 2 2

x



2

∵两切线重合,∴2x1=-2(x2-2)且-x1=x2-4, 解得 x1=0,x2=2 或 x1=2,x2=0. ∴直线 l 的方程为 y=0 或 y=4x-4. 10.求满足下列条件的函数 f(x): (1)f(x)是三次函数,且 f(0)=3,f′(0)=0,f′(1)=-3,f′(2)=0; (2)f′(x)是一次函数,x f′(x)-(2x-1)f(x)=1. 【解析】 (1)设 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0) 则 f′(x)=3ax +2bx+c 由 f(0)=3,可知 d=3,由 f′(0)=0 可知 c=0, 由 f′(1)=-3,f′(2)=0 可建立方程组? 所以 f(x)=x -3x +3. (2)由 f′(x)是一次函数可知 f(x)是二次函数,则可设 f(x)=ax +bx+c(a≠0)
2 3 2 2 3 2 2

2

2

? ?f′(1)=3a+2b=-3 ?f′(2)=12a+4b=0 ?

,解得?

? ?a=1 ?b=-3 ?



f′(x)=2ax+b,把 f(x)和 f′(x)代入方程,得 x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1
整理得(a-b)x +(b-2c)x+c=1
2

a-b=0 ? ? 若想对任意 x 方程都成立,则需?b-2c=0 ? ?c=1
a 所以 f(x)=2x +2x+1.
2

a= 2 ? ? 解得?b=2 ? ? c= 1



3


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