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2019,人教A版数学必修5第二章数列测试题(含解析)语文

时间:

人教 A 版必修 5 第二章测试

(时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.Sn 是数列{an}的前 n 项和,log2Sn=n(n=1,2,3,…),那么数 列{an}( )
A.是公比为 2 的等比数列 B.是公差为 2 的等差数列 C.是公比为21的等比数列 D.既非等差数列也非等比数列 解析 由 log2Sn=n,得 Sn=2n,a1=S1=2,a2=S2-S1=22-2

=2,a3=S3-S2=23-22=4,…

由此可知,数列{an}既不是等差数列,也不是等比数列.

答案 D

2.一个数列{an},其中 a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,则 a5=( )

A.6

B.-3

C.-12

D.-6

解析 a3=a2-a1=6-3=3,

a4=a3-a2=3-6=-3,

a5=a4-a3=-3-3=-6.
答案 D 3.首项为 a 的数列{an}既是等差数列,又是等比数列,则这个
第1页

数列前 n 项和为( ) A.an-1 C.an

B.na D.(n-1)a

解析 由题意,知 an=a(a≠0),∴Sn=na.

答案 B

4.设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则数列

{an}的前 7 项和为( )

A.63

B.64

C.127

D.128

解析 a5=a1q4=q4=16,∴q=2.

1-27 ∴S7= 1-2 =128-1=127.

答案 C

5.已知-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-9,b1,b2,

b3,-1 五个实数成等比数列,则 b2(a2-a1)的值等于( )

A.-8

B.8

C.-89

9 D.8

解析 a2-a1=-1-3?-9?=38,

b22=(-1)×(-9)=9,∴b2=-3,

∴b2(a2-a1)=-3×38=-8. 答案 A 6.在-12 和 8 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成和为-10

第2页

的等差数列,则 n 的值为( ) A.2 C.4

B.3 D.5

-12+8 解析 依题意,得-10= 2 (n+2),

∴n=3.

答案 B 7.数列{an}满足 a1=1,且 an+1 an=(n+1) n,则此数列( ) A.等比数列 B.等差数列 C.既等比又等差数列 D.既非等差又非等比数列
解析 aan+n 1=n+n 1,a1=1,

∴an=aan-n 1·aann--12·…·aa21·a1

=n-n 1·nn--21·…·21·1

=n.

答案 B

8.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a17=10,则 S19=( )

A.55

B.95

C.100

D.190

解析

S19=a1+2 a19×19

第3页

=a3+2 a17×19=120×19

=95.

答案 B

9.Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a2+a4+a15 是一个确定的

常数,则在数列{Sn}中也是确定常数的项是( )

A.S7

B.S4

C.S13

D.S16

解析 a2+a4+a15

=a1+d+a1+3d+a1+14d

=3a1+18d=3(a1+6d)

=3a7,∴a7 为常数.

∴S13=a1+2 a13×13=13a7 为常数.

答案 C

10.等比数列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5=31,a2+a3+a4+a5

+a6=62,则通项是( ) A.2n-1

B.2n

C.2n+1

D.2n+2

解析 ∵a2+a3+a4+a5+a6=q(a1+a2+a3+a4+a5),

∴62=q×31,∴q=2.

∴S5=a1?11--225?=31.

第4页

∴a1=1,∴an=2n-1.

答案 A

11.已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差 d<0,则使其前 n 项和

Sn 取得最大值的自然数 n 是( )

A.4 或 5

B.5 或 6

C.6 或 7

D.不存在

解析 由 d<0 知,{an}是递减数列,

∵|a3|=|a9|,

∴a3=-a9,即 a3+a9=0.

又 2a6=a3+a9=0,∴a6=0.

∴S5=S6 且最大.

答案 B

12.若 a,b,c 成等比数列,则方程 ax2+bx+c=0( )

A.有两个不等实根

B.有两相等的实根

C.无实数根

D.无法确定

解析 a,b,c 成等比数列,

∴b2=ac>0.

而 Δ=b2-4ac=ac-4ac

=-3ac<0.

∴方程 ax2+bx+c=0 无实数根. 答案 C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填

第5页

在题中横线上) 13.2,x,y,z,18 成等比数列,则 x=____________. 解析 依题意,有 18=2·q4,

∴q4=9,q=± 3.

∴x=2q=±2 3.

答案 ±2 3 14.在数列{an}中,a1=2,an=a2n-a1n+-12(n≥2,n∈N*),则 a10= ____________.

