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2012高考文科数学概率统计 (答案详解)

时间:2013-02-27


2012 文科数学 概率统计
1 (2012 湖北卷) 容量为 20 的样本数据,分组后的频数如下表: 分组 频数

[10, 20)
2

[20,30)
3

[30, 40)
4

[40,50)
5

[50,60)
4

[60,70)
2

则样本数据落在区间 [10, 40) 的频数为

A. 0.35

B. 0.45

C. 0.55

D. 0.65

[答案] B 2. (2012 四川卷)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情 况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为 N ,其 中甲社区有驾驶员 96 人。 若在甲、 丙、 乙、 丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43, 则这四个社区驾驶员的总人数 N 为( ) A、101 B、808 C、1212 D、2012 [答案] B 3. (2012 江西卷)小波一星期的总开支分布图如图 1 所示,一星期的食品开支如图 2 所示, 则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为

A.30% B.10% C.3% D.不能确定 【答案】C 4.(2012 安徽卷)袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于

1 5 3 (C) 5
(A) 【解析】选 B 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球记为 a1 , b1 , b2 , c1 , c2 , c3 从袋中任取两球共有

2 5 4 (D) 5
(B)

a1 , b1 ; a1 , b2 ; a1 , c1; a1 , c2 ; a1 , c3 ; b1 , b2 ; b1 , c1; b1 , c2 ; b1 , c3 b2 , c1; b2 , c2 ; b2 , c3 ; c1 , c2 ; c1 , c3 ; c2 , c3
6 2 ? 15 5

15 种;

满足两球颜色为一白一黑有 6 种,概率等于

5.(2012 北京卷)设不等式组

,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个

点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 (A)

? 4

(B)

? ?2
2

(C)

? 6

(D)

4 ?? 4

【答案】D 6.(2012 辽宁卷)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C. 现作一矩形,邻边长分别等于线 段 AC,CB 的长,则该矩形面积大于 20cm2 的概率为 (A) 【答案】C 7、(2012 上海卷) 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人只选择一个项目,则 有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 [答案] (结果用最简分数表示)

1 6

(B)

1 3

(C)

2 3

(D)

4 5

2 3

8.(2012 湖南卷) 图 2 是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运

0 8 9
动员在这五场比赛中得分的方差为_________. 1 0

3 5

图2
(注:方差 均数) 【答案】6.8 【解析】 x ?

s2 ?

1 ?( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ? ,其中 x 为 x1,x2,…,xn 的平 ? n?

1 (8 ? 9 ? 10 ? 13 ? 15) ? 11 , 5

1 s 2 ? ?(8 ? 11) 2 ? (9 ? 11) 2 ? (10 ? 11) 2 ? (13 ? 11) 2 ? (15 ? 11) 2 ? ? 6.8 . ? 5?
9.(2012 福建卷).一支田径队有男女运动员 98 人,其中男运动员有 56 人。按男女比例用 分层抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,那么应抽取女运动员人数是 _______。 【解析】

98 ? 56 × 28=12 98

【答案】12 10. 某学校高一,高二,高三年级的学生人数之比是 3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三

年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从从高二年级抽取_______名学生。 【答案】15 11.(2012 辽宁卷)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随 机抽取了 100 名观众进行调查,其中女性有 55 名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收 看该体育节目时间的频率分布直方图;

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”, 已知“体育迷”中有 10 名女 性。 (Ⅰ )根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关?

非体育迷 男 女 合计

体育迷

合计

(Ⅱ )将日均收看该体育项目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷” 中有 2 名女性,若从“超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的概率。

n(n11n22 ? n12 n21 )2 附? ? , n1? n2? n?1n?2
2

【解析】 由概率分布直方图可知, (1) 在抽取的 100 人中, “体育迷”为 25 人。 从而完成 2 ? 2 列联表如下: 非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100

将 2 ? 2 列联表中的数据代入公式计算:

?2 ?

100(30 ?10 ? 45 ?15) 2 100 n(n11n22 ? n12 n21 )2 ? 3.030 = ,? 33 75 ? 25 ? 45 ? 55 n1? n2? n?1n?2

因为 3.030 ? 3.841 ,所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关。 (2) 在频率分布直方图可知,“超级体育迷”为 5 人,从而“可能结果所组成的基本事件空 间为

? ? ?(a1 , a2 ),(a1, a3 ),(a1, b1 ),(a1, b2 ),(a2 , a3 ),(a2 , b1),(a2 , b2 ) , (a3 , b1 ),(a3 , b2 ), (b1 , b2 )
其中 ai 表示男性, i ? 1, 2,3 , bi 表示女性, i ? 1, 2

?

? 由 10 个基本事情组成,而且这些基本事件的出现是等可能的
用 A 表示“任选 2 人中,至少有一个人是女性”这一事件。则

A ? {(a1, b1 ),(a1, b2 ),(a2 , b1 ),(a2 , b2 ) , (a3 , b1 ),(a3 , b2 ), (b1 , b2 )
事件 A 是由 7 个基本事件组成,因而

?

P ( A) ?

7 10

12. (2012.广东)某学校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成 绩 分组区间是: ?50,60? , ?60,70? , ?70,80? , ?80,90? , ?90,100? . (1) 求图中 a 的值 (2) 根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分;

(3) 若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数 ? x ? 与数学成绩相应分数段的人数 ? y ? 之比如下表所示,求数学成绩在 ?50,90? 之外的人数. 分数段 x :y

?50,60? ?60,70? ?70,80? ?80,90?
1:1 2:1 3:4 4:5

解:(1):

10 ? (a ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? a) ? 1?????????????2分 a ? 0.005?????????????????????????3分

(2):50-60 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.005? 100% ? 100 ? 5人????? 3.5 分 60-70 段语文成绩的人数为: 10? 0.04?100% ?100 ? 40人?????? 4 分 70-80 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.03? 100% ? 100 ? 30人 80-90 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.02 ? 100% ? 100 ? 20人??????5分 90-100 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.005? 100% ? 100 ? 5人??????5.5

55? 5 ? 65? 40 ? 75? 30 ? 85? 20 ? 95? 5 ??????????? 7.5 100 ? 73????????????????????????????8分 x?
(3):依题意: 50-60 段数学成绩的人数=50-60 段语文成绩的人数为=5 人………………………………9 分 60-70 段数学成绩的的人数为= 50-60 段语文成绩的人数的一半= 70-80 段数学成绩的的人数为=

1 ? 40 ? 20人 ……10 分 2

4 ? 30 ? 40人 ………………………………………11 分 3 5 ? 20 ? 25人 ………………………………………12 分 80-90 段数学成绩的的人数为= 4
90-100 段数学成绩的的人数为= 100? 5 ? 20 ? 40 ? 25 ? 10人 ……………………13 分

13.(2012 全国课标)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售。如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理。 (Ⅰ )若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位: 枝,n∈ N)的函数解析式。 (Ⅱ )花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 14 15 16 17 18 19 20 n 频数 10 20 16 16 15 13 10

(i)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的平均 数; (ii)若花店一天购进 17 枝玫瑰花, 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率, 以 求当天的利润不少于 75 元的概率. 【解析】(Ⅰ )当日需求量 n ? 17 时,利润 y =85; 当日需求量 n ? 17 时,利润 y ? 10n ? 85 , ∴ y 关于 n 的解析式为 y ? ?

?10n ? 85, n ? 17, (n ? N ) ; n ? 17, ?85,

(Ⅱ )(i)这 100 天中有 10 天的日利润为 55 元,20 天的日利润为 65 元,16 天的日利润 为 75 元,54 天的日利润为 85 元,所以这 100 天的平均利润为

1 (55 ?10 ? 65 ? 20 ? 75 ?16 ? 85 ? 54) =76.4; 100
(ii)利润不低于 75 元当且仅当日需求不少于 16 枝,故当天的利润不少于 75 元的概率为

p ? 0.16 ? 0.16 ? 0.15 ? 0.13 ? 0.1 ? 0.7
14.(2012 安徽卷)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过 1mm 时,则视为合格 ... 品,否则视为不合格品。在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取 5000 件进行检测,结果发现有 50 件不合格品。计算这 50 件不合格品的直径长与标准值的 差(单位:mm), 将所得数据分组,得到如下频率分布表:

分组 [-3, -2) [-2, -1) (1,2] (2,3] (3,4] 合计

频数 8

频率 0.10 0.50

10 50 1.00

(Ⅰ )将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置; ... (Ⅱ )估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的

概率;

(Ⅲ )现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有 20 件不合格品。据此估算这批 产品中的合格品的件数。

【解析】 (I)

分组 [-3, -2) [-2, -1) (1,2] (2,3] (3,4] 合计

频数 5 8 25 10 2 50

频率 0.1 0.16 0.5 0.2 0.4 1

(Ⅱ )不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率为 0.5 ? 0.2 ? 0.7 (Ⅲ )合格品的件数为 20 ?