解析 由 an=a2n-a1n+-12(n≥2,n∈N*),得a1n=an1-1+21,即a1n-an1-1

=12.

∴???a1n???成等差数列,a11=21,d=21.

∴a1n=12+(n-1)×21=2n.

∴an=2n,a10=15.

答案

1 5

15.一个数列的前 n 项和为 Sn=1-2+3-4+…+(-1)n+1n,则

S17+S33+S50=____________.

解析 S17=-8+17=9,S33=-16+33=17,S50=-25,∴S17

+S33+S50=1. 答案 1

第6页

16.设等比数列{an}的公比 q=12,前 n 项和为 Sn,则Sa44=________.

解析

Sa44=???a11-???112-???a???112??????124??????3=15.

答案 15 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知数列{an}是等差数列,a1=2,a1+a2+a3=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=3an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

解 (1)∵数列{an}是等差数列,由 a1+a2+a3=12,得 3a2=12,

∴a2=4,又 a1=2,∴公差 d=2.

∴数列{an}的通项公式为 an=2n.

(2)bn=32n=9n,

bbn+n 1=99n+n 1=9,

∴数列{bn}是等比数列,首项为 9,公比 q=9.

∴数列{bn}的前 n 项和

Sn=9?11--99n?=89(9n-1).

18.(12 分)已知等比数列{an},首项为 81,数列{bn}满足 bn= log3an,其前 n 项和为 Sn.

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(1)证明{bn}为等差数列;

(2)若 S11≠S12,且 S11 最大,求{bn}的公差 d 的范围.

解 (1)证明:设{an}的公比为 q,

则 a1=81,aan+n 1=q,由 an>0,可知 q>0,

∵bn+1-bn=log3an+1-log3an=log3aan+n 1=log3q(为常数), ∴{bn}是公差为 log3q 的等差数列.

(2)由(1)知,b1=log3a1=log381=4,

∵S11≠S12,且 S11 最大,

?b11≥0, ?b1+10d≥0,

∴?

即?

?b12<0,

?b1+11d<0.

???d≥-10b1=-52, ??d<-1b11=-141.
∴-25≤d<-141. 19.(2019·山东)(12 分)已知等差数列{an}满足 a3=7,a5+a7= 26.{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn=an2-1 1(n∈N*),求数列{an}的前 n 项和 Tn.
第8页

解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由于 a3=7,a5+a7=26, 所以 a1+2d=7,2a1+10d=26, 解得 a1=3,d=2. 由于 an=a1+(n-1)d,Sn=21[n(a1+an)], 所以 an=2n+1,Sn=n2+2n. (2)因为 an=2n+1, 所以 an2-1=4n(n+1), 因此 Tn=b1+b2+…+bn =14????1-21+21-13+…+1n-n+1 1???? =14????1-n+1 1???? =n,
4?n+1? 所以数列{bn}的前 n 项和 Tn=4?nn+1?. 20.(12 分)等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,试求数列{bn} 的通项公式及前 n 项和 Sn. 解 (1)设{an}的公比为 q,由已知,得 16=2q3,解得
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q=2,

∴an=a1qn-1=2n. (2)由(1)得 a3=8,a5=32,则 b3=8,b5=32.

?b1+2d=8,

?b1=-16,

设{bn}的公差为

d,则有? ?b1+4d=32,

解得? ?d=12.

从而 bn=-16+12(n-1)=12n-28.

n?-16+12n-28?

所以数列{bn}的前 n 项和 Sn=

2

=6n2-22n.

21.(12 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S1,S3,S2 成等差 数列.

(1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn. 解 (1)依题意,有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2).

由于 a1≠0,故 2q2+q=0. 又 q≠0,从而 q=-21. (2)由已知,可得 a1-a1???-12???2=3,

∴a1=4. 从而 Sn=4???11--??????--1221??????n???=38???1-???-12???n???. 22.(12 分)已知数列{an}满足 a1=1,an-2an-1-2n-1=0(n∈N*,

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n≥2). (1)求证:数列{a2nn}是等差数列; (2)若数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 Sn. 解 (1)∵an-2an-1-2n-1=0,

∴a2nn-a2nn--11=12,

∴{a2nn}是以21为首项,21为公差的等差数列.

(2)由(1),得a2nn=12+(n-1)×12,

∴an=n·2n-1,

∴Sn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1



则 2Sn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n



①-②,得

-Sn=1+21+22+…+2n-1-n·2n

1·?1-2n?



-n·2n

1-2

=2n-1-n·2n,

∴Sn=(n-1)·2n+1.

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