5000 ? 20 ? 1980 (件) 50

15.(2012 江西卷)如图,从 A1(1,0,0) 2(2,0,0) 1(0,1,0,)B2(0,2,0) 1(0,0,1) ,A ,B ,C , C2(0,0,2)这 6 个点中随机选取 3 个点。

(1) 求这 3 点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率; (2) 求这 3 点与原点 O 共面的概率。 【解析】 (1)总的结果数为 20 种,则满足条件的种数为 2 种所以所求概率为 (1) 满 足 条 件 的 情

2 1 ? 20 10


[来源:Z§ k.Com] xx§



( A1

,,(A21 , A2 , B2 ) ,,B1 1 , A2 , C1 ) , ( A , A2 , C2 ) , ( B1 , B2 , A2 ) ( B1 , B2 , A ), ( B1 , B2 , C1 ) , A (A 1 1

( B1, B2 , C2 ) , (C1 , C2 , A1 ), (C1 , C2 , B1 ),(C1 , C2 , B2 ) , (C1, C2 , A2 ) ,满足情况的总有 12 种情况,
所以所求概率为

12 3 ? . 20 5

16. (2012 湖南卷)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集 了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示.
一次购物量 顾客数(人) 1至4件 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 17 件及以上 10 3

x

y
2.5

结算时间(分钟/人) 1

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ )确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (Ⅱ )求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.(将频率视为概率) ... 【解析】 )由已知得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35,? x ? 15, y ? 20 ,该超市所有顾客一次 (Ⅰ 购物的结算时间组成一个总体, 所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为 100 的简单随机样本, 顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计, 其估计值为:

1?15 ? 1.5 ? 30 ? 2 ? 25 ? 2.5 ? 20 ? 3 ?10 ? 1.9 (分钟). 100
(Ⅱ 记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”, 1 , A2 , A3 分别表示事件“该 ) A 顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”, “该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟”, “该顾客 一次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视为概率,得

P( A1 ) ?

15 3 30 3 25 1 ? , P( A2 ) ? ? , P( A3 ) ? ? . 100 20 100 10 100 4

? A ? A1 ? A2 ? A3 , 且A1 , A2 , A3 是互斥事件, ? P( A) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ?
3 3 1 7 ? ? ? . 20 10 4 10 7 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 . 10
17. (2012 山东卷)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3;蓝色卡片 两张,标 号分别为 1,2. (Ⅰ )从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率; (Ⅱ )现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张, 求这两张卡片 颜色不同且标号之和小于 4 的概率. 【解析】(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种:红 1 红 2,红 1 红 3,红
1

蓝 1,红 1 蓝 2,红 2 红 3,红 2 蓝 1,红 2 蓝 2,红 3 蓝 1,红 3 蓝 2,蓝 1 蓝 2.其中两张卡片 的颜色不同且标号之和小于 4 的有 3 种情况,故所求的概率为 P ?

3 . 10

(II)加入一张标号为 0 的绿色卡片后, 从六张卡片中任取两张, 除上面的 10 种情况外, 多出 5 种情况:红 1 绿 0,红 2 绿 0,红 3 绿 0,蓝 1 绿 0,蓝 2 绿 0,即共有 15 种情况,其 中颜色不同且标号之和小于 4 的有 8 种情况,所以概率为 P ?

8 . 15

18. (2012 天津卷)某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采用分层抽样的样法从 这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查。 (1) 求应从小学,中学,大学分别抽取的学校数目。

(2) 若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析: ① 列出所有的抽取结果。 ② 求抽取的 2 所学校均为小学的概率。 【解析】 (1)从小学,中学,大学分别抽取的学校数目为 3,2,1 (2) ① 从抽取的 6 所学校中,3 所小学分别记为 A1 , A2 , A3 ,2 所中学分别记为 A4 , A5 。 大学记为 A6 ,则抽取的 2 所学校的所有可能结果为: {A , A2 },{A , A3},{A , A4 }, {A , A5} , 1 1 1 1

{A1 , A6} , {A2 , A3},{A2 , A4},{A2 , A5},{A2 , A6} , {A3 , A4},{A3 , A5},{A3 , A6} , {A4 , A5} , {A4 , A6} ,{ A5 , A6 } 共 15 种。
② 从 6 所学校抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有可能结果为:

{A1, A2},{A1, A3},{A2 , A3}, 共 3 种情况。
? P( B) ? 3 1 ? 15 5


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